kontrol optimum - tbakhtiar.staff.ipb.ac.id · masalah kontrol optimum masalah kontrol optimum...

Kontrol OptimumPrinsip Maksimum Pontryagin

Toni Bakhtiar

Departemen Matematika IPB

Februari 2017

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 1 / 25

Outline

Masalah kontrol optimum

Prinsip maksimum Pontryagin1 Teorema2 Bukti

Fungsi adjoin

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 2 / 25

Masalah Kontrol Optimum

Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan peubahkontrol yang dapat mengendalikan suatu proses sedemikian sehinggamemenuhi beberapa kendala fisik dan dalam waktu yang samamengoptimumkan kriteria tertentu.

Masalah kontrol optimum dapat diselesaikan melalui dua pendekatan:1 program dinamik (Bellman, 1957)2 prinsip maksimum (Pontryagin, 1962)

Dalam kuliah ini akan dibahas penyelesaian masalah kontrol optimummelalui pendekatan prinsip maksimum.

Pendekatan prinsip maksimum banyak menggunakan teknik dalamkalkulus variasi.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 3 / 25

MKV vs MKO

Perbedaan MKV dan MKO:

Masalah Kalkulus Variasi:

opt J(x(t)) =∫ T

0f (x(t), x(t), t) dt.

Masalah Kontrol Optimum:

opt J(x(t)) =∫ T

0f (x(t), u(t), t) dt

x(t) = g(x(t), u(t)),

baik dengan kendala ataukah tanpa kendala. Dengan kata lain, MKVmerupakan bentuk khusus dari MKO, yaitu ketika g(x , u) = u.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 4 / 25

Masalah Pemasaran melalui Iklan

Sumber: Sethi & Thompson (2006)Fungsional objektif:

maxc

∫ ∞

0(π(G )− c(t))e−rt dt.

Fungsi kendala:

G (t) = c(t)− δG (t),

G (0) = G0,

dengan π tingkat penerimaan (revenue) yang merupakan fungsi dari citraperusahaan (goodwill) G , c biaya produksi (iklan), dan δ laju depresiasi.Masalah: menentukan besarnya biaya u(t) := c(t) yang dikeluarkanuntuk iklan sedemikian sehingga memaksimumkan tingkat keuntungan.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 5 / 25

Masalah Pemeliharaan dan Pemanenan Ikan

Sumber: Sydsæter et al. (2008)Fungsional objektif:

maxu

(x(T )P(T , x(T ))e−rT −

∫ T

0cx(t)u(t)e−rt dt

).

Fungsi kendala:

x(t) = x(t)g(t, u(t)),

x(0) = x0,

dengan x(t) berat ikan pada saat t, P(t, x) harga ikan dengan berat xpada saat t, u(t) banyaknya pakan ikan yang digunakan, dan c > 0 biayapakan ikan.Masalah: menentukan banyaknya pakan ikan yang digunakan u(t)sedemikian sehingga memaksimumkan keuntungan.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 6 / 25

ExampleTinjau sebuah masalah makroekonomi di mana sebuah indikator ekonomiy(t) ingin dikendalikan dengan kendali u(t) = y(t) sehingga mencapailevel yang diinginkan y dalam periode [0,T ]. Pengendalian memerlukanbiaya sehingga ingin diminimumkan fungsional

J(y) =∫ T0

[(y − y)2 + cu2

]dt.

Definisikan x := y − y sehingga

x = y = u,

x(T ) = y(T )− y = y − y = 0.

Masalah kalkulus variasi:

min J(x) =∫ T0 (x

2 + cx2) dt,

x(0) = x0, x(T ) = 0.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 7 / 25

SolutionPersamaan Euler memberikan:

2x − 2cx = 0 ⇔ x − 1c x = 0

⇔ x(t) = Aert + Be−rt , r = 1√c .

Syarat batas menghasilkan:

x∗(t) =x0

erT − e−rT[er (T−t) − e−r (T−t)

],

sehingga

y ∗(t) = x∗(t) + y ,

u∗(t) = x∗(t).

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 8 / 25

Masalah Kontrol Optimum

Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan admissible controlu∗(t) yang dapat mengendalikan sistem dinamik

x(t) = g(x(t), u(t), t),

sedemikian sehingga mampu mengikuti admissible trajectory x∗(t) dalaminterval waktu [0,T ] dan mengoptimumkan fungsional objektif

J = S(x(T ),T ) +∫ T0 f (x(t), u(t), t) dt.

Fungsi u∗(t) disebut kontrol optimum dan x∗(t) trajektori optimum.

ProblemMKO:

opt J = S(x(T ),T ) +∫ T0 f (x(t), u(t), t) dt

s.t. x(t) = g(x(t), u(t), t)

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 9 / 25

Prinsip Maksimum Pontryagin

Masalah kontrol optimum merupakan perluasan masalah kalkulusvariasi.

Masalah kalkulus variasi muncul sejak zaman Euler denganPersamaan Euler sebagai syarat perlu optimalitas (1744).

Teori kontrol optimum berkembang di tahun enampuluhan ketikasekelompok matematikawan Rusia, yaitu Pontryagin, Boltyanskii,Gamkrelidze, Mischenko (1962), merumuskan syarat perlu optimalitasbagi masalah kontrol optimum.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 10 / 25

Prinsip Maksimum Pontryagin

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 11 / 25

Prinsip Maksimum Pontryagin

Theorem (Prinsip Maksimum Pontryagin)Perhatikan masalah kontrol optimum berikut:

opt J = S(x(T ),T ) +∫ T0 f (x(t), u(t), t) dt

s.t. x(t) = g(x(t), u(t), t)

x(0) = x0,

T dan x(T ) belum ditentukan.

Definisikan fungsi hamilton (hamiltonian):

H(x , u, p, t) := f (x , u, t) + pg(x , u, t),

dengan p merupakan "pengali lagrange" atau costate variable.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 12 / 25

Theorem (Prinsip Maksimum Pontryagin)Syarat perlu optimalitas diberikan oleh:

1 u(t) memaksimumkan H, yaitu

∂H∂u

= 0⇔ Hu = 0.

2 x(t) dan p(t) memenuhi sistem persamaan diferensial berikut:

x =∂H∂p⇔ x = g(x , u, t),

p = −∂H∂x⇔ p = −Hx .

3 Syarat batas terpenuhi.4 Syarat transversalitas berikut terpenuhi:

(Sx − p)δx |T + (H + St )δt|T = 0.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 13 / 25

Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus dapat ditulis:

S(x(T ),T ) = S(x0, 0) +∫ T0ddtS(x(t), t) dt,

sehingga

J = S(x0, 0) +∫ T0

[f (x , u, t) +

dS(x , t)dt

]dt

= S(x0, 0) +∫ T0

[f +

∂S∂xx +

∂S∂t

]dt.

Karena S(x0, 0) konstan maka suku tersebut dapat diabaikan dalam prosespengoptimuman, sehingga

J =∫ T0

[f +

∂S∂xx +

∂S∂t

]dt.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 14 / 25

Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Definisikan fungsional objektif imbuhan (augmented):

Ja =∫ T0 F (x , x , p, u, t) dt,

dengan

F =

[f +

∂S∂xx +

∂S∂t

]+ p(g − x)

= f + pg +∂S∂xx +

∂S∂t− px

= H +∂S∂xx +

∂S∂t− px .

Ingat kembali syarat perlu masalah Kalkulus variasi dengan T dan x(T )tidak ditentukan:

δJ =∫ T0 (fx −

ddt fx )h dt + (fx δx + (f − x fx )δt|T = 0.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 15 / 25

Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Terapkan pada δJa :

δJa =∫ T0

[(Fx − d

dt Fx )δx + Fuδu + Fpδp]dt+(Fx δx+(F − xFx )δt|T = 0.

Dengan demikian syarat perlu optimalitas diberikan oleh:

1 Fx − ddt Fx = 0 (persamaan Euler)

2 Fu = 03 Fp = 04 (Fx δx + (F − xFx )δt|T = 0 (syarat transversalitas)

Perhatikan bahwa:

Fx − ddt Fx =

[Hx +

∂

∂x(Sx x + St )

]− ddt(Sx − p)

= (Hx + Sxx x + Stx )− (Sxt + Sxx x − p)= Hx + p.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 16 / 25

Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin)

Dengan demikian

1 Fx − ddt Fx = 0⇔ Hx + p = 0⇔ p = −Hx .

2 Fu = 0⇔ Hu = 0.3 Fp = 0⇔ Hp − x = 0⇔ x = g(x , u, t)4 Karena

Fx = Sx − pF − xFx = (H + Sx x + St − px)− x (Sx − p)

= H + St ,

maka syarat transversalitas (Fx δx + (F − xFx )δt|T = 0 menjadi

(Sx − p)δx |T + (H + St )δt|T = 0.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 17 / 25

Prinsip Maksimum Pontryagin

Kondisi H(x∗, u∗, p∗, t) ≥ H(x∗, u, p, t) disebut "Prinsip MaksimumPontryagin" dan dipenuhi oleh:

Hu = 0,

Huu < 0.

Dalam masalah maksimisasi dengan kontrol berbatasumin ≤ u ≤ umax, jika H = H(u) fungsi naik maka u∗ = umax danjika H = H(u) fungsi turun maka u∗ = umin.

umin umax u

H

umin umax u

H

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 18 / 25

Prinsip Maksimum Pontryagin

Fungsi p disebut sebagai fungsi adjoin (mirip pengali lagrange) danmerupakan shadow price atau nilai marjinal dari J∗ jika terjadiperubahan pada x0.dHdt =

∂H∂t . Bukti:

H = f (x , u, t) + pg(x , u, t)dHdt

= fx x + fu u + ft + p(gx x + gu u + gt ) + pg

= (fx + pgx )x + (fu + pgu)u + (ft + pgt ) + pg

= Hx x +Hu u +Ht −Hx x= Ht .

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 19 / 25

Prinsip Maksimum Pontryagin

Jika S = 0 maka syarat transversalitas(Sx − p)δx |T + (H + St )δt|T = 0 berubah menjadi

−p(T )δx(T ) +H(T )δT = 0.

Jika t0 dan x(t0) juga tidak ditentukan maka syarat transversalitasharus juga dievaluasi di t = t0, yaitu

(Sx − p)δx |t0,T + (H + St )δt|t0,T = 0.

Beberapa kasus khusus syarat transversalitas akan dibahas kemudian.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 20 / 25

Prinsip Maksimum Pontryagin

ExampleSelesaikan MKO berikut:

min J =∫ 10 (x + u

2) dt

s.t. x = −ux(0) = 0

x(1) bebas.

SolutionMKO di atas dapat diubah menjadi MKV berikut:

min J =∫ 10 (x + x

2) dt

x(0) = 0

x(1) bebas.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 21 / 25

Prinsip Maksimum Pontryagin

Solution (Pendekatan KV)

Persamaan Euler fx − ddt fx = 0 memberikan

1− 2x = 0⇔ x(t) = 14 t2 + At + B.

Dari syarat batas x(0) = 0 diperoleh B = 0 sehingga x(t) = 14 t2 + At.

Syarat batas alamiah fx |t=1 = 0 memberikan

x |t=1 = 0⇔ ( 12 t + A|t=1 = 0⇔ A = − 12 ,

sehinggax∗(t) = 1

4 t2 − 1

2 t ⇒ u∗(t) = −x = − 12 t +12 .

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 22 / 25

Prinsip Maksimum Pontryagin

Solution (Pendekatan KO)Fungsi hamilton MKO di atas ialah

H = (x + u2) + p(−u) = x + u2 − pu.

Syarat perlu optimalitas Hu = 0 memberikan

2u − p = 0⇔ u(t) = 12p(t).

Syarat perlu optimalitas p = −Hx = −1 memberikan

p(t) = −t + A.

Syarat transversalitas −p(T )δx(T ) +H(T )δT = 0 memberikan

p(1) = 0⇔ A = 1⇔ p∗(t) = −t + 1.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 23 / 25

Prinsip Maksimum Pontryagin

Diperoleh

u∗(t) = − 12 t +12 ,

x∗(t) =∫− (− 12 t +

12 )dt =

14 t2 − 1

2 t + B.

Dengan memasukkan syarat batas x(0) = 0 diperoleh B = 0 sehingga

x∗(t) = 14 t2 − 1

2 t.

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 24 / 25

Fungsi Adjoin

Jika suatu MKO memiliki solusi optimal (x∗, u∗) yang berpadanan denganfungsi adjoin p∗ maka nilai fungsional objektif optimal J∗ bergantung padat0, x0, T , xT dan dinotasikan sebagai

J∗(t0, x0,T , xT ) =∫ Tt0f (x∗, u∗, t) dt.

(Jika x(T ) bebas maka J∗ tidak bergantung pada xT ).Jika x0 berubah maka pada umumnya x∗ dan u∗ juga berubah sepanjanginterval [t0,T ]. Jika J∗ terturunkan, maka berlaku

∂J∗(t0, x0,T , xT )∂x0

= p(t0).

Dari contoh sebelumnya dengan x(0) = x0 diperoleh

J∗ =∫ 10 (x

∗ + u∗2) dt =∫ 10 (

14 t2 − 1

2 t + x0 + (−12 t +

12 )2) dt

= x0 − 112 .

sehingga ∂J ∗∂x0= 1 = p(0).

tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 25 / 25