penggunaan integral elektro udayana

8/10/2019 Penggunaan Integral elektro udayana

http://slidepdf.com/reader/full/penggunaan-integral-elektro-udayana 1/31

Indra Gunawan

PENGGUNAAN INTEGRAL

1. Pengertian

Tujuannya adalah mencari luasdaerah yang diarsir yang dibatasileh !ur"a y=f(x), sumbu x dan

ordinat di x=a dan x=b.

#isal!an P$ x,y% adalah sebuahtiti! &ada !ur"a y=f(x) danmisal!an A x menyata!an luas

dibawah !ur"a yang dibatasinyadiu!ur dari sebuah titi! di !iri!ur"a

'i!a &ita di&tng setinggi P(ma!a da&at dilihat bahwa luasan &ita secara &ende!atan samadengan luas segi em&at dimanasegitiga P)R diangga& !ecil jadidiabai!an.Luas &ita * δ A+ ≈ y.δ +

atau y x A x ≈δ δ



$a% $b%

'i!a ruas !anan dan !iri diintegrasi ma!a

dida&at sbb ,

'i!a A x * ∫ dx y menyata!an luas daerah sam&ai !e titi! P$ x,y%.

-

'i!a hasil &ertama !urangi dengan hasil !edua( a!an di&erleh luas !ur"a

diantara erdinat x = a dan x=b.

'i!a &rses diterus!an bidang gb.a di&enggal sebanya!nyamenjadi gb. b sehingga → xδ

a!hirnya !esalahan daerah yang

diarsir ini hilang ma!a

dx

dA

x

A x x →δ

δ

ydx

dA x =∴ $bu!an &ende/

!atan lagi%

da&at diabai!an

a) 'i!a subsitusi!an x=b,

di&erleh luas daerahsam&ai !e titi! L yaituAb * ∫ dx y dgn x=b.

b) 'i!a subsitusi!an x=a,

di&erleh luas daerahsam&ai !e titi! 0 yaituAa * ∫ dx y dgn x=a.

c x F

dx x f dx y A x

+=

== ∫ ∫ %$

%$



a dan b adalah harga batas integral .

. Luas 2idang 3atar

a. Luas di atas sumbu + misal!an %$ x f y =

adalah gra4i! diatas sumbu + dan f

!ntinu dan tida! negati4 &ada selang

b xa ≤≤ ( ma!a

∫ = b

adx x f R A %$%$

3imana daerah R dibatasi gra4i!

((%($ ==== Y b X a X x f y

b. Luas di bawah sumbu + misal!an

%$ x f y = adalah gra4i! diatas sumbu +

dan ∫ b

adx x f %$ * bil negati4 ma!a(

∫ −= b

adx x f R A %$%$

5nth ,Tentu!an luas daerah R dibawah !ur"a 67 +−= x x y antara x = /1 dan x

*

'awab ,

yaitu , A* ∫ ∫ == − %$%$ a xb x dx ydx y

bentu! ini ditulis sbb ,

∫ =b

a

dx y A

a b

y

+

y=f(x)

a b

y

+

y=f(x)



luas satuan

x x x

dx x x R A

8(17

1

9

17

1:

6

9

%$%$

1

79

1

67

=

−−−−

+−=

+−=

+−=

−

−∫

6. 3aerah Antara 3ua 0ur"a

0ur"a/!ur"a %$ x f y = dan %$ x f g = dengan %$%$ x f x g ≤ &ada selang b xa ≤≤

5nth ;al !e/1Tentu!an luas daerah antara !ur"a 7

1 x y = dan x x y −= dan s!etsa gambar

tersebut serta harga batasnya &ada sumbu x.

a. menentu!an harga batas.

⇔ y1 * y

⇔ 77 =+−⇒−= x x x x x x

⇔ %%$1%$$

=++− x x x x

⇔ 1( == x x ( x yang lain imaginer $tida! di&a!ai%

b. #enentu!an bentu! !ur"a ma!a nilai x disubsitusi !e&ersamaan y1

dan y

x y1 y

.9 .6< .7689.9 .:9 .89.89 .61:7 .<689

[ ]

[ ]dx x g x f A

x x g x f A

b

a∫ −=

∆−=∆

%$%$

%$%$



.< .:9:1 .<<1 1 1

3ari tabel di atas bila range dira&at!an dan dihubung!an titi!nya a!an

dida&at gambar sbb ,

c. Luas daerah yang dicari adalah &engurangan dari !ur"a atas

di!urangi !ur"a bawah.

( ) ( ) dx x x x A 71

∫ −−=⇔

dx x x x A 71

−−=⇔ ∫

1

96

19

8

9

1

6

11

96

satuan

x x x A

=−−=

−−=⇔

5nth ;al !e/

Tentu!an luas daerah yang dibatasi leh parabola x y 7 = dan garis

767 =− y x ( s!etsa serta harga batasnya &ada sumbu y.


Pers. 1% x y 7 = atau

7

y x = (

Pers. % 767 += y x atau7

76 += y

x

Pers.1 * Pers.

#a!a , 76 += y y



⇔ 76 =−− y y

%1$%7$ =−−⇔ y y

1(7 −=⇔ y


dan dan y

y 7

y x =

7

76 += y

x

7 7 76 .9 6.9 1 .91 .9 1.89

1/1 .9 .9

3ari tabel di atas bila range dira&at!an dan dihubung!an titi!nya a!an

dida&at gambar sbb ,

c. Luas daerah yang dicari adalah &engurangan dari !ur"a atas

di!urangi !ur"a bawah.



dy y y

A ∫ −

−

+=⇔ 7

1

77

76

( ) dy y y A ∫ − −+=⇔ 7

1

76

7

1

7

1

6

67

6

7

1

−

−+= y

y y

+−−

−+=

6

17

6

6

:71:7

7

1

* 1.97

19 ≈ satuan

Persamaan Parametri!.

Persamaan selalu dengan cara yang sama dimana adalah lebih dari dua"ariabel. 5aranya selalu sama yaitu ,

1% Nyata!an x dan y dalam &arameter.

% Ubah "ariabelnya.

6% ;isi&!an batas/batas &arameternya.

5nth,

;uatu !ur"a memili!i &ersamaan &ametri! at yat x (

== . Tentu!an luasluas daerah yang dibatasi leh !ur"a tesebut( sumbu x( dan rdinat &ada t=1

dan t=.

'awab ,

∫ = b

adx y A ( a dan b adalah batas "ariabelnya.

3engan mengganti!an y dengan at ( dida&at!an

∫ = b

adxat A

Tida! da&at diintegrasi langsung 4ungsi t terhada& x( ma!a harus dirubah

"ariabel integrasinya sbb,

at x = dt at dxat dt

dx =∴=∴

dida&at!an ,∫ ∫ ==

1

1

7. dt t adt at at A



*

1

6

67

t a *

6

=

6

1

6

=7

a

a =

−

6. >arga mean $harga rata/rata%

!arga mean adalah rata"rata $a"erage% harga $tinggi% yang ditinjau. 3alam

mencari harga mean suatu 4ungsi %$ x f y = diantara x=a dan x=b yang da&at

dilihat &ada gambar di bawah. 'i!a mem&er!ira!an tinggi dari gambar dalam

diagram ma!a dida&at suatu harga #.

dan diberi!an sbb , #ab

A

Alas

#uas

−==

∴ # ∫ −=

b

adx y

ab

1

7. >arga R#;.

R#; * Rt #ean ;?uare !adang/!adang harga a!ar dari harga rata/rata.

rms * @$harga mean dari y atau

$rms% ∫ −=

b

adx y

ab

1



5nth ,

>itung harga mean dan rms dari 4ungsi 6 += x y di antara x=1 dan x=$.

a% #ean.

# ∫ +−= 6

1 %6$16

1dx x

6

1

6

6

17

66

1<

6

8

1

66

1

satuan

x x

=

+−

+=

+=

b% R#;.

$rms% ∫ −=

6

1

16

1dx y

( )∫ ++= 6

1

7 <:

1dx x x

6

1

69

<9

1

++= x x

x

++

−

++= <

9

1897

9

76

1 x

[ ] (9<.11=1:.7=

1 =−+=

rms :<7.81.9< == satuan

9. lume 2enda Putar

Benda Putar( dibentu! dengan memutar suatu bidang datar dise!eliling

sebuah garis( disebut sumbu &utar &ada bidang datar da&at di!etahui melalu

cara beri!ut ,

a. #etde 5a!ram.

3ibentu! dengan memutar suatu bidang datar se!eliling sebuah garis(

disebut sumbu putar &ada bidang datar.



'i!a bentu! bidang dibatasi leh !ur"a y=f(x)( sumbu x ( dan rdinat &ada

x=a dan x=b di&utar!an sutu &utaran &enuh mengelilingi sumbu x( ma!a

a!an di&erleh sebuah benda &utaran yang simetris terhada& BC se&erti

gambar di atas.

Untu! menda&at!an ( &ertama/tama tinjau dahulu sebuah &ita sem&it

dalam bentu! bidang semula.

lume yang dibentu! &ita tsb ≈ "lume yang dibentu! leh &ita &ersegi

&anjang yaitu x y% δ π δ .. 1≈ beru&a selinder &i&ih.

'i!a seluruh bentu! selinder dibagi/bagi menjadi sejumlah &ita( ma!a

setia& &ita a!an menghasil!an selindernya sendiri( masing/masing dengan

"lume x y δ π .. 1 lihat gambar beri!ut ,



∴ lume ttal ( ∑=

=≈

b x

a x

x y% δ π ..

2ila → xδ ma!a !esalahan yang ditimbul!an leh bagian atas luas

&ersegi &anjang da&at dihilang!an menjadi ,

∫ = b

adx y% ..

π

5nth sal ,

Tentu!an "lume benda &utar yang dibentu! leh daerah R yang dibatasi

leh !ur"a x y = ( sumbu + dan garis + * 7( dimima R di&utar mengelilingi

sumbu +.

Penyelesaian ,

∫ = b

adx y% ..

π ( dimana x y =

#a!a , ( )∫ =

7

.. dx x% π

*7

17

=∫ x

dx x π π



*

1:π

* 16.9= ≈π satuan6

b. #etde 5incin

5nth 1 ,

Tentu!an "lume benda &utar a&abila daerah yang dibatasi leh &arabla/

&arabla x y = dan x y =

= di&utar mengelilingi sumbu/ x. ;!etsa gambar

tersebut serta harga batasnya.


⇔ y1 * y

⇔ x x = =

⇔ =7 =− x x

⇔ %=$ 6 =− x x

⇔ (= x dan %=$ 6 =⇒= x x


dan dan y

y x y = x y ==

7 71.9 .9 6.7:71 1 .==

.9 .9

;ebuah benda &utar di&tng/&tngtega! lurus &ada sum/bu &utarnya(ma!a di&erleh sebuah ca!ram yangditengah/tengah ada lubangnya.3aerah ini disebut Cincin.



3ari tabel di atas bila range dira&at!an dan dihubung!an titi!nya a!an dida&at

gambar sbb ,

5nth ,

>itung lume benda &utar daerah setengah ling!aran yang dibatasi leh

!ur"a 7 y x −= dan sumbu y di&utar mengelilingi garis x = /1

Penyelesaian ,

( ) ( )

( )

( ) 6

9

7

:.<7.:1:

9

17

=

=

satuan

x x

dx x x%

x x x%

π π

π

π

π

=−=

−=

−=

∆−≈∆

∫

c. Luas daerah yang dicari ,



'ari/jari luar cincin adalah 17 +− y ( sedang!an jari/jari dalam adalah 1.

hasilnya bila dis!etsa melalui &entabelan adalah sbb,

( )

[ ]

( )

( )

6

6

6

6

91.66

6

==

677

6

77

77

171

satuan

y y y

y

dy ydydy y

dy y y

dy y%

≈

−+=

−+−−=

−+−=

−+−=

−−+=

∫ ∫ ∫

∫

∫ −

π π

π

π

π

c. #etde 0ulit Tabung.

ma!a "lume tabung adalah ,

% * $ luas alas % . $ tinggi%

;ebuah !ulit tabung adalah sebuah bendayang dibatasi leh dua tabung ling!aran

tega! yang sumbu simetrinya berim&it( gbr.disam&ing.r 1= jari/jari tabung dalamr = jari/jari tabung luar & * tinggi tabung



( )

%$

.%$%$.

1

1

111

r r &r r

&r r r r &r r

−

+=

−+=−=

π

π π π

∴ % * D + $jari/jari rata/rata%+$tinggi%$tebal%

r r&% ∆= π

atau untu! lebih mudahnya &erhati!an gambar dibawah ini ,

3ari &rses ini da&at dihitung sebuah benda &utar !ulit tabung. Gb. dibawah

menunju!!an &rses tersebut &tngan jalur/jalur "erti!al di&utar mengelilingi sumbu y.

5nth 1 ,



6

6

6

6

1

6

6

satuan&r

&

&r

x

&

r

dx x&

r

dx x&r %

x x&

r %

&

&

&

π

π

π

π

π

π

=

=

=

=

=

∆

≈∆

∫

∫

. #etde 0ulit tabung.

6

6

6

1

6

6

1

satuan&r

r r &

r

y y&

dy yr

y&dy yr

&& y%

y yr

&& y%

r

r r

π

π π

π π

π

=

−=

−=

−=

−=

∆

−≈∆

∫ ∫



:. lume benda dengan Penam&ang Lintang yang di!etahui,

#etde ini membahas benda yang memili!i daerah/daerah ling!aran sebagai

&enam&ang/&enam&ang tega! yang berbentu! bujur sang!ar atau segitiga.

5nth 1 ,

;ebuah benda mem&unyai ling!aran alas yang berjari/jari 7 satuan. 5ari

"lume benda itu( ji!a setia& bidang irisan tega! lurus &ada garis tengah

yang teta&( meru&a!an segitiga sama sisi.

Penyelesaian ,

Ambil ling!aran se&erti gambar di bawah dengan sumbu/ x sebagai garis

tengah teta&.

Persamaan ling!arannya , .1: =+ y x

'i!a luas &enam&ang silang A25( yangterjadi leh suatu bidang tega! lurus &adasumbu/ x dan berjara! x satuan dari titi! asal( da&at dinyata!an sebagi 4ungsi x(

A$ x%( ma!a "lume benda diberi!an leh

∫ = b

adx x A% %$



Penam&ang melintang A' meru&a!an segitiga sama sisi dengan sisi y dan

luas %1:$66%$ x y x A −== .

#a!a ,

6

7

7

7

7

66

9:

6

1:7=6

61:6%1:$6

%1:$6%$

satuan

x xdx x

dx xdx x A% b

a

=

−=

−=−=

−==

∫

∫ ∫ −

5nth ,Alas sebuah benda adalah suatu daerah rata &ada !uadran &ertama yang

dibatasi leh 7E1 x y −= ( sumbu/ x dan sumbu/ y. Andai!an &enam&ang/

&enam&ang yang tega! lurus &ada sumbu + berbentu! bujur sang!ar.

Tentu!an "lume benda ini.

Penyelesaian.2ila di&tng/&tng benda tega! lurus &ada sumbu/ x a!an di&erleh

lem&engan ti&is sbb,



6

96

7

8.119

1:

=

6

:

=

=:

1:1

satuan

x x x

dx x x

%

≈=

+−=

+−=

+−= ∫

8. Panjang 0ur"a

#isal!an P adalah titi! $ x( y% dan ) adalah titi! &ada !ur"a di de!at P.

#isal!an &ula sδ * &anjang busur !ecil P).3ari rumus &hitagras diberi!an ,

( ) ( ) ( ) y x s δ δ δ +≈

'i!a masing/masing ruas dibagi dengan xδ ( ma!a

( )

( )

( )

( )

1 x

y

x

s

δ

δ

δ

δ +≈∴

1 +≈ ∴ x

y

x

s

δ

δ

δ

δ

+≈∴

1 x

y

x

s

δ

δ

δ

δ

ji!a F x→

+=

1

dx

dy

dx

ds



∫

+=∴

b

adx

dx

dy s

1

5nth ,Tentu!an &anjang !ur"a 6

x y = di antara x * dan x * 7( untu! cabang

y .

Penyelesaian ,

∫

+=∴

b

adx

dx

dy s

1

6 x y =∴ 6

x y =→ ( 1

6 x

dx

dy =∴ (7

<11

x

dx

dy+=

+∴

∫

+=∴

7

1

7

<1 dx

x s *

7

6

7

<1

<

7.

6

+

x

[ ] [ ] 8.<1:.618

=111

8

==−=−= satuan

Panjang 0ur"a / &ersamaan &arametri!.

Ft →( bentu! ini menjadi ,

+

=

∴

dt

dy

dt

dx

dt

ds→

+

=∴

dt

dy

dt

dx

dt

ds

∫ =

=

+

=∴

1

t t

t t dt

dy

dt

dx s dt

5nth ,

#isal!an %$%($ t F xt f y ==

3ari rumus sebelumnya ,( ) ( ) ( )

y x s δ δ δ +≈ bila !edua ruasdibagi dengan xδ dida&at(

+

≈

∴

t

y

t

x

t

s

δ

δ

δ

δ

δ

δ



Tentu!an &anjang !ur"a θ θ 66 sin(cs == y x diantara titi!/titi! yang

bersesuaian dengan H * dan H * D.

Penyelesaian,#engguna!an rumus yang sesuai dengan &arameter(

θ θ θ

π

d d

dy

d

dx s ∫

+

=∴

E

2ila(

θ 6

cs= x θ θ θ θ θ

sincs:%sin$cs: −=−=→

d

dx

θ θ θ

θ cssin:sin 6 =→=d dy y

∴

+

θ θ d

dy

d

dx* θ θ θ θ

77 cssin6:sincs6: +

* ( )θ θ θ θ sincscssin6: +

* θ θ cssin6:

θ θ θ θ θ

sin6cssin:

==

+

∴

d

dy

d

dx

ma!a dida&at!an ,

satuan

d s

6

1

16

cs6

sin6

=

−−

=

−=

=∴ ∫ π

π

θ

θ θ

=. Luas Permu!aan 2enda Putar.

Luas Permu!aan yang terbentu! leh &er&utaran busur y=f(x)( suatu !ur"a

!ntinu( se!eliling sebuah garis yang sebidang $sumbu%. 2ila !ur"a di&utar

&ada sumbu x diantara x=x1 dan x=x

ma!a luas &ermu!aan da&at ditentu!an dengan rumusan sbb,



Untu! menghitung luas &emu!aan ini ma!a &erlu di&enggal/&enggal se&erti

gambar beri!ut ,

ji!a F x → ( ma!adx

ds y

dx

dAπ ≈

;ebagaimana di!etahui &ada &erhitungan &anjang !ur"a( dimana

+=

1dx

dy

dx

ds( ma!a

+=

1dx

dy y

dx

dAπ

#a!a(

dxdx

dy y A

x

x∫

+=

1

1π

5nth ,

Tentu!an luas &ermu!aan yang terjadi ji!a busur &arabla x y = = (

'i!a sebuah elemen busur se/&anjang F ssatuan di&utar!an( ma!a a!an di&erlehsebuah &ita ti&is seluas FA. 3ida&at

s y A δ π δ .≈

3engan membagi !edua rumus di atas

dengan F x( dida&at!an x

s y

x

A

δ

δ π

δ

δ ≈



dengan > y ( di antara + * dan + * di&utar!an mengelilingi sumbu x.

Penyelesaian ,

∴ dxdxdy y A ∫

+=

1π

∴ x y = =

1

x y =⇒ ⇒ xdx

dy x

dx

dy

1

=

⇒= −

∴ x

x

xdx

dy 11

+=+=

+

∴ dx x

x x A ∫

+

=

1

π

dx x

x x∫

+=

1

1

1 %$

..7 π

dx x∫ +=

1

%$.7 π

E6

%$.7

6

+= xπ

* ( ) ( )[ ]=6

=−

π

[ ] [ ]61.86

=7=

6

= π π =−=

* :1.6 satuan6

Persamaan Parametri! Permu!aan Putaran

'i!a busur !ecil di&utar!an se&anjang F s( ma!a luas FA &ita !ecil yangterbentu! diberi!an leh(

s y A δ π δ .≈

0edua ruas dibagi dengan Ft ( di&erleh

t

s y

t

A

δ

δ π

δ

δ .≈

'i!a Ft →( hubungan ini menjadi

dt

ds y

dt

dA.π ≈



tinjau lagi &ersamaan &anjang !ur"a &arametri!(

+

=∴

dt

dy

dt

dx

dt

ds

ma!a(

+

=∴

dt

dy

dt

dx y

dt

dAπ

dt dt

dy

dt

dx y A ∫

+

=∴

1

θ

θ π

5nth ,

Tentu!an luas &emu!aan yang terbentu! ji!a busur !ur"a 6(6 t t xt y −== di

antara =t dan 1=t di&utar!an mengelilingi sumbu BC sebanya! D

radian.

Penyelesaian ,

6::6 t

dt

dyt

dt

dyt y =

→=→=∴

( )616666 t t

dt

dxt t x −=−=→−=∴

( )7

1< t t dt

dx+−=

∴

7

6:<1=< t t t dt

dy

dt

dx ++−=

+

( ) dt t t A

∫ ++=∴

1

1<6π

( ) ( )∫ ∫ +=+= 1

1

71=11= dt t t dt t t π π

9

7=

19

=1=

9

1

6

11=

961=

1

9π

π π π ==

+=

+ t t

satuan

<. #men( Pusat #asa $Titi! 2erat%



3ua massa( masing/masing sebesar m1 dan m yang dileta!!an &ada &a&an

seimbang dan berjara! d 1 dan d dari titi! &enyangga &ada bagian/bagian

berbeda $lihat gambar%

m1 m

d 1 d

m1 m

m

x

;yarat !eseimbangan adalah * .

m1 m m6 m7 mn/1 mn

x1 x x6 x7 xn/1 xn

'i!a !rdinat titi! seimbang x, dimana mmen sistem terhada& titi! ini

harus nl( bera&a !rdinat x titi! seimbang

( ( ( ...11 =−++−+− nn m x xm x xm x x

Atau

nnn m xm xm xm xm xm x +++=+++ ...... 111

ma!a di&erleh

Rumus seimbang ,11 md md =

'i!a bandmil berim&it dengan titi! asalma!a( !rdinat x1 dari m1 ada/lah x1*/d 1 dandari m adalah d x = ma!a diberi!an(

11 =+ m xm x

>asil!ali massa m dan jara! berara& darisuatu titi! tertentu dinama!an momen.

∑=

=+++=n

iiinn m xm xm xm x )

111 ...

Ini dinama!an pusat masa( titi! dengan!rdinat + ini adalah titi! seimbang yangdi&erleh sebagai hasil bagi mmen sistemterhada& titi! asal dan jumlah massa.



∑

∑

=

===n

ii

n

iii

m

m x

m

) x

1

1

3istribusi massa yang !ntinu &ada suatu garis

J x

a b

#a!a mmen terhada& titi! asal ,

∫ ∫

==b

a

b

a

x

x x

m

) x

%$

%$

δ

δ

3istribusi massa &ada 2idang

Perhati!an n massa titi! nmmm (...(( 1 yang terleta! &ada titi!/titi!

( ) ( ) ( )nn y x y x y x ((...(((( 11 &ada bidang yang memili!i sebuah sistem

!rdinat &ada gambar di bawah.

0rdinat/!rdinat y x ( titi! berat sistem tersebut adalah

1m

%($ 66 y x6m

%($ nn y x

%($ 66 y x

%($ y x

m

%($ 11 y x

'i!a !e&adatan di x adalah F$ x% dgn aturanK potong,&ampiri, integral* ma!a(

x xm ∆≈∆ %$δ x x x ) ∆≈∆ %$δ

∫ = b

adx xm %$δ ∫ =

b

adx x x ) %$δ

7m

%($ 77 y x

'umlah mmen y ) dan x ) masing/masing terhada& sumbu x dan sumbu yditentu!an sbb,

∑=

=n

i

ii y m x ) 1

∑=

=n

i

ii x m y ) 1



∑

∑

=

===n

ii

n

iii

y

m

m x

m

) x

1

1 ∑

∑

=

===n

ii

n

iii

x

m

m y

m

) y

1

1

#encari &usat massa $titi! berat% se&tng lem&eng ti&is yang rata dengan

mengangga& lem&engan ti&is $lamina% hmgen( berarti !e&adatan δ adalah

!nstan. Untu! suatu lem&engan hmgen si!u em&at &usat masa berim&it

dengan &usat gemetrinya se&erti gambar di bawah ini.

;e&tngan lamina$lem&engan ti&is% hmgen yang dibatasi leh

%$(( x f yb xa x ===

dan%$ x g y =( dengan

%$%$ x f x g ≤

.Ptnglah lamina ini menjadi jalur/jalur yang sejajar dengan sumbu y se&erti

gambar di bawah. 'alur ini dapat dianggap berbentu! segi empat ( sehingga

massa masing/masing jalur da&at diangga& ter&usat &ada gemetri &adanya.

0emudian &apirila& dan a!hirnya ji!a →∆ x ma!a da&at dintegral+an.

[ ] x x g x f m ∆−≈∆ %$%$δ [ ] dx x g x f m b

a∫ −= %$%$δ



[ ] x x g x f x ) y ∆−≈∆ %$%$δ [ ]dx x g x f x ) b

a y ∫ −= %$%$δ

[ ] x x g x f x g x f

) x ∆−+

≈∆ %$%$

%$%$δ [ ] dx x g x f x )

b

a x ∫ −= %$%$

δ

3engan cara ini a!an dihasil!an !rdinat titi! berat y x ( yaitu

m

) x

y= (m

) y x=

#a!a(

m

) x

y=[ ]

[ ]

[ ]

[ ] dx x g x f

dx x g x f x

dx x g x f

dx x g x f x

b

a

b

a

b

a

b

a

∫ ∫

∫ ∫

−

−=

−

−=

%$%$

%$%$

%$%$

%$%$

δ

δ

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] dx x g x f

dx x g x f

dx x g x f

dx x g x f

m

) y

b

a

b

a

b

a

b

a x

∫

∫

∫

∫ −

−=

−

−==

%$%$

%$%$

1

%$%$

%$%$

δ

δ

5nth ,

Tentu!an sentrid $titi! berat% daerah yang dibatasi 6 x y = dan x y = .

Penyelesaian ,

1. #encari batas integral ,

∴ x x =6 ⇒ 6 =− x x ⇒

: =− x x

∴ 1( 1 == x x

3engan memasu!!an nilai x &ada &ersamaan 6 x y = dan x y = sehingga

s!etsa gra4i! dida&at sebagai beri!ut ,



. Titi! sentrid

x

[ ]

[ ] dx x x

dx x x x

∫

∫ −

−

= 1

6

1

6

* 1

7E6

1

9E9

76

99

−

−

x x

x x

*1

9

91

* 9

1

( ) ( )[ ][ ] dx x x

dx x y

∫

∫ −

−=

1

6

1

66

1

= [ ]

[ ] dx x x

dx x x

∫

∫ −

−1

6

1

:

1

8

6

19

=9

19

8

11

8

==

−

=

x x

1. Pusat Gra"itas suatu benda &utaran

Untu! mencari &sisi &usat gra"itasi suatu benda yang terbentu! ji!a bentu!

bidang yang dibatasi leh !ur"a %$ x f y = ( sumbu x ( dan rdinat &ada a x =

dan b x = diputar+an mengelilingi sumbu x.

3ari &iringan/&iringan elementer

dijumlah!an mmen "lumenya

$massanya% terhada& sumbu B( ma!a

da&at dihitung x

( yaitu

∫ ∫

=b

a

b

a

dx y

dx xy x

( = y



5nth ,Tentu!an &sisi &usat gra"itasi dari benda yang terbentu! ji!a bidang yang

dibatasi leh !ur"a 1: =+ y x ( sumbu x( dan rdinat &ada x * 1dan x * 6

di&utar mengelilingi sumbu x.

Penyelesaian ,

∫ ∫ =∴

6

1

6

1

dx y

dx xy x ( = y

∫ ∫ ∫ −=−=∴ 6

1

66

1

6

1

%1:$%1:$ dx x xdx x xdx xy

−−

−=

−=

7

1=

7

=18

7=

6

1

7 x

x 77:7 =−=

∫ ∫ −=∴ 6

1

6

1

%1:$ dx xdx y

( )

−−−=

−=6

11:<7=

61:

6

1

6 x x

6

16=

=<.1

6

16

77 ==∴ x M

!rdinatnya &usat gra"itasi adalah , ( )M=<.1

penggunaan integral elektro udayana

Documents