penggunaan integral elektro udayana
Post on 02-Jun-2018
236 Views
Preview:
TRANSCRIPT
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 1/31
Indra Gunawan
PENGGUNAAN INTEGRAL
1. Pengertian
Tujuannya adalah mencari luasdaerah yang diarsir yang dibatasileh !ur"a y=f(x), sumbu x dan
ordinat di x=a dan x=b.
#isal!an P$ x,y% adalah sebuahtiti! &ada !ur"a y=f(x) danmisal!an A x menyata!an luas
dibawah !ur"a yang dibatasinyadiu!ur dari sebuah titi! di !iri!ur"a
'i!a &ita di&tng setinggi P(ma!a da&at dilihat bahwa luasan &ita secara &ende!atan samadengan luas segi em&at dimanasegitiga P)R diangga& !ecil jadidiabai!an.Luas &ita * δ A+ ≈ y.δ +
atau y x A x ≈δ δ
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 2/31
$a% $b%
'i!a ruas !anan dan !iri diintegrasi ma!a
dida&at sbb ,
'i!a A x * ∫ dx y menyata!an luas daerah sam&ai !e titi! P$ x,y%.
-
'i!a hasil &ertama !urangi dengan hasil !edua( a!an di&erleh luas !ur"a
diantara erdinat x = a dan x=b.
'i!a &rses diterus!an bidang gb.a di&enggal sebanya!nyamenjadi gb. b sehingga → xδ
a!hirnya !esalahan daerah yang
diarsir ini hilang ma!a
dx
dA
x
A x x →δ
δ
ydx
dA x =∴ $bu!an &ende/
!atan lagi%
da&at diabai!an
a) 'i!a subsitusi!an x=b,
di&erleh luas daerahsam&ai !e titi! L yaituAb * ∫ dx y dgn x=b.
b) 'i!a subsitusi!an x=a,
di&erleh luas daerahsam&ai !e titi! 0 yaituAa * ∫ dx y dgn x=a.
c x F
dx x f dx y A x
+=
== ∫ ∫ %$
%$
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 3/31
a dan b adalah harga batas integral .
. Luas 2idang 3atar
a. Luas di atas sumbu + misal!an %$ x f y =
adalah gra4i! diatas sumbu + dan f
!ntinu dan tida! negati4 &ada selang
b xa ≤≤ ( ma!a
∫ = b
adx x f R A %$%$
3imana daerah R dibatasi gra4i!
((%($ ==== Y b X a X x f y
b. Luas di bawah sumbu + misal!an
%$ x f y = adalah gra4i! diatas sumbu +
dan ∫ b
adx x f %$ * bil negati4 ma!a(
∫ −= b
adx x f R A %$%$
5nth ,Tentu!an luas daerah R dibawah !ur"a 67 +−= x x y antara x = /1 dan x
*
'awab ,
yaitu , A* ∫ ∫ == − %$%$ a xb x dx ydx y
bentu! ini ditulis sbb ,
∫ =b
a
dx y A
a b
y
+
y=f(x)
a b
y
+
y=f(x)
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 4/31
luas satuan
x x x
dx x x R A
8(17
1
9
17
1:
6
9
%$%$
1
79
1
67
=
−−−−
+−=
+−=
+−=
−
−∫
6. 3aerah Antara 3ua 0ur"a
0ur"a/!ur"a %$ x f y = dan %$ x f g = dengan %$%$ x f x g ≤ &ada selang b xa ≤≤
5nth ;al !e/1Tentu!an luas daerah antara !ur"a 7
1 x y = dan x x y −= dan s!etsa gambar
tersebut serta harga batasnya &ada sumbu x.
a. menentu!an harga batas.
⇔ y1 * y
⇔ 77 =+−⇒−= x x x x x x
⇔ %%$1%$$
=++− x x x x
⇔ 1( == x x ( x yang lain imaginer $tida! di&a!ai%
b. #enentu!an bentu! !ur"a ma!a nilai x disubsitusi !e&ersamaan y1
dan y
x y1 y
.9 .6< .7689.9 .:9 .89.89 .61:7 .<689
[ ]
[ ]dx x g x f A
x x g x f A
b
a∫ −=
∆−=∆
%$%$
%$%$
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 5/31
.< .:9:1 .<<1 1 1
3ari tabel di atas bila range dira&at!an dan dihubung!an titi!nya a!an
dida&at gambar sbb ,
c. Luas daerah yang dicari adalah &engurangan dari !ur"a atas
di!urangi !ur"a bawah.
( ) ( ) dx x x x A 71
∫ −−=⇔
dx x x x A 71
−−=⇔ ∫
1
96
19
8
9
1
6
11
96
satuan
x x x A
=−−=
−−=⇔
5nth ;al !e/
Tentu!an luas daerah yang dibatasi leh parabola x y 7 = dan garis
767 =− y x ( s!etsa serta harga batasnya &ada sumbu y.
a. menentu!an harga batas.
Pers. 1% x y 7 = atau
7
y x = (
Pers. % 767 += y x atau7
76 += y
x
Pers.1 * Pers.
#a!a , 76 += y y
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 6/31
⇔ 76 =−− y y
%1$%7$ =−−⇔ y y
1(7 −=⇔ y
b. #enentu!an bentu! !ur"a ma!a nilai x disubsitusi !e&ersamaan y1
dan dan y
y 7
y x =
7
76 += y
x
7 7 76 .9 6.9 1 .91 .9 1.89
1/1 .9 .9
3ari tabel di atas bila range dira&at!an dan dihubung!an titi!nya a!an
dida&at gambar sbb ,
c. Luas daerah yang dicari adalah &engurangan dari !ur"a atas
di!urangi !ur"a bawah.
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 7/31
dy y y
A ∫ −
−
+=⇔ 7
1
77
76
( ) dy y y A ∫ − −+=⇔ 7
1
76
7
1
7
1
6
67
6
7
1
−
−+= y
y y
+−−
−+=
6
17
6
6
:71:7
7
1
* 1.97
19 ≈ satuan
Persamaan Parametri!.
Persamaan selalu dengan cara yang sama dimana adalah lebih dari dua"ariabel. 5aranya selalu sama yaitu ,
1% Nyata!an x dan y dalam &arameter.
% Ubah "ariabelnya.
6% ;isi&!an batas/batas &arameternya.
5nth,
;uatu !ur"a memili!i &ersamaan &ametri! at yat x (
== . Tentu!an luasluas daerah yang dibatasi leh !ur"a tesebut( sumbu x( dan rdinat &ada t=1
dan t=.
'awab ,
∫ = b
adx y A ( a dan b adalah batas "ariabelnya.
3engan mengganti!an y dengan at ( dida&at!an
∫ = b
adxat A
Tida! da&at diintegrasi langsung 4ungsi t terhada& x( ma!a harus dirubah
"ariabel integrasinya sbb,
at x = dt at dxat dt
dx =∴=∴
dida&at!an ,∫ ∫ ==
1
1
7. dt t adt at at A
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 8/31
*
1
6
67
t a *
6
=
6
1
6
=7
a
a =
−
6. >arga mean $harga rata/rata%
!arga mean adalah rata"rata $a"erage% harga $tinggi% yang ditinjau. 3alam
mencari harga mean suatu 4ungsi %$ x f y = diantara x=a dan x=b yang da&at
dilihat &ada gambar di bawah. 'i!a mem&er!ira!an tinggi dari gambar dalam
diagram ma!a dida&at suatu harga #.
dan diberi!an sbb , #ab
A
Alas
#uas
−==
∴ # ∫ −=
b
adx y
ab
1
7. >arga R#;.
R#; * Rt #ean ;?uare !adang/!adang harga a!ar dari harga rata/rata.
rms * @$harga mean dari y atau
$rms% ∫ −=
b
adx y
ab
1
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 9/31
5nth ,
>itung harga mean dan rms dari 4ungsi 6 += x y di antara x=1 dan x=$.
a% #ean.
# ∫ +−= 6
1 %6$16
1dx x
6
1
6
6
17
66
1<
6
8
1
66
1
satuan
x x
=
+−
+=
+=
b% R#;.
$rms% ∫ −=
6
1
16
1dx y
( )∫ ++= 6
1
7 <:
1dx x x
6
1
69
<9
1
++= x x
x
++
−
++= <
9
1897
9
76
1 x
[ ] (9<.11=1:.7=
1 =−+=
rms :<7.81.9< == satuan
9. lume 2enda Putar
Benda Putar( dibentu! dengan memutar suatu bidang datar dise!eliling
sebuah garis( disebut sumbu &utar &ada bidang datar da&at di!etahui melalu
cara beri!ut ,
a. #etde 5a!ram.
3ibentu! dengan memutar suatu bidang datar se!eliling sebuah garis(
disebut sumbu putar &ada bidang datar.
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 10/31
'i!a bentu! bidang dibatasi leh !ur"a y=f(x)( sumbu x ( dan rdinat &ada
x=a dan x=b di&utar!an sutu &utaran &enuh mengelilingi sumbu x( ma!a
a!an di&erleh sebuah benda &utaran yang simetris terhada& BC se&erti
gambar di atas.
Untu! menda&at!an ( &ertama/tama tinjau dahulu sebuah &ita sem&it
dalam bentu! bidang semula.
lume yang dibentu! &ita tsb ≈ "lume yang dibentu! leh &ita &ersegi
&anjang yaitu x y% δ π δ .. 1≈ beru&a selinder &i&ih.
'i!a seluruh bentu! selinder dibagi/bagi menjadi sejumlah &ita( ma!a
setia& &ita a!an menghasil!an selindernya sendiri( masing/masing dengan
"lume x y δ π .. 1 lihat gambar beri!ut ,
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 11/31
∴ lume ttal ( ∑=
=≈
b x
a x
x y% δ π ..
2ila → xδ ma!a !esalahan yang ditimbul!an leh bagian atas luas
&ersegi &anjang da&at dihilang!an menjadi ,
∫ = b
adx y% ..
π
5nth sal ,
Tentu!an "lume benda &utar yang dibentu! leh daerah R yang dibatasi
leh !ur"a x y = ( sumbu + dan garis + * 7( dimima R di&utar mengelilingi
sumbu +.
Penyelesaian ,
∫ = b
adx y% ..
π ( dimana x y =
#a!a , ( )∫ =
7
.. dx x% π
*7
17
=∫ x
dx x π π
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 12/31
*
1:π
* 16.9= ≈π satuan6
b. #etde 5incin
5nth 1 ,
Tentu!an "lume benda &utar a&abila daerah yang dibatasi leh &arabla/
&arabla x y = dan x y =
= di&utar mengelilingi sumbu/ x. ;!etsa gambar
tersebut serta harga batasnya.
a. menentu!an harga batas.
⇔ y1 * y
⇔ x x = =
⇔ =7 =− x x
⇔ %=$ 6 =− x x
⇔ (= x dan %=$ 6 =⇒= x x
b. #enentu!an bentu! !ur"a ma!a nilai x disubsitusi !e&ersamaan y1
dan dan y
y x y = x y ==
7 71.9 .9 6.7:71 1 .==
.9 .9
;ebuah benda &utar di&tng/&tngtega! lurus &ada sum/bu &utarnya(ma!a di&erleh sebuah ca!ram yangditengah/tengah ada lubangnya.3aerah ini disebut Cincin.
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 13/31
3ari tabel di atas bila range dira&at!an dan dihubung!an titi!nya a!an dida&at
gambar sbb ,
5nth ,
>itung lume benda &utar daerah setengah ling!aran yang dibatasi leh
!ur"a 7 y x −= dan sumbu y di&utar mengelilingi garis x = /1
Penyelesaian ,
( ) ( )
( )
( ) 6
9
7
:.<7.:1:
9
17
=
=
satuan
x x
dx x x%
x x x%
π π
π
π
π
=−=
−=
−=
∆−≈∆
∫
c. Luas daerah yang dicari ,
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 14/31
'ari/jari luar cincin adalah 17 +− y ( sedang!an jari/jari dalam adalah 1.
hasilnya bila dis!etsa melalui &entabelan adalah sbb,
( )
[ ]
( )
( )
6
6
6
6
91.66
6
==
677
6
77
77
171
satuan
y y y
y
dy ydydy y
dy y y
dy y%
≈
−+=
−+−−=
−+−=
−+−=
−−+=
∫ ∫ ∫
∫
∫ −
π π
π
π
π
c. #etde 0ulit Tabung.
ma!a "lume tabung adalah ,
% * $ luas alas % . $ tinggi%
;ebuah !ulit tabung adalah sebuah bendayang dibatasi leh dua tabung ling!aran
tega! yang sumbu simetrinya berim&it( gbr.disam&ing.r 1= jari/jari tabung dalamr = jari/jari tabung luar & * tinggi tabung
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 15/31
( )
%$
.%$%$.
1
1
111
r r &r r
&r r r r &r r
−
+=
−+=−=
π
π π π
∴ % * D + $jari/jari rata/rata%+$tinggi%$tebal%
r r&% ∆= π
atau untu! lebih mudahnya &erhati!an gambar dibawah ini ,
3ari &rses ini da&at dihitung sebuah benda &utar !ulit tabung. Gb. dibawah
menunju!!an &rses tersebut &tngan jalur/jalur "erti!al di&utar mengelilingi sumbu y.
5nth 1 ,
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 16/31
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 17/31
6
6
6
6
1
6
6
satuan&r
&
&r
x
&
r
dx x&
r
dx x&r %
x x&
r %
&
&
&
π
π
π
π
π
π
=
=
=
=
=
∆
≈∆
∫
∫
. #etde 0ulit tabung.
6
6
6
1
6
6
1
satuan&r
r r &
r
y y&
dy yr
y&dy yr
&& y%
y yr
&& y%
r
r r
π
π π
π π
π
=
−=
−=
−=
−=
∆
−≈∆
∫ ∫
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 18/31
:. lume benda dengan Penam&ang Lintang yang di!etahui,
#etde ini membahas benda yang memili!i daerah/daerah ling!aran sebagai
&enam&ang/&enam&ang tega! yang berbentu! bujur sang!ar atau segitiga.
5nth 1 ,
;ebuah benda mem&unyai ling!aran alas yang berjari/jari 7 satuan. 5ari
"lume benda itu( ji!a setia& bidang irisan tega! lurus &ada garis tengah
yang teta&( meru&a!an segitiga sama sisi.
Penyelesaian ,
Ambil ling!aran se&erti gambar di bawah dengan sumbu/ x sebagai garis
tengah teta&.
Persamaan ling!arannya , .1: =+ y x
'i!a luas &enam&ang silang A25( yangterjadi leh suatu bidang tega! lurus &adasumbu/ x dan berjara! x satuan dari titi! asal( da&at dinyata!an sebagi 4ungsi x(
A$ x%( ma!a "lume benda diberi!an leh
∫ = b
adx x A% %$
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 19/31
Penam&ang melintang A' meru&a!an segitiga sama sisi dengan sisi y dan
luas %1:$66%$ x y x A −== .
#a!a ,
6
7
7
7
7
66
9:
6
1:7=6
61:6%1:$6
%1:$6%$
satuan
x xdx x
dx xdx x A% b
a
=
−=
−=−=
−==
∫
∫ ∫ −
5nth ,Alas sebuah benda adalah suatu daerah rata &ada !uadran &ertama yang
dibatasi leh 7E1 x y −= ( sumbu/ x dan sumbu/ y. Andai!an &enam&ang/
&enam&ang yang tega! lurus &ada sumbu + berbentu! bujur sang!ar.
Tentu!an "lume benda ini.
Penyelesaian.2ila di&tng/&tng benda tega! lurus &ada sumbu/ x a!an di&erleh
lem&engan ti&is sbb,
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 20/31
6
96
7
8.119
1:
=
6
:
=
=:
1:1
satuan
x x x
dx x x
%
≈=
+−=
+−=
+−= ∫
8. Panjang 0ur"a
#isal!an P adalah titi! $ x( y% dan ) adalah titi! &ada !ur"a di de!at P.
#isal!an &ula sδ * &anjang busur !ecil P).3ari rumus &hitagras diberi!an ,
( ) ( ) ( ) y x s δ δ δ +≈
'i!a masing/masing ruas dibagi dengan xδ ( ma!a
( )
( )
( )
( )
1 x
y
x
s
δ
δ
δ
δ +≈∴
1 +≈ ∴ x
y
x
s
δ
δ
δ
δ
+≈∴
1 x
y
x
s
δ
δ
δ
δ
ji!a F x→
+=
1
dx
dy
dx
ds
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 21/31
∫
+=∴
b
adx
dx
dy s
1
5nth ,Tentu!an &anjang !ur"a 6
x y = di antara x * dan x * 7( untu! cabang
y .
Penyelesaian ,
∫
+=∴
b
adx
dx
dy s
1
6 x y =∴ 6
x y =→ ( 1
6 x
dx
dy =∴ (7
<11
x
dx
dy+=
+∴
∫
+=∴
7
1
7
<1 dx
x s *
7
6
7
<1
<
7.
6
+
x
[ ] [ ] 8.<1:.618
=111
8
==−=−= satuan
Panjang 0ur"a / &ersamaan &arametri!.
Ft →( bentu! ini menjadi ,
+
=
∴
dt
dy
dt
dx
dt
ds→
+
=∴
dt
dy
dt
dx
dt
ds
∫ =
=
+
=∴
1
t t
t t dt
dy
dt
dx s dt
5nth ,
#isal!an %$%($ t F xt f y ==
3ari rumus sebelumnya ,( ) ( ) ( )
y x s δ δ δ +≈ bila !edua ruasdibagi dengan xδ dida&at(
+
≈
∴
t
y
t
x
t
s
δ
δ
δ
δ
δ
δ
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 22/31
Tentu!an &anjang !ur"a θ θ 66 sin(cs == y x diantara titi!/titi! yang
bersesuaian dengan H * dan H * D.
Penyelesaian,#engguna!an rumus yang sesuai dengan &arameter(
θ θ θ
π
d d
dy
d
dx s ∫
+
=∴
E
2ila(
θ 6
cs= x θ θ θ θ θ
sincs:%sin$cs: −=−=→
d
dx
θ θ θ
θ cssin:sin 6 =→=d dy y
∴
+
θ θ d
dy
d
dx* θ θ θ θ
77 cssin6:sincs6: +
* ( )θ θ θ θ sincscssin6: +
* θ θ cssin6:
θ θ θ θ θ
sin6cssin:
==
+
∴
d
dy
d
dx
ma!a dida&at!an ,
satuan
d s
6
1
16
cs6
sin6
=
−−
=
−=
=∴ ∫ π
π
θ
θ θ
=. Luas Permu!aan 2enda Putar.
Luas Permu!aan yang terbentu! leh &er&utaran busur y=f(x)( suatu !ur"a
!ntinu( se!eliling sebuah garis yang sebidang $sumbu%. 2ila !ur"a di&utar
&ada sumbu x diantara x=x1 dan x=x
ma!a luas &ermu!aan da&at ditentu!an dengan rumusan sbb,
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 23/31
Untu! menghitung luas &emu!aan ini ma!a &erlu di&enggal/&enggal se&erti
gambar beri!ut ,
ji!a F x → ( ma!adx
ds y
dx
dAπ ≈
;ebagaimana di!etahui &ada &erhitungan &anjang !ur"a( dimana
+=
1dx
dy
dx
ds( ma!a
+=
1dx
dy y
dx
dAπ
#a!a(
dxdx
dy y A
x
x∫
+=
1
1π
5nth ,
Tentu!an luas &ermu!aan yang terjadi ji!a busur &arabla x y = = (
'i!a sebuah elemen busur se/&anjang F ssatuan di&utar!an( ma!a a!an di&erlehsebuah &ita ti&is seluas FA. 3ida&at
s y A δ π δ .≈
3engan membagi !edua rumus di atas
dengan F x( dida&at!an x
s y
x
A
δ
δ π
δ
δ ≈
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 24/31
dengan > y ( di antara + * dan + * di&utar!an mengelilingi sumbu x.
Penyelesaian ,
∴ dxdxdy y A ∫
+=
1π
∴ x y = =
1
x y =⇒ ⇒ xdx
dy x
dx
dy
1
=
⇒= −
∴ x
x
xdx
dy 11
+=+=
+
∴ dx x
x x A ∫
+
=
1
π
dx x
x x∫
+=
1
1
1 %$
..7 π
dx x∫ +=
1
%$.7 π
E6
%$.7
6
+= xπ
* ( ) ( )[ ]=6
=−
π
[ ] [ ]61.86
=7=
6
= π π =−=
* :1.6 satuan6
Persamaan Parametri! Permu!aan Putaran
'i!a busur !ecil di&utar!an se&anjang F s( ma!a luas FA &ita !ecil yangterbentu! diberi!an leh(
s y A δ π δ .≈
0edua ruas dibagi dengan Ft ( di&erleh
t
s y
t
A
δ
δ π
δ
δ .≈
'i!a Ft →( hubungan ini menjadi
dt
ds y
dt
dA.π ≈
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 25/31
tinjau lagi &ersamaan &anjang !ur"a &arametri!(
+
=∴
dt
dy
dt
dx
dt
ds
ma!a(
+
=∴
dt
dy
dt
dx y
dt
dAπ
dt dt
dy
dt
dx y A ∫
+
=∴
1
θ
θ π
5nth ,
Tentu!an luas &emu!aan yang terbentu! ji!a busur !ur"a 6(6 t t xt y −== di
antara =t dan 1=t di&utar!an mengelilingi sumbu BC sebanya! D
radian.
Penyelesaian ,
6::6 t
dt
dyt
dt
dyt y =
→=→=∴
( )616666 t t
dt
dxt t x −=−=→−=∴
( )7
1< t t dt
dx+−=
∴
7
6:<1=< t t t dt
dy
dt
dx ++−=
+
( ) dt t t A
∫ ++=∴
1
1<6π
( ) ( )∫ ∫ +=+= 1
1
71=11= dt t t dt t t π π
9
7=
19
=1=
9
1
6
11=
961=
1
9π
π π π ==
+=
+ t t
satuan
<. #men( Pusat #asa $Titi! 2erat%
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 26/31
3ua massa( masing/masing sebesar m1 dan m yang dileta!!an &ada &a&an
seimbang dan berjara! d 1 dan d dari titi! &enyangga &ada bagian/bagian
berbeda $lihat gambar%
m1 m
d 1 d
m1 m
m
x
;yarat !eseimbangan adalah * .
m1 m m6 m7 mn/1 mn
x1 x x6 x7 xn/1 xn
'i!a !rdinat titi! seimbang x, dimana mmen sistem terhada& titi! ini
harus nl( bera&a !rdinat x titi! seimbang
( ( ( ...11 =−++−+− nn m x xm x xm x x
Atau
nnn m xm xm xm xm xm x +++=+++ ...... 111
ma!a di&erleh
Rumus seimbang ,11 md md =
'i!a bandmil berim&it dengan titi! asalma!a( !rdinat x1 dari m1 ada/lah x1*/d 1 dandari m adalah d x = ma!a diberi!an(
11 =+ m xm x
>asil!ali massa m dan jara! berara& darisuatu titi! tertentu dinama!an momen.
∑=
=+++=n
iiinn m xm xm xm x )
111 ...
Ini dinama!an pusat masa( titi! dengan!rdinat + ini adalah titi! seimbang yangdi&erleh sebagai hasil bagi mmen sistemterhada& titi! asal dan jumlah massa.
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 27/31
∑
∑
=
===n
ii
n
iii
m
m x
m
) x
1
1
3istribusi massa yang !ntinu &ada suatu garis
J x
a b
#a!a mmen terhada& titi! asal ,
∫ ∫
==b
a
b
a
x
x x
m
) x
%$
%$
δ
δ
3istribusi massa &ada 2idang
Perhati!an n massa titi! nmmm (...(( 1 yang terleta! &ada titi!/titi!
( ) ( ) ( )nn y x y x y x ((...(((( 11 &ada bidang yang memili!i sebuah sistem
!rdinat &ada gambar di bawah.
0rdinat/!rdinat y x ( titi! berat sistem tersebut adalah
1m
%($ 66 y x6m
%($ nn y x
%($ 66 y x
%($ y x
m
%($ 11 y x
'i!a !e&adatan di x adalah F$ x% dgn aturanK potong,&iri, integral* ma!a(
x xm ∆≈∆ %$δ x x x ) ∆≈∆ %$δ
∫ = b
adx xm %$δ ∫ =
b
adx x x ) %$δ
7m
%($ 77 y x
'umlah mmen y ) dan x ) masing/masing terhada& sumbu x dan sumbu yditentu!an sbb,
∑=
=n
i
ii y m x ) 1
∑=
=n
i
ii x m y ) 1
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 28/31
∑
∑
=
===n
ii
n
iii
y
m
m x
m
) x
1
1 ∑
∑
=
===n
ii
n
iii
x
m
m y
m
) y
1
1
#encari &usat massa $titi! berat% se&tng lem&eng ti&is yang rata dengan
mengangga& lem&engan ti&is $lamina% hmgen( berarti !e&adatan δ adalah
!nstan. Untu! suatu lem&engan hmgen si!u em&at &usat masa berim&it
dengan &usat gemetrinya se&erti gambar di bawah ini.
;e&tngan lamina$lem&engan ti&is% hmgen yang dibatasi leh
%$(( x f yb xa x ===
dan%$ x g y =( dengan
%$%$ x f x g ≤
.Ptnglah lamina ini menjadi jalur/jalur yang sejajar dengan sumbu y se&erti
gambar di bawah. 'alur ini dapat dianggap berbentu! segi empat ( sehingga
massa masing/masing jalur da&at diangga& ter&usat &ada gemetri &adanya.
0emudian &apirila& dan a!hirnya ji!a →∆ x ma!a da&at dintegral+an.
[ ] x x g x f m ∆−≈∆ %$%$δ [ ] dx x g x f m b
a∫ −= %$%$δ
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 29/31
[ ] x x g x f x ) y ∆−≈∆ %$%$δ [ ]dx x g x f x ) b
a y ∫ −= %$%$δ
[ ] x x g x f x g x f
) x ∆−+
≈∆ %$%$
%$%$δ [ ] dx x g x f x )
b
a x ∫ −= %$%$
δ
3engan cara ini a!an dihasil!an !rdinat titi! berat y x ( yaitu
m
) x
y= (m
) y x=
#a!a(
m
) x
y=[ ]
[ ]
[ ]
[ ] dx x g x f
dx x g x f x
dx x g x f
dx x g x f x
b
a
b
a
b
a
b
a
∫ ∫
∫ ∫
−
−=
−
−=
%$%$
%$%$
%$%$
%$%$
δ
δ
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] dx x g x f
dx x g x f
dx x g x f
dx x g x f
m
) y
b
a
b
a
b
a
b
a x
∫
∫
∫
∫ −
−=
−
−==
%$%$
%$%$
1
%$%$
%$%$
δ
δ
5nth ,
Tentu!an sentrid $titi! berat% daerah yang dibatasi 6 x y = dan x y = .
Penyelesaian ,
1. #encari batas integral ,
∴ x x =6 ⇒ 6 =− x x ⇒
: =− x x
∴ 1( 1 == x x
3engan memasu!!an nilai x &ada &ersamaan 6 x y = dan x y = sehingga
s!etsa gra4i! dida&at sebagai beri!ut ,
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 30/31
. Titi! sentrid
x
[ ]
[ ] dx x x
dx x x x
∫
∫ −
−
= 1
6
1
6
* 1
7E6
1
9E9
76
99
−
−
x x
x x
*1
9
91
* 9
1
( ) ( )[ ][ ] dx x x
dx x y
∫
∫ −
−=
1
6
1
66
1
= [ ]
[ ] dx x x
dx x x
∫
∫ −
−1
6
1
:
1
8
6
19
=9
19
8
11
8
==
−
=
x x
1. Pusat Gra"itas suatu benda &utaran
Untu! mencari &sisi &usat gra"itasi suatu benda yang terbentu! ji!a bentu!
bidang yang dibatasi leh !ur"a %$ x f y = ( sumbu x ( dan rdinat &ada a x =
dan b x = diputar+an mengelilingi sumbu x.
3ari &iringan/&iringan elementer
dijumlah!an mmen "lumenya
$massanya% terhada& sumbu B( ma!a
da&at dihitung x
( yaitu
∫ ∫
=b
a
b
a
dx y
dx xy x
( = y
8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana
http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 31/31
5nth ,Tentu!an &sisi &usat gra"itasi dari benda yang terbentu! ji!a bidang yang
dibatasi leh !ur"a 1: =+ y x ( sumbu x( dan rdinat &ada x * 1dan x * 6
di&utar mengelilingi sumbu x.
Penyelesaian ,
∫ ∫ =∴
6
1
6
1
dx y
dx xy x ( = y
∫ ∫ ∫ −=−=∴ 6
1
66
1
6
1
%1:$%1:$ dx x xdx x xdx xy
−−
−=
−=
7
1=
7
=18
7=
6
1
7 x
x 77:7 =−=
∫ ∫ −=∴ 6
1
6
1
%1:$ dx xdx y
( )
−−−=
−=6
11:<7=
61:
6
1
6 x x
6
16=
=<.1
6
16
77 ==∴ x M
!rdinatnya &usat gra"itasi adalah , ( )M=<.1
top related