persamaan diferensial orde satu dan dua
Post on 07-Aug-2018
241 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
1/29
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE
SATU
TRAYEKTORI
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE N
DENGAN OPERATOR D
TRANSFORMASI LAPLACE
Adapted dari Kalkulus Diferensial. pdf
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
2/29
Kalkulus Diferensial
Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan.Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifatfungsi yang mendekati nilai input.
Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunanpada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik
fungsi pada titik tersebut.
Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukanpendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation).
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa
pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
3/29
Persamaan diferential
Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsidengan turunan-turunannya.
Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensialyang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannyaterhadap variabel itu sendiri.
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yangmenghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable keturunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalamsains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri.
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
4/29
Persamaan diferential
Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsidengan turunan-turunannya.
Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang
menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel
itu sendiri
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang
menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan
parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model
matematika, dan dalam matematika itu sendiri.
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
5/29
Persamaan diferensial parsial
Sebagai contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara
percepatan dengan posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa:
Teorema nilai purata
Teorema nilai purata memberikan hubungan antara nilai dari turunan dengan nilai
dari fungsi asal. Jika f ( x ) adalah fungsi yang bernilai real dan a dan b adalah
bilangan dengan a < b, maka teorema nilai purata mengatakan bahwa kemiringan
antara dua titik (a, f (a)) dan (b, f (b)) adalah sama dengan kemiringan garis singgungf di titik c di antara a and b. Dengan kata lain:
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
6/29
Teorema nilai purata
Dalam prakteknya, teorema nilai purata ini mengontrol sebuah fungsi terhadap
turunannya. Sebagai contoh, misalkan f memiliki turunan yang sama dengan nol di
setiap titik, maka fungsi tersebut haruslah horizontal.
Teorema nilai purata membuktikan bahwa hal ini haruslah benar, bahwa
kemiringan antara dua titik di grafik f haruslah sama dengan kemiringan salah satu
garis singgung di f . Semua kemiringan tersebut adalah nol, jadi garis sembarang
antara titik yang satu dengan titik yang lainnya di fungsi tersebut memiliki
kemiringan yang bernilai nol.
Namun hal ini juga mengatakan bahwa fungsi tersebut tidak naik maupun turun.
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
7/29
CONTOH-CONTOH PERSAMAAN
DIFERENSIAL BIASA BERORDE 1, 2, 3
+2 sin = 0
+ 3
2 = 0
+
= 0
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
8/29
1. Persamaan Linear Orde Pertama
Suatu persamaan yang mengandung satu atau
beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak
diketahui kita sebut persamaan diferensial.
Khususnya, suatu persamaan berbentuk: (Varberg,Purcell)
,, , … . . , = 0
Dengan
menyatakan turunan terhadap yang ke- , disebut persamaan diferensial biasaberorde n.
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
9/29
Persamaan Linear Orde Pertama yang
Umum
Persamaan-persamaan yang sering kita pandangdapat dibuat dalam bentuk
+ = ()
Pada prinsipnya, suatu persamaan jenis ini selalu dapatdiselesaikan. Pertama-tama kita mengalikan keduaruas dengan faktor integral
Yang menghasilkan
+
= ()
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
10/29
Persamaan Linear Orde Pertama yang
Umum
Persamaan yang digunakan adalah
+ = ()
Pada prinsipnya, suatu persamaan jenis ini selaludapat diselesaikan. Pertama-tama kita mengalikankedua ruas dengan faktor integral
Yang menghasilkan
+
= ()
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
11/29
Pengerjaan Pers. Diferensial
Cara Pengerjaan.
Tentukan faktor Integral nya terlebih dahulu dari
persamaan diferensial tsb.
Kemudian kedua ruas persamaan dikalikan dengan
faktor integral tsb.
Ruas kiri yaitu
+
dikenal sebagai turunan dari = ,sehingga persamaan mengambil bentuk
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
12/29
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
13/29
Telaah Ulang Konsep
1. Persamaan diferensial linier orde pertama yang
umum mempunyai bentuk + = . Faktor integral untuk persamaan ini adalah
______ 2. Dengan mengalikan kedua ruas persamaan
diferensial orde pertama dalam Pertanyaan 1
dengan faktor integral membuat ruas kiri
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
14/29
Telaah Ulang Konsep (2)
Faktor Integral untuk (1 ) = adalah = −
=
;
= 1
Untuk mendapatkan faktor integral
Gunakan tabel formula atau rumus integraldiadaptasi di buku Kalkulus Edisi ke 2 Purcell.
Dapat dipelajari juga pada bab Integral Tak Wajar
pada materi matematika 2. Rumusan Integral yangdigunakan dalam pengerjaan tugas yaitu rumus no63.
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
15/29
Tambahan Penjelasan Integral Lipat
Dalam pengerjaan atau perhitungan Luas daerah
ataupun luas permukaan, volume, diperlukan sketsa
grafik persamaan.
Penjelasan selengkapnya tentang menggambarkangrafik suatu persamaan dibahas di Matematika 1.
Pada slide berikut terdapat sedikit redaksional
penjelasannya.
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
16/29
Prosedur tiga langkah (penggambaran
grafik)
Langkah 1 : Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titikyang memenuhi persamaan
Langkah 2 : Plotlah titik-titik tersebut pada bidang
Langkah 3 : Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah
kurva mulus.Contoh 1. pp 25. Gambarkan grafik persamaan = 3 Penyelesaian :
1. Buatlah tabel nilai2. Plot titik – titik tersebut
3. Hubungkan titik-titik ini dengan kurva mulus
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
17/29
PERSAMAAN HOMOGENORDE KEDUAMatematika 3
Universitas Balikpapan
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
18/29
Definisi
11/12/2015By Martheana Kencanawati, M.T
18
Suatu persamaan diferensial linear orde kedua mempunyaibentuk ′′ + ′ + = () Dalam sub bab ini, kita membuat dua anggapan
1. dan adalah konstanta2. () secara identik adalah nol (kasus homogen)Jadi tugas kita menyelesaikan
" + ′ + = 0
Dalam kenyataannya, suatu persamaan linier homogen ordekedua selalu mempunyai dua penyelesaian mendasar () dan () yang saling bebas satu sama lain (yakni fungsiyang satu bukan kelipatan fungsi yang lain)
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
19/29
Persamaan Bantu
11/12/2015By Martheana Kencanawati, M.T
19
Dari kelinieran operator
+ + Persamaan Bantu () =
1. + + = 0 + + = () + D() +
= + + = ( + + )
Ekspresi yang terakhir adalah nol, asalkan
2. + + = 0, persamaan 2 adalah persamaan bantu (persamaankuadrat biasa yang bisa diselesaikan dengan pemfaktoran atau jika perludengan rumus kuadrat)
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
20/29
Diadaptasi dari Kalkulus Jilid 2 pp 612, Penyelesaian dari
persamaan diferensial dengan menggunakan persamaan
bantu.
11/12/2015By Martheana Kencanawati, M.T
20
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
21/29
Penyelesaian dari persamaan diferensial dengan menggunakan
persamaan bantu diselesaikan dengan Rumus Kuadrat
11/12/2015By Martheana Kencanawati, M.T
21
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
22/29
Tugas tambahan
11/12/2015By Martheana Kencanawati, M.T
22
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
23/29
11/12/2015By Martheana Kencanawati, M.T
23
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
24/29
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
25/29
11/12/2015By Martheana Kencanawati, M.T
25
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
26/29
Contoh soal pengerjaan jika persamaan bantu menpunyai akar-akar kompleks
Pp 614 Kalkulus. Jilid 2
11/12/2015By Martheana Kencanawati, M.T
26
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
27/29
Persamaan Orde Lebih Tinggi
11/12/2015By Martheana Kencanawati, M.T
27
Melihat contoh 5
Selesaikan4
4
20
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
28/29
Persamaan Linier Tak Homogen Umum Dengan
Koefisien Konstan
11/12/2015By Martheana Kencanawati, M.T
28
Persamaan dasarnya :
+ − + ⋯ . + −′ + = Persamaan ini dapat direduksi menjadi 3 langkah
1. Tentukan penyelesaian umumℎ= + +……+
2. Tentukan suatu penyelesaian khusus terhadappersamaan tak homogen tersebut
3. Tambahkan penyelesaian 2 dari langkah 1 dan 2
-
8/20/2019 Persamaan Diferensial Orde Satu Dan Dua
29/29
top related