nilai eigen dan vektor eigeninformatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/...howard anton & chris...

Nilai Eigen dan Vektor Eigen(Bagian 2)

Bahan kuliah IF2123 Aljabar Linier dan Geometri

Oleh: Rinaldi Munir

Program Studi Teknik Informatika

STEI-ITB

Seri bahan kuliah Algeo #19

1

Sumber:

Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10th Edition

2

Diagonalisasi

• Matriks diagonal adalah matriks yang semua elemen di atas dan di bawah diagonal utama adalah nol.

Contoh 1:

,

3

−3 0 0 00 2 0 00 0 0 00 0 0 1

2 0 00 4 00 0 1

• Definisi. Sebuah matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasijika ia mirip dengan matriks diagonal, yaitu terdapat matriks E sedemikian sehingga E–1AE adalah matriks diagonal. Dalam hal inidikatakan E mendiagonalisasi matriks A.

• E adalah matriks yang kolom-kolomnya adalah basis ruang eigen darimatriks A, yaitu:

E = (e1 | e2 | … | en)

Misalkan D adalah matriks diagonal, maka

A = EDE–1 → D = E–1AE

4

• Matriks A memiliki kemiripan dengan D, salah satunya memilikideterminan yang sama, yaitu

D = E–1AE

det(D) = det(E–1AE)

= det(E–1)det(A)det(E)

= 1

det(E)det(A)det(E)

= det(A)

• Beberapa sifat kemiripan lainnya pada A dan D adalah memiliki rank, nullity, trace, persamaan karakteristik, dan nilai-nilai eigen yang sama.

5

Contoh 2: Misalkan 𝐴 =1 33 1

. Tentukan matriks E yang mendiagonalisasi A.

Jawaban:

Sudah dihitung ruang eigennya dari Latihan 2 (lihat materi Nilai Eigen dan VektorEigen bagian 1):

E(4) = { x = t11

, t R } dan E(–2) = { x = t1−1

, t R }

maka

𝐸 =1 11 −1

→ E –1 = 1

−1 −1

−1 −1−1 −1

= 1

−2

−1 −1−1 1

=

1

2

1

21

2−

1

2

Untuk memeriksa apakah E mendiagonalisasi A, maka hitunglah bahwa

D = E–1AE

=1/2 1/21/2 −1/2

1 33 1

1 11 −1

= 1/2 1/21/2 −1/2

4 −24 2

= 4 00 −2

6

Contoh 3: Tentukan matriks E yang mendiagonalisasi A = 0 0 −21 2 11 0 3

Jawaban:

Persamaan karakteristik matriks A adalah

( – 1)( – 2)2 = 0 → 1 = 1 dan 2 = 2

Untuk = 2 → E(2) = { x = r−101

+ s010

, r dan s R }

Untuk = 1→ E(1) = { x = t−211

, t R }

Maka E = −1 0 −20 1 11 0 1

→ E –1 = 1 0 21 1 1−1 1 −1

7

Untuk memastikan bahwa E mendiagonalisasi A, periksa bahwa

D = E–1AE

= 1 0 21 1 1−1 1 −1

0 0 −21 2 11 0 3

−1 0 −20 1 11 0 1

= 2 0 00 2 00 0 1

adalah matriks diagonal.

8

Contoh 4: Tentukan matriks E yang mendiagonalisasi A = 1 0 01 2 0−3 5 2

Jawaban:

Persamaan karakteristik matriks A adalah

( – 1)( – 2)( – 2) = 0 → 1 = 1 dan 2 = 2

Untuk = 1 → E(1) = { x = t1/8−1/81

, t R }

Untuk = 2→ E(2) = { x = s001

, s R }

Oleh karena A adalah matriks 3 x 3 sedangkan hanya ada dua vektor basis di dalamkedua ruang eigen, maka tidak terdapat matriks E sehingga A tidak dapatdidiagonalisasi.

9

Kegunaan matriks diagonal: menghitung perpangkatan matriks.

Contoh: Berapakah A3?

A3 = (EDE–1)3

= (EDE–1)(EDE–1)(EDE–1)

= ED(E–1E)D(E–1E)DE–1

E –1E = I

= EDIDIDE–1

= EDDDE–1

= ED3E–1

10

Menghitung D3 sangat mudah, misalkan dari Contoh 2, matriks diagonal D

yang mirip dengan A =1 33 1

sudah dihitung, yaitu D = 4 00 −2

.

Maka,

D3 = 4 00 −2

3

=43 00 (−2)3

= 64 00 −8

maka

A3 = ED3E–1

= 1 11 −1

64 00 −8

1/2 1/21/2 −1/2

= 64 −864 8

1/2 1/21/2 −1/2

= 28 3636 28

11

Latihan (dari soal kuis 2019)

12

Aplikasi Nilai Eigen dan Vektor Eigen di dalam Analytic Hierarchy Process (AHP)

Bahan tambahan IF2123 Aljabar Geometri

Program Studi Informatika ITB

13

Sumber:

1. Unknown, Analytic Hierarchy Process (What is AHP)

14

• AHP: metode yang digunakan dalam analisis pengambilan keputusan.

15

AHP: metode untuk menurunkan skala rasiodari perbandingan antar kriteria

Skala rasio diturunkan dari prinsipvektor Eigen

Indeks kekonsistenan diturunkan dariprinsip nilai Eigen

xAx =eigenvector eigenvalue

Contoh: Ada tiga buah yang akan dipilih oleh Joko untuk dibawa piknik: pisang, apel, cherry. Buah mana yang akan dipilih?

16

17

Tahap 1: Pairwise comparison

Catatan: Jika ada n pilihan, maka diperlukan sebanyak n(n – 1)/2 perbandingan

Tahap 2: Pembentukan matriks perbandingan

Rule:

• Jika nilai yang diberikan terletak di kiri angka 1, maka kita meletakkannilai aktual tersebut di dalam matriks.

• Jika nilai yang diberikan terletak di kanan angka 1, maka kitameletakkan nilai kebalikannya di dalam matriks.

18

19

𝐴 =𝑎𝑝𝑝𝑙𝑒

𝑏𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑐ℎ𝑒𝑟𝑟𝑦

11

35

3 1 71

5

1

71

apple banana cherry

𝐴 =𝑎𝑝𝑝𝑙𝑒

𝑏𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑐ℎ𝑒𝑟𝑟𝑦

11

35

1 71

apple banana cherry

Rule: Jika nilai yang diberikan terletak di kiri angka 1, makakita meletakkan nilai aktual tersebut di dalammatriks.

Jika nilai yang diberikan terletak di kanan angka 1, maka kita meletakkan nilai kebalikannya di dalammatriks.

Tahap 3: Menentukan vektor prioritas (Menghitung nilai eigen danvektor eigen)

20

xx =A1 1/3 53 1 71/5 1/7 1

𝑥1𝑥2𝑥3

= 𝜆

𝑥1𝑥2𝑥3

Setelah dilakukan perhitungan, diperoleh: 1. Nilai eigen max = 3.0649

2. Vektor eigen x =

𝑥1𝑥2𝑥3

=3.878289.02462

1=

0.27900.64910.0719

Appel = 27,9%Banana = 64,9%Cherry = 7,1%

0) =− AIdet(

*)

*) Diperoleh dengan menormalisasi vektor eigen, yaitu membagi setiap komponen dengan nilai totalnya

Tahap 4: Menentukan Indeks Konsistensi dan Rasio Konsistensi

Indeks konsistensi:

Rasio konsistensi:

Jika CR 10%, maka inkonsistensi dapat diterima. Jika CR > 10%, makakita perlu merevisi penilaian subyektif (pairwise comparison)

21

0484.02

30967.3

1

max =−

=−

−=

n

nCI

Table 1 Random Consistency Index ( )

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49

𝐶𝑅 =𝐶𝐼

𝑅𝐼=0.0484

0.58= 0.083 = 8,3% (acceptable)

TAMAT

22