bab 3 _ pemerihalan data

TR1713 - Bab 3 1

Bab 3 : Pemerihalan Data

3.1Sukatan kecenderungan memusat3.2Sukatan kedudukan3.3Sukatan serakan3.4Sukatan serakan relatif3.5Pekali kepencongan Pearson

TR1713 - Bab 3 2

Objektif

• Mengenali alat-alat asas untuk mengukur data.

• Menggunakan alat-alat asas tersebut.

• Mengeluarkan maklumat daripada data secara berangka

TR1713 - Bab 3 3

Persoalan

• Adakah data-data tertumpu pada satu nilai?

• Adakah data-data tersebut tertabur secara normal?

• Adakah data-data tersebut terpencong? Jika ya, adakah terpencong ke kiri atau ke kanan?

• Adakah data-data jauh terserak antara satu sama lain?

TR1713 - Bab 3 4

3.1Sukatan kecenderungan memusat

Min

Mod

Median

TR1713 - Bab 3 5

3.1.1 Min

Min

Nilai purata bagi satu kumpulan data

n

XXMin

,

TR1713 - Bab 3 6

3.1.1 Min

N

N...

21

Nμpopulasi, min

n

n...21

sampel, min

n

TR1713 - Bab 3 7

3.1.1 Min

Contoh 3.1:Markah ujian statistik bagi 10 pelajar adalah

seperti berikut. Dapatkan min markah ujian statistik.

75.60 52.40 85.00 43.00 72.00

70.00 60.00 81.50 51.00 49.00

95.6310

00.4900.5150.8100.6000.7000.7200.4300.8540.5260.75

,

N

Min

TR1713 - Bab 3 8

3.1.1 Min

Contoh 3.2:Lima daripada 10 markah ujian statistik telah di

ambil sebagai sampel. Dapatkan min markah ujian statistik.

75.60 70.00 85.00 81.50 72.00

82.765

00.7250.8100.8500.7060.75

,

n

Min

TR1713 - Bab 3 9

3.1.1 Min

Kelemahan:

Sensitif. Sangat bergantung kepada data.

Untuk mengatasi masalah ini, guna median.

TR1713 - Bab 3 10

3.1.2 Mod

Mod

Bacaan berulang dengan kekerapanyang paling tinggi. Notasi mod >> Sesuatu set data tidak semestinya mempunyaimod, dan jika wujud belum tentu tunggal.

TR1713 - Bab 3 11

3.1.2 Mod

Contoh 3.3:Berikut merupakan markah ujian statistik bagi

20 orang pelajar.

33 25 33 75 84

75 65 57 84 70

61 53 38 70 81

69 70 71 59 67

TR1713 - Bab 3 12

3.1.2 Mod

Susun data secara menokok

25 33 33 38 53 57 59 61 65 67 69 70 70 70 71 75 75 81 84 84

Kekerapan paling tinggi

Mod, adalah 70

TR1713 - Bab 3 13

3.1.2 Mod

Kelemahan : Mod tidak banyak digunakan dalam menyukat data numerikal.

Tetapi, mod satu-satunya yang boleh menyukat data nominal.

Sebagai contoh: Suatu kajian terhadap pelajar kolej mendapati 84% mempunyai telefon bimbit, 75% mempunyai komputer, 29% mempunyai TV dan 5% mempunyai PS2. Oleh kerana telefon bimbit menunjukkan kekerapan yang tinggi, maka kita boleh kata mod adalah telefon bimbit.

Kita tidak boleh menyukat min atau median untuk data jenis nominal.

TR1713 - Bab 3 14

3.1.3 Median

Median

Bacaan/data yg wujud di tengah-tengahapabila data disusun dalam tertib menaik ataumenurun. Notasi median

Jika bil data ganjil, median = data di tengah-tengah.

Jika bil data genap, median = purata dua datadi tengah-tengah.

~

TR1713 - Bab 3 15

3.1.3 Median

Contoh 3.4a:Berikut merupakan markah ujian statistik

bagi 9 orang pelajar.

69 57 61 53 70 67 59 65 70

TR1713 - Bab 3 16

3.1.3 Median

Contoh 3.4a:Susun data secara menokok.

53 57 59 61 65 67 69 70 70

Data di tengah2

Median, adalah 65~

TR1713 - Bab 3 17

3.1.3 Median

Contoh 3.4b:Berikut merupakan markah ujian statistik

bagi 10 orang pelajar.

70 65 59 70 61 53 69 70 57 67

TR1713 - Bab 3 18

3.1.3 Median

Contoh 3.4b:Susun data secara menokok.

Median, adalah 66~

53 57 59 61 65 67 69 70 70 70

Ambil purata

TR1713 - Bab 3 19

3.1.4 Min - Jadual taburan kekerapan

Menggunakan jadual taburan kekerapan, utk dapatkan min guna rumus berlainan.

Ini kerana, setelah data dikumpulkan, nilai sebenar sudah tidak diketahui lagi.

f

mfMin

,

m = tanda kelasf = kekerapan kelas

TR1713 - Bab 3 20

3.1.4 Min - Jadual taburan kekerapan

Contoh 3.5:Data PNGK 30 orang pelajar telah diringkaskan

dlm bentuk kekerapan terkumpul.

Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85

TR1713 - Bab 3 21

3.1.4 Min - Jadual taburan kekerapan

Contoh 3.5:Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85

79.230

85.83

f

mf

TR1713 - Bab 3 22

3.1.5 Min berpemberat

>> Pengiraan min bergantung kpd pemberat-pemberat tertentu.

w

wdtberpemberaMin

,

w = pemberatd = data mentah atau tanda kelas data terkumpul

TR1713 - Bab 3 23

3.1.5 Min berpemberat

Contoh 3.6:Seorang pensyarah statistik ingin mendapatkan

purata bagi markah-markah yg didapati oleh seorg pelajar yang setiapnya mempunyai pemberat atau peratusan yg tersendiri. Peratusan diberi, tugasan 20%, ujian 30% dan akhir 50%. Markah pelajar berkenaan adalah 85, 74 dan 68.

TR1713 - Bab 3 24

3.1.5 Min berpemberat

Contoh 3.6:

2.73100

7320503020

)6850()7430()8520(

w

wd

TR1713 - Bab 3 25

3.1.6 Mod – Jadual taburan kekerapan

).......(ˆ

).......(ˆ

2

1

RCL

atau

RCL

BA

AA

BA

BB

TR1713 - Bab 3 26

3.1.6 Mod – Jadual taburan kekerapan

DimanaLA sempadan atas kelas mod

LB sempadan bawah kelas mod

B beza antara kekerapan kelas mod dgn kekerapan kelas sebelumnya

A beza antara kekerapan kelas mod dgn kekerapan kelas berikutnya

C saiz kelas mod

TR1713 - Bab 3 27

3.1.6 Mod – Jadual taburan kekerapan

Contoh 3.7:Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85

Kelas mod = 2.50-2.99Maka, LA = 2.995 LB = 2.495

B = 3 A = 2 C = 0.5

TR1713 - Bab 3 28

3.1.6 Mod – Jadual taburan kekerapan

795232

3504952

.

..ˆ

795232

2509952

.

..ˆ

R1

R2

TR1713 - Bab 3 29

3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan

)...(~

)...(~

22

1

12

1

Rf

Fn

nCL

atau

Rf

Fn

CL

m

A

A

m

B

B

TR1713 - Bab 3 30

3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan

DimanaLA sempadan atas kelas mod

LB sempadan bawah kelas modn bilangan cerapanFA hasil tambah kekerapan kelas-kelas

sesudah kelas medianFB hasil tambah kekerapan kelas-kelas

sebelum kelas medianC saiz kelas medianfm frekuensi kelas median

TR1713 - Bab 3 31

3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan

Tentukan kelas median terlebih dahulu, sebelum menggunakan rumus.

Untuk mendapatkan kelas median, gunakan rumus >>

2

1n

TR1713 - Bab 3 32

3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan

Contoh 3.8:

Mula-mula, tentukan median

5152

130.

TR1713 - Bab 3 33

3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan

Contoh 3.8a:Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85

Daripada jadual,f1=2; f2=7; f3=10; f4=8; f5=3

Dapatkan kelas median: f1+ f2 = 9 < 15.5

dan f1+ f2 + f3 = 19 > 15.5

TR1713 - Bab 3 34

3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan

f1+ f2 + f3 = 19 > 15.5

Maka, median berada dlm kelas ke-3.

Kelas median ialah 2.50 – 2.99

TR1713 - Bab 3 35

3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan

Maka,LA = 2.995 LB = 2.495 n = 30

FA = 11 FB = 9 C = 0.5 fm = 10

82210

9515504952

.

...~

R1

TR1713 - Bab 3 36

3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan

Contoh 3.8b:Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85

Daripada jadual,f1=2; f2=7; f3=10; f4=8; f5=3

Dapatkan kelas median: f5+ f4 = 11 < 15.5

dan f5+ f4 + f3 = 21 > 15.5

TR1713 - Bab 3 37

3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan

f5+ f4 + f3 = 21 > 15.5

Maka, median berada dlm kelas ke-3.

Kelas median ialah 2.50 – 2.99

TR1713 - Bab 3 38

3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan

Maka,LA = 2.995 LB = 2.495 n = 30

FA = 11 FB = 9 C = 0.5 fm = 10

82210

1151530509952

.

...~

R2

TR1713 - Bab 3 39

Fikir dan buat

Lakarkan histogram untuk taburan yang menunjukkan kes mod berikut:

1. Kelas sebelum kelas mod mempunyai kekerapan kurang daripada kelas selepas kelas mod.

2. Kelas sebelum kelas mod mempunyai kekerapan lebih daripada kekerapan kelas selepas kelas mod.

Untuk setiap satunya tunjukkan kedudukan mod dan titik tengah kelas mod.

TR1713 - Bab 3 40

Hubungan di antara Min, Mod dan Median

Pembolehubah

Fre

kuen

si

Min = Median = Mod

Bentuk Simetri

TR1713 - Bab 3 41

Bentuk Terpencong Ke Kanan

Pembolehubah

Fre

kuen

si

Median

Mod Min

TR1713 - Bab 3 42

Bentuk Terpencong Ke Kiri

Pembolehubah

Fre

kuen

si

Mod

Median

Min

TR1713 - Bab 3 43

Fikir dan buat

1. Nyatakan 3 jenis sukatan kecenderungan memusat.

2. Berikan hubungan di antara ketiga-tiga sukatan kecenderungan memusat bagi kes data simetri, data terpencong ke kanan dan data terpencong ke kiri. Lakarkan setiap hubungan tersebut.

TR1713 - Bab 3 44

3.2 Sukatan Kedudukan

KUARTIL KUARTIL PERSENTIL

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3

1% 1%P1 P2 P98 P99

TR1713 - Bab 3 45

3.2 Sukatan Kedudukan

KUARTIL KUARTIL

25% 25% 25% 25%

Q1 berada padakedudukanke - ¼(n+1)

Q2 berada padakedudukanke – ½(n+1)

Q3 berada padakedudukanke – ¾(n+1)

TR1713 - Bab 3 46

3.2 Sukatan Kedudukan

Contoh 3.9:Diberi data markah statistik bagi 15 orang

pelajar.

Dapatkan kuartil pertama, kedua dan ketiga.

26 58 49 72 50 70 38 5868 61 84 60 75 72 40

26 38 40 49 50 58 58 60 61 68 70 72 72 75 84

TR1713 - Bab 3 47

3.2 Sukatan Kedudukan

Contoh 3.9:K1 adalah pada kedudukan ke- ¼(15+1) = 4

K2 adalah pada kedudukan ke- ½(15+1) = 8

K3 adalah pada kedudukan ke- ¾(15+1) = 12

K1 terletak di antara data ke-4

K1 = 49

K2 terletak di antara data ke-8

K2 = 60

K3 terletak di antara data ke-12

K3 = 72

TR1713 - Bab 3 48

3.2 Sukatan Kedudukan

PERSENTIL

1% 1%P1 P2 P98 P99

Persentil pertama, P1 berada pada kedudukan 1/100 (n+1)

Persentil ke-27, P27 berada pada kedudukan 27/100 (n+1)

Persentil ke-k, Pk berada pada kedudukan k/100 (n+1)

TR1713 - Bab 3 49

3.3 Sukatan Serakan

JULAT SISIHAN ANTARA KUARTIL

VARIANS & SISIHAN PIAWAI

TR1713 - Bab 3 50

JULAT Pengukuran paling mudah untuk serakan

Kurang sesuai untuk mengukur serakan data kerana ia hanya mengambil kira antara nilai maksimum dan minimum

Julat = Nilai maksima – Nilai Minima

TR1713 - Bab 3 51

Julat

Contoh 3.10a:

44 49 50 58 58 60 61 68 70 72

Julat = data maksimum – data minimum= 72 – 44=28

TR1713 - Bab 3 52

Julat

Contoh 3.10b:Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85

Julat = had atas kelas terakhir – had bawah kelas pertama= 3.99 – 1.50= 2.49

TR1713 - Bab 3 53

SISIHAN ANTARA KUARTIL

Perbezaan di antara kuartil ke-3 dan kuartil-1

Ia memberikan julat bagi data di tengah iaitu 50% daripada cerapan

SAK = (K3 – K1)/2

TR1713 - Bab 3 54

SISIHAN PIAWAI & VARIANS

Sisihan piawai adalah pengukuran yang paling sesuai digunakan untuk mengukur serakan data

Sisihan piawai yang diperolehi memberikan nilai bagi kedudukan data yang bertabur sekitar min

Nilai sisihan piawai yang tinggi memberikan gambaran bahawa data itu tertabur jauh daripada min (kurang padat)

xx

x

TR1713 - Bab 3 55

SISIHAN PIAWAI & VARIANS

KES DATA TAK TERKUMPUL

KES DATA TERKUMPUL

TR1713 - Bab 3 56

SISIHAN PIAWAI & VARIANS

KES DATA TAK TERKUMPUL

Varians populasi : Varians sampel:

2 = (x - )2 / Ndan s2 = (x – x)2 / n-1

xx

x

Di mana 2 adalah varians populasi,

s2 adalah varians sampel dan

TR1713 - Bab 3 57

SISIHAN PIAWAI & VARIANS

KES DATA TERKUMPUL

Varians populasi : Varians sampel:

2 = f (m - )2 / N dan s2 = f(m – x)2 / n-1

= m2f – [(mf)2 / n]

xx

Di mana 2 adalah varians populasi, s2 adalah varians sampel dan m adalah titik tengah suatu kelas

n-1

TR1713 - Bab 3 58

SUKATAN SERAKAN RELATIF

x

V = Sisihan piawai

min

V = pekali varians dan ia tidak berunit.

Semakin besar nilai pekali varians, maka semakin terseraklah sesuatu data .

Walaubagaimanapun, nilai pekali ini hanya memberikan makna jika nilainya tidak terlalu kecil

TR1713 - Bab 3 59

PEKALI KEPENCONGAN PEARSON

xx

x

Pekali kepencongan data mengukur kepencongan data atau sejauh mana data tersebar jauh dari min

Kp = min – mod

Nilai kp yang negatif menunjukkan data terpencong ke kiri dan sebaliknya.

Nilai kp yang sifar menunjukkan data tertabur secara normal

Sisihan piawai

TR1713 - Bab 3 60

Fikir dan buat

Berikut merupakan markah tugasan bagi dua kumpulan pelajar:

Kumpulan 1

Unit daun = 1.0

Samb..

3 2 7 8

4 0 0 2 3 8 8

5 6

6 0

7 6

TR1713 - Bab 3 61

Fikir dan buat

Kumpulan 2

Unit daun = 1.0

a. Bagi setiap kumpulan data, dapatkan min, median, mod dan sisihan piawai.

b. Bagi setiap kumpulan data, dapatkan Q1, Q2 dan Q3.c. Bandingkan serakan data bagi kedua-dua kumpulan

data tersebut. Jelaskan apa yang anda perolehi daripada pembandingan yang telah anda jalankan.

2 4 6 7

3 0 4 4 7 9

4 2

5 4

6 0 1