limit fungsi mia

LIMIT FUNGSILIMIT FUNGSI

Limit fungsi:Limit fungsi:

Suatu limit f(x) dikatakan Suatu limit f(x) dikatakan mendekati mendekati

A {f(x) A} sebagai suatu limit.A {f(x) A} sebagai suatu limit.

Bila x mendekati a {x a}Bila x mendekati a {x a}

Dinotasikan Dinotasikan

Lim F(x) = A Lim F(x) = A

X aX a

Langkat-langkah mengerjakan limitLangkat-langkah mengerjakan limit

fungsi (supaya bentuk tak tentu dapatfungsi (supaya bentuk tak tentu dapat

dihindari) adalah ….dihindari) adalah ….

1.1. Subtitusi langsung.Subtitusi langsung.

2.2. Faktorisasi.Faktorisasi.

3.3. Mengalikan dengan bilangan sekawan.Mengalikan dengan bilangan sekawan.

4.4. Membagi dengan variabel pangkat Membagi dengan variabel pangkat tertinggi. tertinggi.

Berapa teorema limit:Berapa teorema limit:Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = BBila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B x a x ax a x a

Maka Maka 1. Lim [k1. Lim [k..f(x)] = k Lim f(x)f(x)] = k Lim f(x)

x a x ax a x a = k. A= k. A

2. Lim [f(x)2. Lim [f(x)++g(x)] = Lim f(x) g(x)] = Lim f(x) ++ Lim Lim g(x)g(x)

x a x a x ax a x a x a = A = A ++ B B

3. Lim 3. Lim x ax a

= Lim f(x) x Lim g(x)= Lim f(x) x Lim g(x) x a x ax a x a = A x B= A x B

4. 4.

[f(x) x g(x)]

B

A

xg

xf

xg

xf

Lim

LimLim

ax

ax

ax

)(

)(

)(

)(

n

n

ax

n

ax

Axfxf LimLim

)()(5.5.

6. 6. Axf

n

ax

nn

axLimxfLim

)()(

Soal latihan:Soal latihan:1.1. Nilai dari Lim 3x adalah…. Nilai dari Lim 3x adalah…. x x 22

a. 1a. 1

b. 2b. 2

c. 3c. 3

d. 4d. 4

e. 6e. 6

Pembahasan 1: Pembahasan 1:

Lim 3x = 3(2)Lim 3x = 3(2)x 2x 2

= 6= 6

Pembahasan 2:Pembahasan 2:

Lim 3x = 3 Lim XLim 3x = 3 Lim Xx 2 x 2x 2 x 2 = 3(2) = 6= 3(2) = 6

Jawab:Jawab:1.1. Nilai dari Lim 3x adalah…. Nilai dari Lim 3x adalah…. x ax a

a. 1a. 1

b. 2b. 2

c. 3c. 3

d. 4d. 4

e. 6e. 6

2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. 2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. x x 22

a. -2a. -2b. 2b. 2c. 4c. 4d. 6d. 6e. 8e. 8

Pembahasan:Pembahasan:

Lim (2x+4) = 2(2) + 4Lim (2x+4) = 2(2) + 4 x x 22

= 4 + 4= 4 + 4

= 8= 8

2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. 2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. x x 22

a. -2a. -2b. 2b. 2c. 4c. 4d. 6d. 6e. 8e. 8

3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah…. x x 33

a. -6a. -6

b. 8b. 8

c. 12c. 12

d. 14d. 14

e. 16e. 16

Pembahasan 1:Pembahasan 1:

Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 1212

X 3X 3 x 3 x 3

Pembahasan 2:Pembahasan 2:

Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2xLim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2xX 3X 3 x 3 x 3 x 3 x 3

= 6(3) – 2(3)= 6(3) – 2(3)

= 18 – 6 = 12= 18 – 6 = 12

3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah…. x x 33

a. -6a. -6

b. 8b. 8

c. 12c. 12

d. 14d. 14

e. 16e. 16

Limit fungsi bentukLimit fungsi bentuk

Jika f(x) = (x-a).h(x)Jika f(x) = (x-a).h(x)

g(x) = (x-a).k(x)g(x) = (x-a).k(x)

Maka:Maka:

)().(

)().(

)(

)(

xkax

xhax

xg

xfLimLim

axax

0

0

)(

)(

)(

)(

ak

ah

xk

xhLim

ax

Limit Fungsi BentukLimit Fungsi Bentuk

Jika diketahui limit tak hingga (Jika diketahui limit tak hingga (~~))Sebagai berikut:Sebagai berikut:

Maka:Maka:1. R= 0 jika n<m1. R= 0 jika n<m2. R= 2. R= aa jika n=m jika n=m pp3. R= 3. R= ~~ jika n>m jika n>m

~~

Rrqxpx

cbxaxmm

nn

xLim

...

...

~1

1

Limit Fungsi Bentuk (Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)~ - ~)

a.a.

1. R= ~ jika a>p1. R= ~ jika a>p

2. R= 0 jika a=p2. R= 0 jika a=p

3. R= -~ jika a<p 3. R= -~ jika a<p

RqpxbaxLimx

~

b.b.

1. R= 1. R= ~~ jika a>p jika a>p

2. jika a=p 2. jika a=p

3. R= 3. R= --~~ jika a<p jika a<p

RrqxpxcbxaxLimx

22

~

a

qbR

2

Soal latihan:Soal latihan:

4. Nilai dari 4. Nilai dari

adalah….adalah….

a. 3a. 3 d.d.

b. 2b. 2

c. 1c. 1 e. -2 e. -2

xxx

xxxLimx 22

4323

24

0

2

1

Pembahasan:Pembahasan:

Jika 0 didistribusikan menghasilkanJika 0 didistribusikan menghasilkan

(bukan solusi) sehingga soal(bukan solusi) sehingga soal

diselesaikan dengan cara faktorisasi diselesaikan dengan cara faktorisasi

0

0

0.200.2

0.40.30

22

43

23

24

23

24

0

xxx

xxxLimx

0

0

Maka:Maka:

22

4

200

400

22

43

22

43

22

43

2

3

0

2

3

0

23

24

0

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

Lim

Lim

Lim

x

x

x

Soal latihan:Soal latihan:

4. Nilai dari 4. Nilai dari

adalah….adalah….

a. 3a. 3 d.d.

b. 2b. 2

c. 1c. 1 e. -2 e. -2

xxx

xxxLimx 22

4323

24

0

2

1

5. Nilai dari5. Nilai dari

adalah…. adalah…. 6

42

2

2

xx

xLimx

5

3.

5

4.

1.

c

b

a

1.5

2.

e

d

Pembahasan:Pembahasan:

6

42

2

2

xx

xLimx

5

4

32

22

3

2

2

x

xLimx

)3)(2(

)2)(2(

2

xx

xxLimx

5. Nilai dari5. Nilai dari

adalah…. adalah…. 6

42

2

2

xx

xLimx

5

3.

5

4.

1.

c

b

a

1.5

2.

e

d

6. Nilai dari6. Nilai dari

adalah …. adalah ….

a. -6a. -6 d. 16d. 16

b. 2b. 2 e. 32e. 32

c. 10c. 10

182

6342

2

~

xx

xxLimx

Pembahasan 1:Pembahasan 1:

182

6342

2

~

xx

xxLimx

2

2

222

2

222

2

182

634

182

634

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

Pembahasan 1:Pembahasan 1:

002

004

~1

~8

2

~6

~3

4

2

2

22

4

Pembahasan 2:Pembahasan 2:

Perhatikan bahwa pangkat diatas Perhatikan bahwa pangkat diatas samasama

dengan pangkat bawah sehingga p = dengan pangkat bawah sehingga p = qq

(p dibagi q)(p dibagi q)

182

6342

2

~

xx

xxLimx

22

4

q

pL

6. Nilai dari6. Nilai dari

adalah …. adalah ….

a. -6a. -6 d. 16d. 16

b. 2b. 2 e. 32e. 32

c. 10c. 10

182

6342

2

~

xx

xxLimx

7. Nilai dari7. Nilai dari

adalah….adalah….

a. -3a. -3 d. 0d. 0

b. -2b. -2 e. 1e. 1

c. -1c. -1

}124624{~

22

xxxxLimx

Pembahasan:Pembahasan:

2.2

4

42

22

2

a

qbR

14

4

7. Nilai dari7. Nilai dari

adalah….adalah….

a. -3a. -3 d. 0d. 0

b. -2b. -2 e. 1e. 1

c. -1c. -1

}124624{~

22

xxxxLimx

8. Nilai dari 8. Nilai dari

adalah….adalah….

a. -4a. -4 d. 4d. 4

b. 0b. 0 e. 8e. 8

c. 2c. 2

2

2

)14(

)28(

~

x

xLimx

Pembahasan:Pembahasan:

1816

43264

)14(

)28(2

2

~2

2

~

xx

xxLim

x

xxx

Lim

416

64

8. Nilai dari 8. Nilai dari

adalah….adalah….

a. -4a. -4 d. 4d. 4

b. 0b. 0 e. 8e. 8

c. 2c. 2

2

2

)14(

)28(

~

x

xLimx

xx

xxLim

ox 22

2

9. Nilai dari 9. Nilai dari

adalah….adalah….a. -~a. -~ d. 0d. 0b. -2b. -2

c. c. e. e. 2

1

2

1

Pembahasan:Pembahasan:

)2(

)1(

2 02

2

0

xx

xx

xx

xxLimLimxx

2

1

20

10

2

1

0

x

xLimx

xx

xxLim

ox 22

2

9. Nilai dari 9. Nilai dari

adalah….adalah….a. -~a. -~ d. 0d. 0b. -2b. -2

c. c. e. e. 2

1

2

1

2523

124634

22

~

xxx

xxxLimx

2

1

2

1

10. Nilai dari10. Nilai dari

adalah….adalah….

a. d. 2a. d. 2

b. 0b. 0 e. 3 e. 3

c. c.

Pembahasan:Pembahasan:

PerhatikanPerhatikan

Pangkat tertinggi diatas 3Pangkat tertinggi diatas 3

Pangkat tertinggi dibawah 4Pangkat tertinggi dibawah 4

Jadi n < mJadi n < m

Nilai R = 0Nilai R = 0

2523

124634

22

~

xxx

xxxLimx

2523

124634

22

~

xxx

xxxLimx

2

1

2

1

10. Nilai dari10. Nilai dari

adalah….adalah….

a. d. 2a. d. 2

b. 0b. 0 e. 3 e. 3

c. c.

11. Nilai dari11. Nilai dari

adalah….adalah….

4133

12522

2

4

xx

xxLimx

13

11.

13

8.

13

5.

c

b

a

13

14.

13

12.

e

d

Pembahasan:Pembahasan:

4133

12522

2

4

xx

xxLimx

)4)(13(

)4)(32(

4

xx

xxLimx

1)4(3

3)4(2

13

32

4

x

xLimx

13

11

13

11

11. Nilai dari11. Nilai dari

adalah….adalah….

4133

12522

2

4

xx

xxLimx

13

11.

13

8.

13

5.

c

b

a

13

14.

13

12.

e

d

74

10422

2

~

x

xxLimx

2

1

2

1

12. Nilai dari12. Nilai dari

adalah….adalah….

a. a. d. -1d. -1

b. 0b. 0 e. -6e. -6

c. c.

Pembahasan:Pembahasan:

Pangkat diatas = Pangkat Pangkat diatas = Pangkat dibawahdibawah

MakaMaka

74

10422

2

~

x

xxLimx

2

1

4

2

74

10422

2

~

x

xxLimx

2

1

2

1

12. Nilai dari12. Nilai dari

adalah….adalah….

a. a. d. -1d. -1

b. 0b. 0 e. -6e. -6

c. c.

SELAMAT SELAMAT BELAJARBELAJAR