MTE 1014 ALGEBRAPembelajaran Berasaskan ProjekProjek Kumpulan :Tajuk : Polinomial1.0 Polinomial1.1 Istilah dan Takrif Ungkapan algebraGabungan dua atau lebih sebutan dengan operasi penambahan atau penolakan. Boleh dibahagikan kepada empat aspek iaitu anu, pekali, faktor dan sebutan. AnuSuatu kuantiti tertentu yang belum diketahui nilainyaContoh : 5x, 7y ( x dan y merupakan anu )

PekaliBagi sebutan dalam satu anu, pekali ialah nombor yang mendarabkan anu. Contoh : 7x ( 7 ialah pekali bagi x)Bagi sebutan dalam dua anu, pekali bagi sesuatu anu ialah faktor-faktor lain dalam sebutan itu.Contoh : 6xy6 ialah pekali bagi xy6x ialah pekali bagi y 6y ialah pekali bagi x

Sebutan Sebutan serupa sebutan-sebutan dengan anu yang samaContoh : 6xy dan 4xy

Sebutan tak serupasebutan-sebutan dengan anu yang berlainanContoh : 5xy dan 5yx

FaktorSetiap kuantiti yang didarabkan disebut satu faktor hasil darab tersebut.Contoh : 7xy7 , x , y adalah faktor- faktor hasil darab 7xy

Takrif fungsi polinomialBentuk umum fungsi polinomial adalah

Fungsi polinomial yang sering digunakan dalam teknik sipil adalah : Fungsi konstanGrafik fungsi konstan berupa garis lurus yang sejajar atau berimpit dengan sebutan x. Untuk = 0 grafik fungsi konstantberimpit dengan sebutan x, dan untuk 0 grafik fungsi konstant sejajar dengan sebutan x

Contoh :Gambarkan grafik fungsi konstan k(x) =4 Penyelesaian:Penyataan k(x) = 4 dapat ditulis dengan k(x) = 4x kerana x = 1. Untuk menggambar grafik fungsi dibuatlah tabel nilai fungsi seperti berikut:

Grafik fungsi k(x) = 4 sejajar dengan paksi x dengan jarak empat satuan di atas paksi X Fungsi Linear

Grafik fungsi linier berupa garis lurus yang miring.Contoh :Gambarkan grafik fugsi konstan f(x) = 3 + 2x

PenyelesaianUntuk menggambar grafik fungsi f(x) dibuatlah table fungsi seperti di bawah :

Grafik fungsi f(x) = 3 + 2x berupa garis lurus yang miring ke kanan.

Fungsi KuadratGrafik fungsi kuadrat berupa parabola yang memiliki titik puncak di ( - Darjah Polinomial Darjah polynomial ialah darjah maksimum monomial itu.darjahNama

0konstan

1linear

2kuadratik

3padu

4kuartik

1.2 Aritmetik Polinomial Aritmetik boleh dilakukan ke atas polinomial, iaitu polinomial boleh ditambah, ditolak, didarab dan dibahagi, seperti nombor. Jika dua polinomial ditambah, ditolak, atau berganda, hasilnya adalah polinomial baru. Walau bagaimanapun, jika salah satu polinomial adalah dibahagikan dengan yang lain, hasilnya adalah secara umum bukan polinomial tetapi ungkapan yang lebih rumit yang dikenali sebagai ungkapan yang rasional. Sebagai contoh , hasil tamabh bagi polinomial dan ialah dan hasil tolak bagi polinomals tersubut ialah . Mendarab dan membahagikan polinomial univariat lebih rumit, tetapi operasi ini dilakukan sama dengan pendaraban panjang dan pembahagian yang panjang masing-masing. Sebagai contohnya, untuk mengira hasil pemdaraban bagi polynomial 2x + 5 dan 3x 7, perlu menulis pekali bagi setiap polinomial pada dua bari, seperti berikut :

Jadi, hasil pemdaraban ialah .

Operasi pembahagian adalah operasi aritmetik yang paling rumit, tetapi beberapa contoh perlu cukup untuk menunjukkan bagaimana ia dilakukan. Pertama mempertimbangkan polinomial dan . Bahagikan polinomial ini seperti berikut:

Jadi, . Dalam ungkapan ini, polinomial x + 2 dikenali sebagai hasil pembahagian polinomial , x + 3 adalah pembahagi dan 4 yang dikenali sebagai bakinya.

Contoh :a. Kira hasil tambah dan tolak bagi polynomial dan

Penyelesaian :Hasil tambah : + ( =

Hasil tolak : : - ( =

b. Kira hasil pemdaraban dan pembahagian bagi polynomial 2x + 3y 5 dan x 4y +1.

Penyelesaian :Hasil pemdaraban : (2x + 3y - 5)(x -4y + 1) = 2x2+ 3xy - 5x - 8xy - 12y2+ 20y + 2x + 3y 5

Hasil pembahagian : 2

11y - 7

1.3 Teorem Baki Cara untuk menentukan baki pembagian suatu suku banyak jika dibagi faktor linear (x c) atau secara umum oleh faktor linear (ax + b) adalah teorem baki. Selanjutnya, proses untuk menentukan hasil bagi dan baki pembagian suatu suku banyak oleh faktor linear tersebut dikenal sebagai pembagian sintetik. Pembagian suatu suku banyak P dengan faktor linear (x c) menghasilkan baki pembagian suku banyak berdarjah nol (konstanta) kerana pembaginya adalah suku banyak berdarjah satu. Jika hasil baginya adalah H, maka persamaan pembagiannya adalahP(x) = (x c) H(x) + k, k = konstantaKerana kesamaan ini berlaku untuk setiap nilai x, maka untuk x = c diperolehP(c) = (c c) H(c) + k = kJika baki pembagian suku banyak P oleh faktor linear (x c) adalah P(c) dan persamaan pembagiannya adalahP(x) = (x c) H(x) + P(c)Proses ini membuktikan teorem berikut , yang dikenal sebagai teorem baki.

Teorem BakiJika suku banyak P dibagi oleh faktor linear (x c), maka bakinya adalah P(c).

Teorem baki dapat diperumum untuk pembagian suatu suku banyak P dengan faktor linear (ax + b), a 0. Jika hasil baginya adalah H, maka persamaan pembagiannya adalahP(x) = (ax + b) H(x) + k, k = konstantaKerana kesamaan ini berlaku untuk setiap nilai x, maka untuk diperoleh

Jika baki pembagian suku banyak P oleh faktor linear (ax + b) adalah dan persamaan pembagiannya adalah . Modifikasi ini memberikan teorem berikut.

Jika suku banyak P dibagi oleh faktor linear (ax + b), a 0, maka bakinya adalah

Perhatikan beberapa contoh penggunaan teorem baki dan persamaan pembagian dalam pemecahan masalah berikut.

Contoh :a. Tentukan baki pembagiannya jika suku banyak dibagi dengan suku banyak.i. Q(x) = x 2ii. Q(x) = x + 1iii. Q(x) = 2x + 1Penyelasaian :i. Jika P dibagi oleh Q(x) = x 2 , maka baki pembagiannya adalah ii. Jika P dibagi oleh Q(x) = x +1, maka baki pembagiannya adalah .iii. Jika P dibagi oleh Q(x) = 2x +1, maka baki pembagiannya adalah .

b. Suatu suku banyak P dibagi (x 1) memberi baki 3 dan dibagi (2x + 3) memberi baki -2. Jika suku banyak P dibagi , tentukan baki pembagiannya.

Penyelesaian :Kerana pembaginya adalah suku banyak berdarjah dua, maka baki pembagiannya adalah suku banyak linear, sehinggan persamaan pembagiannya adalah

AtauP(x) = (x 1)(2x + 3) H(x) + (ax + b)

Dapat menentukan konstanta a dan b. Kerana suku banyak P dibagi (x 1) memberi baki 3,maka teorem baki memberikan P(1) = 3. AkibatnyaP(1) = (1 1)(21 + 3) H(1) + (a +b) = 3,sehingga a + b = 3. Kerana suku banyak P dibagi (2x + 3) memberi baki -1, maka teorem baki memberikan . Akibatnya

sehingga atau 3a 2b = 4 Selesaikan sistem persamaan linear a + b = 3 dan 3a 2b = 4, maka diperoleh a = 2 dan b = 1.Jadi, baki pembagian jika suku banyak P dibagi adalah B(x) = 2x + 1.

Pembagian SintetikJika suku banyak dibagi dengan faktor linear (x h), maka berdasarkan teorem baki diperoleh baki pembagian+d,

Yang dapat ditulis sebagai

= ((ah + b)h + c)h +dProses memperoleh P(h) dapat dilihat sebagai kaitan antara h dengan koefisien a, b, c, d melalui rangkaian operasi algebra berikut :

a (darab h & tambah b) ah+b (darab h & tambah c) (ah+b)h+c (darab h & tambah d)

((ah+b)h + c)h +d = P(h)Rangkaian operasi algebra ini dapat ditampilkan dalam bentuk diagram berikut :dibagi (x h)

koefisien hasil bagi baki pembagian

Lambang bererti darab dengan h Diagram ini dikenal sebagai pembagian sintetik. Selanjutnya, tanda panah tidak perlu dituliskan lagi. Bandingkan proses ini dengan pembagian panjang berikut :

(ah +b)h+c)x + d(ah +b)h+c)x ((ah +b)h+c)h(ah+ b)h + c)h +d =P(h)Pembagian sintentik merupakan bentuk singkat pembagian panjang tanpa menuliskan besaran x dan mengubah operasi pengurangan menjadi penjumlahan. Pembagian sintentik dapat juga dilakukan untuk faktor linear berbentuk (ax+b) dan untuk suku banyak berdarjah lebih besar dari 3. Perhatikan beberapa contoh berikut untuk memperjelas proses ini.

Contoh :a. Jika suku banyak dibagi (x 1), tentukan hasil bagi dan sisa pembagiannya dengan pembagian sintetik dan pembagian panjang.

Penyelesaian :Dengan pembagian sintetik :

Dengan pembagian panjang :

2

b. Jika suku banyak dibagi (2x 1), tentukan hasil bagi dan sisa pembagiannya dengan pembagian sintetik.Penyelesaian :Fakor linear (2x 1) dapat dituliskan dalam bentuk Lakukan proses pembagian sintetik dengan pembagi kemudian gunakan persamaan pembagian.

Berdasarkan pembagian sintetik ini baki pembagian adalah , sama dengan .Dari persamaan pembagian

.Dari persamaan pembagian ini diperoleh hasil baginya adalah

1.4 Teorem Faktor Teorem faktor adalah salah satu teorem pada submateri polynomial. Teorem ini cukup terkenal dan sangat berguna untuk menyelesaikan soalan - soalan baik dalam tahap sekolah mahupun tahap soalan olimpik. Perhatikan teorem faktor berikut ini :

Misalkan P(x) suatu polinomial, (x-k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0

Selanjutnya jika diketahui adalah akar -akar dari polynomial P(x) berdarjaht n maka diperoleh,

P(x) =

Pembuktian Teorem Faktor :Teorem faktor menyatakan bahawa jika f(x) suatu suku banyak, maka x h merupakan faktor f(x) jika dan hanya jika f(h) = 0. Perhatikanlah ungkapan berikut ini untuk membuktikan kebenaran teorem tersebut.Diketahui menurut teorem baki f(x) = (x k) h(x) + f(k). Jika f(k) = 0, maka f(x) = (x k) h(x). Sehingga x k merupakan faktor dari f(x). sebaliknya, jika x k merupakan faktor dari f(x),maka f(x) = (x k) h(x).Jika x = k, maka :f(x) = (k k) . h(k) = 0 . h(k) = 0Jadi, f(k) = 0 jika dan hanya jika (x k) merupakan faktor dari f(x).

Penggunaan Teorem Faktor :Berikut beberapa soalan yang berkaitan dengan teorem faktor di atas :

a) Tentukan faktor-faktor yang berikut:i. ii.

Penyelesaian :i. Jika (x k) merupakan faktor suku banyak , maka k merupakan pembagi dari 2, iaitu 1, -1, 2 dan -2. Kemudian, cuba dengan nilai-nilai tersebut. Misalnya, cuba dengan pembagi (x 1).

2)1)(x 2)(x +1) Jadi, faktor-faktornya adalah (x 1)(x 2)(x+1).ii. Jika (x k) merupakan faktor suku banyak maka k merupakan pembagi dari 3, iaitu 1, -1, 3 dan -3. Kemudian, cuba nilai-nilai tersebut. Misalnya, cuba dengan pembagi (x + 1).

= (x + 1)(x + 3)(2x 1)Jadi, faktor-faktornya adalah (x + 1)(x + 3)(2x 1).

b) Polinomial P(x) dibagi oleh menghasilkan hasil bagi H(x) dan baki (x-7). Jika H(x) dibagi (x-1) menghasilkan baki 2, tunjukkan bahwa (x-1) adalah faktor dari P(x).

Penyelesaian :Berdasarkan keterangan pada soal diperoleh P(x) = dan H(1) = 2. Untuk menunjukkan (x -1) adalah faktor dari P(x) cukup ditunjukkan bahwa P(1) = 0. Untuk keperluan itu, perhatikan bahwaP(1) = 3H(1) + 1 7= 32 6= 0Jadi, terbukti bahawa (x 1) adalah faktor dari P(x).

c) Jika f(x) = dan f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = 1. Apakah nilai f(6) ?

Penyelesaian : Misalkan P(x) = f(x) -1, maka P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 0. Oleh kerana itu, 1, 2, 3, 4, 5 adalah akar - akar dari P(x) sehinggaP(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

Jadi,f(6) = P(6) + 1= (6 - 1)(6 - 2)(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5) + 1= 121

d) Diberikan polinomial P(x)= dengan a, b, c, d konstanta. Jika P(1) = 10, P(2) = 20 dan P(3) = 30 maka nilai dari

Penyelesaian :Misalkan Q(x)= P(x) 10x maka Q(1) = Q(2) = Q(3) = 0 sehingga

Q(x) = (x - k)(x - 1)(x - 2)(x - 3)

Oleh kerana itu,P(x) = (x k)(x 1)(x 2)(x 3) + 10x

Selanjutnya perhatikan bahawaP(12) =(12 - k)(12 1)(12 2)(12 3)+120 = 990(12 K) + 120danP(-8) = (-8 k)(-8 1)(-8 2)(-8 3) 80= 990(8+k) 80Oleh kerana itu,

1.5 Punca dan Pensifar Polinomial1.6 Pecahan Separa2.0 Soalan soalan Polinomiala. Cari hasil tambah dan tolak bagi dan .

Jawapan :Hasil tambah : Hasil tolak :

b. Cari hasil pemdaraban dan pembahagian untuk polinomial dan 2x 1.Jawapan :Hasil pemdaraban : Hasil pembahagian : c. Jika suku banyak dibagi memberi sisa (6x + 5), tentukan konstanta a dan b.

Jawapan : a = 1 dan b = 6

d. Suku banyak P jika dibagi (2x+ 1) bakinya dan jika dibagi (2x 1) bakinya . Tentukan baki pembagiannya jika P dibagi (

Jawapan :

e. Suku banyak P(x) jika dibagi bakinya (5x + 1 ) dan jika dibagi bakinya (3x + 1). Tentukan baki pembagiannya jika P(x) dibagi .

Jawapan :4x + 2

f. Dengan menggunakan pembagian panjang, cari hasil bagi dan baki pembagian jika f(x) bagi dengan g(x) :

Jawapan :Hasil bagi = x 1 Baki pembagian = 7

g. Cari baki pembagian dengan guna teorem baki jika bagi dengan (x + 2).

Jawapan :Baki pembagian = -12

h. Uraikan suku banyak atas faktor linear dan kuadrat definit positif.

Jawapan :

i. Jika (x 2) adalah suatu faktor dari suku banyak , tentukan konstanta k dan uraian P atas faktor linear.

Jawapan :k = 16 ,

j. Suatu faktor linear dari suku banyak P adalah (x 1). Jika P(x) dibagi tunjukkan bahawa baki pembagiannya adalah

k. Tentukan himpunan penyelesaian dan faktor linear dari f(x) = .

Japawan :

= (x 1)(x + 1)(x 2)

himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 1, 2}.

e) Tentukan nilai a dan b agar mempunyai faktor

Jawapan :a = 12, b = - 28

Soalan Aras Tinggi :Tentukan nilai m dan n agar polinomial P(x) = dan mempunyai faktor persekutuan darjah dua.

Penyelesaian :Dari bentuk polinom P(x) dan Q(x) maka misalkan faktor persekutuan darjah dua yang dimaksud adalah . Dengan demikian kita peroleh,

sehingga didapat p + m = m , p = 0. Kerana p = 0 maka n = 3. Dari sini diperoleh faktor persekutuan yang dimaksud adalah dan diperoleh pula Q(x) = . Yang selanjutnya didapat

Q(x) =

sehingga, m -2 = 3 , m = 5.Jadi, m = 5 dan n = 3.Rukujan :Jonathan Wong, Wang Wei, Ong Beng Sim , Koo Seng Her (2011).Mathematics T STPM Term 1. Oxford Fajar Sdn. Bhd. : Selangor.Muat turun daripada http://www.ltcconline.net/greenl/courses/152a/polyexp/polyarit.htmMuat turun daripada http://books.google.com.my/books?id=yJjwTlrW9R0C&pg=PA22&lpg=PA22&dq=teorema+faktor&source=bl&ots=NF0OHDHefy&sig=kRBjvoxWfOQ_sY1PfKwrJS4gWDk&hl=en&sa=X&ei=yetGUvDrL42PrgfAwoHAAw&ved=0CJUBEOgBMAk#v=onepage&q=teorema%20faktor&f=falseMuat turun daripada http://www.mathamazement.com/Lessons/Pre-Calculus/00_Prerequisites/polynomials.htmlMuat turun daripada http://wing87.files.wordpress.com/2012/10/teorema_faktor.pdf

PPISMP MATEMATIK SEM 1 AMBILAN JUN 2013

20