rpp persamaan kuadrat

Nama: FAJAR MIFTAKHURROHMAN

NPM: 13310287

Kelas: 3J

Blog: fajarcoeg.blogspot.com

DO YOU KNOW????????

Nama Asli dari al-Khawarizmi ialah Muhammad

Ibn Musa al-khawarizmi. Selain itu beliau

dikenali sebagai Abu Abdullah Muhammad bin

Ahmad bin Yusoff. Al-Khawarizmi dikenal di

Barat sebagai al- Khawarizmi, al-Cowarizmi, al-

Ahawizmi, al-Karismi, al-Goritmi, al-Gorismi dan beberapa cara ejaan lagi. Beliau

dilahirkan di Bukhara.Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan al-Khawarizmi. al-

Khawarizmi telah wafat antara tahun 220 dan 230M. Ada yang mengatakan al-Khawarizmi

hidup sekitar awal pertengahan abad ke-9M. Sumber lain menegaskan beliau hidup di

Khawarism, Usbekistan pada tahun 194H/780M dan meninggal tahun 266H/850M di

Baghdad. Dalam pendidikan telah dibuktikan bahawa al- Khawarizmi adalah seorang tokoh

Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan keahliannya bukan hanya dalam bidang

syariat tapi di dalam bidang falsafah, logika, aritmatika, geometri, musik, ilmu hitung,

sejarah Islam dan kimia. AL KHAWARIZMI SEBAGAI GURU BESAR ALJABAR DI

EROPA Beliau telah menciptakan pemakaian Secans dan Tangen dalam penyelidikan

trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda beliau bekerja di bawah pemerintahan

Khalifah al-Ma’mun, bekerja di Bayt al-Hikmah di Baghdad. Beliau bekerja dalam sebuah

observatory yaitu tempat belajar matematika dan astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya

untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah memperkenalkan angka-angka India

dan cara-cara perhitungan India pada dunia Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis

Ensiklopedia dalam berbagai disiplin. Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama

kali memperkenalkan aljabar dan hisab. Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari

dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu

populer yang masih digunakan sampai sekarang.

A. PERSAMAAN KUADRAT

a) Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Masih ingatkah kalian tentang bentuk Persamaan Linear Satu variabel (PLSV)?

PLSV adalah suatu persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi 1, contoh a :

2x + 3 = 0, 2q − 11 = 0, 3x + 21 = 0

Nah sekarang coba perhatikan contoh b berikut:

a. 𝑥 2 + 3𝑥 = 7

b. 2𝑥 2 + 9𝑥 = 11

c. 𝑥 2 + 3𝑥 = 3

AYO BERFIKIR !

Dari yang kalian amati, apa perbedaan dari contoh a dan b yang terlihat?

Jelas terlihat bahwa perbedaannya terletak pada pangkat dari variabel. Pada contoh a

pangkat tertinggi dari variabel adalah 1, sedangkan pada contoh b pangkat tertinggi dari

variabel adalah 2.

Lalu apa yang dapat kita simpulkan dari kedua contoh tersebut?

PERSAMAAN KUADRAT adalah suatu persamaan yang memiliki pangkat

tertinggi 2 seperti pada contoh 1.2. secara umum persamaan kuadrat dituliskan sebagai

berikut :

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ

konstanta

Konstanta adalah symbol yang menunjukan

bilangan tertentu. Konstanta yang terletak di

depan variabel juga bias disebut koefisien.

Contoh 1a :

Ubahlah persamaan berikut ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat :

2𝑥 2 + 23𝑥 − 9 = 𝑥 2 − 7𝑥 + 3

Penyelesaian :

2𝑥 2 + 23𝑥 − 9 = 𝑥 2 − 7𝑥 + 3

↔ 2𝑥2 + 23𝑥 − 11 = 𝑥 2 − 7𝑥

↔ 2𝑥2 + 30𝑥 − 11 = 𝑥 2

↔ 𝑥 2 + 30𝑥 − 11 = 0

Jadi bentuk umum persamaan kuadrat 2𝑥 2 + 23𝑥 − 9 = 𝑥 2 − 7𝑥 + 3 adalah 𝑥 2 + 30𝑥 −

11 = 0.

b) Menentukan Akar Persamaan Kuadrat

Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara yaitu :

1. Memfaktorkan

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

3. Rumus ABC

1) Memfaktorkan

REMIND ME

Masih ingatkah kalian dengan perkalian bentuk aljabar?

Mari kita perhatikan contoh berikut ini.

Perkalian bentuk aljabar

𝑥(𝑥 + 9) = 𝑥 2 + 9𝑥 (𝑥 + 2)(𝑥 − 5) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 2𝑥 − 10

(𝑥 + 2)(𝑥 − 5) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 10

Bagaimana jika sebaliknya ????

𝑥 2 + 9𝑥 = 𝑥(𝑥 + 9) 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 5)

Nah bentuk diatas yang disebut memfaktorkan.

AYO KITA AMATI

Berikut adalah langkah untuk memfaktorkan persamaan kuadrat jika 𝒂 = 𝟏.

Jika kita mempunyai persamaan kuadrat 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, dan p,q adalah bilangan bulat

maka hasil pemfaktorannya adalah (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞).

(𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞) = 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞

= 𝑥 2 + (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞

Sehingga persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ekivalen dengan 𝑥 2 + (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞.

Jadi dapat kita simpulkan bahwa 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑝. 𝑞 = 𝑐.

Contoh 1.b :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = 0.

Penyelesaian :

Mencari dua bilangan yang merupakan faktor dari 8 dan jika kedua bilangan dijumlahkan

menghasilkan 6. Jika bilangan itu p dan q maka 𝑝. 𝑞 = 8 𝑑𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞 = 6.

Jadi kita peroleh 𝑝 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑞 = 4

Sehingga persamaan kuadrat 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = 0

dapat difaktorkan sebagai berikut :

𝑥2 + 6𝑥 + 8 = 0

𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = 0

P Q 𝑝 + 𝑞 𝑝. 𝑞

1 8 9 8

2 4 6 8

-1 -8 -9 8

-2 -4 -6 8

(𝑥 + 2)(𝑥 + 4) = 0

𝑥 = −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {−4, −2}.

Contoh 2.b :

Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0

Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0 atau x – 1 = 0

x = 3 atau x = 1

Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0

adalah 3 dan 1.

Contoh 3.b :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x –

2)2 = x – 2.

Jawab: (x – 2)2 = x – 2

x2 – 4 x + 4 = x – 2

x2 – 5 x + 6 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0 atau x – 2 = 0

x = 3 atau x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3

, 2}.

Contoh 4.b :

Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6

= 0.

Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 0

2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0

2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(x + 2) (2 x + 3) = 0

x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0

x = –2 atau x = – 1

Jadi, penyelesaiannya adalah –2 dan –1.

Cara memfaktorkan persamaan kuadrat jika 𝒂 ≠ 𝟏.

Untuk mengetahui bagaimana caranya mencari akar-akar persamaan kuadrat jika 𝑥 2 + 𝑏𝑥 +

𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 1. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 5.b :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari 2𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0 !

Penyelesaian :

Kita mencari dua bilangan jika dikalikan hasilnya 𝑎. 𝑐 dan jika dijumlahkan hasilnya b.

Didalam soal 𝑎. 𝑐 = 2. (−3) = −6 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 1.

Kita peroleh kedua bilangan tersebut adalah −2 𝑑𝑎𝑛 3.

2𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 2𝑥 2 + ⋯ − 3

= 2𝑥 2 − 2𝑥 + 3𝑥 − 3 jabarkan x menjadi −𝟐𝒙 + 𝟑𝒙

= (2𝑥 2 − 2𝑥) + (3𝑥 − 3) beri tanda kurung

= 2𝑥(𝑥 − 1) + 3(𝑥 − 1) faktokan bentuk aljabar didalam kurung

= (2𝑥 + 3)(𝑥 − 1) gunakan sifat distributif

Sehingga dapat diselesaikan sebagai berikut :

2𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0

(2𝑥 + 3)(𝑥 − 1) = 0

𝑥 = −3

2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {−3

2, 1}.

2) Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi

Ada beberapa langkah, yaitu :

1. Koefisien x2 harus 1

2. Konstanta pindah ke ruas kanan x2 + mx = n

3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q

Contoh 6.b :

Tentukan himpunan penyelesaian dari 𝑥 2 + 8𝑥 + 12 = 0!

(x + p)2 = q

Penyelesaian :

𝑥 2 + 8𝑥 + 12 = 0

𝑥 2 + 8𝑥 = −12

𝑥 2 + 8𝑥 + (1

2. 8)

2

= −12 + (1

2. 8)

2

𝑥 2 + 8𝑥 + 16 = −12 + 16

(𝑥 + 4)2 = 4

(𝑥 + 4) = ±√4

(𝑥 + 4) = ±2

𝑥 = 2 − 4 = −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −2 − 4 = −6

Jadi himpunan penyelesaiannya {−6,−2}

Contoh 7.b :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.

Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0

x2 – 6 x + 9 – 4 = 0

x2 – 6 x + 9 = 4

(x – 3)2 = 4

x – 3 = 2 atau x – 3 = –2

x = 5 atau x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

3) Menggunakan Rumus Kuadratik

Selain menggunakan pemfaktoran, mencari akar-akar persamaan kuadrat 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 +

𝒄 = 𝟎 adalah dengan menggunakan rumus kuadratik atau biasa disebut rumus abc. Rumus

kuadrat dapat diturunkan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut :

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

kedua ruas ditambah –c, maka menjadi :

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Kedua ruas dibagi dengan a

𝑎𝑥 2

𝑎+

𝑏𝑥

𝑎=

−𝑐

𝑎↔ 𝑥 2 +

𝑏𝑥

𝑎=

−𝑐

𝑎

Lengkapkan kuadrat pada ruas kiri, dengan cara menambahkan (𝑏

2𝑎)

2

pada kedua ruas, maka

diperoleh:

𝑥 2 +𝑏𝑥

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)

2

=−𝑐

𝑎+ (

𝑏

2𝑎)

2

Nyatakan ruas kiri ke dalam bentuk kuadrat sempurna, yaitu :

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=−𝑐

𝑎+

𝑏2

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

= − 4𝑎𝑐

4𝑎2+

𝑏2

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±√

𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±

√𝑏2 − 4𝑎𝑐

√4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±

√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 = −𝑏

2𝑎±

√𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Jadi rumus akar-akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 adalah

Contoh 8.b :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara menggunakan rumus kuadrat 6𝑥 2 − 5𝑥 +

1 = 0.

Penyelesaian :

6𝑥 2 − 5𝑥 + 1 = 0

𝑎 = 6, 𝑏 = −5, 𝑐 = 1

𝒙𝟏,𝟐 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝑥1,2 =−(−5) ± √(−5)2 − 4.6.1

2.6

𝑥1,2 =5 ± √25 − 24

12

𝑥1,2 =5 ± √1

12

𝑥1,2 =5 ± 1

12

Jadi diperoleh 𝑥1 =5+1

12=

6

12=

1

2 dan 𝑥2 =

5−1

12=

4

12=

1

3. Himpunan penyelesaian {

1

3,

1

2}

Contoh 9.b :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara menggunakan rumus kuadrat 11𝑥 2 +

9𝑥 − 17 = 0.

Penyelesaian :

11𝑥 2 + 9𝑥 − 17 = 0

𝑎 = 11, 𝑏 = 9,𝑐 = −17

𝒙𝟏,𝟐 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝑥1,2 =−(9) ± √(9)2 − 4.11.17

2.11

𝑥1,2 =−9 ± √81 − 748

22

𝒙𝟏,𝟐 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝑥1,2 =−9 ± √667

22

Jadi diperoleh 𝑥1 =−9+√667

22 dan 𝑥2 =

−9−√667

22. Himpunan penyelesaian {

−9+√667

22,

−9−√667

22}

Latihan 1

1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:

a. x2 – 3x + 2 = 0

b. 3x2 – 9x = 0

c. 6x2 – 13x + 6 = 0

d. 5p2 + 3p + 2 = 0

e. 9x2 – 3x + 25 = 0

2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian

tentukanlah akar-akarnya!

a. 2x – x(x + 3) = 0

b. (x – 3) (x + 2) – 2x2 + 12 = 0

c. (x – 3)2 + 2(x – 3) – 3 = 0

3. Salah satu akar x2 – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!

4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x2 + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang

lain!

5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang

dengan panjang dan lebar berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2. Hitunglah

panjang dan lebar kartu nama itu!

c) Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Dari rumus kuadratik tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh

nilai 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄. Bentuk 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dan dilamangkan dengan huruf D, sehingga 𝐷 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄.

Pemberian nama/istilah diskriminan 𝐷 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄, dikarenakan nilai 𝐷 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 ini

yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis-jenis akar persamaan kuadrat. Jadi kegunaan

diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut :

Contoh 1.c :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat x2

+ 5 x + 2 = 0

Penyelesaian :

x2 + 5 x + 2 = 0

a = 1 , b = 5 , c = 2

D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan

Contoh 2.c :

Tentukan nilai k agar persamaan kuadrat kx2 + 3x + k = 0 mempunyai 2 akar sama/kembar

1) 𝐷 > 0 maka D merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat

mempunyai dua akar real berlainan.

2) 𝐷 = 0 maka nilai D sama dengan nol, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua

akar real yang sama (akar kembar).

3) 𝐷 < 0 maka D merupakan bilangan yang tak real (imajiner),maka persamaan kuadrat

tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real

(imajiner).

Penyelesaian :

Syarat akar kembar D = 0, maka

𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 32 − 4𝑘𝑘

0 = 9 − 4𝑘2

4𝑘2 = 9

𝑘 = ±√9

4

𝑘 = ±3

2

Jadi agar persamaan kuadrat mempunyai akar kembar 𝑘 = ±3

2

Contoh 3.c :

Tentukan m agar persamaan kuadrat berikut x2 − 2x + (m + 1) = 0 Tidak mempunyai

akar nyata.

Penyelesaian :

Syarat tidak mempunyai akar nyata D < 0, maka

b2 − 4ac < 0

22 − 4.1. (m + 1) < 0

4 − 4𝑚 − 4 < 0

−4𝑚 < 0

𝑚 < 0

jadi agar persamaan kuadrat tidak mempunyai akar nyata 𝑚 < 0.

Latihan 2

1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat

berikut ini:

a. x2 + 6x + 6 = 0

b. x2 + 2x + 1 = 0

c. 2x2 + 5x + 5 = 0

d. –2x2 – 2x – 1 = 0

e. 6t2 – 5t + 1 = 0

f. 4c2 – 4c + 3 = 0

2. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama

(kembar)!

a. 4x2 + 8px + 1 = 0

b. 4x2 – 4px + (4p – 3) = 0

c. px2 – 3px + (2p + 1) = 0

3. Persamaan x2 – 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!

4. Buktikan bahwa persamaan x2 – px – (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real berlainan!

5. Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!

d) Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 mempunyai akar 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 dari rumus kuadratik

𝑥1 =−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 dan 𝑥2 =

−𝑏 −√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎 dapat di tentukan :

a. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏 +√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎+

−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−2𝑏

2𝑎

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎

b. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

𝑥1 . 𝑥2 = (−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎) (

−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎)

𝑥1 . 𝑥2 =(−𝑏)2 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏√𝑏2 − 4𝑎𝑐 − (𝑏2 − 4𝑎𝑐)

4𝑎2

𝑥1 . 𝑥2 =𝑏2−𝑏2 +4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥1 . 𝑥2 =4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥1 . 𝑥2 =𝑐

𝑎

𝑗𝑎𝑑𝑖

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎

𝑗𝑎𝑑𝑖

𝑥1 . 𝑥2 =𝑐

𝑎

Contoh 1.d :

Akar-akar 2𝑥 2 − 5𝑥 + 4 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan

tersebut hitunglah 𝑥12 + 𝑥2

2.

Penyelesaian :

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎=

−(−5)

2=

5

2 , 𝑥1 . 𝑥2 =

𝑐

𝑎=

4

2= 2

𝑥12 + 𝑥2

2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 − 2𝑥1 . 𝑥2 = (5

2 )

2

− 2.2 =25

4− 4 =

25 − 16

4=

9

4=

3

2

Contoh 2.d :

Persamaan kuadrat −2𝑥 2 + 4𝑥 − 5 mempunyai akar-akar 𝛼 𝑑𝑎𝑛 𝛽.

Tentukan :

a. 𝛼 + 𝛽

b. 𝛼. 𝛽

c. 𝛼2 + 𝛽2

d. 𝛼3 + 𝛽3

e. 1

𝛼+

1

𝛽

f. 1

(𝛼+2)+

1

(𝛽+2)

Penyelesaian :

−2𝑥 2 + 4𝑥 − 5

𝑎 = −2 ,𝑏 = 4 , 𝑐 = −5

a. 𝛼 + 𝛽 =−𝑏

𝑎=

−4

−2= 2

b. 𝛼. 𝛽 =𝑐

𝑎=

−5

−2=

5

2

c. 𝛼2 + 𝛽2 = (𝛼 + 𝛽)2 − 2𝛼. 𝛽

= 22 − 2.5

2

= 4 − 5

= −1

d. 𝛼3 + 𝛽3 = (𝛼 + 𝛽)3 − 3𝛼. 𝛽(𝛼 +

𝛽)

= 23 − 3.5

2. 2

= 8 − 15

= −7

e. 1

𝛼+

1

𝛽=

𝛼+𝛽

𝛼.𝛽=

2

5/2=

4

5

f. 1

(𝛼+2)+

1

(𝛽+2)

=(𝛽 + 2) + (𝛼 + 2)

(𝛼 + 2)(𝛽 + 2)

=(𝛼 + 𝛽) + 4

𝛼. 𝛽 + 2𝛼 + 2𝛽 + 4

=(𝛼 + 𝛽) + 4

𝛼. 𝛽 + 2(𝛼 + 𝛽) + 4

=2 + 4

52 + 2(2) + 4

=6

212

=12

21

=4

7

e) Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

1. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai (x

– x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika

akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.

Contoh 1.e :

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.

Penyelesaian :

(x – x1) (x – x2) = 0

(x – 3) (x – (-2)) = 0

(x – 3) (x + 2) = 0

x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0

x2 – x – 6 = 0.

Jadi persamaan kuadrat yag terbentuk adalah x2 – x – 6 = 0.

Contoh 2.e :

Susunlah Persamaan kuadrat baru (PKB) yang akar-akarnya adalah

a. 2 dan 7 => PKB = (x - 2) (x -7)

= x2 - 9x +14

b. -3 dan -4 => PKB = {x-(-3)} {x-(-4)}

= (x+3) (x+4)

= x2 + 7x + 12

c. -7 dan 2 => PKB = {x-(-7)} (x-2)

= (x+7) (x-2)

= x2 + 5x – 14

2. Menyusun persamaan kuadrat baru dengan menggunakan jumlah dan hasil kali

akar-akar persamaan kuadrat

Dengan menggunakan 𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎 dan 𝑥1 .𝑥2 =

𝑐

𝑎 maka akan diperoleh persamaan sebagai

berikut :

Contoh 3.e :

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0.

Penyelesaian :

𝑎 = 2 ,𝑏 = −3 ,𝑐 = 1

𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎=

−(−3)

2=

3

2

𝑥1 . 𝑥2 =𝑐

𝑎=

1

2

• Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan

kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2

a + b = 2(x1 + x2) = 2. 3

2= 3

a. b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . 1

2= 2

Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:

x2 – (a + b)x + ab = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 3x + 2 = 0.

𝒙𝟐 − (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)𝒙 + 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 = 𝟎

Contoh 4.e:

1. Susunlah Persamaan Kuadrat baru yang akar2nya adalah 2+√5 dan 2-√5!

Jawaban : x1 + x2 = (2+√5) +(2-√5) = 4

x1.x2 = (2+√5) (2-√5) = -1

Jadi, PKB => x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

=> x2 - 4x - 1 = 0

2. x1 dan x2 adalah akar2 persamaan kuadrat x2 - 2x + 5 = 0. Susunlah persamaan kuadrat

baru yang akar2nya 3 lebihnya dari akar2 persamaan kuadrat yang diletahui.

Jawaban : x1 + x2 = -b/a = 2 dan x1.x2 = c/a = 5

x1 = (x1 + 3) dan x2 = (x2 + 3)

maka, x1 + x2 = (x1 + 3) + (x2 + 3) dan x1.x2 = (x1 + 3) (x2 + 3)

= (x1 + x2) + 6 = x1.x2 + 3(x1+x2) + 9

= 2 + 6 = 5 + 3.2 + 9

= 8 = 20

Jadi, PKB => x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

=> x2 - 8x + 20 = 0

LATIHAN 3

1. Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan

tersebut, hitunglah nilai:

a. x1 + x2

b. x1.x2

c. x12 + x2

2

d. x13 + x2

3

2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.

3. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar

persamaan x2 – 2x + 3 = 0.

4. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 =

0 .

B. FUNGSI PERSAMAAN KUADRAT

Domain (Daerah Asal), Kodomain (Daerah Kawan) , dan Range (Daerah Hasil)

a) Pengertian Domain, Kodomian, Range

Misalkan fungsi f memetakan setiap anggota himpunan A ke himpunan B.

a. Himpunan A disebut dengan daerah asal atau domain atau prapeta fungsi f

b. Himpunan B disebut dengan daerah kawan atau kodomain fungsi f

c. Himpunan yang beranggotakan himpunan B yang dipasangkan dengan anggota

himpunan A disebut dengan daerah hasil atau range atau peta fungsi f.

Contoh 1:

Tentukan domain (daerah asal) fungsi-fungsi berikut.

a. F(x) = 4x+1

b. F(x) =√𝑥 − 16

c. F(x) = 5

5−𝑥

Jawab :

a. Untuk sembarang x bilangan real , f(x) = 4x+1 akan bernilai real atau terdefinisi.

Jadi domainnya adalah x € R atau DF = { X | X € R }

b. Fungsi f(x) = √𝑥 − 16 akan terdefinisi jika bilangan di dalam tanda akar tidak bernila

negatif

x-16 ≥ 0 x ≥ 16

dengan demikian , domain dari f adalah Df = {x | x ≥ 16}

c. Fungsi pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol. Oleh karena

itu,

5 – x ≠ 0 atau x ≠5

Jadi domainnya {x |x € R, x ≠5}

b) Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi f pada himpunan bilangan real R yang ditentukan oleh rumus 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 +

𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0 dinamakan fungsi kuadrat dengan peubah x. Jika f(x) =

0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi

persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.

c) Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Contoh 2:

Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7

Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f

2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

3. Jawab:

Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x2 – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

Bentuk umum fungsi kuadrat:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0

x = 7 atau x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1

Untuk x = 0 maka f(0) = –7

x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9

d) Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:

i. titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.

ii. titik balik atau titik puncak parabola.

iii. Persamaan sumbu simetri.

Berikut ini adalah penjelasan dari langkah- langkah di atas :

i. Titik potong Grafik dengan Sumbu X dan Sumbu y

a) Titik Potong Grafik dengan Sumbu X

Titik potong grafik dengan sumbu x diperoleh jika y= 0, sehingga 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

merupakan kuadrat dalam x.

Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu

x. Nilai diskriminan persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ,yaitu 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 menentukan

banyak titik potong grafik dengan sumbu x.

b) Titik Potong Grafik dengan Sumbu y

Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika 𝑥 = 0, sehingga

1. Jika D > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.

2. Jika D = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berimpit.

Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu x.

3. Jika D < 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu

x.

𝑦 = 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 ↔ 𝑦 = 𝑐

Jadi titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0,𝑐).

c) Titik balik atau titik puncak dan persamaan sumbu simetri

Cara 1 :

Mencari nilai 𝑥𝑝 menggunakan 𝑥𝑝 =−𝑏

2𝑎

Untuk mencari 𝑦𝑝, substitusikan nilai 𝑥𝑝 =−𝑏

2𝑎 ke 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2𝑏𝑥 + 𝑐

Cara 2 :

Menggunakan rumus untuk menentukan titik (𝑥𝑝 ,𝑦𝑝) = (−𝑏

2𝑎,

𝑏2−4𝑎𝑐

−4𝑎) atau (𝑥𝑝 , 𝑦𝑝) =

(−𝑏

2𝑎,

𝐷

−4𝑎)

Cara 3 : menggunakan turunan (titik puncak = titik stationer)

d) Pilih beberapa nilai x kemudian carilah nilai y nya dengan menstubstitusikan nilai x

pada fungsi

e) Buat daftar nilai f dalam table seperti dibawah ini :

x

y

(x,y)

f) Gambarlah titik-titik (x,y) pada bidang koordinat.

Dengan memperlihatkan nilai D dari suatu fungs kuadrat 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, ada 6

kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu x, yaitu sebagai berikut :

Contoh :

Gambarlah sketsa grafik −𝑥 2 + 2𝑥 − 1 !

Penyelesaian :

Grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥 − 1 adalah sebuah parabola.

𝑎 = −1 ,𝑏 = 2 ,𝑐 = −1

Titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y

a) Titik potong grafik jika 𝑦 = 0

−𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 0

Kedua ruas dikalikan dengan −1, menjadi :

−𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0

(𝑥 − 1)(𝑥 − 1) = 0

𝑥 = 1

Jadi diperoleh titik potong (1,0) atau grafiknya menyinggung sumbu x di (1,0)

b) Titik potong grafik jika 𝑥 = 0

Ini berarti 𝑦 = −(0)2 + 2(0) − 1 = −1

Jadi diperoleh titik potong (0, −1)

c) Koordinat titik balik

𝑥𝑝 =−𝑏

2𝑎=

−2

2(−1)= 1

Oleh karena 𝑎 = −1 < 0, maka p merupakan titik balik maksimum, sehingga

parabolanya terbuka ke bawah.

d) Persamaan sumbu simetri adalah 𝑦𝑝𝑏2−4𝑎𝑐

−4𝑎=

22 −4 (−1)(−1)

−4(−1)= 0

e) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥 − 1

x 0 1 2

y -1 0 -1

(x,y) (0,−1) (1,0) (2,−1)

f) Jadi sketsa grafiknya sebagai berikut :