kalkulus i turunan
Post on 23-Jul-2015
155 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Kalkulus 1 : Turunan
Kelompok 9
Anggota : Reny Rosida 14.05.0.047Sri Utami 14.05.0.063Ikko Fuji Lestari 14.05.0.045Rosdi 14.05.0.044Marisa 14.05.0.069Azmi 14.05.0.056
Kelas : FKIP Matematika B Semester 1
Defenisi Turunan
• Turunan fungsi 𝒇 pada 𝒙 didefinisikan sebagai
𝒇′(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎∆𝐱→𝟎
𝐟 𝐱 + ∆𝒙 − 𝐟(𝐱)
∆𝒙apabila limitnya ada. Untuk setiap 𝒙 sedemikiansehingga limitnya ada, 𝒇′ adalah fungsi terhadap𝒙.
Contoh :
Tentukan turunan dari 5𝑥 ?
𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
5 𝑥+∆𝑥 −5𝑥
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
5𝑥+5∆𝑥−5𝑥
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
5∆𝑥
∆𝑥
= 5
Aturan Pencarian Turunan
Teorema 1 (aturan fungsi konstanta)
Jika 𝒇(𝒙) = 𝒌 dengan k suatu konstanta makauntuk sembarang x, 𝒇′(𝒙) = 𝟎
Contoh :
• 𝑓 𝑥 = 2 maka 𝑓′ 𝑥 = 0
• 𝑓 𝑥 = 1000 maka 𝑓′ 𝑥 = 0
Teorema 2 (aturan fungsi identitas)
Jika 𝒇(𝒙) = 𝒙 maka 𝒇′(𝒙) = 𝟏
Pembuktian :
𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥
∆𝑥
𝑓′ 𝑥 = lim∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥𝑓′ 𝑥 = 1
Teorema 3 (aturan pangkat)
Jika 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏, dengan n bilangan bulatpositif,maka 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏
Contoh :
• 𝑓 𝑥 = 𝑥10 maka 𝑓′ 𝑥 = 10𝑥10−1 = 10𝑥9
• 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 2 maka 𝑓′ 𝑥 =3
2𝑥 3 2−1 =
3
2𝑥 1 2
Teorema 4 (aturan kelipatan konstanta)
Jika 𝒌 suatu konstanta dan 𝒇 suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka 𝒌𝒇 ′(𝒙) = 𝒌 ∙ 𝒇′(𝒙)
Contoh :
• 𝑦 = 5𝑥5 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑦′ = 5 ∙ 5𝑥4 = 25𝑥4
• 𝑢 =1
2𝑥2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑢′ =
1
2∙ 2𝑥1 = 𝑥
Teorema 5 (aturan jumlah)
Jika 𝒇 dan 𝒈 fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,maka
𝐟 + 𝒈 ′(𝐱) = 𝒇′(𝐱) + 𝒈′(𝐱)
Contoh :
• 𝑓 𝑥 = 5𝑥6 , 𝑓′ 𝑥 = 30𝑥5
𝑔 𝑥 = 6𝑥6 , 𝑔′ 𝑥 = 36𝑥5
Maka 𝑓 + 𝑔 ′ 𝑥 = 30𝑥5 + 36𝑥5 = 66𝑥5
Teorema 6 (aturan selisih)
Jika 𝒇 dan 𝒈 fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,
Maka 𝒇 − 𝒈 ′𝒙 = 𝒇′ 𝒙 − 𝒈′(𝒙)
Contoh :
• 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 , 𝑓′ 𝑥 = 8𝑥3
𝑔 𝑥 = 4𝑥2 , 𝑔′ 𝑥 = 8𝑥
Maka 𝑓 − 𝑔 ′𝑥 = 8𝑥3 − 8𝑥
Teorema 7 (aturan hasil kali)
Jika 𝒇 dan 𝒈 fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka
𝒇 ∙ 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 ∙ 𝒈′ 𝒙 + 𝒈(𝒙) ∙ 𝒇′(𝒙)
Contoh :
• 𝑓 𝑥 = 4𝑥 , 𝑓′ 𝑥 = 4
• 𝑔 𝑥 = 2𝑥2 , 𝑔′ 𝑥 = 4𝑥
Maka 𝑓 ∙ 𝑔 ′𝑥 = 4𝑥 ∙ 4𝑥 + 2𝑥2 ∙ 4 = 16𝑥2 +8𝑥2 = 24𝑥2
Turunan Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus turunan trigonometri
• 𝐟(𝐱) = 𝒔𝒊𝒏 𝐱 → 𝒇′(𝐱) = 𝒄𝒐𝒔𝒙
• 𝐟(𝐱) = 𝒄𝒐𝒔 𝐱 → 𝒇′(𝐱) = −𝒔𝒊𝒏𝒙
• 𝐟(𝐱) = 𝒕𝒂𝒏𝐱 → 𝒇′(𝐱) = 𝐬𝐞𝐜 𝟐x
• 𝐟(𝐱) = 𝒄𝒐𝒕 𝐱 → 𝒇′(𝐱) = −𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝐱
• 𝐟(𝐱) = 𝒔𝒆𝒄 𝐱 → 𝒇′(𝐱) = 𝒔𝒆𝒄 𝐱 ∙ 𝒕𝒂𝒏𝒙
• 𝐟 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝐱 → 𝒇′ 𝐱 = −𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒕 𝒙
• 𝐟 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝒃𝒙 + 𝒄 → 𝒇′ 𝒙 = 𝒂𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒙 + 𝒄)
• 𝐟 𝒙 = 𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒃𝒙 + 𝒄 → 𝒇′ 𝒙 = −𝒂𝒃 ∙ 𝒔𝒊𝒏(𝒃𝒙 + 𝒄)
Contoh :
• 𝑓 𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓′ 𝑥 = −3𝑠𝑖𝑛𝑥
• 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛5𝑥 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓′ 𝑥 = 10𝑐𝑜𝑠5𝑥
• 𝑓 𝑥 = 4 cos 3𝑥 + 𝜋 𝑚𝑎𝑘𝑎
𝑓′ 𝑥 = −3 ∙ 4 sin 3𝑥 + 𝜋
= −12sin(3𝑥 + 𝜋)
SEKIAN
DAN
TERIMAKASIH
top related