ma1201 matematika 2a - · pdf filekuliah hari ini 10.1-2 parabola, elips, dan hiperbola 10.4...

MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

10 Maret 201

Kuliah yang Lalu

10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang

10.5 Sistem Koordinat Polar

11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang

11.8 Permukaan di Ruang

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari Ini

10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola

10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang

10.5 Sistem Koordinat Polar

11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3

11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang

11.8 Permukaan di Ruang

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 3

Kuis 10 Menit

Tentukan persamaan garis singgung pada kurvar(t) = (cos t, sin t, t) di titik P(-1,0,π).

3/12/2014 (c) Hendra Gunawan 4

11.8 PERMUKAAN DI RUANGMA1201 MATEMATIKA 2A

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 5

• Menggambar permukaan di ruang

Bola dan Bidang di Ruang

Ingat persamaan bola yang ber-pusat di P(a,b,c) dan berjari-jari R:

dan persamaan umum bidang di R3:

Seperti apa grafiknya?

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 6

,)()()( 2222 Rczbyax

.0, 222 CBADCzByAx

x

y

z

O

P

x

y

z

Elipsoida

Lebih umum daripada bola, kitamempunyai persamaan elipsoida:

Perhatikan jika p = q = r, makapersamaan di atas menjadi

yang merupakan persamaan bola.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7

.1)()()(

2

2

2

2

2

2

r

cz

q

by

p

ax

P

x

y

z

,)()()( 2222 rczbyax

Permukaan di Ruang

Bidang dan elipsoida merupakan contohpermukaan di ruang.

Secara umum, grafik persamaan F(x,y,z) = Cmerupakan permukaan di ruang.

Namun, tidak semua persamaan mudahdigambar grafiknya.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Paraboloida dan Hiperboloida

Grafik persamaan

merupakan paraboloida eliptik.

Sementara itu, grafik persamaan

merupakan paraboloida hiperbolik.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 9

2

2

2

2

b

y

a

xz

2

2

2

2

b

y

a

xz

x

y

z

Seperti apabentuknya?

Silinder

Grafik persamaan x2 + y2 = 1, z ϵ R, merupakan silinder lingkaran yang sejajar dengan sumbu-z.

Bagaimana dengan persamaan

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 10

?0,sin xyz

x

y

z

Seperti apabentuknya?

Hiperboloida Satu Lembar

Grafik persamaan

merupakan hiperboloida satulembar.

Irisannya dengan:

-Bidang z=k elips

-bidang-xz hiperbola

-bidang-yz hiperbola3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

x

y

z

Hiperboloida Dua Lembar

Grafik persamaan

merupakan hiperboloida dualembar.

Irisannya dengan:

-bidang-xy hiperbola

-bidang x=k elips, titik, Ø

-bidang-xz hiperbola3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

x

y

z

Kerucut Eliptik

Grafik persamaan

berbentuk kerucut eliptik(ganda).

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13

2

2

2

22

b

y

a

xz

x

y

z

Soal

Diketahui persamaan

Gambarlah grafiknya.

Permukaan apakah itu?

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 14

.1 22 yxz

12.1 FUNGSI DUA (ATAU LEBIH) PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 15

• Menentukan daerah asal dan menggambargrafik fungsi dua peubah

• Menentukan kurva ketinggian dan meng-gambar peta kontur fungsi dua peubah

MATERI MINGGU DEPAN

Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah

Setelah mempelajari fungsi satupeubah, baik yang bernilai skalarmaupun yang bernilai vektor, sekarang kita akan mempelajarifungsi dengan dua (atau lebih) peubah, yang bernilai skalar.

Sebagai contoh, foto atau citra 2Dmerupakan fungsi dua peubah. Demikian juga suhu T pada suatukeping datar.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 16

T(x,y)

Fungsi Dua Peubah

Di sini kita akan membahassecara khusus fungsi duapeubah yang bernilai skalar, yakni fungsi f yang memetakansetiap titik (x,y) dalam suatudaerah D di R2 ke suatubilangan z = f(x,y) ϵ R.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 17

(x,y)

f

z =f(x,y)

Catatan

Himpunan D disebut sebagai daerah asal f, sedangkan himpunan {z = f(x,y) | (x,y) ϵ D} disebut daerah nilai f.

Bila tidak dinyatakan secara spesifik, makadaerah asal fungsi f adalah himpunan bagianterbesar dari R2 yang membuat f terdefinisi.

Sebagai contoh, daerah asal f(x,y) = x/y adalah semua titik (x,y) dengan y ≠ 0.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 18

Contoh

Tentukan daerah asaldan gambarlah daerah tsb pada R2.

Jawab:

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 19

221),( yxyxf

Grafik Fungsi Dua Peubah

Diberikan fungsi dua peubahdengan persamaan z = f(x,y), dengan (x,y) ϵ D, kita dapatmenggambar grafiknya, yaituhimpunan

{(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) ϵ D}

di ruang R3.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 20

x

y

z

Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2

Latihan

Sketsalah grafik fungsi f yang diberikan denganpersamaan

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 21

22:),( yxyxfz

Kurva Ketinggian dan Peta Kontur

Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.

Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 22

x

y

z

Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2

z = k

Kurva ketinggian: x2 + y2 = k (bila k ≥ 0)

Kurva Ketinggian dan Peta Kontur

Kadang kita dapat mempelajarifungsi dua peubah f melaluikurva-kurva ketinggian-nya, yakni kurva-kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) denganbidang z = k.

Bila kita gambar kurva-kurvaketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh petakontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 23

xy

z

Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2

z = k

Petakontur

x

y

Latihan 1

Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsi z = f(x,y) := x2 – y2, untuk ketinggian k = -4, -1, 0, 1, 4; kemudian gambarlah peta konturnya.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 24

Latihan 2

Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsiz = f(x,y) := xy, untuk ketinggian k = -2, -1, 0, 1, 2; kemudian gambarlah peta konturnya.

3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 25