analisis kesalahan pelajar dalam mempermudahkan ungkapan algebra yang melibatkan satu dan dua anu di...
TRANSCRIPT
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
ANALISIS KESALAHAN PELAJAR DALAM MEMPERMUDAHKAN UNGKAPAN ALGEBRA
YANG MELIBATKAN SATU DAN DUA ANU DI POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
Siti Zubaidah Saharudin 1 , Noor Azilla Md Radzi2 , Noormala Abdullah3
Politeknik Sultan Azlan Shah, Behrang, Perak
[email protected], [email protected], [email protected],
ABSTRAK
Kajian ini dijalankan bertujuan untuk mengenal pasti kesalahan di kalangan pelajar Diploma
Kejuruteraan Politeknik di salah sebuah Politeknik Kementerian Pendidikan Malaysia dalam
tajuk Ungkapan Algebra Yang Melibatkan Satu dan Dua Anu. Kajian ini adalah sebuah kajian
kes. Seramai 67 orang pelajar telah dipilih untuk menjawab soalan ujian bertulis diagnostik
daripada 67 orang itu, 13 orang pelajar diambil untuk tujuan temubual. Data kajian dikutip secara
kuantitatif melalui soalan ujian diagnostik dan kualitatif melalui sesi temubual berstruktur yang
melibatkan 13 orang responden yang terdiri daripada pelajar Diploma Kejuruteraan Politeknik
Semester 1 dan juga kuantitatif melalui soalan ujian diagnostik. Secara keseluruhannya, pelajar
peringkat IPT mengetahui secara jelas apa itu ungkapan algebra satu anu dan ungkapan algebra
dua anu. Pelajar juga dapat melakukan penyelesaian soalan algebra satu anu dan algebra dua anu
yang mudah. Dapatan kajian juga mendapati pelajar cenderung melakukan kesalahan
menggunakan teknik penghapusan yang tidak betul bagi mempermudahkan Ungkapan Algebra.
Pelajar juga cenderung melakukan kesilapan tanda anu semasa menyelesaikan masalah
Ungkapan Algebra dan kurangnya kemahiran dalam pemfaktoran Ungkapan Algebra. Dapatan
Kajian juga mendapati bahawa responden telah membina kefahaman sendiri dan juga menjawab
soalan tanpa mengetahui kerelevenan ia berbuat demikian.
Keywords : Algebra, kesalahan
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
PENDAHULUAN
Apabila disebutkan perkataan Matematik, ramai orang menggambarkan dalam fikiran
mereka bahawa soalan matematik adalah susah dan tidak mudah untuk diselesaikan. Tetapi
matematik ini amatlah penting dalam kehidupan kita seharian dan ia tidak terkecuali dalam
sistem pendidikan di negara ini.
Matematik merupakan salah satu daripada mata pelajaran yang amat penting di dalam
sistem pendidikan di Malaysia. Di dalam kehidupan seharian juga kita tidak dapat lari daripada
tidak menggunakan matematik. Matematik mempunyai bahasa, symbol dan operasi yang
tersendiri.
Kurikulum matematik di Malaysia adalah berasaskan kepada tiga bidang utama iaitu
nombor, bentuk dan ruang serta perkaitan dan fungsi. Bidang algebra termasuk di dalam bidang
bentuk dan ruang serta bidang perkaitan dan fungsi (Kementerian Pendidikan Malaysia, 2011)
Matematik ialah satu bidang ilmu yang mengkaji kuantiti atau nombor dan ianya
memberi nilai. Matematik menjadi asas kepada bidang ilmu di dunia ini dan banyak digunakan
dalam aktiviti seharian secara lansung atau tidak lansung. Di samping itu, penggunaan matematik
seperti kira-kira asas penting dalam membuat keputusan seharian, membolehkan manusia
mengkaji pola, mengkaji masalah sosial, mereka bentuk yang menarik dan seimbang, serta
menjadi alat yang berguna untuk membantu sains mencari kebenaran yang berkaitan dengan
fenomena fizikal di alam sekeliling. Kita menggunakan matematik untuk aktiviti urusniaga,
perjalanan, makanan, pembelajaran, rancangan, membuat kerja, sehingga hampir setiap aktiviti
sosial manusia ada hubungan dengan matematik.
Matematik merupakan satu pelajaran wajib yang telah diajar sejak dari tadika dan
diperkukuhkan lagi ketika berada di sekolah rendah kerana kita sentiasa menggunakan
penyelesaian matematik asas dalam kehidupan seharian. Contohnya dalam membuat belanjawan,
kita memerlukan kemahiran dalam kira-kira asas matematik seperti tambah, tolak, darab dan
bahagi. Selain itu, Kemajuan negara bergantung kepada kemajuan sains dan teknologi serta
perkembang perdagangan dan ekonomi yang berkaitan rapat dengan penggunaan matematik.
Perkembangan matematik dan menguasai kemahirannya menjadi asas kemajuan negara.
Matematik menggalakkan manusia bertaakul dan berfikir secara sistematik dan rasional. Ia
merupakan alat yang paling penting untuk mendorong perkembangan tamadun dalam bidang
sains dan teknologi, sosial dan ekonomi serta meningkatkan tahap kecerdikan manusia.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
Hasil kajian yang dilakukan oleh Saripah Latifah (2000) mendapati pelajar tidak
menguasai konsep asas ungkapan algebra dan menyebabkan berlakunya salah konsep dalam
operasi asas algebra.
Berdasarkan perbincangan di atas, kajian ini dilakukan untuk menganalisa jawapan
pelajar dalam memudahkan pecahan algebra yang dilakukan oleh pelajar Politeknik dalam tajuk
pecahan algebra. Banyak kajian telah dijalankan di peringkat sekolah untuk mengenalpasti
masalah pembelajaran pelajar terhadap topik tersebut tetapi kajian di peringkat politeknik kurang
kajian terhadap topik permasalahan algebra.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
LATAR BELAKANG KAJIAN
Matematik selalu dikatakan sebagai salah satu daripada mata pelajaran yang terlalu
penting dalam sistem pendidikan pada hari ini. Matematik mempunyai bahasa, simbol dan
operasi yang tersendiri. Selain itu, ia merupakan salah satu ilmu asas yang mempunyai peranan
cukup besar dalam kehidupan seharian bagi memperkembangkan ilmu dan teknologi
(Akib:2001:143). Tiga bidang utama dalam matematik yang berasaskan kepada nombor, bentuk
dan ruang serta perkaitan dan juga fungsi.
Walaupun topik algebra telah mula didedahkan kepada pelajar seawal dari sekolah
rendah dan sekolah menegah di kebanyakkan negara, tetapi masih ramai pelajar tidak berminat
dan pelajar berasa bimbang untuk mempelajari topik algebra yang dianggap terlalu abstrak ini
(Martinez, 2002; Radford & Puig, 2007).
Pencapaian mata pelajaran Matematik di kalangan pelajar di negara ini masih berada
pada tahap rendah samada dari segi kualiti mahupun kuantiti. Kenyataan ini disokong oleh
Pengarah Pusat Perkembangan Kurikulum (PPK), yang berkata masalah itu tetap berlaku
walaupun kerajaan memberi penekanan serius terhadap pembangunan bangsa yang celik sains
dan teknologi serta menyediakan pelbagai insentif, (Berita Harian, Shuhada Choo Abdullah
dalam Persidangan Kebangsaan Pendidikan Matematik 2002).
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
PERNYATAAN MASALAH
Ungkapan Algebra merupakan salah satu topik penting dalam system pendidikan di
politeknik. Ini kerana ungkapan algebra bukan sahaja merupakan asas kepada kesinambungan
pembelajaran matematik, malah topik itu juga merupakan asas kepada pembelajaran mata
pelajaran lain, di samping berguna dalam pelbagai konteks. Oleh itu, topik ini mula
diperkenalkan kepada pelajar peringkat sekolah menengah rendah di dalam mahu pun luar
negara.
Pengetahuan tentang ungkapan algebra ini adalah penting kerana ia bukan sahaja sebagai
asas kepada ilmu algebra tetapi pengetahuan ini juga memberi struktur mental untuk
pembangunan intelek yang berterusan. Ilmu ini juga dapat meningkatkan kemampuan kanak-
kanak untuk berurusan dalam masalah seharian (Post,1992). Bagi menjamin pelajar mampu
menguasai konsep asas ini dengan betul, mereka perlu dibimbing secara teliti dan terancang.
Kebanyakan kesalahan yang dilakukan oleh pelajar dalam menyelesaikan masalah
matematik bukan hanya disebabkan kecuaian atau secara rawak tetapi berlaku agak sistematik
(Hart, 1981; Rees, 1984; Newstead, 1998). Kesalahan-kesalahan yang sama berlaku secara
meluas di semua peringkat umur dan sebati dalam individu (Rees dan Barr, 1984). Walau
bagaimana pun, ada manfaatnya jika jawapan yang salah itu dikaji kerana kajian yang teliti akan
memberikan petunjuk tentang bagaimana pelajar berfikir seperti dalam kajian Rees & Barr
(1984) dan Newstead & Murray (1998). Kajian yang teliti ke atas kerja pelajar juga dapat
membantu mengurangkan kesilapan seterusnya (Onslow, 1986). Pelajar harus didedahkan
kepada masalah matematik yang sesuai. Daripada strategi yang ditunjukkan oleh pelajar, secara
tidak langsung dapat menunjukkan pemahaman konsep sebenar yang pelajar miliki.
Lantaran itu, pelbagai kajian telah dijalankan bagi menangani masalah dan memahami
asas yang membentuk pemahaman pembahagian ungkapan algebra dalam kalangan pelajar.
Usaha ini mula dijalankan pada 1980an oleh kumpulan penyelidik Projek Nombor Rasional dan
Perkadaran (Behr, Harel, Post & Lesh, 1992) bagi mengenal pasti ungkapan algebra satu anu dan
ungkapan algebra dua anu. Manakala dalam era 1990an, Hackenberg, (2007); Olive dan Steffe,
(2002); Steffe, (1990) telah menjalankan pengajaran eksperimen meninjau pengetahuan pelajar
tentang algebra bagaimana pelajar membina pecahan yang tak wajar. Kajian yang telah
dijalankan di luar negara itu penting kerana dapat menyumbang kepada pemahaman ungkapan
algebra dari aspek bidang ilmu,amalan pedagogi, mahupun psikologi pembelajaran. Di Malaysia,
aspek pemahaman ungkapan algebra dalam pembahagian pecahan juga penting untuk diberi
perhatian kerana matlamat kurikulum matematik adalah untuk membangunkan pelajar yang
seimbang dari aspek pemahaman konsep dan penguasaaan.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
Berdasarkan kepada huraian yang dibincangkan di atas, penyelidik ingin menjalankan
kajian untuk mengenal pasti kesalahan-kesalahan yang dilakukan oleh pelajar. Dalam
Konvensyen Kumpulan Meningkat Mutu Kerja (2008) yang pernah diadakan di salah satu
Politeknik Kementerian Pendidikan Malaysia, hasil dapatan mendapati pelajar-pelajar ini lemah
dalam asas matematik terutamanya algebra. Dalam kajian ini, pelajar dipilih adalah pelajar yang
pernah mengambil modul BA 101 atau DBM 1012 pada semester pertama pengajian di
politeknik.
OBJEKTIF KAJIAN
Objektif kajian secara khusus ialah:
i. Mengenalpasti kesilapan pelajar dalam memudahkan pecahan algebra yang melibatkan
satu dan dua anu.
ii. Membuat analisis terhadap penyelesaian pelajar dalam memudahkan pecahan yang
melibatkan ungkapan algebra.
PERSOALAN KAJIAN
i. Apakah kesilapan pelajar dalam memudahkan pecahan algebra yang melibatkan satu dan
dua anu?
ii. Apakah persamaan kesilapan yang dilakukan oleh pelajar dalam memudahkan pecahan
algebra yang melibatkan satu dan dua anu?
iii. Apakah kesilapan pelajar dalam memudahkan pecahan yang melibatkan ungkapan
algebra?
SKOP KAJIAN
Kajian ini dilaksanakan ke atas pelajar semester 1 Disember 2013 bagi BA 101 seramai
25 orang dan Jun 2014 bagi DBM 1012 seramai 42 orang di Politeknik Sultan Azlan Shah,
Kementerian Pendidikan Malaysia.
KEPENTINGAN KAJIAN SKOP KAJIAN
Kajian yang dijalankan ini diharapkan dapat membantu tenaga pengajar amnya dan para
pensyarah Politeknik Sultan Azlan Shah, Kementerian Pendidikan Malaysia khasnya dalam
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
menangani masalah yang dihadapi oleh pelajar-pelajar politeknik tentang pemahaman konsep
dalam tajuk algebra. Ini secara tidak langsung, diharapkan kajian ini dapat membantu pensyarah
mengenal pasti kesalahan-kesalahan yang dilakukan oleh pelajar-pelajar sekaligus dapat
memperbetulkan salah faham konsep yang dihadapi oleh pelajar-pelajar politeknik.
DEFINISI ISTILAH
ALGEBRA
Algebra (bahasa Arab: ,بر ج ,al-jabr yang membawa maksud "gabungan, sambunganال
atau pelengkap") ialah cabang matematik yang berkaitan dengan kajian struktur, hubungan, dan
kuantiti. Algebra asas sering dijadikan sebahagian pendidikan sekolah menengah untuk
memberikan pengenalan kepada idea-idea asas algebra: membelajari apa yang terjadi apabila
nombor-nombor dicampurkan atau dikalikan, dan bagaimana membuat polinomial dan mencari
punca tersebut. Abu Abdullah Mohammad Ibn Musa al-Khawarizmi (bahasa Arab: ن محمد ب
.arbegla apab nakapurem )خورازمي سى ال (Laman dari Al-Khwārizmī) مو
Rangkuman algebra adalah lebih luas berbanding algebra asas dan dibuat lebih umum.
Berbanding dengan hanya menggunakan nombor-nombor, seseorang boleh menggunakan anu
yang terdiri daripada simbol, pemboleh ubah, atau unsur set. Penambahan dan pendaraban
dilihatkan sebagai operasi am, dan definisi tepat untuk operasi-operasi ini menghasilkan struktur
seperti kumpulan, gelanggang, dan medan. Bersama-sama dengan geometri dan analisis, algebra
merupakan salah satu daripada tiga cabang utama matematik.
Secara amnya, algebra boleh dibahagikan kepada kategori-kategori yang berikut:
Algebra asas - mencatat sifat-sifat operasi pada sistem nombor nyata sebagai "pemegang
tempat" dengan simbol-simbol untuk mewakili pemalar serta pemboleh ubah, dan petua-
petua untuk ungkapan matematik dan persamaan yang melibatkan simbol-simbol tersebut
dikaji (perhatikanlah bahawa ini sering merangkumi isi kandungan kursus yang
digelarkan sebagai "algebra pertengahan" dan "algebra kolej");
Algebra niskala - juga dipanggil sebagai "algebra moden", yang mengkaji struktur-
struktur algebra seperti kumpulan, gelanggang, dan medan yang diberikan definisi
aksioman.
Algebra linear - mengkaji sifat-sifat khusus untuk ruang vektor (termasuk matriks);
Algebra semesta - mengkaji sifat-sifat sepunya dalam semua struktur algebra.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
Dalam kajian lanjutan, sistem-sistem algebra aksioman (seperti kumpulan, gelanggang,
dan medan) dan algebra-algebra melintasi medan dikaji melalui struktur geometri tabii (topologi)
yang serasi dengan struktur algebra tersebut. Senarai sistem algebra aksioman termasuk:
Ruang vektor norma
Ruang Banach
Ruang Hilbert
Algebra Banach atau algebra norma
Algebra topologi
Kumpulan topologi
Algebra Asas
Algebra asas ialah bentuk algebra yang termudah. Ia diajarkan kepada para pelajar yang
dianggapkan tidak mempunyai ilmu matematik sebalik prinsip asas ilmu kira-kira. Walaupun
dalam ilmu kira-kira, hanya nombor-nombor dan operasi arithmetik (seperti +, −, ×, ÷) wujud,
dalam algebra, nombor sering ditandakan oleh lambang (seperti a, x, y). Ini berguna kerana:
Ia memberikan rumusan umum peraturan arithmetik (seperti a + b = b + a for all a dan b),
dan inilah langkah pertama untuk penjelajahan sistematik pada sifat sistem nombor benar.
Ia memberikan rujukan kepada nombor "tidak dikenali", rumus persamaan dan
pelajarannya untuk bagaimana mahu menyelesaikan ini (contohnya, "Carikan nombor x
sedemikian hingga 3x + 1 = 10").
Ia memberikan rumusan fungsi berkenaan (seperti "Kalau anda jual x tiket, kemudian
untungan anda akan menjadi 3x - 10 dolar, atau f(x) = 3x - 10, dimana f ialah fungsinya,
dan x ialah nombor fungsi yang dijalankan.").
Algebra abstrak
Algebra abstrak atau algebra niskala dikembangkan ke konsep mirip yang didapati
pada algebra asas dan perkira-kiraan nombor untuk konsep umum yang lebih.
Set: Berbanding hanya mengambil kira jenis nombor yang berbeza, algebra abstrak melibatkan
lebih konsep set: satu kumpulan objek yang dipanggil unsur. Semua jenis nombor adalah set.
Contoh lain bagi set termasuklah set matriks dua-dua, set semua tertib kedua polinomial (ax2 +
bx + c), set semua vektor dua dimensi pada satah, dan pelbagai kumpulan terhad seperti
kumpulan kitaran yang merupakan kumpulan integer bermodul n. Teori set merupakan cabang
logik fan bukanlah cabang algebra secara teknikal.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
Operasi dedua: Tanggapan yang penambahan (+) akan memberikan operasi dedua, katakan *.
Bagi dua unsur a dan b dalam sebuah set S, a*b memberikan unsur lain dalam set (secara
teknikalnya keadaan ini dipanggil penutupan). Penambahan (+), penolakan (-), pendaraban (×),
dan pembahagian (÷) adalah operasi dedua seperti penambahan dan pendaraban matriks, vektor
dan polinomial.
Unsur identiti: Nombor kosong atau sifar dan satu diabstrakkan untuk memberikan tanggapan
sebuah undur identiti. Kosong adalah unsur identiti untuk tambahan dan satu adalah unsur
identiti untuk pendaraban. Bagi pengoperasi dedua umum * unsur identiti e harus memuaskan a
* e = a dan e * a = a. Ini tertakluk untuk penambahan sebagai a + 0 = a dan 0 + a = a dan
pendaraban a × 1 = a dan 1 × a = a. Walaubagaimanapun, kalau kita mengambil nombor tabii
positif dan penambahan, tiada unsur identiti.
Unsur songsang: Nombor negatif memberikan konsep unsur songsangan. Bagi penambahan,
songsangan bagi a adalah -a, dan pendaraban songsangan adalah 1/a. Unsur sonsangan umum a-1
haruslah memenuhi syarat yang a * a-1 = e dan a-1 * a = e.
Kesekutuan: Penambahan integer-integer ada sifat-sifat dipanggil kesekutuan iaitu
pengumpulan nombor untuk ditambah tidak akan memberi kesan kepada jumlahnya. Contohnya:
(2+3)+4=2+(3+4). Pada umumnya, ini menjadi (a * b) * c = a * (b * c). Sifat ini dapat
dikongsikan oleh kebanyakan operasi dedua tetapi bukan penolakkan atau pembahagian.
Kalis tukar tertib: Penambahan integer-integer juga mempunyai sifat yang dipanggil kekalisan
tukar tertib iaitu turutan nombor-nombor yang perlu ditambahkan tidak akan mempengaruhi
jumlahnya. Contohnya: 2+3=3+2. Pada umumnya, ini menjadi a * b = b * a. Hanya sesetengah
operasi dedua ada sifat ini. Ini bersesuaian untuk integer-integer dengan penambahan dan
pendaraban, tetapi ia tidak sesuai untuk pendaraban matriks.
Kumpulan
Menggabungkan konsep-konsep di atas memberikan salah satu struktur terpenting dalam
matematik: satu kumpulan. Satu kumpulan adalah penyampuran satu set S dan satu operasi
dedua '*' dengan sifat-sifat berikut:
i. Operasi tertutup: kalau a dan b ahli S, sama juga dengan a * b.
Maka, agak melamapau untuk menyatakan sifat-sifat ini, kerana setiap operasi dedua
harus tertutup. Jadi, pernyataannya "sekumpulan adalah gabungan set S dan operasi
dedua '*'" telah dikatakan bahawa operasinya tertutup. Walau bagaimanapun, Tutupan
sering ditegaskankan berulang kali sebagai sebuah sifat kumpulan.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
Sebuah unsur pengenalan e wujud, sebagaimana pada setiap anggota a pada S, e * a dan a
* e adalah kedua-duanya seiras kepada a.
Setiap unsur mempunyai sonsangan: pada setiap a pada S, wujudnya sebuah anggota a-1
sebagaimana a * a-1 dan a-1 * a adalah kedua-duanya seiras kepada unsur pengenalan).
Operasinya kesekutuan: jika a, b dan c adalah anggota-anggota pada S, jadi (a * b) * c
adalah seiras kepada a * (b * c).
Kalau sekumpulan juga ada Kalis tukar tertib - iaitu untuk setiap dua anggota-anggota a dan b
pada S, a * b seiras pada b * a – jadi kumpulan tersebut dikatakan jadi Abelian.
Contohnya, set integer dalam operasi penambahan adalah satu kumpulan. Dalam
kumpulan ini, undur identitinya adalah 0 dan sonsangan bagi mana-mana unsur a adalah
penafiannya, -a. Keperluan kesekutuan disahkan kerana bagi mana-mana integer a, b dan c, (a +
b) + c = a + (b + c).
Nombor nisbah bukan sifar membentuk satu kumpulan bawah operasi pendaraban. Di
sini, unsur identiti adalah 1, memandangkan 1 × a = a × 1 = a untuk mana-mana nombor nisbah
a. Sonsangan a adalah 1/a, memandangkan a × 1/a = 1.
Integer-integer di bawah operasi pendaraban, walau bagaimanapun, tidak membentuk
sebuah kumpulan. Ini kerana, pada umumnya, sonsangan bagi pendaraban sebuah integer
bukanlah integer. Contohnya, 4 adalah sebuah integer, tetapi sonsangan pendarabannya 1/4, yang
bukanlah integer.
Semikumpulan, kuasikumpulan, dan monoid adalah struktur-struktur ala kumpulan, tetapi
lebih umum. Struktur-struktur ini terdiri daripada sebuah set dan operasi dedua tertutup, tetapi
tidak semestinya memenuhi syarat-syarat lain. Semikumpulan mempunyai operasi dedua
sekutuan, tetapi tidak semestinya mempunyai unsur identiti. Monoid adalah semikumpulan yang
mempunyai identiti tetapi tidak semestinya mempunyai sonsangan bagi setiap unsur.
Kuasikumpulan memenuhi keperluan bahawa sebarang mana unsur boleh ditukar menjadi unsur
lain dengan suatu praoperasi atau pascaoperasi unik; walau bagaimanapun, operasi deduanya
tidak semestinya merupakan sekutuan.
Semua kumpulan adalah monoid, dan semua monoid adalah semikumpulan.
(Sumber: Wikipedia)
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
Apakah ‘Kebolehan penyelesaian masalah algebra’?
Ramai pendidik masih menghadapi kesukaran untuk memberikan satu definisi yang jelas
tentang kebolehan penyelesaian masalah algebra. Oleh itu, sebilangan penyelidik telah berusaha
untuk memberi pandangan mereka tentang maksud kebolehan penyelesaian masalah algebra.
Menurut Bell (1996), sekiranya kebolehan penyelesaian masalah algebra hanya merujuk kepada
penyelesaian persamaan adalah terlalu dangkal pengertiannya. Sebenarnya kebolehan
penyelesaian masalah algebra terdiri daripada satu keperluan perkembangan dalam :
i. Menggunakan bahasa algebra untuk mengungkapkan perhubungan,
ii. Mengendalikan ungkapan simbol dalam bentuk yang berbeza, dan
iii. Memperlihatkan kedua-dua kebolehan (i dan ii) dalam proses mengitlak,
membentuk, dan menyelesaikan persamaan, serta bekerja dengan fungsi dan rumus.
Friedlander (1997) menyimpulkan bahawa kebolehan penyelesaian masalah algebra
muncul daripada keperluan untuk menyiasat masalah rumit yang membabitkan proses
pengitlakan dan justifikasi pola. Terdapat beberapa fasa yang berurutan untuk menyiasat pola
iaitu :
i. Menghadapi contoh khusus,
ii. Mengemukakan contoh tambahan dan menyelesaikannya secara cekap,
iii. Mencari petua am, dan
iv. Mempertahankan petua am tersebut.
Sementara Latterell (2003) menyatakan bahawa terdapat tiga peringkat untuk mengenal pasti
kebolehan penyelesaian masalah algebra iaitu:
i. Memahami masalah yang diberikan
ii. Menggunakan dan memanipulasi simbol algebrauntuk membuat penyelesaian, dan
iii. Fleksibiliti dalam penyelesaian; iaitu mencari lebih daripada satu jalan penyelesaian.
Swafford dan Langrall (2000) melaporkan bahawa kebolehan penyelesaian masalah algebra
boleh disiasat melalui satu siri tugas yang melibatkan empat peringkat iaitu:
i. Menyelesaikan masalah yang melibatkan nilai kes khusus,
ii. Membuat pengitlakan bagi situasi masalah secara simbolik,
iii. Membuat perwakilan dalam pelbagai bentuk, dan
iv. Mengaplikasikan perwakilan simbolik untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan.
Berdasarkan definisi-defini di atas, tidak dapat dinafikan bahawa kebolehan penyelesaian
masalah algebra boleh dilihat daripada perspektif yang berbeza. Namun, wujudnya satu
persamaan antara pelbagai definisi tersebut iaitu kebanyakan definisi di atas berfokus kepada
pengenalpastian pelbagai peringkat proses dalam menyelesaikan masalah algebra. Dengan erti
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
kata lain, definisi mereka jelas menekankan perkembangan pelajar dalam mengaplikasikan
konsep dan pengetahuan algebra melalui proses penyiasatan, penterjemahan, penganalisaan dan
pengitlakan untuk mendapat penyelesaian sesuatu situasi masalah.
SOROTAN KAJIAN
Satu kajian yang dijalankan Pecks dan Jenks (1981) iaitu membincangkan jalan kerja
yang dilakukan oleh pelajar gred 6. Pelajar menggunakan prosedur yang salah untuk operasi
tambah dan operasi darab dua nombor pecahan. Jawapan atau alasan yang diberikan oleh pelajar
menunjukkan tiada hubungan antara prosedur yang diambil dengan makna jawapan yang
diberikan.
Kajian menunjukkan pelajar mempunyai pelbagai konsep yang telah sedia terbina dan
setiap pelajar mempunyai pemikiran dan cara yang unik dalam menyelesaikan sesuatu masalah
matematik (Carpenter and Moser, 1983; Pothier and Sawada, 1983; Mack, 1995; Fuson, Wearn
et al.,1997). Seth dan Ramakrishnan (1990) merumuskan pelajar-pelajar menghadapi masalah
dengan bentuk-bentuk perwakilan pecahan yang tidak lazimnya pelajar lihat dalam pengajaran di
dalam kelas.
Dalam satu kursus intensif pengukuhan matematik yang telah diadakan dan dikendalikan
oleh Suhaidah Tahir semasa cuti semester Mei 1999 di institut pengajian tinggi bagi pelajar yang
gagal dalam matematik (pelajar diploma) dan gagal aljabar (pelajar ijazah). Diakhir kursus
tersebut satu penilaian telah diadakan. Daripada ujian ini, didapati lebih 70% pelajar masih
membuat kesalahan yang ketara. Di antara kesalahan yang jelas dilakukan ialah soalan yang
melibatkan konsep pecahan. Konsep pecahan penting untuk semua pelajar di institut pengajian
tinggi terutamanya pelajar-pelajar yang mengikuti kursus-kursus sains dan teknikal seperti
pelajar-pelajar yang mengikuti kursus Diploma dan Ijazah Sarjana Muda Kejuruteraan samada
Awam, Elektrik dan Mekanikal. Mereka akan menggunakan konsep pecahan di dalam topik
matematik lain dan dalam subjek kejuruteraan yang lain.
Pecahan sukar difahami oleh pelajar, namun topik berkenaan merupakan nadi kepada
mata pelajaran matematik. Suhaidah Tahir, (2001) menyatakan bahawa terdapat pelbagai
pendekatan dan usaha dilakukan oleh pengkaji bagi mencari jalan penyelesaian mengatasi
masalah dalam pembelajaran pecahan. Namun, sehingga kini masih kedengaran kritikan daripada
pengkaji pendidikan matematik tentang kesukaran murid mempelajari pecahan dan pembahagian
pecahan di dalam dan di luar negara (Suhaidah, 2006).
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
Menurut kajian penyelidikan daripada Suhaidah Tahir (2006), mendapati bahawa
kumpulan pelajar institut pengajian tinggi mendapat peratus skor yang lebih baik jika
dibandingkan dengan kumpulan pelajar yang berada di sekolah menengah dan rendah. Pelajar
yang berada di institut pengajian tinggi secara keseluruhannya boleh membuat pengiraan operasi
tambah dan tolak yang baik. Malah pelajar-pelajar dari kumpulan ini boleh melakukan operasi
tambah dan tolak melibatkan pecahan iaitu dengan menyamakan penyebut. Walau bagaimana
pun, mereka gagal menerangkan mengapa tindakan itu perlu diambil. Dalam operasi darab dan
bahagi yang melibatkan pecahan, kebanyakan pelajar boleh menyelesaikan tugasan yang diberi
tetapi gagal memberikan sebarang alasan yang munasabah berkenaan dengan tindakan yang
diambil dalam menulis jawapan.
Kajian lain juga mendapati secara umumnya kesilapan yang dilakukan oleh pelajar bukan
kerana kecuaian. Ini kerana kajian yang dilakukan oleh Rees dan Barr (1984) mendapati
kesalahan yang pelajar lakukan menunjukkan pelajar mempunyai konsep pemahaman konsep
pecahan yang tidak kukuh kerana kebanyakan kesalahan yang ditunjukkan agak sistematik.
Pelajar menggunakan pendekatan strategi tertentu yang telah menjadi suatu kebiasaan dengan
diri mereka tetapi ianya merupakan strategi yang salah dalam menyelesaikan masalah matematik.
Pemahaman konsep jenis ini kekal dari sekolah sehinggalah mereka dewasa.
Banyak kajian lepas menunjukkan pelajar mempunyai masalah salah faham konsep
pecahan yang akhirnya membuatkan pelajar melakukan kesilapan ketika menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan pecahan. Dalam hal ini, pelajar perlu peka dan memahami sebaik-baiknya
pecahan asas dan ungkapan algebra sebelum pelajar menyelesaikan masalah. Ujian diagnostik
sahaja tidak mencukupi untuk mengkaji pemahaman konsep algebra di kalangan pelajar. Untuk
mengenalpasti berkenaan perkara ini, penyelidik mengemukan beberapa soalan yang berkaitan
yang telah dijawab oleh pelajar dengan apa yang telah ditulis di dalam soalan diagnostik.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
METODOLOGI KAJIAN
Rekabentuk Kajian
Kajian ini merupakan sebuah kajian yang dijalankan berbentuk kualitatif dan kuantitatif yang
melibatkan temubual berstruktur dan juga soalan diagnostik bagi mengenal pasti kesalahan yang
dilakukan oleh pelajar Diploma Kejuruteraan semester 1 dalam tajuk pecahan algebra.
Populasi dan Sampel
Populasi dan sampel dalam kajian ini adalah terdiri daripada 67 orang pelajar yang mengikuti
pengajian peringkat Diploma Kejuruteraan Politeknik semester 1yang mengambil subjek BA 101 dan
DBM 1013 Engineering Mathematics 1 di Politeknik ini. Daripada 67 orang pelajar, 10 orang pelajar
dipilih untuk sesi temubual. Pelajar yang ditemubual itu adalah terdiri daripada pelajar yang sederhana
dalam pencapaian matematik kejururteraan 1. Kajian kualitatif ini adalah bersifat kajian kes, maka
penyelidik bertanggungjawab memilih sampel yang berkebolehan memberi input, maklumat dan data
yang diperlukan. Latar belakang responden diambil sebagai rujukan dan catatan kepada penyelidik.
Walau bagaimana pun, bagi sesi temubual nama responden adalah sulit dan dirahsiakan bagi menjamin
hak privasi seseorang individu itu.
Instrumen Kajian
(a) Soalan Diagnostik
Kajian ini bertujuan bagi mengenal pasti kesalahan pelajar dalam menyelesaikan beberapa
masalah yang melibatkan pecahan algebra. Di dalam kajian ini, satu set soalan berbentuk Ujian
Dioagnostik Pecahan Algebra yang mengandungi 15 soalan subjektif diberikan kepada responden. Isi
kandungan bagi soalan diagnostik tersebut adalah berdasarkan kepada silibus BA 101 dan DBM 1013
tajuk awal bagi modul tersebut.
(b) Temubual
Soalan temubual juga disediakan untuk mengadakan sesi temubual dengan 10 orang responden
yang akan dipilih berdasarkan jawapan dari ujian diagnostik. Setiap jawapan dicatatkan dalam buku nota
khas untuk tujuan merekodkan apa yang telah dijawab oleh pelajar tersebut. Penyelidik tidak
menggunakan sebarang peralatan rekod seperti kamera digital, alat perakam suara atau telefon pintar
untuk merekodkan perbualan tersebut atas permintaan responden.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
Prosedur Kajian
Kajian ini dilakukan secara kuantitatif dan kualitatif di mana ia dilaksanakan semasa sesi Jun
2014 berlangsung. Di dalam kajian ini, responden dikehendaki menjawab 15 soalan subjektif yang
terdapat dalam Ujian Diagnostik. Ujian dilakukan di sebuah bilik tertutup iaitu Bilik Tutorial di Jabatan
Matematik Sains dan Komputer. Seramai 67 orang pelajar dari kursus Diploma Kejuruteraan semester 1
telah dipilih dan diberi masa selama 45 minit untuk menjawab semua soalan yang dikemukakan. Pelajar
diberi kebebasan menggunakan kalkulator saintifik tetapi tidak dibenarkan berbincang dan meniru pelajar
lain. Pelajar telah diberi arahan yang jelas sebelum menjawab soalan.
Apabila pelajar selesai menjawab soalan, penyelidik memperuntukkan masa untuk menyemak
jawapan daripada pelajar. Dapatan daripada semakan ke atas soalan tersebut, penyelidik memilih 10
orang responden untuk sesi temubual di mana setiap seorang responden diperuntukkan masa antara 10
hingga 15 minit untuk menjawab soalan-soalan yang ditanya oleh penyelidik. Sesi temubual dilakukan di
dalam sebuah bilik berhawa dingin dan tertutup untuk mengelakkan sebarang gangguan.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
ANALISIS DATA
Kesemua jawapan-jawapan yang diperolehi daripada data yang dibuat secara kualitatif dan
kuantitatif iaitu melalui sesi temubual dan juga ujian diagnostic sebanyak 15 soalan subjektif. Skrip
temubual dibuat oleh penyelidik terlebih dahulu sebelum sesi temubual dilaksanakan, tetapi ada juga
soalan-soalan yang ditanya secara spontan oleh penyelidik berdasarkan kepada jawapan bertulis yang
diberikan pelajar dalam ujian diagnostic yang telah dilakukan kepada mereka. Penyelidik juga melakukan
analisis betul atau salah terhadap ujian diagnostik itu dan mengambilkira jawapan yang salah itu untuk
mengenal pasti pemahaman konsep oleh responden.
i. Maklumat Diri Responden
Seramai 10 orang responden yang dipilih untuk menghadiri sesi temubual dengan penyelidik.
Responden yang dipilih adalah berdasarkan kepada bilangan betul jawapan yang ditulis dalam ujian
diagnostic itu dan juga jenis kesilapan yang dilakukan responden semasa menjawab. Responden yang
terpilih ini juga adalah responden yang dikira boleh memberi kerjasama yang baik semasa sesi temubual
dijalankan. Bagi menjaga amanah dalam etika penulisan , dan bagi memudahkan perbincangan dalam sesi
temubual ini maka pelajar yang ditemubual itu dirahsiakan nama dan nama-nama responden hanya diberi
sebagai nama samara sahaja. Responden yang dikaji adalah terdiri daripada pelajar Diploma Kejuruteraan
Politeknik Sultan Azlan Shah yang berada di semester 1 bagi sesi Disember 2013 dan sesi Jun 2014 dan
mengambil subjek DBM 1013 Engineering Mathematics 1 di politeknik ini.
ii. Soalan Diagnostik Responden
Soalan diagnostik responden ini dibuat berdasarkan kepada soalan dalam topic Ungkapan
Algebra di mana soalan-soalannya mengandungi 15 soalan subjektif yang mempunyai satu anu dan juga
dua anu. Soalan-soalan ini tidak menyukarkan responden untuk menjawab, hanya soalan asas sahaja
dalam Ungkapan Algebra. Responden menjawab kesemua 15 soalan itu.
Hasil keputusan daripada soalan ujian diagnostik, didapati bahawa pada soalan 3 dan soalan 12
adalah soalan yang paling banyak kesalahan bertulis yang dibuat oleh responden. Pada soalan 3 sebanyak
68.33% responden menjawab soalan salah dan sebanyak 31.77% sahaja responden menjawab dengan
betul. Pada soalan 12 pula, sebanyak 78.33% responden telah salah menjawab secara bertulis dan hanya
21.77% sahaja responden menjawab dengan betul.
Pada soalan 5 dan soalan 7 adalah soalan yang tertinggi responden menjawab dengan betul. Ini
kerana sebanyak 91.67% responden menjawab dengan betul dan hanya 8.33% sahaja yang menjawab
salah bagi kedua-dua soalan tersebut. Ia diikuti pula oleh Soalan 1, 8, 10, 2, 4, 9, 11, 13, 6, 14 dan 15
mengikut peratusan menjawab dengan betul bagi soalan-soalan itu.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
Untuk menganalisis samada kesalahan dalam ujian diagnostik itu adalah dari aspek kefahaman,
salah konsep, pemfaktoran dan sebagainya akan dihuraikan dalam analisis yang seterusnya melalui
kaedah temubual kepada responden.
iii. Soalan Temubual Responden
Soalan Temubual bagi responden dibina setelah penyelidik selesai membuat penyemakan
terhadap jawapan daripada ujian diagnostik responden. Beberapa soalan temubual yang dirasakan relevan
telah dibangunkan sendiri oleh penyelidik untuk menemubual responden.
iv. Analisis Pemahaman Konsep Pecahan dan Pecahan Algebra Daripada Responden
Bagi soalan 3, kesemua 13 orang responden memberikan jawapan yang sama. Ini kerana
responden tahu membezakan antara pecahan biasa dengan pecahan algebra. Ia hanya dibezakan apabila
responden mengklasifikasikan istilah matematik menjadi kepada beberapa istilah iaitu istilah penyebut,
istilah numerator dan denominator. Responden juga rata-ratanya boleh menyelesaikan masalah yang
merangkumi penambahan dan penolakan pecahan dan pecahan algebra yang mempunyai penyebut yang
sama dengan baik. Ini menunjukkan bahawa pelajar-pelajar di politeknik ini mengenali pecahan dan
pecahan algebra dan dapat melakukan penyelesaian soalan pecahan dan pecahan algebra mudah dengan
baik.
Merujuk kepada kajian ini terdapat kajian yang menyokong keadaan ini di mana ia tekah
dilakukan oleh Suhaidah Tahir )2006) di dalam kajiannya yang bertajuk ‘Pemahaman Konsep Pecahan
Dalam Kalangan Tiga Kelompok Pelajar Secara Keratan Lintang’. Hasil daripada kajian beliau
menunjukkan bahawa pelajar Institut Pengajian Tinggi (IPT) mendapat peratus skor yang lebih baik
berbanding dengan kumpulan pelajar-pelajar sekolah rendah dan menengah. Dengan ini boleh dikatakan
bahawa pelajar IPT dapat membuat pengiraan dengan baik bagi kedua-dua operasi tambah dan tolak.
Dapatan daripada ujian diagnostic bertulis menunjukkan perkembangan penguasaan konsep pecahan di
kalangan IPT.
Walaubagaimanapun terdapat masalah ketara yang dihadapi oleh responden ialah berkaitan
dengan masalah pengangka dan penyebut mengikut kesesuaian soalan. Didapati bahawa responden
menghapuskan pengangka dan penyebut atau pembawah secara bebas tanpa berfikir kerelevanan
tindakannya itu. Di sini amat jelas menunjukkan bahawa terdapat masalah salah faham konsep
penghapusan yang sepatutnya.
v. Analisis Kesalahan Daripada Responden
(a) Kesalahan Simbol Anu atau Tanda
Hasil daripada temubual yang dijalankan ke atas kesemua responden mendapati bahawa
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
responden tersalah menulis satu per di mana responden hanya menulis pembawahnya sahaja. Bagi
responden yang lain mengatakan bahawa dia telah meletakkan tanda negative pada pecahan tersebut dan
ini sudah tentu akan mengubah nilai jawapan.
(b) Kesalahan Dalam Menghapuskan Pengangka dan Penyebut
Bagi kesalahan perkara di atas, responden memberikan jawapan yang salah di mana mereka telah
melakukan kesalahan ketika pengembangan dan menghapuskan pengangka dengan penyebut. Ada
sesetengahnya yang tidak memahami konsep penghapusan pecahan kerana apabila ditanya oleh
penyelidik, mereka menjawab “ saya potong atas dan bawah jer, yang tinggal tu la jawapan die”, “
saya faham walaupun ada operasi boleh potong atas dan bawah”. Pelajar hanya memahami
bahawa algebra mesti ada huruf dan nombor. Konsep yang dia fahaminya adalah bahagian
pengangka dan penyebut dipotong sahaja dan meninggalkan jawapan yang ada sahaja. Kesemua
pelajar menulis jawapan pada bahagian penyebut sahaja.
(c) Masalah Pemfaktoran
Bagi kesalahan perkara di atas, responden mengatakan bahawa ada di antara mereka yang
lemah dalam konsep algebra, ada juga yang tidak pasti kenapa mereka menjawab jawapan
tersebut, dan ada yang mengakui mereka lemah dalam pemfaktoran.
Manakala terdapat sebilangan pelajar yang menyatakan bahawa mereka itu memang
lemah di dalam pemfaktoran dan ini menyebabkan mereka melakukan kesalahan dengan cara
menghapuskan pengangka dan penyebut tanpa memfaktorkan terlebih dahulu.
(d) Tidak Memudahkan Pecahan
Bagi kesalahan perkara di atas, responden mengatakan bahawa sebilangan pelajar memberi
jawapan yang sama, mereka faham konsep pemfaktoran, hapuskan pengangka dan penyebut,
tetapi masih tidak faham konsep 1 per. Kesemua pelajar menulis jawapan pada bahagian
penyebut sahaja.
Manakala terdapat sebilangan pelajar yang menyatakan bahawa mereka tidak pasti
mengapa mereka menjawab jawapan tersebut sedemikian rupa. Ini menujukkan bahawa mereka
tidak melihat secara logiknya jawapan yang diberikan itu betul atau pun salah.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
KESIMPULAN DAN CADANGAN
Hasil daripada analisis data kajian yang telah dijalankan, beberapa perkara telah dikenal pasti
untuk memastikan samada objektif-objektif yang dinyatakan telah tercapai.
Kesimpulan
Secara keseluruhannya, kajian ini adalah untuk mengenal pasti kesilapan hasil dari analisis
dapatan kajian dalam ungkapan algebra bagi fungsi satu dan dua anu. Hasil dapatan kajian mendapati
bahawa pelajar mempunyai masalah dalam memahami konsep dalam tajuk algebra amnya dan pecahan
algebra khususnya. Kajian ini memberi pengesahan atau bukti kesalahan yang yang dilakukan oleh pelajar
sebagai kesilapan prosedural. Kajian ini juga menunjukkan pelajar melakukan kesalahan berasaskan
pemahaman konsep. Menurut Kouba (1988), kekeliruan dan pemahaman konsep telah mendorong pelajar
menggunakan prosedur yang dihafal tanpa cuba memahami atau menghayati keputusan yang dibuat.
Oleh sebab itu, sekiranya pensyarah didedahkan dengan skrip jawapan pelajar, pensyarah
seharusnya tidak terus membuat andaian tetapi menerima dan meneliti jawapan pelajar dengan lebih
terperinci dan dengan hati yang terbuka tanpa menghakimi pelajar itu. Kajian menunjukkan pelajar boleh
memilih apa yang hendak ditulis, oleh itu apa yang tercatat tidak menunjukkan pemikiran pelajar secara
menyeluruh.
Cadangan
Berdasarkan kesimpulan yang telah dibuat, beberapa cadangan telah diberikan bagi membantu
para pengajar ataupun pensyarah menangani permasalahan ini, iaitu:
i. Dengan adanya kajian seperti ini para penyelidik dapat membantu pelajar dan pensyarah
menangani masalah salah faham konsep dalam pembelajaran dan pengajaran bagi para
pelajar yang mengambil subjek Matematik Kejuruteraan di Politeknik Malaysia.
vi. Adanya lebih ramai penyelidik membuat kajian dalam tajuk-tajuk lain selain daripada
ungkapan algebra ini supaya masalah dalam Matematik Kejuruteraan ini dapat
dikenalpasti sepenuhnya.
vii. Kajian ini seharusnya dilakukan lagi dengan jumlah responden yang lebih besar dalam
kalangan pelajar Politeknik Malaysia supaya masalah dalam ungkapan algebra ini boleh
diatasi dengan baik, tersusun,teratur dan lebih sistematik.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
RUJUKAN
Azrul Fahmi & Marlina Ali, (2007) “Analisis Kesilapan Dalam Tajuk Ungkapan Algebra Di Kalangan
Pelajar Tingkatan Empat, Buletin Persatuan Pendidikan Sains dan Matematik Johor Jilid 17 Bil.
1 Tahun 2007.
Bell, A. (1996), Problem Solving Approached To Algebra: Two Aspects In N. Bednarz, C. Kieran and L.
Lee (Eds), Approches To Algebra: Perspectives For Research and Teaching (pp. 167-186).
Dordrecht: Kluwer.
Carpenter, T. P and J. M Moser (1983), The Acquisition Of Additional And Substraction Concept. The
Acquisition Of Mathematics Concepts And Processes., R. L. M Landau. Orlando, FL: Academic
Press: 7-44.
Clements, M. A. (1999), The Teaching and Learning of Algebra. Proceedings of The First Brunei
Mathematics Teacher Conference, Negara Brunei, 31-46.
Edwards, T. G. (2000), Some Big Ideas of Algebra In The Middle Grades. Mathematics Teaching In The
Middle Schools, 6(1), 26-32.
Friedlander, A., & Hershkowitz, R (1997). Reasoning With Algebra. The Mathematics Teacher, 90(6),
442-447.
Kementerian Pendidikan Malaysia (2011), Laporan Prestasi SPM. Lembaga Peperiksaan. Kuala
Lumpur.
Kouba, V. L., C. A. Brown, et al. (1988). Result Of The Fourth NAEP Assessment Of Mathematics:
Number, Operations And Word Problems. Arithmetic Teacher 35(8):14-19.
Latterell, C. M. (2003), Testing The Problem Solving Skills Of Students In A NCTM-Oriented
Curriculum. Mathematics Educator, 13(1), 5-14.
Martinez, J. G. R. (2002), Building Conceptual Bridges From Arithmetic To Algebra. Mathematics
Teaching In The Middle School, 7(6), 326-332.
Matematik: Algebra. http://ms.wikipedia.org/wiki/ diakses pada 1 September, 2014.
Nasirah, Razimah & Norhasliza (2010). Mengenal Pasti Kesilapan Dalam Tajuk Pecahan Algebra Di
Kalangan Pelajar Diploma Kejuruteraan, Politeknik Kementerian Pengajian Tinggi : Kajian
Kes. Seminar Perkongsian Ilmu PSAS 2010. Politeknik Sultan Azlan Shah.
Seminar Penyelidikan PSAS 2014
JABATAN MATEMATIK SAINS DAN KOMPUTER, POLITEKNIK SULTAN AZLAN SHAH
Newstead, K., & Murray, H. (1998), Young Students Construction And Fraction Proceedings Of The
Conference Of The International Group For The Psycology Of Mathematics Educations
(PME22), Stellenbosch, South Africa.
Rees, R. & Barr, G. (1984), Diagnosis An Precription In Some Common Mathematical Problem,
London: Harper & Row.
Radford, L., & Puig, L. (2007), Syntax And Meaning As Sensuous, Visual, Historical forms Of Algeraic
Thinking. Educational Studies In Mathematics, 66, 145-164.
Saripah Latifah (2000). Satu Tinjauan Tentang Kefahaman Konsep Ungkapan Algebra Tingkatan Dua
dan Pola Kesilapan Yang Dilakukan. Universiti Teknologi Malaysia. Sarjana Muda.
Shuhada Choo Abdullah (2002), Berita Harian : Persidangan Kebangsaan Pendidikan
Matematik. Kuala Lumpur.
Suhaidah Tahir (2001), Pemahaman Matematik Mengenai Pecahan: Satu Kajian Keratan Lintang,
National GREDUC Seminar, Universiti Putra Malaysia.
Suhaidah Tahir (2006), Pemahaman Konsep Pecahan Dalam Kalangan Tiga Kelompok Pelajar Secara
Keratan Lintang, Fakulti Pendidikan, Universiti Teknologi Malaysia, Tesis Doktor Falsafah.
Swafford, J. O., & Langrall, C. W. (2000), Grade 6 Students’ Preinstructional Use Of Equation To
Describe and Represent Problem. Journal For Research In Mathematics Education, 31(1), 89-112.
Zaida Sangit (2007), Kesilapan Ungkapan Algebra Di Kalangan Pelajar Tingkatan 4: Satu Kajian Kes.
Universiti Pendidikan Sultan Idris, Tesis Ijazah Sarjana Pendidikan (Matematik).