aplikasi linear algebra

1. Penggunaan: Aliran Trafik

SOALAN….

Rajah menunjukkan sebahagian dari persimpangan jalan sehala di sebuah Bandar. Purata setiap jam kenderaan yang melalui persimpangan tersebut ditunjukkan seperti di dalam rajah. Tentukan bilangan kenderaan yang bertanda X1, X2, X3, X4.

450 310

X1610 640

X2

X3

X4

600520

390480

A

B C

D

• 610 + X2 = 450 + X1 X2 – X1 = -160• X1 + 310 = 640 + X4 X1 – X4 = 330• X3 + 480 = X2 + 520 X3 – X2 = 40• X4 + 600 = X3 + 390 X4 – X3 = -210

PERSAMAAN YANG TERLIBAT

-1 1 00 -160

001 -1 330

0 -1 1 0 40

0 0 -1 1 -210

Pindahkan ke dalam bentuk matriks…

1 -1 00 160

001 -1 330

0 -1 1 0 40

0 0 -1 1 -210

-1 (B1)

Langkah pertama :Jadikan kemasukan pelopor pada baris pertama = 1

1 -1 00 160

0-10 1 -170

0 -1 1 0 40

0 0 -1 1 -210

B1 – B2

Langkah kedua :Jadikan nombor-nombor di bawah kemasukan pelopor baris

pertama = 0

1 -1 00 160

010 -1 170

0 -1 1 0 40

0 0 -1 1 -210

-1 (B2)

Langkah ketiga :Jadikan kemasukan pelopor baris kedua = 1

1 0 -10 330

010 -1 170

0 0 1 -1 210

0 0 -1 1 -210

B2 – B1

B2 – B3

Langkah keempat :Jadikan nombor-nombor di bawah kemasukan pelopor baris

kedua = 0

1 0 -10 330

010 -1 170

0 0 1 -1 210

0 0 0 0 0B3 – B4

Langkah kelima :Jadikan nombor-nombor di bawah kemasukan pelopor baris

ketiga = 0

X4 tiada sebarang pembolehubah. Maka, kitaanggap X4 = t dan tunjukkan pelopor pembolehubah dalam sebutan X4, dan kita dapati :

X1 = 330 + tX2 = 170 + tX3 = 210 + tX4 = t

Katakan t = 10

X1 = 330 + 10 = 340X2 = 170 + 10 = 180X3 = 210 + 10 = 220X4 = 10 = 10

X1

X2

X3

X4

340

180

220

10

=

Pindahkan jawapan dalam bentuk matriks…..

SOALAN 2 PENGGUNAAN : ALIRAN

ELEKTRIK

HUKUM KIRCHHOFF ~ merupakan hukum yang digunakan untuk

menganalisis pelbagai lingkaran litar elektrik. HUKUM PERTAMA :• jumlah arus elektrik yang masuk di persimpangan

(anggap sebagai positif ) adalah bersamaan dengan jumlah arus elektrik yang keluar dari persimpangan ( anggap sebagai negatif ).

HUKUM KEDUA• hasil tambah algebra voltan mestilah bersamaan

hasil tambah algebra yang menyusut.

HUKUM OHM• ialah hubungan antara beza keupayaan dengan arus

yang mengalir dalam satu litar elektrik yang lengkap.

• Berdasarkan formula di atas, dapat dirumuskan bahawa arus berkadar terus dengan voltan dan berkadar songsang dengan rintangan, V = IR dimana V adalah voltan (V) dan I adalah arus (A) dan R adalah rintangan (ohm).

SOALAN

PENYELESAIAN SOALAN

1) Menggunakan Hukum Kirchhoff yang pertama pada bahagian kiri litar

Untuk ( arus elektrik masuk = arus elektrik keluar )

Persamaan ini sama dengan persamaan 1 di atas.

2) Menggunakan Hukum Kirchhoff yang kedua pada lingkaran 1( Hukum Ohm V = IR ) menggunakan Hukum Ohm untuk mendapatkan persamaan 2 dan 3

Masukkan nilai dalam persamaan di atas

Untuk lingkaran 2,

Masukkan nilai dalam persamaan di atas

3) Tuliskan ketiga-tiga persamaan diatas untuk mendapatkan matriks imbuhan

4) Selesaikan ketiga-tiga persamaan menggunakan kaedah penghapusan Gauss-Jordan

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

ix.

x.

xi.

xii.

5) Berdasarkan penyelesaian di atas, nilai dan dapat dikenalpasti iaitu

3. Penggunaan: Keseimbangan Persamaan Tindak Balas Kimia

• Tindak Balas Kimia: - tindak balas sesuatu bahan kimia apabila ia

bercampur dengan bahan kimia lainatau

- penguraian tersendiri disebabkan oleh tindakan haba atau cahaya

- reaktan: bahan awal yang digunakan dalam sesuatu tindak balas

- Hasil: bahan yang terhasil selepas tindak balas berlaku

Gas hidrogen + gas oksigen Air

reaktan hasil

• Persamaan Tindak Balas Kimia:- Satu persamaan yang mengandungi simbol

kimia yang menerangkan apa yang berlaku dalam sesuatu tindak balas kimia

- Reaktan ditulis di sebelah kiri persamaan- Hasil ditulis disebelah kanan persamaan- Tanda anak panah (→) ditulis diantara kedua-

dua bahan ini untuk membezakan antara mereka.

reaktan hasil

hidrogen oksigen air

• Persamaan Tindak Balas Kimia di atas adalah seimbang kerana jumlah unsur bagi reaktan dan hasil adalah sama.

• Perseimbangan Persamaan Tindak Balas Kimia:

- Mengambil kira semua atom dalam sesuatu persamaan tersebut

- Jumlah atom di bahagian reaktan mesti sama dengan jumlah atom di bahagian hasil

- Perseimbangan dilakukan dengan mengubah nilai pekali sesuatu formula atom dan bukannya mengubah formula atom tersebut

H2 + O2 → H2O

Formula atompekali

2 2

Aplikasi Linear Algebra dalam Kimia

• Menggunakan kaedah penghapusan Gauss-Jordan untuk seimbangkan persamaan tindak balas kimia

• Langkah-langkah:1. Tuliskan tindak balas yang berlaku dalam bentuk

persamaan tindak balas kimia2. Wakilkan setiap molekul dengan pekali anu

(w,x,y…)3. Bandingkan bilangan atom yang ada pada reaktan

dan hasil4. Bentuk persamaan linear berdasarkan

perbandingan yang dibuat.5. Terjemahkan persamaan linear tersebut kepada

matriks imbuhan6. Selesaikan menggunakan kaedah Penghapusan

Gauss-Jordan

Contoh Soalan:

Penguraian gas butane (C4H10) dalam oksigen (O2) akan menghasilkan karbon dioksida (CO2) dan air (H20). Seimbangkan persamaan kimia bagi tindak balas ini.

Penyelesaian:

1. Tuliskan tindak balas yang berlaku dalam bentuk persamaan tindak balas kimia

C4H10 + O2 CO2 + H20

2. Wakilkan setiap molekul dengan pekali anu (w,x,y,z)

w C4H10 + x O2 y CO2 + z H20

Penyelesaian:

3. Bandingkan bilangan atom yang ada pada reaktan dan hasil

w C4H10 + x O2 y CO2 + z H20

Penyelesaian:

Atom Reaktan HasilKarbon 4w y

Hidrogen 10w 2zOksigen 2x 2y + z

4. Bentuk persamaan linear berdasarkan perbandingan yang dibuat.

• Karbon: 4w = y 4w – y = 0

• Hidrogen: 10w = 2z 10w – 2z = 0

• Oksigen: 2x = 2y + z 2x – 2y –z = 0

Penyelesaian:

• Maka:

5. Terjemahkan persamaan linear tersebut kepada matriks imbuhan

Penyelesaian:

6. Selesaikan menggunakan kaedah Penghapusan Gauss-Jordan

Penyelesaian:

B2 B3

Penyelesaian:

B1

B2

10B1 - B3

Penyelesaian:

B3

B3 + B1

B3 + B2

• Daripada penyelesaian di atas, persamaan linear yang terbentuk adalah:

w = x = y =

Penyelesaian:

• Nilai z digantikan dengan 10 (penyebut sepunya terkecil)

w = = 2

x = = 13

y = = 8

Z = 10

Penyelesaian:

Maka, persamaan yang seimbang adalah:

w C4H10 + x O2 y CO2 + z H20

2 C4H10 + 13 O2 8 CO2 + 10 H20

Penyelesaian: