penyelesaian masalah matrik songsang dengan...

69EDUCATUM - Journal of Science, Mathematics and Technology Vol. 1 No.2 (2014) 69 - 84ISSN 2289-7070

Penyelesaian Masalah Matrik Songsang dengan menggunakan Kaedah Sepasang Sandwic (KSS) dan

Operasi Baris Permulaan (OBP)

Solving Inverse Matrix Problem by Paired Sandwiches Method (PSM) and Elementary Row Operation (ERO)

Zuzita binti Ibrahim1* dan Zulkifley Mohamed2

1Kolej Matrikulasi Kelantan, Beg Berkunci No.3, 16810 Selising, Pasir Putih, Kelantan, Malaysia2Fakulti Sains dan Matematik, Universiti Pendidikan Sultan Idris, 35900 Tanjung Malim, Perak, Malaysia

*e-mail: [email protected]

Abstrak

Kebiasaannya, pelajar di peringkat matrikulasi menggunakan kaedah berupa ular untuk mendapatkan matrik songsang. Walaubagaimanapun kaedah berupa ular mengambil masa yang lama dan melibatkan langkah kerja yang panjang. Artikel ini membincangkan kaedah terbaik bagi mencari matrik songsang. Kaedah yang dicadangkan adalah Kaedah Sepasang Sandwic (KSS) dan Operasi Baris Permulaan (OBP). KSS yang dicadangkan mematuhi teorem OBP iaitu melibatkan pertukaran baris diganti dengan hasil tambah baris tersebut dengan baris yang lain. Ujian yang dilakukan mendapati dengan menggunakan KSS dalam mencari matrik songsang dapat menjimatkan masa dan mengurangkan kemungkinan kesilapan aljabar.

Kata kunci Matrik Songsang, Kaedah Sepasang Sandwic (KSS), Operasi Baris Permulaan (OBP)

Abstract

Normally, students in matriculation level used snake-like method to find inverse matrix. However, the snake-like method consumed longer time and involved longer working steps. This article discusses the best method of finding inverse matrix. The proposed method is Paired Sandwiches Method (PSM) and Elementary Row Operation (ERO). The proposed PSM is complied with ERO theorem involving the exchange of row and replaced by the sum of row with other rows. The test conducted found that by using PSM in finding inverse matrix can save time and reduced possibility of algebra mistakes.

Keywords Inverse matrix, Paired Sandwiches Method (PSM), Elementary Row Operation (ERO)

PengenAlAn

Matematik merupakan salah satu subjek teras bagi pelajar jurusan perakaunan di peringkat matrikulasi. Ia terdiri dari 9 tajuk semasa semester 1 dan 12 tajuk semasa semester 2. Mulai

EDUCATUM - Journal of Science, Mathematics and Technology Vol. 1 No.2 (2014) 69 - 84ISSN 2289-7070

70

sesi 2011/2012 tajuk keempat bagi semester satu telah disenaraikan sebagai 1 daripada 4 tajuk yang akan diuji semasa Ujian Pertengahan Semester Satu (UPS 1). Mencari matrik songsang merupakan satu proses yang sangat penting dalam tajuk matrik ini. Di peringkat matrikulasi, terdapat dua kaedah yang akan digunakan iaitu dengan menggunakan Adjoin dan menggunakan kaedah Operasi Baris Permulaan (OBP).

Kaedah OBP melibatkan tiga operasi penting iaitu proses pertukaran baris, mendarab baris dan skalar k (kecuali 0) dan menambah satu baris dengan baris yang lain. Kegagalan pelajar memahami operasi ini dengan betul dan tepat mengakibatkan kesilapan berlaku secara berterusan sehingga membawa kepada jawapan yang tidak tepat dan langkah kerja yang semakin sukar (melibatkan penambahan dan penolakan nombor pecahan). Justeru, satu kaedah yang sesuai diperlukan bagi menyelesaikan matrik songsang.

TujuAn

Kajian yang dilakukan bertujuan memperkenalkan Kaedah Sepasang Sandwic (KSS) dalam mencari matrik songsang bagi sesuatu matrik melalui kaedah Operasi Baris Permulaan (OBP).

Mencari matrik songsang dengan OBP

Kaedah OBP melalui teknik Ular bermula dengan menulis matrik kepada bentuk matrik imbuhan, [ ]|A I di mana I ialah matrik identiti dan berakhir dengan [ ]|I B . Matrik B merupakan songsangan kepada matrik A. Teorinya nampak mudah, tetapi pelajar perlu mematuhi operasi yang dibenarkan iaitu pertukaran baris, mendarab baris dengan skalar k (kecuali 0) dan menambah satu baris dengan baris yang lain.

Teknik Ular membolehkan pelajar mengikuti urutan pengiraan supaya unsur yang telah berubah kepada 0 atau 1 kekal sehingga membentuk matrik identiti. Ia lebih berkesan berbanding kaedah cuba jaya. Namun demikian, kaedah OBP yang menggunakan teknik Ular ini terlalu panjang dan akan menyebabkan pelajar:

i. tidak dapat mengingati urutan langkah OBP (Ular);ii. membuat kesilapan mudah yang melibatkan penambahan nombor bulat;iii. membuat kesilapan mudah yang melibatkan penambahan dan penolakan nombor

pecahan; daniv. mudah berputus asa apabila proses melibatkan nombor yang besar dan nombor

berbentuk pecahan.

Kajian yang dilakukan oleh Maznah Mahmood (2000), mendapati kesilapan yang sering dilakukan oleh pelajar dalam tajuk pecahan ialah pelajar tidak memudahkan pecahan dalam bentuk pecahan wajar. Selain itu, pelajar juga melakukan kesilapan dalam operasi penambahan pecahan. Manakala Haslina (1999) dan Khamsan (1999) mendapati terdapat kesilapan konsep dalam kalangan pelajar tehadap tajuk Nombor Negatif ketika menjalankan operasi asas seperti penambahan dan penolakan nombor. Kesilapan konsep itu merangkumi dalam keempat proses kemahiran iaitu sama ada menambah, menolak, mendarab dan membahagi.


Teknik ular

Diberi matrik A = 2 1 16 1 94 3 1

− − −

, cari matrik songsang bagi A dengan menggunakan

kaedah OBP

A =

2 1 16 1 94 3 1

− − −

A = 2 1 16 1 94 3 1

− − −

langkah Penyelesaian Mematuhi Kaedah ular

Matrik A ditulis dalam bentuk matrik imbuhan [ ]|A I (1)

Di mana A adalah matrik 3 × 3, A = 2 1 16 1 94 3 1

− − −

dan I = 1 0 00 1 00 0 1

.

Hasil bagi langkah

(1)

adalah

2 1 1 1 0 06 1 9 0 1 04 3 1 0 0 1

− − − .

Untuk mencari matrik songsang, matrik A perlu diubah menjadi matrik identiti, iaitu

[ ]|I B (2)

Di mana matrik B merupakan songsangan kepada matrik A. Bermula dengan unsur a11 = 2 langkah (2) ubahkan nilai 2 ini kepada nilai 1 dengan menggunakan teorem baris pertama didarab dengan faktor

* 11

12 2

RR → .

Semua unsur pada baris pertama akan berubah satu per satu menjadi

1 1 11 0 02 2 2

6 1 9 0 1 04 3 1 0 0 1

−

− −

.


72

Dapat diperhatikan bahawa, unsur pada baris pertama mula berubah daripada nombor bulat kepada pecahan. Semua unsur pada baris kedua dan ketiga kekal dan perlu disalin semula untuk langkah seterusnya.

Langkah seterusnya perlu rujuk kepada jawapan pada langkah (2) di mana unsur a21 = 6 perlu diubah kepada unsur 0. Operasi yang terlibat hanya melibatkan baris kedua iaitu unsur pada baris kedua perlu ditolak dengan 6 kali ganda unsur pada baris pertama.

*2 2 1( 6 )R R R→ − (3)

Baris NilaiBaris 2 6 -1 -9 0 1 06 x Baris 1 6 3 -3 3 0 0Hasil langkah (3) 0 -4 -6 -3 1 0

Hasil daripada langkah (3) ialah

1 1 11 0 02 2 2

0 4 6 3 1 04 3 1 0 0 1

−

− − −

Langkah ini perlu merujuk kepada jawapan pada langkah (3) di mana unsur a31 = 4 perlu diubah kepada unsur 0. Operasi yang terlibat hanya melibatkan baris ketiga iaitu unsur pada baris ketiga perlu ditolak dengan 4 kali ganda unsur pada baris pertama

( )*2 3 14R R R→ −

(4)

Baris NilaiBaris 3 4 3 1 0 0 14 x Baris 1 4 2 -2 2 0 0Hasil langkah (4) 0 1 3 -2 0 1

Hasil daripada langkah (4) ialah

1 1 11 0 02 2 2

0 4 6 3 1 00 1 3 2 0 1

−

− − −

−

Bagi meneruskan langkah seterusnya, unsur a22 = -4 perlu diubah kepada unsur 1. Hanya baris kedua akan berubah mengikut teorem


* 22 4

RR → − (5)

Baris NilaiBaris 2 0 -4 -6 -3 1 0

- 14 x Baris 2 0 1 3/2 ¾ -1/4 0

Hasil Langkah (5) 0 1 3/2 ¾ -1/4 0

Dan hasilnya ialah1 1 11 0 02 2 2

3 3 10 1 02 2 4

0 1 3 2 0 1

−

−

−

Seterusnya unsur a32 = 1 perlu diubah kepada unsur 0. Unsur pada baris ketiga perlu mematuhi rumus:

( )*2 3 2R R R→ − (6)

Baris NilaiBaris 3 0 1 3 -2 0 1Baris 2 0 1 3/2 ¾ -1/4 0Hasil langkah (6) 0 0 3/2 -11/4 1/4 1

Dan hasilnya ialah

1 1 11 0 02 2 2

3 3 10 1 02 4 43 11 10 0 12 4 4

−

− − .

Kebanyakan unsur telah berubah menjadi nombor pecahan. Seterusnya unsur a33 = 3/2 perlu diubah kepada unsur 1. Unsur pada baris ketiga perlu mematuhi rumus:


74

* 22 3

2

RR

→

(7)

Dan hasilnya ialah

1 1 11 0 02 2 2

3 3 10 1 02 4 4

0 0 1 11 1 26 6 3

−

− − .

Unsur a23 = 3/2 perlu diubah kepada unsur 0. Unsur pada baris kedua perlu mematuhi rumus:

*2 2 3

32

R R R → −

(8)

Dan hasilnya ialah

11 1 0 01 22 2 7 10 1 0 12 2

0 0 1 11 1 26 6 3

− − − − .

Unsur a13 = -1/2 pula perlu diubah kepada unsur 0. Unsur pada baris pertama perlu mematuhi rumus

*1 1 3

12

R R R → −

(9)

Dan hasilnya ialah

5 1 111 0 12 12 32 7 10 1 0 12 2

0 0 1 11 1 26 6 3

−

− − − .


Unsur a12 = 1/2 perlu diubah kepada unsur 0. Unsur pada baris pertama perlu mematuhi rumus

*1 1 2

12

R R R → −

(10)

Dan hasilnya ialah

13 1 56 3 61 0 0

7 10 1 0 12 2

0 0 1 11 1 26 6 3

−

− − − .

Akhirnya matrik songsang A diperolehi iaitu

B = A-1 =

13 1 56 3 6

7 1 12 211 1 26 6 3

− − − − .

Penguasaan pelajar menggunakan Kaedah ular

Pendaraban dengan skala 0

Fizah pelajar A3T9 (a) (bukan nama sebenar) mencuba mencari matrik songsang dengan menggunakan Kaedah Ular. Beliau mula menjawab soalan ini pada pukul 3.10 petang dan tidak mampu menyelesaikan sehingga jawapan sebenar. Berpandukan Rajah 1, Fizah cuba mengubah unsur 6 kepada unsur 0 dengan mendarab pada skala 0.

Contoh Soalan:

Diberi matrik A =

2 1 16 1 94 3 1

− − − −

, cari matrik songsang A dengan menggunakan Kaedah

OBP.


76

Rajah 1 Langkah kerja Fizah

Kesalahan penambahan dan penolakan nombor negatif

Gaya pelajar A3T9(a) (bukan nama sebenar) mencuba mencari matrik songsang dengan menggunakan Kaedah Ular. Namun demikian beliau mula membuat kesilapan penambahan dan penolakan nombor negatif pada langkah yang kedua sehingga menjejaskan jawapan akhir bagi soalan ini. Berpandukan Rajah 2 Gaya memenuhi

( )*2 2 13R R R→ −

(11)

Sepatutnya apabila – 9 – 3 (– 1) = – 6 dan jawapan yang diberikan oleh Gaya ialah – 8.

Rajah 2 Langkah kerja Gaya


Kesalahan menentukan formula

Fariesya pula merupakan pelajar A3T9(a) (bukan nama sebenar) mencuba mencari matrik songsang dengan menggunakan Kaedah Ular. Beliau tidak dapat menentukan formula khas untuk langkah ketiga (Rajah 3).

Contoh Soalan:

Diberi matrik A = 2 1 16 1 94 3 1

− − − −

, cari matrik songsang A dengan menggunakan Kaedah

OBP.

Rajah 3 Langkah kerja Fariesya

Kaedah Sepasang Sandwic (KSS)

Kaedah baru diperkenalkan dan dinamakan Kaedah Sepasang Sandwic (KSS). Contoh soalan yang sama digunakan bagi membandingkan tahap kesukaran yang akan dihadapi oleh pelajar di peringkat matrikulasi. Penyelesaian akan dilakukan secara berpasangan iaitu langkah pertama unsur a21 dan unsur a31, langkah kedua unsur a12 dan unsur a32 dan langkah ketiga unsur a13 dan unsur a23. Ketiga-tiga langkah ini tidak akan menukarkan unsur kepada nombor pecahan dan akan memudahkan pelajar menyelesaikan operasi algebra.


78

Contoh Soalan:

Diberikan matrik A=2 1 16 1 94 3 1

− − − −

, cari matrik songsang A dengan menggunakan kaedah

Operasi Baris Permulaan (OBP)

A=2 1 16 1 94 3 1

− − − −

A=2 1 16 1 94 3 1

− − − −

langkah penyelesaian mematuhi kaedah KSS

Langkah pertama ialah menulis matrik A kepada bentuk matrik imbuhan.

[ ]|A I

Dan hasilnya ialah

2 1 1 1 0 06 1 9 0 1 04 3 1 0 0 1

− − − − .

Seterusnya unsur a21 = 6 dan a31 = 4 akan diubah menjadi nilai 0. Baris pertama kekal dengan nilai asal baris pertama ini digunakan untuk menukarkan unsur pada baris 2 dan baris 3. Permulaan proses ialah

2 1 1 1 0 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

− .

Proses penukaran unsur a21 = 6 kepada 0 memenuhi

( )*2 2 13R R R→ −

(12)

Kita boleh perhatikan bahawa tedapat perkaitan di antara baris pertama dalam proses mengubah a21 = 6 kepada nilai 0. Nilai a21 = 6 ditolak dengan 3 kali ganda nilai a11 = 2

Baris NilaiBaris 2 6 -1 -9 0 1 03 x Baris 1 6 3 3 3 0 0Hasil langkah (12) 0 -4 -6 -3 1 0

1 2

3


Perubahan yang ditunjukkan pada baris kedua ialah

2 1 1 1 0 00 4 6 3 1 0? ? ? ? ? ?

− − − − .

Langkah yang sama diulang untuk baris ketiga. Proses penukaran unsur a31 = 4 kepada 0 memenuhi

( )*3 3 12R R R→ −

(13)

Perkaitan dibuat dengan baris pertama. Nilai a31 = 4 ditolak dengan 2 kali ganda nilai a11 = 2.

Baris NilaiBaris 3 4 3 1 0 0 12 x Baris 1 4 2 -2 2 0 0Hasil langkah (13) 0 1 3 -2 0 1

Perubahan yang ditunjukkan pada baris ketiga adalah

2 1 1 1 0 00 4 6 3 1 00 1 3 2 0 1

− − − − −

Hasil daripada pengiraan ini tidak melibatkan nombor pecahan dan mudah untuk dikira. Sepasang unsur telah ditukarkan kepada 0.

Proses seterusnya ialah mengubah nilai yang bertanda √

2 1 1 1 0 00 4 6 3 1 00 1 3 2 0 1

− − − − −

kepada nilai 0. Unsur pada baris kedua disalin seperti jawapan sebelum. Nilai yang akan berubah ialah nilai pada baris pertama dan baris ketiga selepas dijalankan operasi mudah yang berkaitan dengan baris kedua.

? ? ? ? ? ?0 4 6 3 1 0? ? ? ? ? ?

− − −

Bagi baris pertama perkaitan yang dijalankan adalah

√

√


80

( )*1 1 24R R R→ +

(14)

Nilai a12 = 1 perlu didarab dengan 4 dan ditambah dengan nilai a22 = -4.

Baris Nilai4 x Baris 1 8 4 -4 4 0 0Baris 2 0 -4 -6 -3 1 0Hasil langkah (14) 8 0 -10 1 1 0

Perubahan yang ditunjukkan pada baris pertama adalah

8 0 10 1 1 00 4 6 3 1 0? ? ? ? ? ?

− − − .

Manakala bagi baris ketiga perkaitan yang dijalankan adalah

( )*3 3 24R R R→ +

(15)

Nilai a32 = 1 perlu di darab dengan 4 dan ditambah dengan nilai a22 = –4

Baris Nilai4 x Baris 3 0 4 12 -8 0 4Baris 2 0 -4 -6 -3 1 0Hasil langkah (15) 0 0 6 -11 1 4

Perubahan yang ditunjukkan pada baris ketiga adalah

8 0 10 1 1 00 4 6 3 1 00 0 6 11 1 4

− − − − .

Hasil dari pengiraan ini juga tidak melibatkan nombor pecahan dan mudah untuk dikira. Maka dua pasang unsur telah ditukarkan kepada unsur 0.

Bagi pasangan yang terakhir

8 0 10 1 1 00 4 6 3 1 00 0 6 11 1 4

− − − −

nilai yang bertanda √ diubah menjadi unsur 0. Unsur pada baris ketiga akan dikekalkan iaitu

√

√


? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 0 6 11 1 4

− .

Bagi baris pertama unsur a13 = –10 diubah menjadi unsur 0. Ia mematuhi rumus:

( )*1 1 36 10R R R→ +

(16)

Nilai a13 = –10 perlu didarab dengan 6 dan ditambah dengan 10 kali ganda nilai a33 = 6.

Baris Nilai6 x Baris 1 48 0 -60 6 6 010 x Baris 2 0 0 60 -66 6 24Hasil langkah (16) 48 0 0 -60 12 24

Hasil dari langkah ini ialah

48 0 60 6 6 0? ? ? ? ? ?0 0 6 11 1 4

− − .

Bagi baris kedua unsur a23 = – 6 akan diubah menjadi unsur 0. Ia mematuhi rumus:

( )*2 2 3R R R→ +

(17)

Nilai a23 = -6 perlu ditambah dengan nilai a33 = 6

Baris NilaiBaris 2 0 -4 -6 -3 1 0Baris 3 0 0 6 -11 1 4Hasil langkah (17) 0 -4 0 -14 2 4

Hasil dari langkah ini ialah

48 0 0 6 6 00 4 0 14 2 40 0 6 11 1 4

− − − .

Ia telah membentuk sepasang sandwic. Unsur-unsur di pepenjuru perlu diubah kepada

unsur 1 dengan membahagi dengan diri masing-masing

* *1 21 2,

48 4R RR R→ →

− dan

* 33 6

RR →

sehingga membentuk matrik identiti


82

13 1 56 3 61 0 0

7 10 1 0 12 2

0 0 1 11 1 26 6 3

−

− − − .

Matrik songsang bagi A ialah B = A-1

13 1 56 3 6

7 1 12 211 1 26 6 3

− − − − .

Penguasaan pelajar menggunakan kaedah KSS

Kemahiran KSS

Responden yang bernama Azna (bukan nama sebenar) dari kelas A2T6(b) menggunakan kaedah KSS untuk mencari matrik songsang. Langkah kerja (Rajah 4) ditunjukkan dengan jelas dan pengiraan tidak melibatkan nombor pecahan.Contoh Soalan:

Diberi matrik A =

2 1 16 1 94 3 1

− − − −

, cari matrik songsang A dengan menggunakan kaedah

OBP.


Rajah 4 Langkah kerja Azna

Azna memulakan proses menjawab soalan ini pada pukul 2.08 petang dan tamat pada pukul 2.20 petang. Beliau mengambil masa 12 minit untuk menyiapkan soalan ini dan jawapan yang diberikan adalah tepat.

KeSiMPulAn

Kaedah KSS didapati lebih ringkas dan tidak melibatkan pecahan semasa proses menukarkan unsur kepada 0 dan kepada 1. KSS juga mematuhi teorem OBP dan boleh digunakan oleh pelajar di peringkat matrikulasi. Diharapkan agar kaedah ini diperluaskan penggunaannya di peringkat KMPk dan seluruh kolej matrikulasi di Malaysia.


84

RujuKAn

Haslina Hashim (1999). Kesilapan Dalam Tajuk Nombor Negatif. Universiti Teknologi Malaysia. Tesis Sarjana Muda.

Khamsan Omar (1999). Kesukaran Pelajar Tingkatan Dua Menguasai Tajuk Nombor Negatif. Universiti Teknologi Malaysia. Tesis Sarjana Muda.

Maznah Mahmood (2000). Miskonsepsi Dalam Operasi Penambahan Pecahan. Universiti Teknologi Malaysia. Tesis Sarjana Muda.

penyelesaian masalah matrik songsang dengan...

Documents