statistik pentaabiran: ujian hipotesis untuk populasi tunggal

1

STATISTIK PENTAABIRAN: UJIAN HIPOTESIS UNTUK

POPULASI TUNGGAL

2

Objektif Pembelajaran Untuk mempelajari bagaimana menggunakan sampel bagi

menentukan samada satu populasi mempunyai ciri tertentu.

Untuk mendapatkan sejauh mana ketidak-mungkinan suatu sampel tercerap boleh datang dari suatu populasi yang dihipotesiskan.

Untuk emmahami dua jenis ralat yang digunakan dalam pengujian hipotesis

Untuk mempelajari bila ujian satu hujung dan dua hujung Untuk mempelajari bila ujian satu hujung dan dua hujung boleh digunakanboleh digunakan

Untuk memahami bagaimana dan bila taburan normal dan Untuk memahami bagaimana dan bila taburan normal dan taburan t boleh menguji hipotesis tentang min dan taburan t boleh menguji hipotesis tentang min dan kadaran populasi kadaran populasi

3

Langkah dalam Ujian Hipotesis

2. Menentukan ujian statistik dan taburan persampelan yang sesuai.

3. Menentukan kadar ralat Jenis I.

4. Menyatakan peraturan keputusan.

5. Memungut data

6. Mengira nilai ujian statistik

7. Menyatakan kesimpulan statistik.

8. Membuat keputusan pengurusan.

1. Menetapkan hipotesis: menyatakan hipotesis nul dan alternatif.

4

Hipotesis Nul dan Alternatif

• Hipotesis Nul (Ho) dan Alternatif (Ha) adalah saling menyingkiri. Hanya satu daripadanya adalah benar.

• Hipotesis Nul dan Alternatif adalah “collectively exhaustive”. Ia dinyatakan dengan melibatkan semua kemungkinan.

• Hipotesis Nul adalah diandaikan menjadi benar.• Bebanan untuk membuktikan terletak di atas

Hipotesis Altenatif.

5

Hipotesis Nul dan Alternatif: Contoh

iterl 12:H

iterl 12:H

a

o

Syarikat Minuman Ringan mengisi 12 liter minuman ringan didalam tin minuman.

Syarikat berharap bahawa kandungan tin minuman secara puratanya 12 liter.

6

Kawasan Penolakan dan Kawasan Penerimaan

Kawasan Penerimaan

7

Ralat Jenis I dan Jenis II

• Ralat Jenis I– Menolak hipotesis nul yang betul– Kebarangkalian melakukan ralat Jenis I

dipanggil , paras keyakinan.

• Ralat Jenis II– Gagal menolak hipotesis nul yang tidak benar– Kebaragkalian melakukan ralat Jenis II

dipanggil .

8

Jadual Keputusan Ujian Hipotesis

(

( )

Null Betul Null Salah

GagalMenolak nul

Keputusan Betul

Ralat Jenis II)

Menolak Nul Ralat Jenis I

Keputusan Betul

9

• Ujian satu-hujung

Ujian Satu-Hujung dan Ujian Dua-Hujung

12

12

:H

:H

a

o

12

12

:H

:H

a

o

H

H

o

a

:

:

12

12

• Ujian dua-hujung

10

Ujian Satu-Hujung

12

12

:H

:H

a

o

12

12

:H

:H

a

o

Kawasan Penolakan

Nilai Kritikal

Kawasan Penolakan

Nilai Kritikal

11

Ujian Dua-Hujung

12:H12:H

a

o

12

Ujian Hipotesis Berkaitan Min Tunggal Menggunakan Sampel

Besar

Satu kajian terhadap jurutera di seluruh Malaysia mendapati purata pendapatan bersih tahunan ialah RM74,914. Oleh kerana kajian telah dijalankan 5 tahun lepas, katakan Persatuan Jurutera hendak menguji angka ini dengan mengambil sampel rawak 112 orang jurutera di Malaysia untuk menentukan sama ada pendapatan bersih tahunan telah berubah sejak bancian tersebut dijalankan. Purata sampel pendapatan bersih jurutera ialah RM78,695 setahun. Penyelidik perlu menggunakan lapan langkah ujian hipotesis untuk melakukannya. Andaikan sisihan piawai pendapatan bersih populasi bagi jurutera ialah RM14,530.

13

Langkah I: Hipotesis

H0: = RM74,914

Ha: RM74,914

Langkah 2: Ujian Statistik

n

- X Z

14

= 0.05 /2 = 0.025

Langkah 3: Menentukan kadar ralat Jenis I

Langkah 4: Peraturan Keputusan

Tolak Ho jika Z yang dikira lebih kecil dari –1.96 atau lebih besar dari +1.96

15

Langkah 5: Memungut Data

n = 112 X = RM78,695 = RM14,530, = RM74,914.

_

Langkah 6: Nilai Ujian Statistik

2.75

112

14,530

74,914) - (78,965 Z

16

Langkah 7: Kesimpulan

Disebabkan ujian statistik ini, Z = 2.75, lebih besar daripada nilai kritikal Z dibahagian hujuang atas taburan, Z = +1.96, kesimpulan statistik dicapai dengan menolak hipotesis nul.

Langkah 8: Keputusan

Penyelidik mempunyai bukti yang mencukupi untuk menolak angka RM74,914 sebagai purata pendapatan negara yang benar untuk pekerja. Kesimpulannya purata pendapatan adalah lebih tinggi daripada sebelumnya, Penemuan seperti ini boleh memberikan motivasi kepada pekerja tersebut untuk menuntut kenaikan gaji.

17

Menggunakan Sisihan Piawai Sampel

n

S

- X Z

Didalam kebanyakan situasi yang sebenarnya, nilai sisihan piawai populasi sukar untuk dipercayai. Dengan saiz sampel yang besar (n 30), menggunakan sisihan piawai sampel adalah penggantian penghampiran yang terbaik untuk sisihan piawai populasi, , dan dibenarkan oleh:

18

Satu kajian dilakukan untuk menentukan perkhidmatan pelanggan adalah penting kepada pengurus di Malaysia, dan penyelidik telah menjalankan survei Pengarah Urusan syarikat di Kuala Lumpur. Satu daripada sebab yang telah dicadangkan adalah perkhidmatan pelanggan bermakna dapat mengekalkan pelanggan. Berdasarkan kepada skala 1 hingga 5, dimana 1 adalah rendah dan 5 adalah tinggi, responden memeringkatkan sebab ini adalah yang tertinggi berbanding dengan sebab yang lain, dengan min tindakbalas 4.30. Katakan penyelidik percaya pengurus syarikat di Johor bahru tidak meletakkan sebab tersebut sebagai tertinggi dan menjalankan ujian hipotesis untuk membuktikan teorinya. Alpha ditetapkan pada 0.05. Data dikutip dan memberikan keputusan berikut.

3 4 5 5 4 5 5 4 4 4 44 4 4 4 5 4 4 4 3 4 44 3 5 4 4 5 4 4 4 5  

Gunakan data ini dan ikuti langkah-langkah pengujian hipotesis untuk menentukan sama ada pengurus di Johor Bahru meletakkan sebab ini lebih rendah daripada purata 4.30 yang diperolehi di Kuala Lumpur.

19

H0: = 4.30

Ha: < 4.30

n

S

- X Z

= 0.05

Tolak Ho jika Z < -1.65

Langkah I: Hipotesis

Langkah 2: Ujian Statistik

Langkah 3: Menentukan kadar

ralat Jenis I

Langkah 4: Peraturan Keputusan

20

X= 4.156 S = 0.574 = 4.30 n = 32

1.42-

32

0.574

4.300 - 4.156

n

S

- X Z

Langkah 6: Nilai Ujian Statistik

Langkah 5: Memungut Data_

21

Disebabkan nilai ujian statistik, Z = -1.42 dan lebih besar dari nilai kritikal, –1.96, maka kita tidak mempunyai bukti yang mencukupi untuk menolak Ho

Tidak terdapat bukti yang mencukupi untuk menyatakan bahawa pengurus di Johor Bahru berfikir adalah kurang penting untuk menggunakan perkhidmatan pelanggan sebagai cara mengekalkan pelanggan berbanding yang dilakukan di Kuala Lumpur. Perkhidmatan pelanggan adalah alat yang penting untuk mengekalkan pelanggan dikedua-dua buah bandar kepada pengurus

Langkah 8: Keputusan

Langkah 7: Kesimpulan

22

Menggunakan Kaedah Nilai Kritikal untuk Ujian Hipotesis

133432

57406451304

.

.).(.

n

sZX c

.H terima ,1334 Jika

.H tolak 1334 Jika

0

0

. X

,.X

ditolak boleh tidak H

,13341564

0

..X

304

304

.:H

.:H

a

o

23

Menggunakan Kaedah Nilai-p untuk Ujian Hipotesis

304

304

.:H

.:H

a

o

.H terima , p-nilai jika

.H tolak , < p-nilai Jika

o

o

0778421

421

32

57403041564

.).Z(P

..

..

n

sX

Z

Oleh kerana nilai-p = 0.0778 lebih kecil dari nilai = 0.05, maka Ho tidak dapat ditolak

24

Ujian Hipotesis Berkaitan Min Tunggal Menggunakan Sampel

Kecil: Tidak Diketahui

Ujian t untuk

n

S

- X t

df = n - 1

25

Contoh

20 = dan 2.1933,= 5125 nS,.X

Syarikat pengeksport getah telah membungkus getah seberat 25 kg bagi setiap bungkusan sebelum mengeksportnya keluar negara. Untuk mematuhi peraturan yang dikenakan oleh negara pengimport, syarikat tersebut bimbang jika purata bungkusan yang dieksport tidak sama dengan 25 kg. Untuk menguji perkara ini, 20 bungkusan yang dibungkus hari ini telah dipilih secara rawak dan beratnya direkodkan. Jadual berikut menunjukkan berat yang diperolehi bersama-sama min sampel dan sisihan piawai sampel yang telah dikira.

22.6 22.2 23.2 27.4 24.5

27.0 26.6 28.1 26.9 24.9

26.2 25.3 23.1 24.2 26.1

25.8 30.4 28.6 23.5 23.6

26

H0: = 25 kg

Ha: 25 kg

Langkah I: Hipotesis

Langkah 2: Ujian Statistik

n

S

- X t

df = n - 1

27

= 0.05 /2=0.025t0.025,19 = 2.093

Tolak Ho jika t < -2.093 atau t > 2.093

Langkah 3: Menentukan kadar ralat Jenis I

Langkah 4: Peraturan Keputusan

28

Langkah 6: Nilai Ujian Statistik

Langkah 5: Memungut Data

20 = 2.1933,= 5125 nS,.X

1.04

20

2.1933

25.00 - 25.51

n

S

- X t

29

Disebabkan nilai ujian statistik, Z = 1.04 dan lebih kecil dari nilai kritikal, 2.093, maka kita tidak mempunyai bukti yang mencukupi untuk menolak Ho

Oleh itu, tidak ada bukti yang mencukupi didalam sampel ini untuk menolak hipotesis yang menyatakan min populasi berat bungkusan getah ialah 25 kg.

Langkah 8: Keputusan

Langkah 7: Kesimpulan

30

Ujian Hipotesis berkaitan Perkadaran

P - 1 Q

populasi perkadaran P

sampel perkadaran

:dimana

nP.Q

P - p Z

p̂

ˆ

5 n.Q

dan 5 P n.

31

Contoh

Sebuah syarikat mempercayai 8% daripada keluarannya mengandungi sekurang-kurangnya satu kerosakan. Katakan penyelidik syarikat mahu menguji kepercayaan ini. Penyelidik memilih secara rawak 200 keluaran dan memeriksa untuk melihat kerosakan, dan mendapati 33 keluaran mempunyai sekurang-kurangnya satu kerosakan. Menggunakan paras keyakinan 0.10, uji kenyataan tersebut.

32

Penyelesaian

08.:H

08.:H

a

o

P

P

.H tolak 645.1|Z| Jika o

33

0.165 200

33 p ˆ

4.43 0.019

0.085

2002)(0.08)(0.9

0.080 - 0.165

nP.Q

P - p

ˆ

Z

oH tolak 1.645, 4.43 |Z| kerana Oleh

34

Ujian Hipotesis berkaitan Varian

2

22 1)S -(n

χ

df = n - 1

35

ContohSebuah syarikat perkilangan berminat untuk mengamalkan sistem inventori ‘just-in-time’ (JIT) didalam barisan keluarannya. Keluaran akhir memerlukan pemasangan tiub pneumatic pada stesyen tertentu didalam barisan keluaran. Melalui sistem inventori JIT, matlamat syarikat ialah meminimumkan bilangan tiub pneumatic yang mesti dipasang pada stesyen yang menunggu untuk dipasang. Sebenarnya, tiub tersebut sampai ketika operator memerlukannya. Walau bagaimanapun, disebabkan oleh bekalan dan faktor lain yang terlibat didalam mendapatkan tiub tersebut kedalam barisan keluaran, kebanyakan dari masa bekalan tersebut telah kehabisan didalam inventori. Syarikat menjangkakan, secara purata, lebih kurang 20 tiub pneumatic sentiasa berada distesyen kerja. Walau bagaimanapun, pengawal keluaran tidak mahu varian bagi inventori ini melebehi 4. Bagi setiap hari, bilangan tiub pneumatic yang dipasang distesyen kerja ditentukan pada lapan masa yang berbeza dan berikut adalah bilangan tiub yang direkodkan.

23 17 20 29 21 24 19 24

Gunakan data ini untuk menguji hipotesis nul varian inventori ialah 25. Katakan = 0.05.

36

Contoh

.H terima ,067114 Jika

.H tolak 067114 Jika

02

02

.

,.

Kawasan Penolakan

36.72 4

)1)(20.9821 - (8

2

.H tolak maka

067114 dari besar lebih

7236 kerana Oleh

o

2

0.05,7

2

,.

.

4 :H4 :H

2a

2o

37

Contoh 9.4

Satu perniagaan kecil yang mempunyai 37 orang pekerja. Disebabkan permintaan keluaran yang tidak pasti, syarikat biasanya hanya membayar lebih masa bagi sesuatu minggu. Syarikat mengandaikan terdapat lebih kurang 50 jumlah jam lebih masa seminggu dan varian bagi angka ini ialah 25. Pengurus syarikat mahu mengetahui sama ada varian lebih masa telah berubah. Ditunjukkan di bawah sampel 16 minggu data lebih masa (jam/minggu). Andaikan masa lebih masa adalah bertaburan normal. Gunakan data ini untuk menguji hipotesis nul varian lebih masa ialah 25. Katakan = 0.10.

57 56 52 44 46 53 44 44

48 51 55 48 63 53 51 50

38

25 :H

25 :H2

a

2

o

.H tolak 24.9958

atau 260947 Jika

02

2

,

.

2

22 1)S - (n

χ

16.86

25

(2.81) 1)- (16

.H tolak menolak gagal maka

995824 dari kecil lebih

8616 kerana Oleh

o

2

0.05,15

2

,.

.

39

40

Menyelesaikan Ralat Jenis II

12:H12:H

a

o

n

S

- X Zc

c

60

0.10

12 - X 1.645-

c

11.979 X c

o H tolak 11.979, X Jika c

41

Ralat Jenis II dengan =11.99 liter

=.05

Tolak Ho Gagal Tolak Ho

Ho Benar

Ho Salah

95%

=.8023

KeputusanSalah

Ralat Jenis I

Ralat Jenis II

KeputusanSalah 19.77%

X

Z0

Z1

42

Ralat Jenis II dengan =11.96 liter (Contoh 9.5)

=.05

Ho Benar

Ho Salah

95%

Tolak Ho Gagal Tolak Ho

=.0708

KeputusanBetul

Ralat Jenis I

Ralat Jenis II

KeputusanBetul 92.92%

X

Z0

Z1

43

Nilai dan Nilai Kuasa bagi Masalah Contoh

Kuasa

11.999 .94 .06

11.995 .89 .11

11.990 .80 .20

11.980 .53 .47

11.970 .24 .76

11.960 .07 .93

11.950 .01 .99

44

Keluk Ciri-Ciri Operasi Contoh Minuman Ringan

0

0.10.2

0.3

0.4

0.50.6

0.7

0.80.9

1

11.95 11.96 11.97 11.98 11.99 12

Keb

aran

gkal

ian

45

Keluk Kuasa bagi Contoh Minuman Ringan

0

0.10.2

0.3

0.4

0.50.6

0.7

0.80.9

1

11.95 11.96 11.97 11.98 11.99 12

Keb

aran

gkal

ian