bab 3 _ pemerihalan data
DESCRIPTION
matematik tambahanTRANSCRIPT
TR1713 - Bab 3 1
Bab 3 : Pemerihalan Data
3.1Sukatan kecenderungan memusat3.2Sukatan kedudukan3.3Sukatan serakan3.4Sukatan serakan relatif3.5Pekali kepencongan Pearson
TR1713 - Bab 3 2
Objektif
• Mengenali alat-alat asas untuk mengukur data.
• Menggunakan alat-alat asas tersebut.
• Mengeluarkan maklumat daripada data secara berangka
TR1713 - Bab 3 3
Persoalan
• Adakah data-data tertumpu pada satu nilai?
• Adakah data-data tersebut tertabur secara normal?
• Adakah data-data tersebut terpencong? Jika ya, adakah terpencong ke kiri atau ke kanan?
• Adakah data-data jauh terserak antara satu sama lain?
TR1713 - Bab 3 4
3.1Sukatan kecenderungan memusat
Min
Mod
Median
TR1713 - Bab 3 5
3.1.1 Min
Min
Nilai purata bagi satu kumpulan data
n
XXMin
,
TR1713 - Bab 3 6
3.1.1 Min
N
N...
21
Nμpopulasi, min
n
n...21
sampel, min
n
TR1713 - Bab 3 7
3.1.1 Min
Contoh 3.1:Markah ujian statistik bagi 10 pelajar adalah
seperti berikut. Dapatkan min markah ujian statistik.
75.60 52.40 85.00 43.00 72.00
70.00 60.00 81.50 51.00 49.00
95.6310
00.4900.5150.8100.6000.7000.7200.4300.8540.5260.75
,
N
Min
TR1713 - Bab 3 8
3.1.1 Min
Contoh 3.2:Lima daripada 10 markah ujian statistik telah di
ambil sebagai sampel. Dapatkan min markah ujian statistik.
75.60 70.00 85.00 81.50 72.00
82.765
00.7250.8100.8500.7060.75
,
n
Min
TR1713 - Bab 3 9
3.1.1 Min
Kelemahan:
Sensitif. Sangat bergantung kepada data.
Untuk mengatasi masalah ini, guna median.
TR1713 - Bab 3 10
3.1.2 Mod
Mod
Bacaan berulang dengan kekerapanyang paling tinggi. Notasi mod >> Sesuatu set data tidak semestinya mempunyaimod, dan jika wujud belum tentu tunggal.
TR1713 - Bab 3 11
3.1.2 Mod
Contoh 3.3:Berikut merupakan markah ujian statistik bagi
20 orang pelajar.
33 25 33 75 84
75 65 57 84 70
61 53 38 70 81
69 70 71 59 67
TR1713 - Bab 3 12
3.1.2 Mod
Susun data secara menokok
25 33 33 38 53 57 59 61 65 67 69 70 70 70 71 75 75 81 84 84
Kekerapan paling tinggi
Mod, adalah 70
TR1713 - Bab 3 13
3.1.2 Mod
Kelemahan : Mod tidak banyak digunakan dalam menyukat data numerikal.
Tetapi, mod satu-satunya yang boleh menyukat data nominal.
Sebagai contoh: Suatu kajian terhadap pelajar kolej mendapati 84% mempunyai telefon bimbit, 75% mempunyai komputer, 29% mempunyai TV dan 5% mempunyai PS2. Oleh kerana telefon bimbit menunjukkan kekerapan yang tinggi, maka kita boleh kata mod adalah telefon bimbit.
Kita tidak boleh menyukat min atau median untuk data jenis nominal.
TR1713 - Bab 3 14
3.1.3 Median
Median
Bacaan/data yg wujud di tengah-tengahapabila data disusun dalam tertib menaik ataumenurun. Notasi median
Jika bil data ganjil, median = data di tengah-tengah.
Jika bil data genap, median = purata dua datadi tengah-tengah.
~
TR1713 - Bab 3 15
3.1.3 Median
Contoh 3.4a:Berikut merupakan markah ujian statistik
bagi 9 orang pelajar.
69 57 61 53 70 67 59 65 70
TR1713 - Bab 3 16
3.1.3 Median
Contoh 3.4a:Susun data secara menokok.
53 57 59 61 65 67 69 70 70
Data di tengah2
Median, adalah 65~
TR1713 - Bab 3 17
3.1.3 Median
Contoh 3.4b:Berikut merupakan markah ujian statistik
bagi 10 orang pelajar.
70 65 59 70 61 53 69 70 57 67
TR1713 - Bab 3 18
3.1.3 Median
Contoh 3.4b:Susun data secara menokok.
Median, adalah 66~
53 57 59 61 65 67 69 70 70 70
Ambil purata
TR1713 - Bab 3 19
3.1.4 Min - Jadual taburan kekerapan
Menggunakan jadual taburan kekerapan, utk dapatkan min guna rumus berlainan.
Ini kerana, setelah data dikumpulkan, nilai sebenar sudah tidak diketahui lagi.
f
mfMin
,
m = tanda kelasf = kekerapan kelas
TR1713 - Bab 3 20
3.1.4 Min - Jadual taburan kekerapan
Contoh 3.5:Data PNGK 30 orang pelajar telah diringkaskan
dlm bentuk kekerapan terkumpul.
Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85
TR1713 - Bab 3 21
3.1.4 Min - Jadual taburan kekerapan
Contoh 3.5:Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85
79.230
85.83
f
mf
TR1713 - Bab 3 22
3.1.5 Min berpemberat
>> Pengiraan min bergantung kpd pemberat-pemberat tertentu.
w
wdtberpemberaMin
,
w = pemberatd = data mentah atau tanda kelas data terkumpul
TR1713 - Bab 3 23
3.1.5 Min berpemberat
Contoh 3.6:Seorang pensyarah statistik ingin mendapatkan
purata bagi markah-markah yg didapati oleh seorg pelajar yang setiapnya mempunyai pemberat atau peratusan yg tersendiri. Peratusan diberi, tugasan 20%, ujian 30% dan akhir 50%. Markah pelajar berkenaan adalah 85, 74 dan 68.
TR1713 - Bab 3 24
3.1.5 Min berpemberat
Contoh 3.6:
2.73100
7320503020
)6850()7430()8520(
w
wd
TR1713 - Bab 3 25
3.1.6 Mod – Jadual taburan kekerapan
).......(ˆ
).......(ˆ
2
1
RCL
atau
RCL
BA
AA
BA
BB
TR1713 - Bab 3 26
3.1.6 Mod – Jadual taburan kekerapan
DimanaLA sempadan atas kelas mod
LB sempadan bawah kelas mod
B beza antara kekerapan kelas mod dgn kekerapan kelas sebelumnya
A beza antara kekerapan kelas mod dgn kekerapan kelas berikutnya
C saiz kelas mod
TR1713 - Bab 3 27
3.1.6 Mod – Jadual taburan kekerapan
Contoh 3.7:Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85
Kelas mod = 2.50-2.99Maka, LA = 2.995 LB = 2.495
B = 3 A = 2 C = 0.5
TR1713 - Bab 3 28
3.1.6 Mod – Jadual taburan kekerapan
795232
3504952
.
..ˆ
795232
2509952
.
..ˆ
R1
R2
TR1713 - Bab 3 29
3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan
)...(~
)...(~
22
1
12
1
Rf
Fn
nCL
atau
Rf
Fn
CL
m
A
A
m
B
B
TR1713 - Bab 3 30
3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan
DimanaLA sempadan atas kelas mod
LB sempadan bawah kelas modn bilangan cerapanFA hasil tambah kekerapan kelas-kelas
sesudah kelas medianFB hasil tambah kekerapan kelas-kelas
sebelum kelas medianC saiz kelas medianfm frekuensi kelas median
TR1713 - Bab 3 31
3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan
Tentukan kelas median terlebih dahulu, sebelum menggunakan rumus.
Untuk mendapatkan kelas median, gunakan rumus >>
2
1n
TR1713 - Bab 3 32
3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan
Contoh 3.8:
Mula-mula, tentukan median
5152
130.
TR1713 - Bab 3 33
3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan
Contoh 3.8a:Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85
Daripada jadual,f1=2; f2=7; f3=10; f4=8; f5=3
Dapatkan kelas median: f1+ f2 = 9 < 15.5
dan f1+ f2 + f3 = 19 > 15.5
TR1713 - Bab 3 34
3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan
f1+ f2 + f3 = 19 > 15.5
Maka, median berada dlm kelas ke-3.
Kelas median ialah 2.50 – 2.99
TR1713 - Bab 3 35
3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan
Maka,LA = 2.995 LB = 2.495 n = 30
FA = 11 FB = 9 C = 0.5 fm = 10
82210
9515504952
.
...~
R1
TR1713 - Bab 3 36
3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan
Contoh 3.8b:Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85
Daripada jadual,f1=2; f2=7; f3=10; f4=8; f5=3
Dapatkan kelas median: f5+ f4 = 11 < 15.5
dan f5+ f4 + f3 = 21 > 15.5
TR1713 - Bab 3 37
3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan
f5+ f4 + f3 = 21 > 15.5
Maka, median berada dlm kelas ke-3.
Kelas median ialah 2.50 – 2.99
TR1713 - Bab 3 38
3.1.7 Median – Jadual taburan kekerapan
Maka,LA = 2.995 LB = 2.495 n = 30
FA = 11 FB = 9 C = 0.5 fm = 10
82210
1151530509952
.
...~
R2
TR1713 - Bab 3 39
Fikir dan buat
Lakarkan histogram untuk taburan yang menunjukkan kes mod berikut:
1. Kelas sebelum kelas mod mempunyai kekerapan kurang daripada kelas selepas kelas mod.
2. Kelas sebelum kelas mod mempunyai kekerapan lebih daripada kekerapan kelas selepas kelas mod.
Untuk setiap satunya tunjukkan kedudukan mod dan titik tengah kelas mod.
TR1713 - Bab 3 40
Hubungan di antara Min, Mod dan Median
Pembolehubah
Fre
kuen
si
Min = Median = Mod
Bentuk Simetri
TR1713 - Bab 3 41
Bentuk Terpencong Ke Kanan
Pembolehubah
Fre
kuen
si
Median
Mod Min
TR1713 - Bab 3 42
Bentuk Terpencong Ke Kiri
Pembolehubah
Fre
kuen
si
Mod
Median
Min
TR1713 - Bab 3 43
Fikir dan buat
1. Nyatakan 3 jenis sukatan kecenderungan memusat.
2. Berikan hubungan di antara ketiga-tiga sukatan kecenderungan memusat bagi kes data simetri, data terpencong ke kanan dan data terpencong ke kiri. Lakarkan setiap hubungan tersebut.
TR1713 - Bab 3 44
3.2 Sukatan Kedudukan
KUARTIL KUARTIL PERSENTIL
25% 25% 25% 25%
Q1 Q2 Q3
1% 1%P1 P2 P98 P99
TR1713 - Bab 3 45
3.2 Sukatan Kedudukan
KUARTIL KUARTIL
25% 25% 25% 25%
Q1 berada padakedudukanke - ¼(n+1)
Q2 berada padakedudukanke – ½(n+1)
Q3 berada padakedudukanke – ¾(n+1)
TR1713 - Bab 3 46
3.2 Sukatan Kedudukan
Contoh 3.9:Diberi data markah statistik bagi 15 orang
pelajar.
Dapatkan kuartil pertama, kedua dan ketiga.
26 58 49 72 50 70 38 5868 61 84 60 75 72 40
26 38 40 49 50 58 58 60 61 68 70 72 72 75 84
TR1713 - Bab 3 47
3.2 Sukatan Kedudukan
Contoh 3.9:K1 adalah pada kedudukan ke- ¼(15+1) = 4
K2 adalah pada kedudukan ke- ½(15+1) = 8
K3 adalah pada kedudukan ke- ¾(15+1) = 12
K1 terletak di antara data ke-4
K1 = 49
K2 terletak di antara data ke-8
K2 = 60
K3 terletak di antara data ke-12
K3 = 72
TR1713 - Bab 3 48
3.2 Sukatan Kedudukan
PERSENTIL
1% 1%P1 P2 P98 P99
Persentil pertama, P1 berada pada kedudukan 1/100 (n+1)
Persentil ke-27, P27 berada pada kedudukan 27/100 (n+1)
Persentil ke-k, Pk berada pada kedudukan k/100 (n+1)
TR1713 - Bab 3 49
3.3 Sukatan Serakan
JULAT SISIHAN ANTARA KUARTIL
VARIANS & SISIHAN PIAWAI
TR1713 - Bab 3 50
JULAT Pengukuran paling mudah untuk serakan
Kurang sesuai untuk mengukur serakan data kerana ia hanya mengambil kira antara nilai maksimum dan minimum
Julat = Nilai maksima – Nilai Minima
TR1713 - Bab 3 51
Julat
Contoh 3.10a:
44 49 50 58 58 60 61 68 70 72
Julat = data maksimum – data minimum= 72 – 44=28
TR1713 - Bab 3 52
Julat
Contoh 3.10b:Selang kelas Tanda Kelas, m Kekerapan, f mf1.50 - 1.99 1.745 2 3.492.00 - 2.49 2.245 7 15.722.50 - 2.99 2.745 10 27.453.00 - 3.49 3.245 8 25.963.50 - 3.99 3.745 3 11.24Jumlah 30 83.85
Julat = had atas kelas terakhir – had bawah kelas pertama= 3.99 – 1.50= 2.49
TR1713 - Bab 3 53
SISIHAN ANTARA KUARTIL
Perbezaan di antara kuartil ke-3 dan kuartil-1
Ia memberikan julat bagi data di tengah iaitu 50% daripada cerapan
SAK = (K3 – K1)/2
TR1713 - Bab 3 54
SISIHAN PIAWAI & VARIANS
Sisihan piawai adalah pengukuran yang paling sesuai digunakan untuk mengukur serakan data
Sisihan piawai yang diperolehi memberikan nilai bagi kedudukan data yang bertabur sekitar min
Nilai sisihan piawai yang tinggi memberikan gambaran bahawa data itu tertabur jauh daripada min (kurang padat)
xx
x
TR1713 - Bab 3 55
SISIHAN PIAWAI & VARIANS
KES DATA TAK TERKUMPUL
KES DATA TERKUMPUL
TR1713 - Bab 3 56
SISIHAN PIAWAI & VARIANS
KES DATA TAK TERKUMPUL
Varians populasi : Varians sampel:
2 = (x - )2 / Ndan s2 = (x – x)2 / n-1
xx
x
Di mana 2 adalah varians populasi,
s2 adalah varians sampel dan
TR1713 - Bab 3 57
SISIHAN PIAWAI & VARIANS
KES DATA TERKUMPUL
Varians populasi : Varians sampel:
2 = f (m - )2 / N dan s2 = f(m – x)2 / n-1
= m2f – [(mf)2 / n]
xx
Di mana 2 adalah varians populasi, s2 adalah varians sampel dan m adalah titik tengah suatu kelas
n-1
TR1713 - Bab 3 58
SUKATAN SERAKAN RELATIF
x
V = Sisihan piawai
min
V = pekali varians dan ia tidak berunit.
Semakin besar nilai pekali varians, maka semakin terseraklah sesuatu data .
Walaubagaimanapun, nilai pekali ini hanya memberikan makna jika nilainya tidak terlalu kecil
TR1713 - Bab 3 59
PEKALI KEPENCONGAN PEARSON
xx
x
Pekali kepencongan data mengukur kepencongan data atau sejauh mana data tersebar jauh dari min
Kp = min – mod
Nilai kp yang negatif menunjukkan data terpencong ke kiri dan sebaliknya.
Nilai kp yang sifar menunjukkan data tertabur secara normal
Sisihan piawai
TR1713 - Bab 3 60
Fikir dan buat
Berikut merupakan markah tugasan bagi dua kumpulan pelajar:
Kumpulan 1
Unit daun = 1.0
Samb..
3 2 7 8
4 0 0 2 3 8 8
5 6
6 0
7 6
TR1713 - Bab 3 61
Fikir dan buat
Kumpulan 2
Unit daun = 1.0
a. Bagi setiap kumpulan data, dapatkan min, median, mod dan sisihan piawai.
b. Bagi setiap kumpulan data, dapatkan Q1, Q2 dan Q3.c. Bandingkan serakan data bagi kedua-dua kumpulan
data tersebut. Jelaskan apa yang anda perolehi daripada pembandingan yang telah anda jalankan.
2 4 6 7
3 0 4 4 7 9
4 2
5 4
6 0 1