6. lingkaran lengkap.ppt

8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt

1/89

LINGKARAN

(Text ,Gambar dan Animation)


2/89

I. UNSUR-UNSUR LINGKARAN.

(i). Unsur lingkaran yang berbentuk titik dan garis

• Titik pusat : setiap lingkaran memiliki 1 titik pusat (titik P)• Keliling Lingkaran (lingkarannya)• Garis Tengah (Diameter) = d (misalnya Garis A ! Grs "D ! dsb)• #ari$%ari (&adius) = r (misalnya Garis A' ! Garis ' ! dsb)• usur (misalnya Garis lengkung AD ! dll)• Tali busur (misalnya Garis lurus AD ! garis Lurus A" ! dll)

A B

C

!

r P

r Catatan "#. iameter $e%a%& d&a ka%i

'anan *ari-ari "d = r

. '* saling tegak lurus dengantali busur AD! maka AG = GD+

G


3/89

(ii). Unsur Lingkaran yang berbentuk Daerah dan +udut.

• #uring Lingkaran (misalnya : daerah yang diarsir '" ! dll)• Tembereng (misalnya daerah yang dibatasi usur A" dan Tali usur A ! dll)

• +udut 'usat : misalnya +udut ' ! dll

• +udut Keliling : misalnya +udut A"' ! dll

A B

C

Juring Lingkaran

Tembereng

P

!


4/89

Pendekatan nilai π (pi)Pi (π) ada%a bi%anan an ni%aina tertent&.Bera'a ni%aina Kita akan baa$ $e'erti berik&t ini/Linkaran denan ari-ari 0 1m ata& diameter 2 3 1m ,die%indinkan $at& ka%i ber'&tar. *arak an ditem'&k&ran %ebi #0,45 1m , $ebaai berik&t ini "

6#0,45 1m

r 2 0

Maka keliling lingkaran itu adalah sekitar 12,57 cm

Dengan demikian : Ke%i%in %inkarandiameterna

#0,45 1m3 1m2 2 7,#304


5/89

Keliling lingkaran dibagi diameternya = ,!1-

/ilai tersebut mendekati nilai

sebenarnya ! yaitu : = ,!1-10,2030,,2--,,2,30 4.

'ada kehidupan sehari$hari nilai yang dipakai adalah

pembulatan sampai desimal.

*adi " =

• 'ada perhitungan yang kita akan gunakan nilai = ,!1- atau =

227

Keliling Lingkaran

Diameternya


6/89

II. K!LILING AN LUAS LINGKARANA. K!LILING LINGKARANKita te%a meneta&i ba8a " 2

9aka Ke%i%in Linkaran 2 x diameterna.enan demikian r&m&$ &nt&k menit&n Ke%i%in

%inkaran ada%a " K= d atau K =0r

Keteranan " K 2 Ke%i%in Linkaran

d 2 diameter %inkaran ter$eb&tr 2 *ari-ari %inkaran

2 7,#3 ata& 2 227

Keliling LingkaranDiameternya


7/89

"5nt5h 1 :

6itunglah keliling lingkaran

dengan %ari$%ari :

a. #4 1m b. 0: 1m*a8ab "a. K 2 0 r

K 2 0 x 7,#3 x #4 1mK 2 ;3,0 1m

*adi Ke%i%in 2 ;3,0 1m

b. K 2 0 r

K 2 0 x 00 / 5 x 0: 1mK 2 #5< 1m

*adi Ke%i%in 2 #5< 1m

Conto 0 "Diketahui taman berbentuk

lingkaran dengan keliling = 2! m.Tentukanlah pan%ang diameternya7( 2 7,#3)

Pene%e$aian "

Dik. : K = 2! m , = ,!1-Dit. : d = 48

#a9ab :

K = d 0:0,< m = 7,#3d d 2 0:0,< m " 7,#3 2 ;= m

9aka iameterna 2 ;= m


8/89

Conto 7 "

Seb&a roda denan diameter


9/89

Conto 3 "Peratikan ambar di kanan ini/

Panan Radi&$ 2 r 2


10/89

Conto 4 "

'ada gambar di kanan ini !diketahuidiameter r5da keil (i) = ,; mdan diameter r5da besar (ii) = ; m.#ika &5da keil berputar ; kali !berapa kali putaran r5da besar8

'enyelesaian :

Dik. : r(i) = ,; m ! r(ii) = ; m dan &5da (i) berputar = ; kaliDit. : &5da (ii) berputar = 4 kali 8

#a9ab :isalkan r5da (ii) berputar = n kali ! maka :

nK(ii) = ;K(i)n < 13 = ; < 0-!

n < 13 = 122-

n = 122- : 13 = 1

K(i)

= d = ,!1- < ,; = 0-!

K(ii) = ,!1- < ; = 13

(i) (ii)

*adi roda be$ar (roda (ii)ber'&tar #0 ka%i


11/89

B. LUAS LINGKARAN• L&a$ Linkaran dan L&a$ Per$ei 'anan.

L&a$ Linkaran 2 L&a$ Per$ei Panan ABC

2 Panan x Lebar 2 # @0K x r 2 r x r2 r 0

'an%ang 2 K L

e b a r

2 r

r

A B

C


12/89

Unt&k $etia' %inkaran %&a$na da'at diit&ndenan r&m&$ "

L 2

r 0

L 2 L&a$ Linkaranr 2 *ari-ari (radi&$) %inkaran 2 # @0diameter 2 7,#3 ata& 2 00 @5

Cnth 1 :

!itunglah "uas lingkaran #ika diametern$a :

a. 2% cm&. '2 dm


13/89

Pene%e$aian Conto # "

a. ik. " d 2 0= 1m

r 2 #= 1m

it. " L 2 >

*a8ab "

L 2 r 0

L 2 7,#3 x (#= 1m)0

2 7,#3 x #== 1m0

2 7#3 1m0

b. ik. " d 2 30 dm

r 2 0# dm

it. " L 2 >

*a8ab "

L 2 r 0

L 2 00 @5 x (0# dm)0

2 00 @5 x 33# dm0

2 #7:< 1m0


14/89

"5nt5h :

Keliling suatu lingkaran = !2 m. 6itunglah luas lingkaran tersebut7

'enyelesaian :Dik. : K = !2 mDit. : L = 48

#a9ab :L = r 0L = ,!1- < (1;m)

L = ,!1- < 1;; m

L = 7#3 1m0

"5nt5h , :

Gambar dikanan ini adalah suatu daun pintu yangterbentuk dari setengah lingkaran dan persegi.Tentukan : a. Keliling daun pintu itu7

b. Luas daun pintu tersebut7 ;: 1mK L

N 9

K = 0r !2 = < ,!1- < r!2 = !2 < r

r = !2 : !2 = 1;


15/89

'enyelesaian :

Dik. : Daun 'intu = setengah lingkaran > persegi

KL = K/ = / = diameter = 02 mDit. : a. K. daun pintu = 48 b. L. daun pintu = 48

#a9ab :

a. K. Daun pintu = /K > KL > L > busur / = , KL > ? K.lingkaran= , < 02 > ? < / 3 < 02

= 0- > 1-= --2

b. L. Daun pintu = Luas KL/ > L. ? lingkaran= 02 < 02 > ? < / 7 < -0

= 0;- > ,33,= 1,,33

;: 1mK L

N 9

#adi Luas daun pintu = 1,,33 m

#adi :Keliling daunpintu = --2 m

r = 02 / = -0


16/89

"5nt5h - :

'erhatikan gambar di kiri ini. Garis lengkungA" adalah busur lingkaran yang berpusat di D

6itunglah luas daerah yang diarsir7

'enyelesaian :

Dik. : AD = A = r = ; m

Dit. : Luas yang diarsir = 48

#a9ab :

(dihalaman berikut)

0 = 1 m

A B

C


17/89

aa& ' :

L an) diar$ir = LABC D L%in)karan

L@g diarsir = s –

= (; m) .,!1-. (; m)

= -;; m .,!1-. -;; m

= -;; m ,1- m

= 2 m

#adi Luas yang diarsiradalah 2 m

0 = 1 m

A B

C '1

'

1

$

$

#3r 0

#3r 0

#3


18/89

HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANGHUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG

BUSUR DAN LUASBUSUR DAN LUAS

JURING JURING

*

C

D

+

,α

β

Besar ∠ AOB=

Pjg. busurAB

=

L. juringOAB

Besar ∠ CODPjg. busurCD

L. juringOCD

Perhatika

nGambar


19/89

Jika sudut pusatnya dibandingkan dengan Jika sudut pusatnya dibandingkan dengan

besar seluruh sudut pusatnya ( !"besar seluruh sudut pusatnya ( !"""#$#$

maka %maka %

*

+

,

α

Besar ∠

AOB=

Pjg. busurAB

=

L. juringOAB

!""&el.lingkaran L. lingkaran


20/89

III. GARIS SINGGUNG

A. '/G&TBA/ GA&B+ +B/GGU/G LB/GKA&A/Pada $etia' %inkaran ada banak Gari$ Sin&n, $bb. :

• Garis singgung ialah garislurus yang mem5t5nglingkaran pada satu titik.

• Titik p5t5ng garis singgungdengan lingkaran disebut

titik singgung.• +etiap garis singgung

saling tegak lurus dengan#ari$%ari di titik singgung.

P

L

KTitik Sin&nGari$ Sin&n


21/89

Conto # "

'ada gambar diatas ! garis L

adalah garis singgung

lingkaran yang berpusat di '.

ila E'K adalah sama sisi !

tentukanlah besar∠KL.

*a8ab "

Pada E'K :

PK 2 P9 2 K9 , maka

∠K' = ∠'K = ∠'K = ;;

∠KL = 12;; (∠K' > ∠'L) = 12;; (;; > 0;;)

= ,;;

Catatan :

∠'L = sudut yang dibentuk %ari$%ari dan garis

singgung = 0;;.

KL

9

P


22/89

Conto 0 "

Pada ambar dikanan ini

PA 2 ; 1m dan AB 2 < 1m.

Tent&kan%a 'anan BC /

*a8ab "

Pada $eitia BCP , $ik&-$ik& di C , maka "

BC0 2 BP0 D PC02 (#4 1m)0 D (; 1m)0

2 004 1m0

D :# 1m0

2 #33 1m0

BC 2 F#33 1m0

2 12 cm

A B

C

P

PC 2 PA 2 r 2 ; 1m

PB 2 PA AB

2 ; 1m < 1m2 #4 1m

0m

0 : m

m


23/89

Conto 7 "

+egi$- 'C&+ adalah Layang$

layang garis singgung.

#ika '+ = 1 m dan

'& = m ! hitunglah Luaslayang$layang tersebut7

#a9ab :Pada '&+ :

+& = '& '+

= 1= = -;;

E +& = F-;; = ; m

aka :L 'C&+ = < L'&+

= < ? '+ < +&

= '+ +&

= 1 m < ; m= ,;; m

#adi Luas Layang$layang 'C&+ adalah 7== 1m0

P

S

R

H


24/89

. GA&B+ +B/GGU/G '&+KUTUA/ DUA LB/GKA&A/

(i). Penertian Gari$ Sin&n Per$ek&t&an

Sebuah garis disebut Garis Singgung Persekutuan

dua lingkaran , jika garis tersebut merupakan garis

singgung untuk kedua lingkaran tesebut.

Garis singgung persekutuan dua

lingkaran terdiri dari dua %enis! yaitu :

1). Garis singgung persekutuan luar.

'ada gbr : Garis A dan Garis "). Garis singgung persekutuan dalam.

'ada gbr : garis KL dan garis /

? P

AB

CK

LM

N


25/89

-er#a -elmpk

#. Gambar d&a b&a %inkaran $edemikianr&'a $eina ari$ $in&n'er$ek&t&anna ana 7 b&a.

0. Gambar d&a %inkaran $eina ari$$in&n 'er$ek&t&anna ana 0 b&a

7. Gambar d&a b&a %inkaran denan$arat ari$ $in&n 'er$ek&t&annaana # b&a.


26/89

O P

B

(ii). 9enent&kan Panan Gari$ Sin&nPer$ek&t&an L&ar (GSPL)

*ika ?P 2 #5 1m ,?A 2 ## 1m dan

PB 2 7 1m ,a. Tent&kan%a'anan AB/.

b. Baaimanakar&m&$na

Garis A = Garis +inggung

'ersekutuan Luar (G+'L) pada lingkaran H dan lingkaran '.Garis H' = %arak titik pusat kedua lingkaran itu.

Garis HA = r1 = %ari$%ari lingkaran pertama.Garis ' = r = %ari$%ari lingkaran kedua.

'ada E?PC , ∠" = 0;; , ?C 2 r # D r 0 dan CP 2 AB.

aka 'an%ang Garis +inggung 'ersekutuanLuar dapat ditentukan dengan rumus :

C

GSPL. AB 2 ?P0 D (r # D r 0)0

A

#a9aban :a. "' = 13 $ 2

= 20 $-=

aka "' = F = 1#adi A = "' = 1 m

a. &umusnya ! sbb :


27/89

"5nt5h 1 :

Diketahui lingkaran B berpusat di H dan %ari$%ari = r1 = 1 m !

lingkaran BB berpusat di ' dan %ari$%arinya = r = m.#ika %arak titik pusat = H' = m ! tentukanlah pan%ang garis

singgung persekutuan luarnya (G+'L).

'ernyelesaian :

Dik. : r1 = 1 m ! r = m dan H' = m

Dit. : G+'L = 48

#a9ab :

G+'L =?P0 D (r

# D r

0)0

0


28/89

"5nt5h :

Diketahui dua lingkaran dengan r1 = m dan r = 11 m.

#ika pan%ang garis singgung persekutuan luar = 1 m !

tentukanlah %arak titik pusat kedua lingkaran itu7

'enyelesaian :

isalkan 'usat lingkaran H dan 'Dik. : r1 = m ! r = 11 m

Gspl = 1 m

Dit. : H' = 48

#a9ab : G$'% 2 ?P0 D (r # D r 0)0

(G$'%)0 2 ?P0 D (r # D r 0)0

(#0)0 2 ?P0 D (0 D ##)0

#33 2 ?P0 D (D;)0

?P0 2#33 :# 2 004

?P0 D :##33 2

?P 2 004 2 #4

*adi *arak TitikP&$at ?P 2 #4 1m


29/89

Conto 7 "'ada sebuah mesin di%umpai

dua r5da yang dihubungkan dengantali seperti gambar dikiri ini.

+ehingga ila satu r5da diputar yang

satu lagi ikut berputar.

#ika pan%ang %ari$%ari kedua r5da itu

sama paan%ang m dan %arak titik

pusatnya = 1, m tentukanlah

pan%ang tali tersebut7


30/89

'enyelesaian :

Dik. : r1 = r = m

#arak titik pusat = 1, m

Dit. : 'an%ang Tali penghubung = 'Tp = 48

#a9ab :

'Tp = < 'an%ang Gspl > < ? K= < 'an%ang Gspl > K

= < 1, m > ,1!- m

= m > ,1!- m

= 3!- m

#adi 'an%ang tali itu = 3!- m

G$'% 2 ?P0 D (r #

D r 0

)0

G$'% 2 #70 D (4 D 4)0

G$'% 2 #


31/89

(iii). 9enent&kan Panan Gari$ Sin&nPer$ek&t&an a%am (GSP).

Dengan memperhatikan pr5ses gambar berikut ini ! tentukanlahrumus untuk menentukan pan%ang Garis +inggung 'ersekutuan

Dalam (G+'D). Dengan atatan #ari$%ari lingkaran besar = r1 dan

%ari$%ari lingkaran keil = r dan G+'D$nya = KL

'ada H' ! ∠ = 0;; !

KL = ' dan H = r1 > r

aka rumus untuk

menentukan pan%ang G+'Dadalah :

K

L

M

PO

G$'d. KL 2 ?P0 - (r # r 0)0


32/89

"5nt5h 1 :

Diketahui dua lingkaran dengan r1 = , m ! r = m dan %arak titikpusatnya = H' = 13 m. Tentukanlah pan%ang salah satu garis

singgung persekutuan dalam (Gspd)7'enyelesaian :

Dik. : r1 = , m ! r = m dan

KL = 13 m

Dit. : Gspd = 48

"5nt5h :

'ada gambar dikanan ini KL adalahgaris singgung persekutuan dalam.#ika HK = 'L = - m dan A = 12 m! tentukanlah pan%ang KL

?P0 - (r # r 0)0

= #50 - (7 4)0

= 0:; -


33/89

'enyelesaian :

Dik. : HK = r1 = - m !

'L = r = - m !A = 12 m

Dit. : 'an%ang Gspd = KL = 4 8

#a9ab :

? PA B

L

K3

3

Gspd. KL = H' D (r1 > r) H' = A AH '

H' = A HK 'LH' = 12 - -H' = 1;

Gspd. KL = 1; D (- > -)

Gspd. KL = 1;; D -

Gspd. KL = , = <*adi 'anan KL (ari$ $in&n 'er$ek&t&an da%am)ada%a 2 < 1m


34/89

"5nt5h , :'ada Gbr. dikanan ini H' = ,0 m !HK = 0! m dan ' = ! m.

#ika pada EH'C ! ∠C = 0;; !tentukanlah :a. 'an%ang C 7b. Luas EH'C 7

'enyelesaian :Dik. : H' = ,0 m

HK = r1 = 0! m' = r = ! m

Dit. : a. C = 48b. L EH'C = ...8#a9ab :a. C = 'C '

C = KL r

? P

H

9

L

K

KL = H' D (r1 > r)

,0 D (0! > !)KL =11 D KL =10 = 7


35/89

I. SUUT PUSAT AN SUUT K!LILING

A. U+U& +AGAB +UDUT

• B&$&r $ebaai $&d&t ada%a $ama denan $&d&t '&$at

an menada' b&$&rter$eb&t.

S&d&t APB 2 4==9aka "be$ar b&$&r AB 2 Be$ar AB 2 4==

4==P

A

B

"atatan :esar usur : Dinyatakan dalam +udut (dera%at)'an%ang usur : Dinyatakan dalam +atuan 'an%ang.esar usur satu lingkaran = ,;;


36/89

"5nt5h 1 :#ika +udut 'HC = 3; ! tentukanlah besar :

a. usur 'Cb. usur &+. usur '+

#a9ab :a. usur 'C = ∠'HC

= 3;

b. usur &+ = ∠&H+

= 3;

. usur '+ = ∠'H+= 12;; 3;

= 1;;

P

H

R

S

? 7 5

P

H

R

S

? 7 5

7 5

7515


37/89

Sat& P&taranPen& 2 7


38/89

• Setena P&taran Pen& (S&d&t L&r&$)

P&taranPen& 2 x 7


39/89

"5nt5h :

6itunglah besar sudut :

a. I putaran

b. J putaran

. ⅔ putarand. putaran

e. ;!- putaran

#a9ab :

a. I putaran = I < ,;;

= 3;;

b. J putaran = J < ,;; = -;

. ⅔ putaran = ⅔ < ,;; = -;;

d. putaran = < ,;;

= ;

e. ;!- putaran = ;!- < ,;; = 1--;


40/89

Conto 7 "

Bera'a '&taranka $&d&t berik&t ini

a. :== b.


41/89

K+B'ULA/ :

• +atu putaran penuh adalah perputaran dari a9al sampai

kembali kep5sisi semula.

• +atu putaran penuh = ,;;

•+etengah putaran penuh = ? < ,;

;

= 12;;

= +udut Lurus.

• +udut n; =

PBA

a

b'&taran 'en& 2

7


42/89

C. +UDUT 'U+AT DA/ +UDUT KLBLB/G(i). 'engertian S&d&t P&$at dan S&d&t Ke%i%in.

'ada setiap Lingkaran :

• +udut 'usat ialah +udut yang

dibentuk 5leh dua buah %ari$%ari.

Titik sudutnya = Titik pusat lingkaran

• +udut Keliling ialah +udut yang dibentuk 5leh dua tali busur.

Titik sudut setiap sudut kelilingterletak pada keliling lingkaran

p; = ∠ pusat

?

'=

A B

k=

9

?

K

L

k; = ∠ keliling


43/89

(ii). 6ubungan +udut 'usat Dan +udut Keliling

Soa% 'enantar.'ada masing$masing gambar berikut ini tentukanlah


44/89

P

'ada gbr diba9ah ini :

∠A'" = ∠'usa t∠A" = ∠Keliling

Ditarik garis bantu D.

1) 'ada 'A ! A' = ' = #ari$%ari= r !

maka : ∠'A = ∠'A = m;

+ehingga ∠A'D = m; > m; = m;4 (1)

) 'ada '" ! ' = "' = #ari$%ari= r !

maka : ∠'" = ∠'" = n;

+ehingga ∠"'D = n; > n; = n; 4.. ()

∠A'" = ∠A'D > ∠"'D 4(1) dan () = m > n

= (m;

> n;

)∠A'" = ∠A"

A

B

C

r r m=

m =

n=

n=

0m=

0n=

∠ABC 2 m=

n=

*adi " ∠P&$at = 0∠Ke%i%in


45/89

Ke$im'&%an "

Pada setiap lingkaran apabila Sudut Pusatdan Sudut Keliling menghadap busur yang

Sama panjang maka :

Sudut Pusat = 2 x Sudut Keliling.

'ada Gambar disamping ini :

+udut 'usat = +udut A'" = p; dan

+udut Keliling = +udut A" = k;

Kedua sudut itu sama$sama

menghadap usur A".

aka p; = < k;

CP

A

B

'=

k=


46/89

"5nt5h 1 :'ada masing$masing gambar berikut ini tentukanlah


47/89

?

"5nt5h :

'ada gambar di kanan ini ! titik H adalahpusat lingkaran dan A = diameter.

Tentukanlah k; 7#a9ab :

∠A?B 2 S&d&t P&$at 2 #:==9aka " k= 2 #:== " 0 2 ;==

+udut keliling yang menghadapbusur setengah lingkaran atau

yang menghadap diameterbesarnya selalu 0;; (+iku$siku)

'ada Gbr di kiri ini sudut " = 0;;

A

C CC

C

C

B

?

k=

A B

C


48/89

"5nt5h , :

'ada Gambar dikanan ini titik H adalahpusat lingkaran. #ika ∠A" = -; !tentukanlah besar busur A7

#a9ab :esar usur A = < -;

= 0;

"5nt5h - :

Lihat gambar di kiri ini7Titik pusat Lingkaran adalah titik '.#ika besar busur D* = ,3; !

tentukanlah ∠D* 7#a9ab :esar busur ∠D* = ,3; : = 12!;

3


49/89

Conto 3 "

Tentukanlah gambar disamping ini titik H

pusat lingkaran dan D garis tengah.a. #ika besar usur AD = ; !

tentukanlah


50/89

Conto 4 "

'ada gambar diba9ah ini H titik pusat lingkaran K = diameter !sudut K#L = 113; ! dan sudut KL = -2;.

Tentukanlah : a. esar busur L b. esar a 5

. esar b; d. esar busur K/

#a9ab :a. esar busur L = 12;; bs. KL

= 12;; (


51/89

I. SUUT ANTARA UA TALI BUSUR

A. '/G&TBA/.

'ada sebuah lingkaran ! %ika kita menggambar dua tali busuryang tidak se%a%ar ! maka ada dua kemungkinan ! yaitu :

1). ungkin berp5t5ngan didalam lingkaran.

). ungkin berp5t5ngan diluar lingkaran.

isalnya :(i). Gbr. kanan : Dua tali busur yang

berp5t5ngan didalam lingkaran.

(ii).

?A

B

C P

?A B

C

PGbr. Kiri : Dua tali busur yangerp5t5ngan diluar lingkaran


52/89

B. 9!N!NTUKAN B!SAR SUUTANTARA UA TALI BUSUR

(i). Be$ar S&d&t antara d&a ta%i b&$&r anber'otonan di da%am %inkaran.

'ada gbr. dikanan ini A" dan D adalah

tali busur yang berp5t5ngan di '.

aka ada - buah sudut yang terbentuk !

yaitu : ∠A'D ! ∠'" ! ∠A' dan ∠D'".∠A'D =∠'" ! dan ∠A' = ∠D'".

'ertanyaan :

#ika s. A = 112; ! s. "D = 1 ! maka :

1). ∠AD' = 4; dan ∠'" = 4;

). n; = 4;

?

A

B

C

P

#0


53/89

'ada gambar dikanan ini salah satu +udutantara tali busur adalah : ∠D'" = n;

esar ∠D'" = ∠AD' > ∠DA'

esar ∠D'" = ? bs.A > ? bs."Desar ∠D'" = ? (bs.A > bs."D)#adi n; = ? (11- > 1)

= 1;;

Untuk dua tali busur yang berp5t5ngan didalam lingkaranberlaku rumus sbb :

?A

B

C

P

#0 bs. D"

dan x= 2 bs. AD > bs. "


54/89

"5nt5h 1 :Lihat gambar dikanan ini7Tentukanlah :a. m; b. n;

#a9ab :a. m; = ? (31 > 23); = 30;

b. n; = 12;; 30; = 1;1;

Conto 0 "

'ada gambar di kiri ini ! +C tali busur

yang melalui pusat lingkaran (%adi +C

adalah diameter).#ika besar bs. 'C = a ; ! ∠CT& = 3;; dan

besar bs. C& = 30;! tentukanlah a ; 7

:5=

A

B

C

m=n=

5#=

P

H

R

S5==

T

30;

a=


55/89

#a9ab :

a ; = 12;; bs. +'

a ; = 12;; 0;

a ; = 111;

*adi a= 2 ###=

'ada gambar dikiri ini A" = diameter.#ika bs.AD = bs.+'= 1-;;

30; > bs. +'= 1-;;

bs. +' = 1-;; 30;

= 0;

?(bs.&C > bs.+') = 3;;

Conto 7 "

0;

s. +' > bs. 'C = 12;;

(busur ? lingkaran)

>


56/89

#a9ab :a. 'ada Gambar ! didapat :

7x 2 #:=

x 0 2 #:=

b. < = ,

,< > y = 12;

,., > y = 12; 1;2 > y = 12;

y = 12; 1;2 = 3

*adi = 2 50=

Tn=

7x=

=

0=

x= A

B

C

< 1

< 1--

s. A = ,<= ,. ,= 1;2

s. D" = y= . 3= 1--

n 2 #0<

9aka " n= 2 #0


57/89

(ii). Be$ar S&d&t antara d&a ta%i b&$&r an ber'otonan di %&ar %inkaran

+5al pengantar :

1). 'ada gbr. (1) dikanan ini ! %ika m; = ,; dan n; = ; ! tentukanlah p;7

). 'ada gbr. () nilai m; dan n; sepertigbr. (1) ! tentukanlah :

a. bs. AD b. bs. "

#a9ab :

1). m; = n; > p;

,;

= ;

> p;

p; = ,; ;

p; = ,2; A B

C

L

?

p5m5

n5

n5 p5

m5

Gbr. (1)

Gbr. ()

). a. bs. AD = < m;

= < ,;

= 1;

b. bs. AD = < n;

= < ;

= ;;


58/89

Dari pengalaman pada penyelesaian diatas :

(i). A dan "D adalah Tali busur ! setelah

diperpan%ang berp5t5ngan di L ! diluarlingkaran dengan sudut p; = ∠L".

(ii). +udut p; adalah sudut antara dua tali busur.

(iii). usur dihadapan p; adalah usur AD dan busur "

#adi : ∠L" / p; = m; n;

A B

C

L

? m5

n5 p5n5 p5

m5

&umus untuk besar sudut antara tali busur yangberp5t5ngan diluar lingkaran adalah sbb.:

∠BLC = +elisih dua busur dihadapan ∠BLC0

∠BLC = '= = s. AD bs. " 0ata&

p; = ? bs. AD ? bs. "


59/89

Conto # "Diketahui busur K = -3; ! busur

#/ = 1,; (lihat gambar dikiri ini7)Tentukanlah besar ∠KL 7

#a9ab :

∠KL =

#74=

*

L

9

K

?

35=

N

b$. *N D b$. K9

0#47 D 35

0=

#=<0=

= ,;

#adi besar ∠KL9 2 47=

. , ;


60/89

"5nt5h :

Lihat gambar diba9ah ini7 Titik H pusat lingkaran ! H/ adalahsama sisi dan sudut #H/ = ,;.

Tentukanlah a ; 7'enyelesaian :

Dik. : H/ = sama sisi (sudut besar)

∠#H/ = ,;

Dit. : a ; = 4 8*

L

9

K?

7 ,;)= 12;; (;; > ,;)= 2-;


61/89

"5nt5h , :

'ada gambar diba9ah ini ! 6 = diameter ! bs. D6 = 2;.

#ika ∠' = ,;; ! tentukanlah besar bs. *G7

'enyelesaian :

Dik. : 6 = diameter ! bs. D6 = 2; !∠' = ,;;

Dit. : bs. *G = 4 8

#a9ab : ∠' = ? (bs. D bs.*G) ,;; = ? (12;; 2; bs. *G) ;; = 0; bs.*G

b$. +G 2 ;4= D


62/89

II. S!GI-n TALI BUSURA. S!GI !9PAT TALIBUSUR

Soa% Penantar "Pada ambar di $ebe%a ini , K9dan LN ada%a diameter/#). Jit&n%a be$ar ∠KL > ∠K/7

0). Jit&n%a be$ar ∠LK/ > ∠L/7#a9ab :

#). ∠KL > ∠K/ = 0;; > 0;; = 12;;0). ∠LK/ > ∠L/ = 0;; > 0;; = 12;;

+ebab : ∠KL ! ∠K/ ! ∠LK/ dan∠L/ adalah ∠Keliling yangmenghadap diameter

?K

L

9

N


63/89

'ada +5al pengantar :Garis KL ! L ! / dan K/ adalah

talibusur ! sehingga segi$empat KL/disebut segi$- tali busur.

'ada segi$- KL/ "

#). ∠KL berhadapan dengan ∠K/ dan %umlah kedua sudut itu = 12;;

0). ∠LK/ berhadapan dengan ∠L/dan %umlah kedua sudut itu = 12;;

Apakah pada setiap segi$- tali busur ! dua sudutberhadapan selalu ber%umlah 12;;8

'ada halaman berikut kita akan membahasnya7

?K

L

9

N

Si i i 3 %ib


64/89

• Siat-$iat $ei-3 ta%ib&$&r'ada gambar dikanan ini :

A"D adalah segi$- talibusur.+udut A" = +udut Keliling = k; ! dan p;

sudut pusatnya ! maka : k; = ? p;

+udut AD" = +udut keliling = n; ! dan m;

sudut pusatnya ! maka : n; = ? m;

+ehingga : k; > n; = ? p; > ? m;

= ?(p; > m;)= ? < ,;;

= 12;;

#adi : k; > n; = 12;; atau ∠A" > ∠AD" = 12;;

Dengan ara yang sama dapat ditun%ukkan bah9a : ∠AD > ∠"D = 12;;

?

A

B

C

k=

'=n=m=


65/89

Ke$im'&%an.

Pada $etia' Sei-3 ta%ib&$&r %inkaran , d&a

$&d&t berada'an $e%a%& ber&m%a #:==

Conto # "

Peratikan ambar di kanan ini/

ABC ada%a $ei-3 ta%i b&$&r.*ika ∠AD" = 2; dan ∠"D = 3; !tent&kan%a " a. k= b. t=

*a8ab "

a. k= :0= 2 #:==

k= 2 #:== D :0=

k= 2 ;:=

?

A

B

C

k=

t=

:0=5<

=

b. t= 5


66/89

"5nt5h :

'ada gambar dikanan ini ! ∠ = -;.#ika A = ! tentukanlah :a. s; b. t;

'enyelesaian :

Dik. : ∠ = -; dan A =

Dit. : a. s;

= 48b. t; = 48

#a9ab :

a. 'ada A ! A = ! maka s; = ∠A

s; >∠A = s; > s; = s; = 12;; -; = 1; ⇔ $= 2 #0


67/89

"5nt5h , :Lihat gambar di kanan ini7 Tentukanlah :a.


68/89

B. S!GI-n B!RATURANBngat bah9a :

1. +udut satu putaran penuh = sudut pusatsatu lingkaran = ,;; ! seperti gambar disebelah kiri ini.'usat lingkaran = titik H

. +itiap segitiga %umlah besar ketigasudutnya selalu 12;;

,. 'ada segitiga sama kaki selalu ada dua sudut sama besar.

'erhatikan gbr A" di kanan ini ! sisinya adalah A ! A" dan ".'an%ang A" = 'an%ang " ! maka :

∠A" = ∠A" atau ∠A = ∠ dan

,;;?

A B

C

5#= 5#=

7:=

∠A > ∠ > ∠" = 12;;

"5nt5h 1 :


69/89

"5nt5h 1 :

'ada gambar di atas titik Hadalah pusat lingkaran dan

A"D = segi$ beraturan.Tentukanlah :a. esar sudut AH b. esar sudut HA. esar sudut A"

#a9ab :

a. esar ∠AH =

A B

C

!?

7


70/89

• 'ada +egi$ berturan A"D :

(i). ∠AH = salah satu ∠ pusat(ii). ∠"D = salah satu ∠ keliling

• 'ada setiap segi$n beraturan berlaku rumus :

"#

n

"#

n

#). Be$ar $&d&t '&$at 20). Be$ar $&d&t ke%i%in 2 #:== D

A B

C

!?

"5nt5h :


71/89

"5nt5h :

Gambar dikanan ini adalah segi$2 beraturandengan pusat titik '.

Tentukanlah : a.


72/89

II. LINGKARAN ALA9 ANLINGKARAN LUAR S!GITIGA

A. '/G&TBA/

1). Lingkaran Dalam adalah Lingkaran yang dibuatdidalam segitiga sedemikian sehingga sisi$sisisegitiga merupakan garis singgung pada lingkaran (segitiga itu merupakan segitigagaris singgung)

). Lingkaran Luar adalah Lingkaran yang dibuatdi luar segitiga sedemikian sehinggasisi$sisi seditiga itu merupakan tali busurpada lingkaran( segitiga itu merupakansegitiga tali busur)

(i) C % ki Li k %


73/89

(i). Cara me%&ki$ Linkaran a%am

A B

C

Kita akan melukis Lingkaran dalam EABC , dengan ara

menentukan titik pusat lingkaran terlebih dahulu ! sbb. :(langsung diikuti sis9a dengan alat 'enggaris dan %angka)

K

L

M

N

P$A P$B

P$ L

P$KP$M

P$N

Langkah$langkahnya : (1). Gambar segitiga A"

(). Gbr. Lingkaran 'usat A (':A)

(,). Tandai titik K dan LT

U (-). Gbr. Lingkaran ': K(). Gbr. Lingkaran ': L

(). Tandai titik T(3). Tarik garis ATx

x Lakukan langkah () sd (3) ! dari sudut

'usat lingkaran = titik p5t5ng garis bagi AT dan U


74/89

(ii). Cara 9e%&ki$ Linkaran L&ar Langkah$langkahnya :

(1). Gambar segitiga D*(). Gambar Lingkaran ':D

!

+

P"

(,). Gambar Lingkaran ':

P"!

(-). Tandai Titik '5t5ng ':D dan ': ! lalu hubungkan dengan garis lurus (garis itu merupakan sumbu sisi D)

Dengan melakukan langkah sd -Gambarkan sumbu sisi D*

Titik perp5t5ngan sumbu sisi D dan sumbu sisi D* adalahpusat lingkaran luar tersebut

P"

P"+

#A&B #A&B LB/GKA&A/ DALA +GBTBGA


75/89

. #A&B$#A&B LB/GKA&A/ DALA +GBTBGA

1). L.HA = A < r

). L.HA" = A" < r

,). L.H" = " < r

L.A" = (A (A" (" A" > ")

!

+

o

A B

C

t2r

t2r t2r

r =0L.

ABC

A > A" > "

Untuk setiap segitiga dengan sisi B = +1 ! +isi BB = + ! +isi BBB = +,

dan Luas = L ! maka #ari$%ari (r) Lingkaran Dalam dapatditentukan dengan rumus :

r & 2L'1 ( '2 ( '"

"5nt5h :


76/89

"5nt5h :

Diketahui sebuah segitiga dengan pan%ang sisi : s1 = 1, m !

s = 1- m dan s, = 1 m.

Tentukanlah pan%ang %ari$%ari lingkaran dalamnya7

'enyelesaian :Dik. : +egitiga : s1 = 1, m ! s = 1- m dan s, = 1 m.

Dit. : Lingkaran dalam : r = 48

#a9ab :

r = 0L$# $0 $7

K = s1 > s > s,K = 1, > 1- > 1 = -? K = 1L = F 1 ( 1 D 1, )( 11-)( 1 D 1 )

L = F 1 . 2 . 3 .

L 2 :3

r = 0 . :3#7 #3 #4

r = #


77/89

C. *ARI *ARI LINGKARAN LUAR S!GITIGAPada gambar dikanan ini , Lingkaran luar ∆ABC

adalah berpusat di P.

Dibuat diameter CD ,garis bantu DB dan tinggi CE.∠CAB = 'CDB , sebab sama-sama menghadapbusur BC dan ∠AEC = 'DBC = 0;; ! maka ∆AECsebangun dengan ∆DBC , maka :

AC : CD = CE : BC

!A B

C

P

" = AC x BCC

4 (1)

< Luas A" = A < "

0 x L&a$ EABCAB" = 4 ()

0 x L&a$ EABCAB

AC x BCC

4 (1) ()2

C 2 AB x AC x BC0 x L&a$ EABC

0r 2

AB x AC x BC

0 x L&a$ EABC

r 2 AB x AC x BC3 x L&a$ EABC


78/89

#adi pada setiap segitiga dengan +isi B = +1 ! sisi BB = +) !

sisi BBB = +, dan Luasnya = L ! maka 'an%ang %ari$%ari

lingkaran luar segitiga itu dapat ditentukan dengan&umus :

"5nt5h 1 :

+ebuah segitiga pan%ang sisinya adalah m ! 2 m dan 1; m.

Tentukanlah pan%ang %ari$%ari lingkaran luarnya7

#a9ab :

r 2S# x S0 x S7

3 x L

r 2 S# x S0 x S7

3 x L

r 2

L 2 03 1m0

< 1m x : 1m x #= 1m3 x 03 1m0

2 3:= 1m7

;< 1m02 4 1m

*adi *ari-ari%inkaran %&ar$eitia it&ada%a 2 4 1m


79/89


80/89


81/89

0. nsurunsur lingkaran

00. -eliling dan "uas

3ilai pi

000. 4aris singgung : Persekutuan "uarDalam

06. udut Pusat dan udut -eliling

udut se&agai #arak putar : +usur se&agai udut

6. udut antara tali&usur

60. egi' ali&usur

egin &eraturan

600. "ingkaran "uar dan dalam segitiga


82/89


83/89


84/89

A B

C


85/89

A B

C

!

P


86/89

6#0,45 1mr 2 0


87/89

1;;

,;;

,;;

,;;

P

K L

9N

erikut beberapa K5nstanta yang dibulatkan sampai - desimal dan


88/89

erikut beberapa K5nstanta yang dibulatkan sampai - desimal dan&umus Luas +egi$n eraturan dengan pan%ang sisi = +

+egi$n

K5nstanta &umus Luas+egi$n beraturan

7 =,377= L 2 =,377= S0

3 #,==== L 2 #,==== S0

4 #,50=4 L 2 #,50=4 S0

< 0,4;:# L 2 0,4;:# S0

5 7,


89/89

. SUUT ANTARA UA TALI BUSUR

AB

C

!

?

;

6. lingkaran lengkap.ppt

Documents