daftar pustakalearning4man.weebly.com/.../gabungan-file-kalkulus-2.doc · web viewcontoh soal...
Post on 20-Mar-2019
241 Views
Preview:
TRANSCRIPT
KALKULUS INTEGRAL
O l e hDrs. Dwi Purnomo, M.Pd.
NIP : 196412041990031003
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS PENDIDIKAN ILMU EKSAKTA DAN KEOLAHRAGAAN
IKIP BUDI UTOMO MALANGMEI 2010
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur senantiasa penulis panjatkan kehadlirat Allah swt. atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga ditengah-tengah kesibukan dan rutinitas penulis serta dengan segala kekurangannya, dapat disusun modul sederhana yang diharapkan dapat membantu mahasiswa dalam mempelajari Kalkulus Integral. Modul ini dimaksudkan untuk memberikan bekal kepada mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengeahuan Alam Fakultas Pendidikan Ilmu Eksakta dan Keolahragaan IKIP Budi Utomo Malang yang sedang mengikuti perkuliahan Kalkulus. Kekurangan dan belum sempurnanya modul ini menjadi ‘tuntutan” penulis sehingga yang seharusnya mahasiswa menerima banyak pengetahuan tentang Kalkulus Integral dari modul ini belum dapat terwujud seluruhnya. Terselesaikannya penulisan modul ini tentu tidak terlepas dari bantuan rekan-rekan seprofesi di IKIP Budi Utomo Malang, lebih-lebih mahasiswa yang menjadi motivasi penulis untuk segera menyelesaikan modul sederhana ini. Terima kasih juga untuk anak-anakku Pandu, Prisma, Caesar dan juga mama anak-anak yang juga telah memberikan dorongan dan inspirasi panjang selama pembuatan modul ini. Semoga bahan ajar yang telah dituangkan dalam modul ini, akan sangat berguna bagi mahasiswa. Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insyaallah diperbaiki dikemudian hari.
Malang, 3
Mei 2010 Penulis
Kalkulus Integral 2
Dwi Purnomo
DAFTAR ISIHalaman
Halaman Sampul ........................................................
1
Kata Pengantar ..........................................................
2
Daftar Isi ....................................................................
3
Bab I PENDAHULUAN 1.1 Turunan ..... .........................................................
4
1.2 Antiturunan ..........................................................
9
1.3 Integral Tertentu .................................................
17
Bab II TEKNIK INTEGRAL 2.1 Teknik Substitusi .................................................
28
2.2 Integral Fungsi Trigonometri ...............................
34
2.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri ................
45
2.4 Integral Parsial ....................................................
57
2.5 Integral Fungsi Rasional ......................................
61
2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri ............................................................
73
Bab III INTEGRAL TIDAK WAJAR 3.1 Pengertian ..........................................................
79
3.2 Integral Tidak Wajar dengan Batas 81
Kalkulus Integral 3
Diskontinu ...3.3 Integral Tidak Wajar dengan Batas Tak Hingga ..
85
Bab IV RUMUS-RUMUS INTEGRAL ........................................
91
Bab V TRANSFORMASI LAPLACE 5.1 Definisi Transformsi Laplace ...............................
101
5.2 Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada ..............
106
5.3 Metode Transformasi Laplace .............................
106
5.4 Sifat-sifat Transformasi Laplace ..........................
108
DAFTAR PUSTAKA ....................................................
122
BAB IANTITURUNAN
1.1 Turunan Pembahasan tentang turunan tidak dapat dipisahkan dari
pengertian tentang fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk y = f(x), sedangkan fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0. Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.
Kalkulus Integral 4
1. y = 2 - 2. y = 33. y = 4. x + y – 25 = 0 5. xy + x y – 2 = 06. x – 2x + y + 4y – 5 = 0
Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan contoh 4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit. Perhatikan contoh 5 di atas. Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan turunannya. Definisi Turunan fungsi y = f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f’(x) dan didefinisikan oleh
f’(x) = , asalkan limitnya ada.
Misal (x+ = t , maka = t – xKarena maka Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain
f’(x) = , asalkan limitnya ada.
Notasi lain untuk turunan y = f(x) dinyatakan dengan ,
.
Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka turunannya dapat dilakukan dengan
Kalkulus Integral 5
menggunakan kaidah differensial yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit. Contoh
Tentukan fungsi-fungsi berikut.
1. y = + C Berdasarkan definisi di atas diperoleh
=
= .
=
=
=
=
2. y =
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
=
=
=
Kalkulus Integral 6
=
Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh di atas disebut fungsi yang differensiable (dapat diturunkan). Dengan cara yang sama, jika y = xn maka turunannya ditentukan oleh:
=
=
=
=
= nx3. x
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:d(x + d(y - d(25) = d(0)
x + y = 0
4. Tentukan dari x2y + xy2 – 2 = 0
d(x2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0) (x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0
Kalkulus Integral 7
(2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0
= -
Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) adalah fungsi yang masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real, maka dengan menggunakan definisi turunan dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan fungsi sebagai berikut.
1. (c) = 0
2. (x) = 1
3. (xn) = nxn-1
4. (un) = nun-1 (u)
5. ( u + v) = (u) + (v)
6. (u - v) = (u) - (v)
7. ( u v w ... ) = (u) (v) (w) ...
8. (cu) = c (u)
9. (uv) = u (v) + v (u)
10. (uvw) = uv (w) + uw (v) + vw (u)
11. ( ) =
Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Kalkulus Integral 8
Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan
= , dapat ditunjukkan beberapa turunan
fungsi geometri di bawah ini. y = cos x, maka
=
=
=
=
= -sin x.Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:
1. (sinx) = cos x
2. (cos x) = -sin x
3. (tan x) = sec2x
4. (cot x) = -csc2x
5. (sec x) = sec x tan x
6. (csc x) = -csc x cot x
1.2 Antiturunan Antiturunan merupakan balikan dari turunan, sehingga
untuk mempelajarinya harus dikaitkan dengan turunan fungsi.
Menurut definisi turunan, jika y = maka .
Kalkulus Integral 9
Dengan cara yang sama, diperoleh
1. Jika y = +3 maka .
2. Jika y = - 3 maka .
3. Jika y = - 100 maka
4. Jika y = + maka , dan seterusnya.
Dengan kata lain, untuk y = + C, C maka .
Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka
penulisan bentuk di atas dapat disederhanakan dengan A
= . Hal ini berarti bahwa fungsi y = , dengan C mempunyai
turunan .
atau antiturunan dari f(x) = adalah F(x) = + C, C .
Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable (terintegralkan).
Dalam hal yang lebih umum, bentuk A = .
dinyatakan dengan dx = .
Jadi, misal y = f(x) dan antiturunannya adalah F(x) + C, maka f(x) dx = F(x) + C, C Real. Bentuk f(x) dx = F(x) + C , f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut anti turunan.
Teorema 1.Jika r sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
Kalkulus Integral 10
.
Akibatnya jika r = -1 maka
= = ln
BuktiUntuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk
f(x) dx = F(x) + C, C Real.Kita cukup menunjukkan bahwa
Dalam kasus di atas
Teorema 2Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang integrable dan C sebarang konstanta maka:1. = C ,2. ,3. ,Bukti Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.1. D { C } = C D { } = Cf(x) 2. D { } = D = f(x) + g(x) 3. D { } = D = f(x) - g(x)
Kalkulus Integral 11
Contoh Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas. 1.
Jawab =
=
=
2.
Jawab
=
=
=
3.
Jawab
= dx
=
=
=
Teorema 3
sin x dx = - cos x + C, C Realcos x dx = sin x + C, c Real
Kalkulus Integral 12
BuktiUntuk membuktikan teorema di atas cukup dengan menunjukkan bahwa D dan
Teorema 4Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan Rasional yang bukan -1, maka:
C Real.
Contoh1. Jawab Karena = 6x dx, sehingga berdasarkan teorema di atas
= d(6x)
=
= + C.
2.
Jawab Karena D (2y = 4y dy, maka
=
=
=
=
Kalkulus Integral 13
=
3. Jawab
Misal U = 6x + 2 dU = 6 dx atau 3 dx = , sehingga
=
=
=
4. Jawab Misal A = A 2A dA = (-sin x) dx, sehingga: = = -2
=
=
Beberapa rumus dasar integral tak tentu. 1. dx = x + C, C Real2. f(x) dx = F(x) + C, C Real
1. xr dx = xr+1 + C, C Real, r -1
2. (u+v) dx = u dx + v dx 3. a u du = a u du
4. dx = ln | x | + C = log │x│+ C, C Real
Kalkulus Integral 14
5. au du = + C, C Real
6. eu du = eu + C, C Real7. tan x dx = ln | sec x | + C, C Real8. sec x dx = ln | sec x + tan x | + C, C Real9. cot x dx = ln | sin x | + C, C Real10. css x dx = ln | csc x – cot x | + C, C Real11. sec2x dx = tan x + C, C Real12. csc2x dx = - cot x + C, C Real13. sec x tan x dx = sec x + C, C Real14. csc x cot x dx = -csc x + C, C Real
15. cosm x dx = cos m-2 x dx
16. sinm x dx = sin m-2 x dx
17. u dv = uv - v du
18. = ln + C, C Real
19. = ln + C, C Real
20. = arc sin + C
21. = arc tgn + C
22. = arc sec + C
23. dx = u + a2 Ln ( u + ) + C
24. dx = u - a2 Ln ( u + ) + C
25. dx = u + a2 Ln ( u + ) + C
Kalkulus Integral 15
30. = arc sinh + C
31. = arc cosh + C
32. du = du
Soal-soal Tentukan integral berikut. 1234
5
6
7
8
9 10Andaikan u = sin{(x }11Tentukan 12
13
14
Kalkulus Integral 16
1.3 INTEGRAL TERTENTU
Definisi :Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya f(x) dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b]
jika ada.
Selanjutnya disebut Integral Tentu (Integral Riemann)
f(x) dari a ke b, dan didefinisikan
= .
menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva
y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.
Definisi :1. = 0
2. = - , a > b
Teorema Dasar Kalkulus
Kalkulus Integral 17
Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan
f(x), maka = F(b) – F(a)
Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) =
Contoh :1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka
Jawab :
Karena F(x) = suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka
menurut teorema dasar Kalkulus
Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :Misal f(x) dan g(x) terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka:
1. k b
adxxf )(
2. dxxgxfb
a)]()([ =
b
adxxf )( +
Contoh :
Hitung
Kalkulus Integral 18
Jawab :
= 4
= 4 = 12
Sifat-Sifat Integral Tentu1. Sifat Penambahan Selang
Teorema :Jika f(x) terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga titik a, b dan c, maka
= + bagaimanapun urutan a, b dan
c.Contoh :
1. 2.
3.
2. Sifat SimetriJika f(x) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat f(-x) = f(x) , maka:
= 2 dan
Jika f(x) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat f(-x) = - f(x), maka
Kalkulus Integral 19
= 0.
Contoh :
1.
2. = 0
Secara lebih umum, sifat-sifat integral tertentu adalah:Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k Real dan f(x), g(x) terintegralkan pada interval tersebut, maka:
1.
2.
3.
4.
5. , jika b < a
6. , c
7. jika f(-x) = -f(x)
8. = 2 , jika f(-x) = f(x)
9. Jika F(u) = , maka
Kalkulus Integral 20
10. = (b-a) untuk paling sedikit x = x antara a
dan b.
11. jika dan hanya jika f(x) g(x) untuk
setiap x [a,b].
12.
ContohTentukan hasil integral
1.
Jawab
=
=
= (4+2) – (0+0) = 6
2.
Jawab Misalnya u = (x ) du = 3x dx
Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:
=
Kalkulus Integral 21
=
=
=
3.
Jawab Misal p = p = u 2p dp = du Untuk u = 1 maka p = 1 Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:
4. =
=
=
=
=
=
=
5.
Jawab Misal A = A x 2A dA = 2x dx
Kalkulus Integral 22
Untuk x = 4 maka A = 1Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga
=
=
= [A] = 7 – 1 = 6
6. =
=
=
7. Tentukan
dengan f(x) = Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
, c
sehingga:
=
= (1-0) +(4-2) +
=
Kalkulus Integral 23
8. dx
Menurut definisi fungsi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan dengan
dx = dx + dx.
=
= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)
=
Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:
1.
2.
= = , dengan sifat integral diperoleh = - dx +
=
=
=
Latihan di rumah
2.
Kalkulus Integral 24
3.
4.
3.
= 2 dx
Misal = u 4-x = u atau x = 4 - u
-2x dx = 2 u du atau dx =
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. dx
13.
Kalkulus Integral 25
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26. Hitunglah , jika:
a. f(x) = b. f(x) = c. f(x) = d. f(x) = untuk -e. f(x) = , untuk -1
Kalkulus Integral 26
f. f(x) = (x- )g. f(x) = x , untuk -
BAB IITEKNIK INTEGRAL
Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah: Teknik Substitusi, Integral Fungsi Trigonometri, Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri, Integral Parsial, Integral Fungsi Rasional, dan Integral Fungsi Rasional yang memuat fungsi Trigonomteri.Berikut ini penjelasan teknik-teknik dalam pengintegralan.
2.1 Teknik Substitusi
Kalkulus Integral 27
Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. Teknik substitusi pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a. dx = + C, asalkan n -1 atau
b. = + C, asalkan n -1
Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.
Perhatikan beberapa contoh berikut:1. dx
Misal u =
Substitusi bentuk terakhir ke dx, diperoleh= -2
Dengan rumus dasar di dapat dx = -2
= -2
= -
Kalkulus Integral 28
2. Misal A = 3x + 12 d(A) = d(3x+12) dA = 3 dx
dx =
Sehingga =
=
=
=
=
3. dxMisal A = 2x d(A) = d(2x) dA = 2 dx
dx =
dx =
=
=
=
=
=
Kalkulus Integral 29
=
=
4. (4x+2) dx Jawab Misal A = A = 4x 4x 2A dA = (8x+4) dx 2A dA = 2(4x+2) dx A dA = (4x+2) dx Sehingga (4x+2) dx = .A dA =
=
= + C
5.
Jawab Misal P =
P = 3t + 4 t =
d(P ) = d(3t+4)
2P dp = 3 dt dt = , sehingga
=
=
Kalkulus Integral 30
6.
Jawab Misal U = U = 16 - x x = 16 - U d(U ) = d(16 - x ) 2U du = (-2x)dx
dx =
= du
=
= -
=
=
=
Soal-soal Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini: 1.
Jawab
Misal M = (t+2)
M = (t+2) 2M dM = 3(t+2) dt
=
Kalkulus Integral 31
=
= + C
= + C
=
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.12.13.14.
15.
16.
Kalkulus Integral 32
17.
18.
19.
20.
2.2 Integral Fungsi TrigonometriSebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri
secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah: 1. dx = -cos x + C2. dx = sin x + C 3. x dx = ln = -ln 4. x dx = - ln = ln 5. dx = ln 6. x dx = ln Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:A. dan dengan m bilangan ganjil atau genap positip
Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi
Kalkulus Integral 33
dengan menggunakan kesamaan identitas atau sin = 1 - cos atau cos = 1 - sin .
Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.
Contoh:1. Jawab = = dx = =
= -cos x +
2. Jawab = dx = = = =
= sin x -
3. Jawab:
Misal u = 2x, du = 2dx atau dx =
Sehingga
Kalkulus Integral 34
=
=
=
=
=
=
Bentuk , , jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
sin = dan cos
Contoh:1. Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka
=
=
=
2. Jawab = dx
=
=
Kalkulus Integral 35
=
= 42sin
4xx
+
=
=
3. Misal u = 2x , du = 2dx atau
dx = , sehingga
=
=
=
=
=
=
=
Karena u = 2x, maka
=
B. Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan
lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m
Kalkulus Integral 36
ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan n genap digunakan kesamaan
setengah sudut sin = dan cos sehingga
diperoleh hasil pengintegralannya.Contoh 1. Jawab Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas = = = =
=
= cos
2. Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap = = =
=
3. Jawab Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap =
Kalkulus Integral 37
= =
=
Atau = = =
=
4. Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
=
=
=
=
=
=
4. Jawab
Kalkulus Integral 38
Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan kesamaan setengah sudut sin =
dan cos , sehingga:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
C. dan Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas
1 + dan 1+cot . Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 + dan 1+cot .
Kalkulus Integral 39
Perhatikan contoh berikut:1. Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 + Sehingga diperoleh = tanx dx = tan x dx = tan x dx - tan x dx = tan x sec dx – ln + C = d(tan x) – ln + C
=
2. Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot , sehingga didapat
= = = = = =
=
=
D. , dan
Kalkulus Integral 40
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan atau 1 + cot = csc . Contoh 1.
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan , sehingga diperoleh
= = = d(tgnx)
=
2. Jawab = = =
=
Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 + tan atau 1 + cot = csc .
Contoh:1. = = =
Kalkulus Integral 41
=
=
2. = tan x sec sec x dx = -1)sec d(sec x) = sec d(secx)
= + C
E. , Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
sin mx cos nx =
sin mx sin nx =
cos mx cos nx =
Contoh y
1. 3x cos 4x dx = dx
= + sin (-x) dx
= - x + C
2. dx = dx
= (cos 5x – cos x) dx
= 5x + x + C
Kalkulus Integral 42
3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y] dy
= dy
=
Soal-soalTentukan hasil integral berikut ini.1.
2.
3.
4.
5.
6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.
16.
17.
18.
Kalkulus Integral 43
19.
20.
2.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri
Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk
menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:
a. , a > 0, a Real
b. = , a > 0, a Real
c. , a > 0, a Real
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas,
misalnya
=
=
= atau yang dapat diubah menjadi
bentuk kuadrat sempurna.
Integrannya memuat atau sejenisnya, Gunakan substitusi
x = a sin t atau sin t =
x = a sin t dx = a cos t dt
dengan - sehingga,
=
Kalkulus Integral 44
=
= a cos t
Catatan
Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya
diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri
yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t. Hal ini
dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah
fungsi-fungsi tersebut.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. dx
Jawab
Substitusi x = 2 sin t
sin t =
dx = 2 cos t dt
=
Sehingga
dx =
=
= 4 = 4
Kalkulus Integral 45
= 2 + 2 dt
= 2t + sin 2t + C
= 2t + 2 sin t cos t
= 2 arc sin + C
Atau 4 = 4 ( + )
= 2 sint cost + 2t + C
= 2 + 2 arc sin + C
=
2.
Jawab
=
Substitusi (x-2) = 2 sin t,
dx = 2 cos t dt
, sehingga
=
=
= t + C
= arc sin + C
Kalkulus Integral 46
3.
Jawab
=
Substitusi (x-3) = 5 sin t,
dx = 5 cos t dt
= 5 cos t, sehingga
=
=
= t + C
= arc sin + C
4. dx
Jawab
Substitusi x =
dx =
= , sehingga
dx =
= 9
= 9
Kalkulus Integral 47
=
=
=
=
=
= + C
=
5.
Jawab:
Substitusi x = 5 sin A atau sin A = dan dx = 5 cos A dA
Sehingga
=
= 5
= 5
Kalkulus Integral 48
= 5 ln
= 5 ln
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Kalkulus Integral 49
Integral yang integrannya memuat bentuk atau
bentuk yang sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi
x = a tan t, - sehingga,
Untuk membantu menyelesaikan bentuk di atas, perhatikan
segitiga berikut ini:
=
=
= a sec t
Karena x = a tan t maka dx = a sec dt.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1.
Jawab
Substitusi x = 3 tan t
dx = 3 sec t2 dt
= 3 sec t, sehingga
Kalkulus Integral 50
=
=
= ln
= ln + C
= ln
2.
Jawab
=
=
Substitusi (x+2) = tan t
x = (tan t) - 2
dx = sec t dan
= sec t, sehingga
=
=
= - dt
= 2 sec t – 5 ln
= 2
Kalkulus Integral 51
Kerjakan soal berikut sebagai latihan
1. dx
2.
3. dx
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Integral yang integrannya memuat bentuk atau
sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi
x = a sec t, - .
Kalkulus Integral 52
Karena x = a sec t maka dx = a sec t tan t dt, dan
=
= a tan t
Selanjutnya perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab
Substitusi x = 3 sec t
dx = 3 sec t tan t dt
= 3 tan t, sehingga
=
= 3
= 3
= 3 tan t – 3 t + C
= 3
2.
Kalkulus Integral 53
Jawab
=
Substitusi (x-1) = 3 sec t,
dx = 3 sec t tgn t dt
= 3 tgn t, sehingga
=
=
= ln
= ln
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1. dx
2.
3.
4.
5.
6.
Kalkulus Integral 54
7.
8.
9.
10.
2.4 Integral ParsialSecara umum integral parsial digunakan untuk
menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh dy = d(uv) d(uv) = u dv + v du Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan tersebut. Perhatikan beberapa contoh berikut ini. Tentukan integral persial berikut ini
Kalkulus Integral 55
1. Jawab Bentuk diubah menjadi udv, Misal u = x , dv = 1 dx dv = cos x dx , v = dx = sin x Akibatnya = x d(sin x). Dengan rumus integral parsial , diperoleh x d(sin x) = x sin x - d(x) = x sin x - dx = x sin x + cos x + C Akhirnya diperoleh = x sin x + cos x + C2. dx Pilih u = x , du = dx
dv = , v = dx =
Sehingga dx =
Berdasarkan rumus integral parsial , diperoleh
dx =
= -
= -
= -
3. e dx Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx
Kalkulus Integral 56
dv = , v = = , sehingga: e dx = sin x d( = = Diperoleh bentuk yang juga diselesaikan dengan metode parsial Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx dv = , v = = , sehingga: e dx = cos x d( = = = Akhirnya diperoleh
e dx = =
e dx =
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.1.2. Jawab: = Pilih u = sin2 x du = d(sin2 x ) = 2sinx cos x dv = sin x dx maka v = = - cos x Sehingga = = -cos x sin2x -
Kalkulus Integral 57
= -cos x sin2x + = -cos x sin2x + 2 = -cos x sin2x + 2
3 = -cos x sin2x + 2
=
=
3. tan x dx4. tan x dx 5. ln x dx6. dx 7. cos 2x dx8. e dx
9. dx
10. dx11.12.13. dx14. 15. dx16. dx17. dx18. dx 19. dx20. dx
Kalkulus Integral 58
2.5 Integral Fungsi Rasional. Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan
dalam bentuk F(x) = , dimana f(x) , g(x) adalah fungsi
pangkat banyak (polinom) dan g(x) 0.Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan f(x) = a + a x + a x + a x + … + a x , n = 1, 2, 3, … ,
sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk yang
pembilang dan penyebutnya polinom.Contoh
1. F(x) = (Fungsi Rasional Sejati)
2. F(x) = (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
3. F(x) = (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
F(x) =
= x +
Kalkulus Integral 59
F(x) = , g(x) 0.
Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) =
sampai tidak dapat difaktorkan lagi.3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa
kombinasi antara:- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)
= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax +bx + c)- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax px + qx + c) - fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax dan
seterusnya. 4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan
parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,
Misal : (Penyebut kombinasi liner
berbeda)
(kombinasi lenear
berulang)
(kombinasi kuadrat
berbeda)5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial
tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan
Kalkulus Integral 60
terlebih dahulu menentukan konstanta A , A , …A dan B , B, …B .
Contoh
1. Tentukan
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:
dx =
=
=
=
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
dx =
= -
= ln
= ln
2. integran fungsi rasional tidak sejati, maka:
=
= x + ln (x-1) + CSoal-soal Tentukan hasil pengintegralan berikut:
Kalkulus Integral 61
1.
Jawab
=
=
=
=
Diperoleh A + B + C = 0 A + 3B – 2C = 1 -6A = 1
Atau A = - , B = , C =
Sehingga =
=
2.
3.
4.
Jawab
= , menurut teorema 2.2
=
= x + C +
Kalkulus Integral 62
= , menurut teorema 2.2
=
=
Diperoleh A+B = 5, 2A-4B= 4 atau A = 4, B = 1
Sehingga =
= 4 ln = ln (x-4) = ln
5.
6.
Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)
1. , karena integran adalah fungsi rasional sejati
maka:
=
=
=
=
= dx
Sehingga diperoleh A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga
Kalkulus Integral 63
= dx
=
= ln
2.
Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:
=
=
Selanjuntnya
=
=
=
Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:
dx
= 5 ln
3.
Integran fungsi rasional sejati, sehingga:
Kalkulus Integral 64
=
=
=
=
Diperoleh A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga
=
=
= ½ ln
4. dx ( integran bukan fungsi rasional sejati)
Jawab :
dx =
= +
Kalkulus Integral 65
= +
Selanjutnya dicari =
=
=
=
Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4
atau A = -1, B = , C =
Sehingga:
= -
Soal-soal Tentukan hasil dari:
1.
3.
4.
5.
Kalkulus Integral 66
Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial
, berdasarkan jumlah tersebut dapat
ditentukan A,B, dan C.
Contoh
1.
Karena integran fungsi rasional sejati maka
=
=
=
Diperoleh A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
=
Kalkulus Integral 67
=
=
2.
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga
=
=
=
=
DiperolehA+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:
=
=
= arctg x +
3.
Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x , sehingga
Kalkulus Integral 68
=
=
=
Maka diperolehA + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau A = 2, B = -1, C = 0, D = -1
=
= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctan x + C = ln(x+3) - ln(x-2) – arctan x + C
= ln arctan x + C
Jadi = ln arctan x + C
Soal-soalTentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab
=
=
Kalkulus Integral 69
=
=
Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1
=
=
= ln + ½
arc tan
2.
Jawab:
=
=
= ½ x2 - 5
= x2 – 5.
= ½ x2 -
= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C = ½ x2 – ln + C
3.
4. (fungsi rasional sejati)
Jawab
Kalkulus Integral 70
=
= dx
=
=
Didapat p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2 atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0
sehingga dx =
= arc tan x + ½ ln (x + C = arc tan x + ln + C
5.
Jawab
= dx
=
=
Diperoleh
Kalkulus Integral 71
p = 1, q = 0, p+r = 1, dan q+s = -1 atau p = 1, q = 0, r = 0, dan s = -1 sehingga
=
= ln
6.
Jawab
=
=
Catatan : diteruskan sendiri
2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x
Fungsi F(x) = dan g(x) mememuat
fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE SUBSTITUSI.Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.
1. F(x) =
Kalkulus Integral 72
2. F(x) =
3. F(x) =
4. F(x) =
5. F(x) =
Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:
1.
2.
3.
4. dx
5. dx
Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi
x = 2 arc tan z sehingga dx = .
Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x = 2 arc tan z maka:
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri
1 + tan = sec
Kalkulus Integral 73
1 + z
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain sin
, sehingga didapat
sin
=
Dengan rumus jumlah cosinus didapat:cos 2x = cos sin x
=
Dengan rumus jumlah sinus didapat:sin 2x = 2 sin x cos x
sin x = 2 sin cos
= 2
=
Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi
x = 2 arc tan z, sin x = , cos x =
Kalkulus Integral 74
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Tentukan selesaian dari
1.
Jawab
=
=
=
=
= ln + C
= ln
2.
Jawab =
=
=
=
= arc tan + C
Kalkulus Integral 75
= arc tan z + C
= arc tan (tan x/2) + C
3. =
Jawab
=
=
=
=
=
=
= 3 ln
= 3 ln
Soal-soalSelidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!
1. = + C
2. = + C
3. = + C
Kalkulus Integral 76
4. = ln + C
5.
6.
7.
8.
9.
10. = ln 11. dx = -ln
BAB IIIINTEGRAL TAK WAJAR
3.1 Pengertian Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar,
marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.Teorema: Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka
=
Contoh
1.
= (4- ½ .16) – (2- ½ 4)
Kalkulus Integral 77
= -4 – 0 = -4
2.
= ln (1+2) – ln (1+1) = ln 3 – ln 2
3. , tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas
karena integran
f(x) = tidak terdefinisi pada x = 1.
4. , tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas,
karena integran f(x) = tidak terdefinisi di x = 0
Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.
Bentuk disebut Integral Tidak Wajar jika:
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.
Pada kasus ini teorema dasar kalkulus = F(b) – F(a)
tidak berlaku lagi.Contoh
1) , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu
di [0,4)
Kalkulus Integral 78
2) , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x)
kontinu di (1,2]
3) , f(x) tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di
[0,2) (2,4]
b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga
1) , integran f(x) memuat batas atas di x =
2) , integran f(x) memuat batas bawah di x = -
3) , integran f(x) memuat batas atas di x = dan batasa
bawah di x = -Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan
integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( ).
Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.
3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinua. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b
Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b - ( ), sehingga
Kalkulus Integral 79
Karena batas atas x = b - ( x b ), maka
maka
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4,
sehingga
=
= -2
= -2 ( )
= -2(0-2) = 4Cara lain
=
=
= -2(0)+2(2) = 4
2. , f(x) =
Fungsi di atas tidak kontinu di x = 2 dan x = -2, sehingga:
maka 2
Kalkulus Integral 80
= 2
= 2
= 2 (
=
3. , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4
sehingga diperoleh
= tidak berarti, karena mempunyai bentuk
b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = aKarena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a + ( ), sehingga
Karena batas bawah x = a + ( x a ) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
1.
Kalkulus Integral 81
=
=
= 6(1) – 6(0) = 6
2. ,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0
sehingga diperoleh:
=
= 2 – 0 = 2
3. , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0
=
= (1.0-1) –(0-0) = -1
c. f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = c Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + dan x = c - ( ), sehingga
= +
Kalkulus Integral 82
Dapat juga dinyatakan dengan
+
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
1. , f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh
, berdasarkan contoh sebelumnya
didapat:
=
=
=
2. f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh
=
=
= -
=
3. , f(x) diskontinu di x = 0, sehingga diperoleh:
Kalkulus Integral 83
= +
=
=
= tidak berarti karena memuat bentuk
3.3 Integral tak wajar dengan batas tak hinggaBentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika
sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.
a. Intergral tak wajar dengan batas atas x = . Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.
Perhatikan contoh berikut ini
1. =
=
=
= ( ½ . - ½ .0)
Kalkulus Integral 84
=
2. =
=
=
= 1
b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = - Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:
Perhatikan contoh berikut ini:
1. dx =
=
= ½ - 0 = ½
2. =
=
= 0 +
= ¼
Kalkulus Integral 85
c. Integral tak wajar batas atas x = dan batas bawah di x = -
Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan
, sehingga bentuk penjumlahan
integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:
=
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:
1.
=
= +
=
2. = +
= +
= (arc tgn e ) + (arc tgn e )
=
=
Kalkulus Integral 86
Soal-soal Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab Karena integran diskontinu di x = 3, maka
=
=
=
=
= (90
2. dx
3.
4.
Jawab f(x) = x ln x diskontinu x = 0, sehingga
=
=
=
= tidak terdefinisi karena memuat ln 0
Kalkulus Integral 87
5. = dx
=
=
= 0 + 1 = 1
6.
7.
8.
9.
10.
11. =
= , ATAU
=
=
= -2 = tidak terdefinisi (tidak terintegralkan)
Kalkulus Integral 88
BAB IVRUMUS-RUMUS DASAR INTEGRAL
Misal u adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan C sebuah konstanta, dengan memperhatikan sifat-sifat operasi Aljabar fungsi (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian) dapat diperikan beberapa sifat Integral tak tentu fungsi yang terintegralkan. Sifat-sifat berikut berlaku untuk syarat yang diberikan.
1. du = + C, jika n -1
2. , jika n -1
3. = ln + C atau
4. eu du = eu + C
5. au du = + C
6. u dv = uv - v du 7. sin du = - cos u + C 8. cos u du = sin u + C 9. sec2 u du = tan u + C 10. csc2 u du = - cot u + C 11. sec u tan u du = sec u + C
Kalkulus Integral 89
12. csc u cot u du = - csc u + C13. tan u du = ln + C14. cot u du = ln + C 15. sec u du = ln + C 16. csc u du = ln + C
17. = arc sin +C
18. = arc tan + C
19. ln + C
20. ln + C
21. = ln (u + )
+ C
22. = ln (u + )
+ C
23. du = ½ u
24. = arc sec + C
25. du = ½ u + C
26. du = ½ u + C
27. sin2 u du = u – sin 2u + C
28. cos2 u du = u + ¼ sin 2u + C
29. tan2 u du = -u + tan u + C 30. cot2 u du = - u – cot u + C
Kalkulus Integral 90
31. sin3 u du = - ( 2 + sin2 u ) cos u + C
32. cos3 u du = ( 2 + cos2 u ) sin u + C
33. tan3 u du = tgn2 u + ln + C
34. cot3 u du = - cot2 u - ln + C
35. sec3 u du = sec u tan u + ln + C
36. csc3 u du = - csc u cot u + ln + C
37. sin au sin bu du = - + C, jika a2 b2
38. cos au cos bu du = + + C, jika a2 b2
39. sin au cos bu du = - - + C, jika a2 b2
40. sinnu du = - + sin n-2 u du
41. cosn u du = + cos n-2 u du
42. tann u du = tan n-1 u - u du jika n 1
43. cot n u du = - cot n-1 u - u du jika n 1
44. sec n u du = sec n-2 u tgn u + sec n-2 u du, jika
n 1
45. csc n u du= - csc n-2 u cot u + csc n-2 u du, n 1
Kalkulus Integral 91
46. sin n ucos m u du = - + sin n-2 u cos m u
du, n -m 47. u sin u du = sin u – u cos u + C48. u cos u du = cos u + u sin u + C49. un sin u du = -un cos u + n u n-1 cos u du
50. un cos u du = un sin u + n u n-1 sin u du
51. sin u d(sin u) = sin u + C
52. cos u d(cos u) = cos u + C
53. tan u d(tan u) = tan u + C
54. cot u d(cot u) = ½ cot2 u + C55. sec u d(sec u) = ½ sec2 u + C56. csc u d(csc u) = ½ csc2 u + C
57. du = ln + C
58. du = - a ln + C
59. = ln + C
60. du = - a arc sec + C
61. u2 du = (2a2 u2) - ln + C
62. du = ln + C
63. = + C
Kalkulus Integral 92
64. du = - - ln + C
65. = + C
66. = - + C
67. ( )3/2 du = (2u2 5a2) +
ln + C
68. du = + arc sin -1 + C
69. du = - + arc sin -1 +
C
70. du = - a ln + C
71. u2 du = (2u2- a2) + arc sin -1 + C
72. = - + C
73. du = - - arc sin -1 + C
74. = - ln + C
75. = ln + C
76. du = 2 - 2 arc tan + Cl
77. = 2 ln (1+ )
78. = + C
Kalkulus Integral 93
79. ( )3/2 du = (5a2- 2u2) +
arc sin -1 + C
80. ueu du = (u-1)eu + C 81. un eu du = un eu – n un-1 eu du 82. ln u du = u ln u – u + C
83. un ln u du = ln u - + C
84. eau sin bu du = (a sin bu – b cos bu) + C
85. eau cos bu du = (a cos bu + b sin bu) + C
86. arc sin -1 u du = u arc sin -1 u + + C
87. arc tan u du = u arc tan u - ln + C
88. arc sec u du = u arc sin u – ln + C
89. u arc sin u du = ¼ (2u2 – 1) arc sin u + + C
90. u arc tan u du = ½ (u2 + 1) arc tan u - + C
91. u arc sec u du = arc sec u – ½ + C
92. u arc sin u du = arc sin u -
du + C, jika n -1
93. un arc tan u du = arc tan u - du + C, jika n
-1
94. un arc sec u du = arc sec u - du + C, jika
n -1
Kalkulus Integral 94
95. sinh u du = cosh u + C 96. cosh u du = sinh u + C 97. tanh u du = ln (cosh u ) + C 98. coth u du = ln + C 99. sech u du = arc tan + C
100. csch u du = ln + C
101. sinh u du = ¼ sinh u - + C
102. cosh u du = ¼ sinh u + + C
103. tanh u du = u - tanh u + C 104. coth u du = u – coth u + C 105. sech u du = tanh u + C 106. csch u du = -coth u + C 107. sech u tgnh u du = - sech u + C 108. csch u coth u du = - csch u + C
109. u(au+b)-1 du = ln + C
110. u(au + b)-2 du = + C
111. u(au+b)n du = + C, jika n -1, -2
112. = + C, n 1
113. u du =
114. un du = + C
115. = + C
Kalkulus Integral 95
116. = -nb
117. = ln + C
118. = - + C, jika n 1
119. = sin + C
120. = arc sin + C
121. un =
du
122. = - +
+ C
123. = a arc sin + C
124. =
125. =
126. ( )2 = du
127. = du
128. + C
129. + C
Kalkulus Integral 96
130. = ln + C
131. cos u + ln (1-cos u) + C
132. du = - cos + 2 sin + C
133. = + C
134. = + C
135. = + C
136. = + C
137. = ln + C
138. = + C
139.
140.
141.
142.
143.
Kalkulus Integral 97
144. 2(tan
145.
146.
147. arc sin(2 tan x) + C
148.
149. = x + (cot ax-csc ax) + C
150.
Kalkulus Integral 98
BAB VTRANSFORMASI LAPLACE
5.1 Transformasi Laplace Definisi Misalkan F(t) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:
L {F(t)} = = f(s)
Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( ) maka
L{F(t)} =
=
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada. Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L{W(t)} = w(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan seterusnya. Teorema
Kalkulus Integral 99
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0 N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s > Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.
Nomor
F(t) L{F(t)} = f(s)
1. 1 s > 0
2. t s > 0
3. t , s > 0
4. t n = 0,1,2,3,….
, s > 0
5. e s > 0
6. sin at s > 0
7. cos at s > 0
8. sinh at s >
9. cosh at s >
10. ….….
11. …..
Kalkulus Integral100
Untuk memahamkan bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi. Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:1. F(t) = 1 L {F(t)} = L{1}
=
=
=
=
= 0 +
=
= f (s)F(t) = t
L{F(t)} = t dt
= dt
=
=
=
=
=
Kalkulus Integral101
2. F(t) = e
L{F(t)} =
=
=
=
=
3. F(t) = sin at
L{F(t)} =
=
=
=
=
=
=
=
=
Kalkulus Integral102
=
=
=
=
4. F(t) = cos at
L{F(t)} =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Kalkulus Integral103
=
=
5.2 Syarat Cukup Transformasi Laplace AdaJika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam
setiap selang berhingga 0 dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
5.3 Metode Transformasi LaplaceUntuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.
Metode ini berkaitan langsung dengan definis
L{F(t)} =
=
Contoh
L{t} = t dt
=
=
Kalkulus Integral104
=
=
=
=
b. Metode Deret Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh F(t) = a
=
Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:L{F(t)} = L{a
=
=
Syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s > c. Metode Persamaan differensial
Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.
d. Menurunkan terhadap parametere. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan
teorema-teorema yang ada.
Kalkulus Integral105
f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan.
5.4 Sifat-sifat Transformasi Laplace Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya adalaha) Sifat linear
Jika c dan c adalah sebarang konstanta, sedangkan F dan F adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing dan , maka: L{c +c } = c + cBukti:
L{c +c } =
=
=
= Contoh1. L{5t-3} = L{5t} – L{3}
= 5 L{t} – 3 L{1}
= 5
=
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t} = 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}
= 6
Kalkulus Integral106
=
L{(t } = L{t = L{ = L{t + 2 L{ + L{1}
=
=
3. L{4e = L{4e
= 4L{e
= 4
=
Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.1. F(t) = 2t + e2. F(t) = 6sin 2t – cos 2t3. F(t) = (sin t – cos t)4. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t5. F(t) = (2t + 2) 6. F(t) = (sin t – 3)
b) Sifat translasi atau pergeseran pertamaJika L{F(t)} = f(s) maka L{e = f(s-a)Bukti
Karena L{F(t)} = = f(s), maka
Kalkulus Integral107
L{e =
=
= f(s-a)Contoh:
1. Tentukan L{ e-3tF(t)}, jika L{F(t)} = f(s)Menurut sifat 2 di atas, L{e = f(s-a)Maka L{e-3tF(t)} = f((s-(-3)) = f(s+3)
2. Tentukan L { e2tF(t)}, jika L{F(t)} = f(s/a)Menurut sifat 2 di atas, L{e = f(s-a)Maka L{e2tF(t)} = f(s-2/a)
= f(
3. Tentukan L{e .
Karena L{cos 2t} = = f(s), maka
L{e = f(s+1)
=
= = f(s)
4. Tentukan L{eMenurut sifat linear, L{e = L{e } = 3L{e }
Karena L{cos 6t} = = f(s), dan L{sin 6t} = = f(s)
maka menurut sifat translasi 3L{e
Kalkulus Integral108
= 3 , dan
5L{e = 5f(s+2)
= 5 , sehingga
L{e = 3 - 5
=
SoalTentukan transformasi Laplace fungsi 1) F(t) = e2) F(t) = (1+te3) F(t) = e4) F(t) = (t+2)5) F(t) = e6) F(t) = e
c. Sifat translasi atau pergeseran keduaJika L{F(t)} = f(s) dan G(t) = maka L{G(t)} = eBukti
L{G(t)} =
=
=
=
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga
Kalkulus Integral109
=
= e
= e Contoh
Carilah L{F(t)} jika F(t) =
Menurut definisi transformasi Laplace
L{F(t)} =
=
=
= e
=
d. Sifat pengubahan skala
Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} =
Karena L{F(t)} = maka
L{F(at)} =
Misal u = at, du = a dt atau dt =
Sehinga L{F(at)} =
=
Kalkulus Integral110
=
=
Contoh:
1. Jika L{F(t)} = = f(s)
maka L{F(3t)} =
=
=
Soal:1. Carilah L{F(t)}, jika F(t) =
2. Jika L{F(t)} = , carilah L{F(2t)}
3. Jika L{F(t)} = carilah L{e
Jawab L{F(t)} = maka menurut sifat 4 diperoleh
L{F(3t)} =
Sehingga L{F(3t)} =
=
= f(s)Berdasarkan sifat Jika L{F(t)} = f(s) maka L{e = f(s-a) (sifat 2)Maka L{e = f(s+1)
=
Kalkulus Integral111
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunanJika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0)
Karena Karena L{F(t)} = = f(s), maka
L{F’(t)} =
=
=
= -F(0) + s F(t)dt
= sf(s) – F(0)
Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = sBukti
L{F”(t)} =
=
=
=
= = s
Dengan cara yang sama diperoleh
L{F’’’(t)} =
=
Kalkulus Integral112
=
=
= e
= s
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika L{F(t)} = f(s) maka L{F = s
Contoh soalDengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa
L{sin at} = = f(s)
Misal F(t) = sin at diperoleh F’(t) = a cos at, F’’(t) = -a
Sehingga L{sin at} = - L{F’’(t)}.
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh
L{sin at} = ( s )
=
=
Kalkulus Integral113
=
=
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
Bukti:
Misal G(t) = maka G’(t) = F(t) dan G(0) = 0
Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:L{G’(t)} = L{F(t)}
s L{G(t)}-G{0} = f(s) s L{G(t)} = f(s)
L{G(t)} =
Jadi diperoleh L{ } =
Contoh
1. Carilah L
Misal F(t) =
Maka L{F(t)} = arc tan
Sehingga menurut sifat transformasi di atas L =
=
Kalkulus Integral114
2. Buktikan L =
Bukti:
Misal F(t) = maka F(0) = 0
F’(t) = dan t F’(t) = sin t. Dengan mengambil
transformasi Laplace kedua bagian
L{tF’(t)} = L{sint} atau =
Menurut teorema harga awal,
Sehingga diperoleh c = .
Jadi sf(s) =
3. Buktikan L =
Bukti:
Misal F(t) = maka F’(t) = atau tF’(t) = - cos t
L L{-cos t}
(-1) = atau sf(s) =
sf(s) =
Menurut teorema harga akhir, sehingga c
= 0.
Kalkulus Integral115
Jadi sf(s) = atau f(s) =
g. Perkalian dengan t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{t = (-1) = (-1)f
Bukti.
Karena f(s) = maka menurut aturan Leibnitz
untuk menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:
= f’(s) =
=
=
= -
= -L{tF(t)}
Jadi L{tF(t)} = -
Contoh1. Tentukan L{t sin at}
Jawab
L{sin at} = , maka menurut sifat perkalian dari
pangkat t diperoleh
L{t F(t)} = (-1) , sehingga
L{ t sin at} = (-1)
=
2. Tentukan L{t
Kalkulus Integral116
Menurut sifat di atas, L{t = (-1)
=
=
h. Sifat pembagian oleh t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
Bukti:
Misal G(t) = maka F(t) = t G(t).
Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)}
atau f(s) = - atau f(s) = - .
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh
f(s) = - .
g(s) = -
=
Jadi L
Soal-soal1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan
a. F(t) = t cos 2tb. F(t) = t sin 3tc. F(t) = t(3sin 2t-2 cos 5t)d. F(t) = t
Kalkulus Integral117
e. F(t) = (tf. F(t) = tg. F(t) = (t
2) Jika F(t) = Carilah L{F’’(t)}
3) Diketahui F(t) = a. carilah L{F(t)}b. carilah L{F’(t)}c. apakah L{F’(t)} = sf(s) – F(0) berlaku untuk kasus ini
4) Tunjukkan bahwa
5) Tunjukkan bahwa
L
6) Perlihatkan bahwa
a. L{ } = ln
b. L
7) Tunjukkan bahwa:
a. L =
b. Jika L{F(t)} = f(s) maka L =
Kalkulus Integral118
DAFTAR PUSTAKA
Edwin J. Purcell., Dale Varberg. 1989. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid 2 (terjemahan I Nyoman Susila dkk). Bab 18. Jakarta; Erlangga.
Wilfred Kaplan. 1961. Ordinary Differential Equations. Massachusetts: Addison Wesley Publishing Company, Inc.
Dale Varberg., Edwin J. Purcell. 2001. Kalkulus Jilid I (edisi 7). Alih Bahasa I Nyoman Susila. Batam: Interaksara.
Frank Ayres., J.C Ault. 1984. Kalkulus Diferensial dan Integral (Seri Buku Schaum). Alih Bahasa Lea Prasetyo. Jakarta: Erlangga.
Louis Leithold, 1986. Kalkulus dan Geometri Analitik. Alih Bahasa S. Nababan. Jakarta: Erlangga.
Howard Anton, 1981. Calculus with Analyitical Geometri. New York: John Willey and Sons.
Koko Martono, 1993. Kalkulus Integral I. Bandung: Alva Gracia
Tom M. Apostol, 1984. Calculus. New York: John Willey and Sons.
Achsanul In’am, 2000. Kalkulus I. Malang: UMM Press.
Murray R. Spiegel. Pantur Silaban, Hans Wospakrik. 1985. Transformasi Linear. Jakarta: Erlangga.
Kalkulus Integral119
top related