himpunan, fungsi, kardinalitas himpunan, dan matriks oleh arfin

Himpunan, Fungsi, Kardinalitas Himpunan, dan Matriks

Arfin (90116003)

HIMPUNAN(SETS)

Himpunan

Himpunan (sets) adalah kumpulan objek tak terurut.

Perhatikan kumpulan berikut:1. Kumpulan kucing berwarna hitam.2. Kumpulan kucing berkaki empat.3. Kumpulan kucing berkaki tiga.

Himpunan

Objek yang berada di dalam sebuah Himpunan dinamakan anggota atau elemen,

dan disimbolkan dengan .

Jadi, anggota dituliskan sebagai

Himpunan

Himpunan yang sama memiliki elemen yang sama.

Contoh: , , , Perhatikan bahwa , , dan memiliki elemen yang sama yaitu 1, 3, dan 4. Sementara D tidak. Oleh karena itu,

Menyatakan Himpunan

1. Menyatakan dengan kata-kata

Contoh:A adalah himpunan binatang berkaki empatB adalah himpunan bilangan bulat di antara 1 dan 5C adalah himpunan mahasiswa Pengajaran

Matematika angkatan 2016

Menyatakan Himpunan

2. Menyatakan dengan Notasi Pembentuk HimpunanDituliskan sebagai , dimana x adalah elemen dengan sifat

Contoh:A = {x | x adalah berkaki empat}B = {y | y adalah bilangan bulat di antara 1 dan 5}C = {z | z adalah mahasiswa Pengajaran

Matematika angkatan 2016}

Menyatakan Himpunan

B = {y | y adalah bilangan bulat di antara 1 dan 5}

Karena Himpunan B menyatakan bilangan, maka dapat disederhanakan dengan simbol matematika, yaitu:

merupakan himpunan bilangan bulat

Menyatakan Himpunan

3. Menyatakan dengan mendaftarkan semua anggotanya

Contoh:A = {sapi, kambing, domba, kucing, anjing, katak}B = {2,3,4}C = {Arfin, Salmun, Fajri, Sahat, Fahri, Boyke,

Adit, Erina}

Diagram Venn

Himpunan dapat digambarkan dengan menggunakan diagram Venn.

Contoh:

Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut Himpunan Kosong dan dilambangkan dengan atau

Contoh:M = himpunan kucing yang dapat terbang.

Karena tidak ada kucing yang dapat terbang, maka

Himpunan Bagian

Diberikan dua buah himpunan, dan . dikatakan himpunan bagian dari jika dan hanya jika setiap elemen juga merupakan elemen . Kondisi ini dapat dibaca sebagai

subset dan dilambangkan dengan .

• Himpunan kosong merupakan subset untuk sebarang himpunan

• Suatu himpunan merupakan subset dirinya sendiri

Himpunan Bagian

Diberikan dua buah himpunan, dan . dikatakan himpunan bagian dari jika dan hanya jika setiap elemen juga merupakan elemen . Kondisi ini dapat dibaca sebagai

subset dan dilambangkan dengan .

• Jika , maka dikatakan A adalah subset sejati dari B dan dilambangkan dengan

Himpunan Bagian

Diberikan dua buah himpunan, dan . dikatakan himpunan bagian dari jika dan hanya jika setiap elemen juga merupakan elemen . Kondisi ini dapat dibaca sebagai

subset dan dilambangkan dengan .

• Kondisi di atas juga dapat dibaca “superset ” dan dilambangkan

Himpunan Bagian

Contoh:C = {Arfin, Salmun, Fajri, Sahat, Fahri, Boyke, Adit, Erina}

Beberapa subset dari C adalah {Erina}, {Erina, Fajri}, {Fajri, Erina, Sahat}, dan {Fajri, Erina, Sahat, Salmun}

Kardinalitas Himpunan

Diberikan sebarang himpunan . Jika terdapat tepat elemen berbeda di dengan adalah bilangan bulat tak negatif, maka disebut himpunan terhingga (finite set) dengan

kardinalitas . Kardinalitas dilambangkan .

Contoh:A = {sapi, kambing, domba, kucing, anjing, katak}B = {2,3,4}C = {Arfin, Salmun, Fajri, Sahat, Fahri, Boyke, Adit,

Erina}Diperoleh, . , dan

Kardinalitas Himpunan

Diberikan sebarang himpunan . Jika bukan himpunan terhingga, maka dikatakan

sebagai himpunan tak terhingga (infinite set)

Contoh: merupakan himpunan tak terhingga.

Himpunan Kuasa

Diberikan sebarang himpunan . Himpunan Kuasa (power set) adalah himpunan semua

subset dari . Himpunan kuasa dari dilambangkan sebagai .

Jika mempunyai elemen, maka mempunyai elemen.

Himpunan Kuasa

Contoh:

Semua subset dari adalah:

Sehingga,}

Dengan

Cartesian Product

Diberikan sebarang himpunan dan . Cartesian Product dari dan , dilambangkan

dengan , adalah himpunan semua pasangan untuk setiap dan

Contoh:dan Sehingga,

Cartesian Product

Diberikan sebarang himpunan . Cartesian Product dari , dilambangkan dengan , adalah

himpunan semua untuk setiap untuk

Operasi Himpunan1. Gabungan

2. Irisan

3. Selisih

4. Komplemen

Operasi Himpunan

IdentitasHimpuna

n

Generalization Union and Intersecton

1. Generalized Union

2. Irisan

FUNGSI(MAPPING)

Fungsi

Diberikan himpunan tak kosong dan . Fungsi dari ke adalah relasi dari setiap

elemen ke tepat satu elemen .Penulisannya dilambangkan sebagai

, atau sehingga

FungsiDiberikan himpunan tak kosong dan . Untuk suatu ,

dengan untuk setiap dan .

Dalam hal ini: disebut domain dari () disebut kodomain dari

Range dari () didefinisikan sebagai:

Sementara itu, disebut prapeta dari dan disebut peta dari .

FungsiFungsi bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

Diberikan sebarang fungsi dan dari ke . Maka, dan juga merupakan fungsi

dari ke . Dengan , diperoleh:

Fungsi

Didefinisikan fungsi dan Maka,

Contoh:Jika dan , dengan , , dan , maka range dari subset adalah

Fungsi Injektif dan Surjektif

Didefinisikan fungsi dengan . disebut fungsi injektif (satu-satu) jika

dan hanya jika untuk setiap dan , berakibat

Didefinisikan fungsi . disebut fungsi surjektif (pada) jika

dan hanya jika untuk setiap terdapat , sehingga

Fungsi Injektif dan Surjektif

Fungsi Bijektif

Fungsi bijektif jika dan hanya jika injektif dan surjektif

Fungsi Bijektif

Fungsi bijektif jika dan hanya jika injektif dan surjektif

Invers Fungsi

Diberikan fungsi bijektif , sehingga . Invers fungsi dari atau didefinisikan

sebagai

Catatan:Fungsi yang invertibel bisa diperoleh dengan cara membatasi domain dari invers fungsi tersebut.

Fungsi KomposisiDiberikan fungsi dan . Komposisi dari fungsi dan ,

dilambangkan dengan , didefinisikan sebagai:

Fungsi Komposisi

Contoh: dan .Maka,

Grafik Fungsi

Diberikan fungsi . Grafik fungsi adalah himpunan pasangan berurut

Floor function

Floor function memetakan setiap bilangan real ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari . Dinotasikan

Ceiling function memetakan setiap bilangan real ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari . Dinotasikan

dan Ceiling function

Floor function dan Ceiling Function

Fungsi ParsialFungsi adalah fungsi parsial jika pemetaan setiap elemen subset (domain ) ke suatu elemen unik di sehingga terdefinisi. Oleh karena itu, tidak akan terdefinisi untuk elemen di yang tidak termasuk di domain terdefinisi dari .

Jika domain terdefinisi sama dengan , maka disebut sebagai fungsi total.

Fungsi ParsialContoh: untuk adalah fungsi parsial. Meski domain adalah , tetapi domain terdefinisi hanyalah . Oleh karena itu, domain terdefinisi atau adalah , bukan .

Sementara untuk adalah fungsi total karena domain terdefinisinya sama dengan domain asal.

KARDINALITAS HIMPUNAN

Kardinalitas HimpunanDiberikan himpunan dan .dan dikatakan ekuivalen atau mempunyai kardinalitas yang sama jika dan hanya jika terdapat korespondensi satu-satu (fungsi bijektif) dari ke . Jika dan mempunyai kardinalitas yang sama,

ditulis sebagai Jika fungsi dari ke adalah fungsi satu-satu (fungsi injektif), maka

Kardinalitas HimpunanContoh:

Dengan kondisi seperti itu, dapat dibentuk korespondensi satu-satu antara dan , sebagai berikut:

Dengan korespondesi seperti itu, maka dapat dikatakan bahwa ekuivalen dengan dan mempunyai kardinalitas yang sama yaitu

Countable Set

Skema HimpunanHimpunan

Uncountable Set

Empty set

Tidak mempunyai

anggota Mempunyai anggota

Denumerable Set

Terhingga

Finite set

Tak terhingga

Infinite set

Undenumerable Set

Kardinalitas Himpunan

Jika dan adalah himpunan terbilang, maka juga merupakan himpunan terbilang.

Teorema Schröder-Bernstein:Jika dan adalah himpunan dengan dan , maka

Himpunan Terbilang(Countable Sets)

Setiap himpunan yang terhingga (finite set) atau himpunan yang memiliki kardinalitas yang sama dengan himpunan bilangan bulat positif (denumerable set) merupakan himpunan terbilang (countable set).

Jika sebuah himpunan tak terhingga (infinite set) terbilang, maka kardinalitasnya ditulis sebagai

Himpunan Terbilang(Countable Sets)

Jika adalah himpunan terhingga dan , maka tentu saja . Tetapi, jika adalah himpunan tak terhingga, maka hal ini belum tentu berlaku.

Misalkan yang jelas merupakan subset dari . Tetapi dengan korespondensi satu-satu dari ke , terlihat bahwa dan ekuivalen.

Himpunan Terbilang(Countable Sets)

Himpunan tak terhingga dikatakan terbilang jika dan hanya jika terdapat fungsi bijektif dari ke , dimana

Himpunan Terbilang(Countable Sets)

Dengan contoh sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa , , , himpunan bilangan prima, himpunan bilangan ganjil, himpunan bilangan genap, himpunan bilangan bulat negatif, himpunan bilangan aljabar, semuanya ekuivalen, dengan kardinalitas .

Apakah mempunyai kardinalitas?

Untuk menentukan apakah himpunan terbilang, akan ditentukan dulu apakah merupakan himpunan terbilang atau bukan.

Andaikan terbilang, maka , sehingga:

Apakah mempunyai kardinalitas?

Tetapi, terdapat dengan untuk dan untuk , dengan Karena atau dan berbeda dengan untuk setiap , maka bilangan tidak termasuk dalam daftar , padahal merupakan elemen real di dalam interval . Jadi kita tidak mungkin mendaftarkan semua bilangan real pada interval karena akan selalu ada bilangan real yang terlewatkan.

Dengan demikian, himpunan semua bilangan real pada interval tidak terbilang, dan akibatnya, juga tidak terbilang.

Berapakah kardinalitas ? Karena tidak terbilang, maka kardinalitasnya tentuk berbeda dengan . Jika , maka . Karena tak terbilang dan , maka atau .

Dengan menggunakan bantuan notasi biner, dapat ditunjukkan bahwa , dan juga dapat ditunjukkan bahwa terdapat korespondensi satu-satu antara dan sehingga

Berapakah kardinalitas ? Secara umum, jika , maka Karena , maka Sementara itu, , berlaku Maka dengan itu berlaku pula

Sebelumnya diperoleh . Karena , maka diperoleh

MATRIKS

Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.

Matriks dengan baris dan kolom ditulis sebagai Matriks

Matriks

Bentuk matriks umum:

Elemen atau entri ke pada matriks dinyatakan sebagai , yaitu entri matriks pada baris ke dan kolom ke

Penjumlahan Matriks

Diberikan matriks dan . Penjumlahan matriks dan adalah

matriks dengan entri , atau dengan kata lain,

Perkalian Matriks

Diberikan matriks dan . Perkalian matriks dan adalah matriks

berukuran . Jika , maka:

Matriks Identitas

Matriks identitas berukuran adalah matriks berukuran , dimana:

dengan kondisi, jika , dan jika

Matriks Transpos

Diberikan matriks . Transpos matriks atau didefinisikan

sebagai dengan

Contoh:, maka

Matriks Simetris

Diberikan matriks persegi dikatakan simetris jika

Matriks Nol-Satu

Matriks nol-satu adalah matriks dengan entri nol (0) atau satu (1).

Aritmatika Boolean:

Perkalian Boolean

Diberikan dan adalah matriks nol-satu berukuran

Join dari dan adalah matriks dengan entri ke- senilai , atau:

Meet dari dan adalah matriks dengan entri ke- senilai , atau:

Perkalian Boolean

Diberikan matriks nol-satu berukuran dan dan matriks nol-satu berukuran

Perkalian Boolean dari dan , dilambangkan dengan , adalah matriks berukuran dengan entri ke- sebesar

dimana:

Perpangkatan Boolean

Diberikan matriks nol-satu berukuran dan suatu bilangan bulat positif

Perpangkatan Boolean ke- dari , dilambangkan dengan adalah perkalian

Bollean berulang sebanyak kali, sehingga:

Sumber

Rosen, K. 2012. Discrete Mathematics and It's Applications, 7th ed. New York: Mc-Graw Hill.

Gunawan, H. 2016. Menuju Tak Hingga. Bandung: Penerbit ITB

SEKIAN&

TERIMA KASIH

Kuis

Diberikan dan Tentukan dan .

Solusi Kuis

Syarat:

atau Akibatnya,

Solusi Kuis

Syarat: (kedua ruas ditambah ) (kedua ruas dikali )Akibatnya,

Karena , akibatnya , sehingga

Solusi Kuis

Solusi KuisKarena , maka , akibatnya:

(ketiga ruas dikuadratkan)(ketiga ruas ditambah )(letiga ruas dikali )Didapat

Solusi KuisKarena , maka , akibatnya:

(kedua ruas dikuadratkan)(kedua ruas ditambah )(kedua ruas dikali )

Didapat

Kesimpulannya,