irisan kerucut dan koordinat kutub

IRISAN KERUCUT IRISAN KERUCUT

DANDAN KOORDINAT KOORDINAT

KUTUBKUTUB

I.1 DEFINISI DAN BAGIAN I.1 DEFINISI DAN BAGIAN IRISAN KERUCUTIRISAN KERUCUT

• Irisan KerucutIrisan Kerucut adalah perpotongan atau irisan antara bidang lengkung kerucut lingkaran tegak dengan bidang datar.

• Irisan KerucutIrisan Kerucut terbagi empat, yaitu :– Berbentuk lingkaran– Berbentuk parabola– Berbentuk elips– Berbentuk hiperbola

Definisi Irisan KerucutDefinisi Irisan Kerucut

(yang berbentuk parabola, elips, dan hiperbola)

Irisan Kerucut Irisan Kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai tetap.

keterangan:• Titik tertentu = titik api (fokus)• Garis tertentu = garis arah (direktriks)• Nilai perbandingan tetap = eksentrisitas (e)

I.2 PARABOLAI.2 PARABOLA

• Definisi

ParabolaParabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu.

Bentuk Umum Persamaan Parabola yang Berpuncak di Titik Pusat (0,0)

1. y2 = 4px parabola terbuka ke kanan

2. y2 = -4px parabola terbuka ke kiri

3. x2 = 4py parabola terbuka ke atas

4. x2 = -4py parabola terbuka ke bawah

Keterangan :

p > 0

p = jarak fokus ke titik puncak parabola

RUMUS y2=4px y2=-4px x2=4py x2=-4py

Koordinat fokus (p,0) (-p,0) (0,p) (0,-p)

Garis arah x = -p x = p y = -p y = p

Sumbu simetri y = 0 y = 0 x = 0 x = 0

Titik Latus Rectum (p,2p)

(p,-2p)

(-p,2p)

(-p,-2p)

(2p,p)

(-2p,p)

(2p,-p)

(-2p,-p)

Panjang Latus Rectum 4p 4p 4p 4p

F(p,0)

direktriks x= -p

x

y

(p,2p)

(p,-2p)

PARABOLA y2 = 4px

F(-p,0)

direktriks x= p

x

y

(-p,2p)

(-p,-2p)

PARABOLA y2 = -4px

PARABOLA x2 = 4py

x

y

direktriks y = -p

0

F(0,p)

(2p,p)(-2p,p)

PARABOLA x2 = -4py

x

direktriks y = p

0

F(0,-p)

(2p,-p)(-2p,-p)

y

Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Suatu Titik

Kedudukan garis dan parabola ditentukan oleh nilai diskriminan D

D > 0 garis memotong parabola di 2 titik berbeda D = 0 garis menyinggung parabola D < 0 garis tidak memotong dan menyinggung

Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Titik (x1,y1)

Parabola Persamaan Garis Singgung

Persamaan Garis Normal

y2 = 4px

y2 = -4px

x2 = 4py

x2 = -4py

yy1 = 2p(x+x1)

yy1 = -2p(x+x1)

xx1 = 2p(y+y1)

xx1 = -2p(y+y1)

Ditentukan dari persamaan garis singgung

y – y1 = m(x-x1)

(m = kebalikan negatif m pada persamaan garis singgung)

I.3 ELIPSI.3 ELIPS

• Definisi

Elips Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.

Bentuk Umum Persamaan Elips yang Berpusat di Titik (0,0)

22222

222222

2

2

2

2

222222

2

2

2

2

c+b=a dan b>a

ba=yb+xa

vertikal) elips1=a

y+

b

x2.

ba=ya+xb

atau

)horisontal elips1=b

y+

a

x1.

berlaku

(

(

RUMUS ELIPS HORISONTAL ELIPS VERTIKAL

Titik puncak

Titik sb pendek

Fokus

Panjang sb pjg

Panjang sb pdk

e

Direktriks

Panjang LR

Titik LR

(-a,0) dan (a,0)

(0,-b) dan (0,b)

(-c,0) dan (c,0)

2a

2b

c/a

x=-a/e dan x=a/e

2b2/a

LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a)

LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a)

(0,-a) dan (0,a)

(-b,0) dan (b,0)

(0,-c) dan (0,c)

2a

2b

c/a

y=-a/e dan y=a/e

2b2/a

LR1 : (b2/a,-c) dan (-b2/a,-c)

LR2 : (b2/a,c) dan (-b2/a,c)

ELIPS HORISONTAL

F1(-c,0) F2(c,0)

x= -a/e x= a/e

A2(a,0)A1(-a,0)

B2(0,b)

B1(0,-b)

x

y

ELIPS VERTIKAL

F1(0,c)

F2(0,-c)

x= -a/e

x= a/e

A2(0,a)

A1(0,-a)

B2(b,0)B1(-b,0) x

y

0

Persamaan Garis Singgung dan Normal Elips di Titik (x1,y1)

Elips Persamaan Garis Singgung

Persamaan Garis Normal

Sama dengan perhitungan PGN

pada parabola

1=a

yy+

b

xx1=

a

y+

b

x

1=b

yy+

a

xx1=

b

y+

a

x

21

21

2

2

2

2

21

21

2

2

2

2

I.4 HIPERBOLAI.4 HIPERBOLA

• Definisi

Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.

Bentuk Umum Persamaan Hiperbola yang Berpusat di Titik (0,0)

222

222222

2

2

2

2

222222

2

2

2

2

b+a=c

ba=xa-yb

vertikal) hiperbola1=b

x-

a

y2.

ba=ya-xb

atau

)horisontal hiperbola1=b

y-

a

x1.

berlaku

(

(

RUMUS HIPERBOLA HORISONTAL

HIPERBOLA VERTIKAL

Titik puncak

Fokus

Titik sb minor

Panjang sb mayor

Panjang sb minor

e

Direktriks

Panjang LR

Titik LR

Pers. Asimtot

(-a,0) dan (a,0)

(-c,0) dan (c,0)

(0,-b) dan (0,b)

2a

2b

c/a

x=-a/e dan x=a/e

2b2/a

LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a)

LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a)

y=(-b/a)x dan y=(b/a)x

(0,-a) dan (0,a)

(0,-c) dan (0,c)

(-b,0) dan (b,0)

2a

2b

c/a

y=-a/e dan y=a/e

2b2/a

LR1 : (-b2/a,c) dan (b2/a,c)

LR2 : (-b2/a,-c) dan (b2/a,-c)

y=(-a/b)x dan y=(a/b)x

Bentuk Siku Empat Dasar HiperbolaBentuk Siku Empat Dasar Hiperbola

• Tentukan titik puncak A1 dan A2

• Tentukan titik sumbu minor B1 dan B2

• Gambarkan siku empat dasar yang melalui titik-titik tersebut seperti gambar berikut :

A1 A2

B2

B1

Hiperbola horisontal

B1 B2

A2

A1

Hiperbola vertikal

HIPERBOLA HORISONTAL

B2

B1

A1 A2

x = -a/e x = a/e

F1 F2

y = (b/a) x

y = - (b/a) x

HIPERBOLA VERTIKAL

y = (a/b) x

A2

A1

B1 B2

y = -a/e

y = a/e

F1y = - (a/b) x

F2

Persamaan Garis Singgung dan Normal Hiperbola di Titik (x1,y1)

Hiperbola Persamaan Garis Singgung

Persamaan Garis Normal

Sama dengan perhitungan PGN

pada parabola

1=b

xx-

a

yy1=

b

x-

a

y

1=b

yy-

a

xx1=

b

y-

a

x

21

21

2

2

2

2

21

21

2

2

2

2

I.5 TRANSLASI SUMBUI.5 TRANSLASI SUMBU

Penyederhanaan Persamaan Hiperbola Penyederhanaan Persamaan Hiperbola Dengan Metode TranslasiDengan Metode Translasi Kelompokkan variabel x dan y di ruas kiri dan

konstanta di ruas kanan.

Keluarkan koefisien x2 dan y2 sehingga menjadi k1(x2+ax) dan k2(y2+by).

Lengkapi kuadrat x2+ax dan y2+by dengan menambahkan kuadrat setengah koefisien x dan y.

Sederhanakan persamaan sehingga konstanta di ruas kanan menjadi 1.

Translasikan u = x + a dan v = y + b.

Contoh :

4x2 – 9y2 – 16x + 72y – 164 = 0

4x2 – 16x– 9y2 + 72y = 164

4(x2 – 4x) – 9(y2 – 8y) = 164

4(x2 – 4x + 4) – 9(y2 – 8y + 16) = 164 + 16 – 144

4(x-2)2 – 9(y-4)2 = 36

(x-2)2 (y-4)2

9 4

Translasi u = x – 2 dan v = y – 4

= 1

u2 v2

9 4=1 merupakan persamaan hiperbola horisontal

I.6 ROTASI SUMBUI.6 ROTASI SUMBU

Penyederhanaan Suatu Persamaan Grafik Penyederhanaan Suatu Persamaan Grafik AxAx2 2 + Bxy + Cy+ Bxy + Cy2 2 + Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi+ Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi

Gunakan substitusix = u cos θ – v sin θ

y = u sin θ + v cos θ

denganB

C-A=2θcot

Contoh :3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0A= 3, B = 10, C = 3, D = 8Cot 2θ = (A-C)/B

(3-3)/10 = 0Tg 2θ = ∞2θ = 900

θ = 450

Sin θ = sin 450 = ½√2 Cos θ = cos 450 = ½√2

x = u cos θ – v sin θx = ½√2 u – ½√2 v = ½√2 (u-v)

y = u sin θ + v cos θy = ½√2 u + ½√2 v = ½√2 (u+v)

3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0↔ 3[½√2 (u-v)]2 + 10 [½√2 (u-v)][ ½√2 (u+v)] + 3[½√2 (u+v)]2 + 8 = 0

↔ 3[½(u-v)2] + 10 [½(u2-v2)]+3[½(u+v)2]+8 = 0

↔ 3/2 (u-v)2 + 3/2 (u+v)2 + 5 (u2 – v2) + 8 = 0

↔ 3/2u2 – 3uv + 3/2v2 + 3/2u2 + 3uv + 3/2v2 + 5u2 – 5v2 + 8 = 0↔ 8u2 – 2v2 = -8

↔ v2/4 – u2/1 = 1 (hiperbola vertikal)

I.7 SISTEM KOORDINAT KUTUBI.7 SISTEM KOORDINAT KUTUB

• Titik Dalam Koordinat Kutub

(r,θ)

(-r,θ) (r,-θ)

(-r,-θ)

θ

Keempat titik tersebut adalah pasangan koordinat pasangan koordinat kutub.kutub.

• Menentukan Persamaan Cartesian dari Grafik Persamaan KutubGunakan substitusi persamaan-persamaan :Gunakan substitusi persamaan-persamaan :

• Menggambarkan Grafik Persamaan Kutub

Gantikan persamaan kutub ke persamaan Gantikan persamaan kutub ke persamaan CartesianCartesian

xx22 + y + y22 = r = r22

x = r cos x = r cos θθy = r sin y = r sin θθ

I.8I.8 GRAFIK PERSAMAAN KUTUBGRAFIK PERSAMAAN KUTUB

Persamaan Kutub

Persamaan Cartesian

Garis r = d / cos θ

r = d / sin θ

x = d

y = d

Lingkaran r = 2a cos θ

r = 2a sin θ

Pusat (a,0), jari-jari = a

(x-a)2 + y2 = a2

Pusat (0,a) , jari-jari = a

x2 + (y-a)2 = a2

Konik r = ed / (1 + e cos θ)

r = ed / (1 + e sin θ)

d memotong sumbu x

d memotong sumbu y

0<e<1 elips

e = 1 parabola

e > 1 hiperbola

I.9 KALKULUS DENGAN KOORDINAT I.9 KALKULUS DENGAN KOORDINAT KUTUBKUTUB

• Rumus kemiringan garis singgung di θ pada r = f(θ)

θ cos )θ(' f θsin )θf(-

θsin )θ(' f θ cos )θf(=m

+

+

d2)](f[2

1A

• Luas bidang pada koordinat kutub

• Persamaan garis singgung di kutub dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan f(θ) = 0