Download - 6. LINGKARAN lengkap.ppt
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
1/89
LINGKARAN
(Text ,Gambar dan Animation)
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
2/89
I. UNSUR-UNSUR LINGKARAN.
(i). Unsur lingkaran yang berbentuk titik dan garis
• Titik pusat : setiap lingkaran memiliki 1 titik pusat (titik P)• Keliling Lingkaran (lingkarannya)• Garis Tengah (Diameter) = d (misalnya Garis A ! Grs "D ! dsb)• #ari$%ari (&adius) = r (misalnya Garis A' ! Garis ' ! dsb)• usur (misalnya Garis lengkung AD ! dll)• Tali busur (misalnya Garis lurus AD ! garis Lurus A" ! dll)
A B
C
!
r P
r Catatan "#. iameter $e%a%& d&a ka%i
'anan *ari-ari "d = r
. '* saling tegak lurus dengantali busur AD! maka AG = GD+
G
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
3/89
(ii). Unsur Lingkaran yang berbentuk Daerah dan +udut.
• #uring Lingkaran (misalnya : daerah yang diarsir '" ! dll)• Tembereng (misalnya daerah yang dibatasi usur A" dan Tali usur A ! dll)
• +udut 'usat : misalnya +udut ' ! dll
• +udut Keliling : misalnya +udut A"' ! dll
A B
C
Juring Lingkaran
Tembereng
P
!
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
4/89
Pendekatan nilai π (pi)Pi (π) ada%a bi%anan an ni%aina tertent&.Bera'a ni%aina Kita akan baa$ $e'erti berik&t ini/Linkaran denan ari-ari 0 1m ata& diameter 2 3 1m ,die%indinkan $at& ka%i ber'&tar. *arak an ditem'&k&ran %ebi #0,45 1m , $ebaai berik&t ini "
6#0,45 1m
r 2 0
Maka keliling lingkaran itu adalah sekitar 12,57 cm
Dengan demikian : Ke%i%in %inkarandiameterna
#0,45 1m3 1m2 2 7,#304
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
5/89
Keliling lingkaran dibagi diameternya = ,!1-
/ilai tersebut mendekati nilai
sebenarnya ! yaitu : = ,!1-10,2030,,2--,,2,30 4.
'ada kehidupan sehari$hari nilai yang dipakai adalah
pembulatan sampai desimal.
*adi " =
• 'ada perhitungan yang kita akan gunakan nilai = ,!1- atau =
227
Keliling Lingkaran
Diameternya
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
6/89
II. K!LILING AN LUAS LINGKARANA. K!LILING LINGKARANKita te%a meneta&i ba8a " 2
9aka Ke%i%in Linkaran 2 x diameterna.enan demikian r&m&$ &nt&k menit&n Ke%i%in
%inkaran ada%a " K= d atau K =0r
Keteranan " K 2 Ke%i%in Linkaran
d 2 diameter %inkaran ter$eb&tr 2 *ari-ari %inkaran
2 7,#3 ata& 2 227
Keliling LingkaranDiameternya
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
7/89
"5nt5h 1 :
6itunglah keliling lingkaran
dengan %ari$%ari :
a. #4 1m b. 0: 1m*a8ab "a. K 2 0 r
K 2 0 x 7,#3 x #4 1mK 2 ;3,0 1m
*adi Ke%i%in 2 ;3,0 1m
b. K 2 0 r
K 2 0 x 00 / 5 x 0: 1mK 2 #5< 1m
*adi Ke%i%in 2 #5< 1m
Conto 0 "Diketahui taman berbentuk
lingkaran dengan keliling = 2! m.Tentukanlah pan%ang diameternya7( 2 7,#3)
Pene%e$aian "
Dik. : K = 2! m , = ,!1-Dit. : d = 48
#a9ab :
K = d 0:0,< m = 7,#3d d 2 0:0,< m " 7,#3 2 ;= m
9aka iameterna 2 ;= m
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
8/89
Conto 7 "
Seb&a roda denan diameter
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
9/89
Conto 3 "Peratikan ambar di kanan ini/
Panan Radi&$ 2 r 2
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
10/89
Conto 4 "
'ada gambar di kanan ini !diketahuidiameter r5da keil (i) = ,; mdan diameter r5da besar (ii) = ; m.#ika &5da keil berputar ; kali !berapa kali putaran r5da besar8
'enyelesaian :
Dik. : r(i) = ,; m ! r(ii) = ; m dan &5da (i) berputar = ; kaliDit. : &5da (ii) berputar = 4 kali 8
#a9ab :isalkan r5da (ii) berputar = n kali ! maka :
nK(ii) = ;K(i)n < 13 = ; < 0-!
n < 13 = 122-
n = 122- : 13 = 1
K(i)
= d = ,!1- < ,; = 0-!
K(ii) = ,!1- < ; = 13
(i) (ii)
*adi roda be$ar (roda (ii)ber'&tar #0 ka%i
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
11/89
B. LUAS LINGKARAN• L&a$ Linkaran dan L&a$ Per$ei 'anan.
L&a$ Linkaran 2 L&a$ Per$ei Panan ABC
2 Panan x Lebar 2 # @0K x r 2 r x r2 r 0
'an%ang 2 K L
e b a r
2 r
r
A B
C
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
12/89
Unt&k $etia' %inkaran %&a$na da'at diit&ndenan r&m&$ "
L 2
r 0
L 2 L&a$ Linkaranr 2 *ari-ari (radi&$) %inkaran 2 # @0diameter 2 7,#3 ata& 2 00 @5
Cnth 1 :
!itunglah "uas lingkaran #ika diametern$a :
a. 2% cm&. '2 dm
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
13/89
Pene%e$aian Conto # "
a. ik. " d 2 0= 1m
r 2 #= 1m
it. " L 2 >
*a8ab "
L 2 r 0
L 2 7,#3 x (#= 1m)0
2 7,#3 x #== 1m0
2 7#3 1m0
b. ik. " d 2 30 dm
r 2 0# dm
it. " L 2 >
*a8ab "
L 2 r 0
L 2 00 @5 x (0# dm)0
2 00 @5 x 33# dm0
2 #7:< 1m0
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
14/89
"5nt5h :
Keliling suatu lingkaran = !2 m. 6itunglah luas lingkaran tersebut7
'enyelesaian :Dik. : K = !2 mDit. : L = 48
#a9ab :L = r 0L = ,!1- < (1;m)
L = ,!1- < 1;; m
L = 7#3 1m0
"5nt5h , :
Gambar dikanan ini adalah suatu daun pintu yangterbentuk dari setengah lingkaran dan persegi.Tentukan : a. Keliling daun pintu itu7
b. Luas daun pintu tersebut7 ;: 1mK L
N 9
K = 0r !2 = < ,!1- < r!2 = !2 < r
r = !2 : !2 = 1;
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
15/89
'enyelesaian :
Dik. : Daun 'intu = setengah lingkaran > persegi
KL = K/ = / = diameter = 02 mDit. : a. K. daun pintu = 48 b. L. daun pintu = 48
#a9ab :
a. K. Daun pintu = /K > KL > L > busur / = , KL > ? K.lingkaran= , < 02 > ? < / 3 < 02
= 0- > 1-= --2
b. L. Daun pintu = Luas KL/ > L. ? lingkaran= 02 < 02 > ? < / 7 < -0
= 0;- > ,33,= 1,,33
;: 1mK L
N 9
#adi Luas daun pintu = 1,,33 m
#adi :Keliling daunpintu = --2 m
r = 02 / = -0
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
16/89
"5nt5h - :
'erhatikan gambar di kiri ini. Garis lengkungA" adalah busur lingkaran yang berpusat di D
6itunglah luas daerah yang diarsir7
'enyelesaian :
Dik. : AD = A = r = ; m
Dit. : Luas yang diarsir = 48
#a9ab :
(dihalaman berikut)
0 = 1 m
A B
C
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
17/89
aa& ' :
L an) diar$ir = LABC D L%in)karan
L@g diarsir = s –
= (; m) .,!1-. (; m)
= -;; m .,!1-. -;; m
= -;; m ,1- m
= 2 m
#adi Luas yang diarsiradalah 2 m
0 = 1 m
A B
C '1
'
1
$
$
#3r 0
#3r 0
#3
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
18/89
HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANGHUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG
BUSUR DAN LUASBUSUR DAN LUAS
JURING JURING
*
C
D
+
,α
β
Besar ∠ AOB=
Pjg. busurAB
=
L. juringOAB
Besar ∠ CODPjg. busurCD
L. juringOCD
Perhatika
nGambar
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
19/89
Jika sudut pusatnya dibandingkan dengan Jika sudut pusatnya dibandingkan dengan
besar seluruh sudut pusatnya ( !"besar seluruh sudut pusatnya ( !"""#$#$
maka %maka %
*
+
,
α
Besar ∠
AOB=
Pjg. busurAB
=
L. juringOAB
!""&el.lingkaran L. lingkaran
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
20/89
III. GARIS SINGGUNG
A. '/G&TBA/ GA&B+ +B/GGU/G LB/GKA&A/Pada $etia' %inkaran ada banak Gari$ Sin&n, $bb. :
• Garis singgung ialah garislurus yang mem5t5nglingkaran pada satu titik.
• Titik p5t5ng garis singgungdengan lingkaran disebut
titik singgung.• +etiap garis singgung
saling tegak lurus dengan#ari$%ari di titik singgung.
P
L
KTitik Sin&nGari$ Sin&n
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
21/89
Conto # "
'ada gambar diatas ! garis L
adalah garis singgung
lingkaran yang berpusat di '.
ila E'K adalah sama sisi !
tentukanlah besar∠KL.
*a8ab "
Pada E'K :
PK 2 P9 2 K9 , maka
∠K' = ∠'K = ∠'K = ;;
∠KL = 12;; (∠K' > ∠'L) = 12;; (;; > 0;;)
= ,;;
Catatan :
∠'L = sudut yang dibentuk %ari$%ari dan garis
singgung = 0;;.
KL
9
P
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
22/89
Conto 0 "
Pada ambar dikanan ini
PA 2 ; 1m dan AB 2 < 1m.
Tent&kan%a 'anan BC /
*a8ab "
Pada $eitia BCP , $ik&-$ik& di C , maka "
BC0 2 BP0 D PC02 (#4 1m)0 D (; 1m)0
2 004 1m0
D :# 1m0
2 #33 1m0
BC 2 F#33 1m0
2 12 cm
A B
C
P
PC 2 PA 2 r 2 ; 1m
PB 2 PA AB
2 ; 1m < 1m2 #4 1m
0m
0 : m
m
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
23/89
Conto 7 "
+egi$- 'C&+ adalah Layang$
layang garis singgung.
#ika '+ = 1 m dan
'& = m ! hitunglah Luaslayang$layang tersebut7
#a9ab :Pada '&+ :
+& = '& '+
= 1= = -;;
E +& = F-;; = ; m
aka :L 'C&+ = < L'&+
= < ? '+ < +&
= '+ +&
= 1 m < ; m= ,;; m
#adi Luas Layang$layang 'C&+ adalah 7== 1m0
P
S
R
H
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
24/89
. GA&B+ +B/GGU/G '&+KUTUA/ DUA LB/GKA&A/
(i). Penertian Gari$ Sin&n Per$ek&t&an
Sebuah garis disebut Garis Singgung Persekutuan
dua lingkaran , jika garis tersebut merupakan garis
singgung untuk kedua lingkaran tesebut.
Garis singgung persekutuan dua
lingkaran terdiri dari dua %enis! yaitu :
1). Garis singgung persekutuan luar.
'ada gbr : Garis A dan Garis "). Garis singgung persekutuan dalam.
'ada gbr : garis KL dan garis /
? P
AB
CK
LM
N
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
25/89
-er#a -elmpk
#. Gambar d&a b&a %inkaran $edemikianr&'a $eina ari$ $in&n'er$ek&t&anna ana 7 b&a.
0. Gambar d&a %inkaran $eina ari$$in&n 'er$ek&t&anna ana 0 b&a
7. Gambar d&a b&a %inkaran denan$arat ari$ $in&n 'er$ek&t&annaana # b&a.
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
26/89
O P
B
(ii). 9enent&kan Panan Gari$ Sin&nPer$ek&t&an L&ar (GSPL)
*ika ?P 2 #5 1m ,?A 2 ## 1m dan
PB 2 7 1m ,a. Tent&kan%a'anan AB/.
b. Baaimanakar&m&$na
Garis A = Garis +inggung
'ersekutuan Luar (G+'L) pada lingkaran H dan lingkaran '.Garis H' = %arak titik pusat kedua lingkaran itu.
Garis HA = r1 = %ari$%ari lingkaran pertama.Garis ' = r = %ari$%ari lingkaran kedua.
'ada E?PC , ∠" = 0;; , ?C 2 r # D r 0 dan CP 2 AB.
aka 'an%ang Garis +inggung 'ersekutuanLuar dapat ditentukan dengan rumus :
C
GSPL. AB 2 ?P0 D (r # D r 0)0
A
#a9aban :a. "' = 13 $ 2
= 20 $-=
aka "' = F = 1#adi A = "' = 1 m
a. &umusnya ! sbb :
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
27/89
"5nt5h 1 :
Diketahui lingkaran B berpusat di H dan %ari$%ari = r1 = 1 m !
lingkaran BB berpusat di ' dan %ari$%arinya = r = m.#ika %arak titik pusat = H' = m ! tentukanlah pan%ang garis
singgung persekutuan luarnya (G+'L).
'ernyelesaian :
Dik. : r1 = 1 m ! r = m dan H' = m
Dit. : G+'L = 48
#a9ab :
G+'L =?P0 D (r
# D r
0)0
0
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
28/89
"5nt5h :
Diketahui dua lingkaran dengan r1 = m dan r = 11 m.
#ika pan%ang garis singgung persekutuan luar = 1 m !
tentukanlah %arak titik pusat kedua lingkaran itu7
'enyelesaian :
isalkan 'usat lingkaran H dan 'Dik. : r1 = m ! r = 11 m
Gspl = 1 m
Dit. : H' = 48
#a9ab : G$'% 2 ?P0 D (r # D r 0)0
(G$'%)0 2 ?P0 D (r # D r 0)0
(#0)0 2 ?P0 D (0 D ##)0
#33 2 ?P0 D (D;)0
?P0 2#33 :# 2 004
?P0 D :##33 2
?P 2 004 2 #4
*adi *arak TitikP&$at ?P 2 #4 1m
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
29/89
Conto 7 "'ada sebuah mesin di%umpai
dua r5da yang dihubungkan dengantali seperti gambar dikiri ini.
+ehingga ila satu r5da diputar yang
satu lagi ikut berputar.
#ika pan%ang %ari$%ari kedua r5da itu
sama paan%ang m dan %arak titik
pusatnya = 1, m tentukanlah
pan%ang tali tersebut7
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
30/89
'enyelesaian :
Dik. : r1 = r = m
#arak titik pusat = 1, m
Dit. : 'an%ang Tali penghubung = 'Tp = 48
#a9ab :
'Tp = < 'an%ang Gspl > < ? K= < 'an%ang Gspl > K
= < 1, m > ,1!- m
= m > ,1!- m
= 3!- m
#adi 'an%ang tali itu = 3!- m
G$'% 2 ?P0 D (r #
D r 0
)0
G$'% 2 #70 D (4 D 4)0
G$'% 2 #
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
31/89
(iii). 9enent&kan Panan Gari$ Sin&nPer$ek&t&an a%am (GSP).
Dengan memperhatikan pr5ses gambar berikut ini ! tentukanlahrumus untuk menentukan pan%ang Garis +inggung 'ersekutuan
Dalam (G+'D). Dengan atatan #ari$%ari lingkaran besar = r1 dan
%ari$%ari lingkaran keil = r dan G+'D$nya = KL
'ada H' ! ∠ = 0;; !
KL = ' dan H = r1 > r
aka rumus untuk
menentukan pan%ang G+'Dadalah :
K
L
M
PO
G$'d. KL 2 ?P0 - (r # r 0)0
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
32/89
"5nt5h 1 :
Diketahui dua lingkaran dengan r1 = , m ! r = m dan %arak titikpusatnya = H' = 13 m. Tentukanlah pan%ang salah satu garis
singgung persekutuan dalam (Gspd)7'enyelesaian :
Dik. : r1 = , m ! r = m dan
KL = 13 m
Dit. : Gspd = 48
"5nt5h :
'ada gambar dikanan ini KL adalahgaris singgung persekutuan dalam.#ika HK = 'L = - m dan A = 12 m! tentukanlah pan%ang KL
?P0 - (r # r 0)0
= #50 - (7 4)0
= 0:; -
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
33/89
'enyelesaian :
Dik. : HK = r1 = - m !
'L = r = - m !A = 12 m
Dit. : 'an%ang Gspd = KL = 4 8
#a9ab :
? PA B
L
K3
3
Gspd. KL = H' D (r1 > r) H' = A AH '
H' = A HK 'LH' = 12 - -H' = 1;
Gspd. KL = 1; D (- > -)
Gspd. KL = 1;; D -
Gspd. KL = , = <*adi 'anan KL (ari$ $in&n 'er$ek&t&an da%am)ada%a 2 < 1m
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
34/89
"5nt5h , :'ada Gbr. dikanan ini H' = ,0 m !HK = 0! m dan ' = ! m.
#ika pada EH'C ! ∠C = 0;; !tentukanlah :a. 'an%ang C 7b. Luas EH'C 7
'enyelesaian :Dik. : H' = ,0 m
HK = r1 = 0! m' = r = ! m
Dit. : a. C = 48b. L EH'C = ...8#a9ab :a. C = 'C '
C = KL r
? P
H
9
L
K
KL = H' D (r1 > r)
,0 D (0! > !)KL =11 D KL =10 = 7
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
35/89
I. SUUT PUSAT AN SUUT K!LILING
A. U+U& +AGAB +UDUT
• B&$&r $ebaai $&d&t ada%a $ama denan $&d&t '&$at
an menada' b&$&rter$eb&t.
S&d&t APB 2 4==9aka "be$ar b&$&r AB 2 Be$ar AB 2 4==
4==P
A
B
"atatan :esar usur : Dinyatakan dalam +udut (dera%at)'an%ang usur : Dinyatakan dalam +atuan 'an%ang.esar usur satu lingkaran = ,;;
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
36/89
"5nt5h 1 :#ika +udut 'HC = 3; ! tentukanlah besar :
a. usur 'Cb. usur &+. usur '+
#a9ab :a. usur 'C = ∠'HC
= 3;
b. usur &+ = ∠&H+
= 3;
. usur '+ = ∠'H+= 12;; 3;
= 1;;
P
H
R
S
? 7 5
P
H
R
S
? 7 5
7 5
7515
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
37/89
Sat& P&taranPen& 2 7
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
38/89
• Setena P&taran Pen& (S&d&t L&r&$)
P&taranPen& 2 x 7
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
39/89
"5nt5h :
6itunglah besar sudut :
a. I putaran
b. J putaran
. ⅔ putarand. putaran
e. ;!- putaran
#a9ab :
a. I putaran = I < ,;;
= 3;;
b. J putaran = J < ,;; = -;
. ⅔ putaran = ⅔ < ,;; = -;;
d. putaran = < ,;;
= ;
e. ;!- putaran = ;!- < ,;; = 1--;
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
40/89
Conto 7 "
Bera'a '&taranka $&d&t berik&t ini
a. :== b.
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
41/89
K+B'ULA/ :
• +atu putaran penuh adalah perputaran dari a9al sampai
kembali kep5sisi semula.
• +atu putaran penuh = ,;;
•+etengah putaran penuh = ? < ,;
;
= 12;;
= +udut Lurus.
• +udut n; =
PBA
a
b'&taran 'en& 2
7
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
42/89
C. +UDUT 'U+AT DA/ +UDUT KLBLB/G(i). 'engertian S&d&t P&$at dan S&d&t Ke%i%in.
'ada setiap Lingkaran :
• +udut 'usat ialah +udut yang
dibentuk 5leh dua buah %ari$%ari.
Titik sudutnya = Titik pusat lingkaran
• +udut Keliling ialah +udut yang dibentuk 5leh dua tali busur.
Titik sudut setiap sudut kelilingterletak pada keliling lingkaran
p; = ∠ pusat
?
'=
A B
k=
9
?
K
L
k; = ∠ keliling
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
43/89
(ii). 6ubungan +udut 'usat Dan +udut Keliling
Soa% 'enantar.'ada masing$masing gambar berikut ini tentukanlah
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
44/89
P
'ada gbr diba9ah ini :
∠A'" = ∠'usa t∠A" = ∠Keliling
Ditarik garis bantu D.
1) 'ada 'A ! A' = ' = #ari$%ari= r !
maka : ∠'A = ∠'A = m;
+ehingga ∠A'D = m; > m; = m;4 (1)
) 'ada '" ! ' = "' = #ari$%ari= r !
maka : ∠'" = ∠'" = n;
+ehingga ∠"'D = n; > n; = n; 4.. ()
∠A'" = ∠A'D > ∠"'D 4(1) dan () = m > n
= (m;
> n;
)∠A'" = ∠A"
A
B
C
r r m=
m =
n=
n=
0m=
0n=
∠ABC 2 m=
n=
*adi " ∠P&$at = 0∠Ke%i%in
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
45/89
Ke$im'&%an "
Pada setiap lingkaran apabila Sudut Pusatdan Sudut Keliling menghadap busur yang
Sama panjang maka :
Sudut Pusat = 2 x Sudut Keliling.
'ada Gambar disamping ini :
+udut 'usat = +udut A'" = p; dan
+udut Keliling = +udut A" = k;
Kedua sudut itu sama$sama
menghadap usur A".
aka p; = < k;
CP
A
B
'=
k=
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
46/89
"5nt5h 1 :'ada masing$masing gambar berikut ini tentukanlah
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
47/89
?
"5nt5h :
'ada gambar di kanan ini ! titik H adalahpusat lingkaran dan A = diameter.
Tentukanlah k; 7#a9ab :
∠A?B 2 S&d&t P&$at 2 #:==9aka " k= 2 #:== " 0 2 ;==
+udut keliling yang menghadapbusur setengah lingkaran atau
yang menghadap diameterbesarnya selalu 0;; (+iku$siku)
'ada Gbr di kiri ini sudut " = 0;;
A
C CC
C
C
B
?
k=
A B
C
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
48/89
"5nt5h , :
'ada Gambar dikanan ini titik H adalahpusat lingkaran. #ika ∠A" = -; !tentukanlah besar busur A7
#a9ab :esar usur A = < -;
= 0;
"5nt5h - :
Lihat gambar di kiri ini7Titik pusat Lingkaran adalah titik '.#ika besar busur D* = ,3; !
tentukanlah ∠D* 7#a9ab :esar busur ∠D* = ,3; : = 12!;
3
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
49/89
Conto 3 "
Tentukanlah gambar disamping ini titik H
pusat lingkaran dan D garis tengah.a. #ika besar usur AD = ; !
tentukanlah
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
50/89
Conto 4 "
'ada gambar diba9ah ini H titik pusat lingkaran K = diameter !sudut K#L = 113; ! dan sudut KL = -2;.
Tentukanlah : a. esar busur L b. esar a 5
. esar b; d. esar busur K/
#a9ab :a. esar busur L = 12;; bs. KL
= 12;; (
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
51/89
I. SUUT ANTARA UA TALI BUSUR
A. '/G&TBA/.
'ada sebuah lingkaran ! %ika kita menggambar dua tali busuryang tidak se%a%ar ! maka ada dua kemungkinan ! yaitu :
1). ungkin berp5t5ngan didalam lingkaran.
). ungkin berp5t5ngan diluar lingkaran.
isalnya :(i). Gbr. kanan : Dua tali busur yang
berp5t5ngan didalam lingkaran.
(ii).
?A
B
C P
?A B
C
PGbr. Kiri : Dua tali busur yangerp5t5ngan diluar lingkaran
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
52/89
B. 9!N!NTUKAN B!SAR SUUTANTARA UA TALI BUSUR
(i). Be$ar S&d&t antara d&a ta%i b&$&r anber'otonan di da%am %inkaran.
'ada gbr. dikanan ini A" dan D adalah
tali busur yang berp5t5ngan di '.
aka ada - buah sudut yang terbentuk !
yaitu : ∠A'D ! ∠'" ! ∠A' dan ∠D'".∠A'D =∠'" ! dan ∠A' = ∠D'".
'ertanyaan :
#ika s. A = 112; ! s. "D = 1 ! maka :
1). ∠AD' = 4; dan ∠'" = 4;
). n; = 4;
?
A
B
C
P
#0
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
53/89
'ada gambar dikanan ini salah satu +udutantara tali busur adalah : ∠D'" = n;
esar ∠D'" = ∠AD' > ∠DA'
esar ∠D'" = ? bs.A > ? bs."Desar ∠D'" = ? (bs.A > bs."D)#adi n; = ? (11- > 1)
= 1;;
Untuk dua tali busur yang berp5t5ngan didalam lingkaranberlaku rumus sbb :
?A
B
C
P
#0 bs. D"
dan x= 2 bs. AD > bs. "
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
54/89
"5nt5h 1 :Lihat gambar dikanan ini7Tentukanlah :a. m; b. n;
#a9ab :a. m; = ? (31 > 23); = 30;
b. n; = 12;; 30; = 1;1;
Conto 0 "
'ada gambar di kiri ini ! +C tali busur
yang melalui pusat lingkaran (%adi +C
adalah diameter).#ika besar bs. 'C = a ; ! ∠CT& = 3;; dan
besar bs. C& = 30;! tentukanlah a ; 7
:5=
A
B
C
m=n=
5#=
P
H
R
S5==
T
30;
a=
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
55/89
#a9ab :
a ; = 12;; bs. +'
a ; = 12;; 0;
a ; = 111;
*adi a= 2 ###=
'ada gambar dikiri ini A" = diameter.#ika bs.AD = bs.+'= 1-;;
30; > bs. +'= 1-;;
bs. +' = 1-;; 30;
= 0;
?(bs.&C > bs.+') = 3;;
Conto 7 "
0;
s. +' > bs. 'C = 12;;
(busur ? lingkaran)
>
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
56/89
#a9ab :a. 'ada Gambar ! didapat :
7x 2 #:=
x 0 2 #:=
b. < = ,
,< > y = 12;
,., > y = 12; 1;2 > y = 12;
y = 12; 1;2 = 3
*adi = 2 50=
Tn=
7x=
=
0=
x= A
B
C
< 1
< 1--
s. A = ,<= ,. ,= 1;2
s. D" = y= . 3= 1--
n 2 #0<
9aka " n= 2 #0
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
57/89
(ii). Be$ar S&d&t antara d&a ta%i b&$&r an ber'otonan di %&ar %inkaran
+5al pengantar :
1). 'ada gbr. (1) dikanan ini ! %ika m; = ,; dan n; = ; ! tentukanlah p;7
). 'ada gbr. () nilai m; dan n; sepertigbr. (1) ! tentukanlah :
a. bs. AD b. bs. "
#a9ab :
1). m; = n; > p;
,;
= ;
> p;
p; = ,; ;
p; = ,2; A B
C
L
?
p5m5
n5
n5 p5
m5
Gbr. (1)
Gbr. ()
). a. bs. AD = < m;
= < ,;
= 1;
b. bs. AD = < n;
= < ;
= ;;
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
58/89
Dari pengalaman pada penyelesaian diatas :
(i). A dan "D adalah Tali busur ! setelah
diperpan%ang berp5t5ngan di L ! diluarlingkaran dengan sudut p; = ∠L".
(ii). +udut p; adalah sudut antara dua tali busur.
(iii). usur dihadapan p; adalah usur AD dan busur "
#adi : ∠L" / p; = m; n;
A B
C
L
? m5
n5 p5n5 p5
m5
&umus untuk besar sudut antara tali busur yangberp5t5ngan diluar lingkaran adalah sbb.:
∠BLC = +elisih dua busur dihadapan ∠BLC0
∠BLC = '= = s. AD bs. " 0ata&
p; = ? bs. AD ? bs. "
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
59/89
Conto # "Diketahui busur K = -3; ! busur
#/ = 1,; (lihat gambar dikiri ini7)Tentukanlah besar ∠KL 7
#a9ab :
∠KL =
#74=
*
L
9
K
?
35=
N
b$. *N D b$. K9
0#47 D 35
0=
#=<0=
= ,;
#adi besar ∠KL9 2 47=
. , ;
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
60/89
"5nt5h :
Lihat gambar diba9ah ini7 Titik H pusat lingkaran ! H/ adalahsama sisi dan sudut #H/ = ,;.
Tentukanlah a ; 7'enyelesaian :
Dik. : H/ = sama sisi (sudut besar)
∠#H/ = ,;
Dit. : a ; = 4 8*
L
9
K?
7 ,;)= 12;; (;; > ,;)= 2-;
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
61/89
"5nt5h , :
'ada gambar diba9ah ini ! 6 = diameter ! bs. D6 = 2;.
#ika ∠' = ,;; ! tentukanlah besar bs. *G7
'enyelesaian :
Dik. : 6 = diameter ! bs. D6 = 2; !∠' = ,;;
Dit. : bs. *G = 4 8
#a9ab : ∠' = ? (bs. D bs.*G) ,;; = ? (12;; 2; bs. *G) ;; = 0; bs.*G
b$. +G 2 ;4= D
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
62/89
II. S!GI-n TALI BUSURA. S!GI !9PAT TALIBUSUR
Soa% Penantar "Pada ambar di $ebe%a ini , K9dan LN ada%a diameter/#). Jit&n%a be$ar ∠KL > ∠K/7
0). Jit&n%a be$ar ∠LK/ > ∠L/7#a9ab :
#). ∠KL > ∠K/ = 0;; > 0;; = 12;;0). ∠LK/ > ∠L/ = 0;; > 0;; = 12;;
+ebab : ∠KL ! ∠K/ ! ∠LK/ dan∠L/ adalah ∠Keliling yangmenghadap diameter
?K
L
9
N
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
63/89
'ada +5al pengantar :Garis KL ! L ! / dan K/ adalah
talibusur ! sehingga segi$empat KL/disebut segi$- tali busur.
'ada segi$- KL/ "
#). ∠KL berhadapan dengan ∠K/ dan %umlah kedua sudut itu = 12;;
0). ∠LK/ berhadapan dengan ∠L/dan %umlah kedua sudut itu = 12;;
Apakah pada setiap segi$- tali busur ! dua sudutberhadapan selalu ber%umlah 12;;8
'ada halaman berikut kita akan membahasnya7
?K
L
9
N
Si i i 3 %ib
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
64/89
• Siat-$iat $ei-3 ta%ib&$&r'ada gambar dikanan ini :
A"D adalah segi$- talibusur.+udut A" = +udut Keliling = k; ! dan p;
sudut pusatnya ! maka : k; = ? p;
+udut AD" = +udut keliling = n; ! dan m;
sudut pusatnya ! maka : n; = ? m;
+ehingga : k; > n; = ? p; > ? m;
= ?(p; > m;)= ? < ,;;
= 12;;
#adi : k; > n; = 12;; atau ∠A" > ∠AD" = 12;;
Dengan ara yang sama dapat ditun%ukkan bah9a : ∠AD > ∠"D = 12;;
?
A
B
C
k=
'=n=m=
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
65/89
Ke$im'&%an.
Pada $etia' Sei-3 ta%ib&$&r %inkaran , d&a
$&d&t berada'an $e%a%& ber&m%a #:==
Conto # "
Peratikan ambar di kanan ini/
ABC ada%a $ei-3 ta%i b&$&r.*ika ∠AD" = 2; dan ∠"D = 3; !tent&kan%a " a. k= b. t=
*a8ab "
a. k= :0= 2 #:==
k= 2 #:== D :0=
k= 2 ;:=
?
A
B
C
k=
t=
:0=5<
=
b. t= 5
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
66/89
"5nt5h :
'ada gambar dikanan ini ! ∠ = -;.#ika A = ! tentukanlah :a. s; b. t;
'enyelesaian :
Dik. : ∠ = -; dan A =
Dit. : a. s;
= 48b. t; = 48
#a9ab :
a. 'ada A ! A = ! maka s; = ∠A
s; >∠A = s; > s; = s; = 12;; -; = 1; ⇔ $= 2 #0
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
67/89
"5nt5h , :Lihat gambar di kanan ini7 Tentukanlah :a.
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
68/89
B. S!GI-n B!RATURANBngat bah9a :
1. +udut satu putaran penuh = sudut pusatsatu lingkaran = ,;; ! seperti gambar disebelah kiri ini.'usat lingkaran = titik H
. +itiap segitiga %umlah besar ketigasudutnya selalu 12;;
,. 'ada segitiga sama kaki selalu ada dua sudut sama besar.
'erhatikan gbr A" di kanan ini ! sisinya adalah A ! A" dan ".'an%ang A" = 'an%ang " ! maka :
∠A" = ∠A" atau ∠A = ∠ dan
,;;?
A B
C
5#= 5#=
7:=
∠A > ∠ > ∠" = 12;;
"5nt5h 1 :
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
69/89
"5nt5h 1 :
'ada gambar di atas titik Hadalah pusat lingkaran dan
A"D = segi$ beraturan.Tentukanlah :a. esar sudut AH b. esar sudut HA. esar sudut A"
#a9ab :
a. esar ∠AH =
A B
C
!?
7
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
70/89
• 'ada +egi$ berturan A"D :
(i). ∠AH = salah satu ∠ pusat(ii). ∠"D = salah satu ∠ keliling
• 'ada setiap segi$n beraturan berlaku rumus :
"#
n
"#
n
#). Be$ar $&d&t '&$at 20). Be$ar $&d&t ke%i%in 2 #:== D
A B
C
!?
"5nt5h :
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
71/89
"5nt5h :
Gambar dikanan ini adalah segi$2 beraturandengan pusat titik '.
Tentukanlah : a.
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
72/89
II. LINGKARAN ALA9 ANLINGKARAN LUAR S!GITIGA
A. '/G&TBA/
1). Lingkaran Dalam adalah Lingkaran yang dibuatdidalam segitiga sedemikian sehingga sisi$sisisegitiga merupakan garis singgung pada lingkaran (segitiga itu merupakan segitigagaris singgung)
). Lingkaran Luar adalah Lingkaran yang dibuatdi luar segitiga sedemikian sehinggasisi$sisi seditiga itu merupakan tali busurpada lingkaran( segitiga itu merupakansegitiga tali busur)
(i) C % ki Li k %
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
73/89
(i). Cara me%&ki$ Linkaran a%am
A B
C
Kita akan melukis Lingkaran dalam EABC , dengan ara
menentukan titik pusat lingkaran terlebih dahulu ! sbb. :(langsung diikuti sis9a dengan alat 'enggaris dan %angka)
K
L
M
N
P$A P$B
P$ L
P$KP$M
P$N
Langkah$langkahnya : (1). Gambar segitiga A"
(). Gbr. Lingkaran 'usat A (':A)
(,). Tandai titik K dan LT
U (-). Gbr. Lingkaran ': K(). Gbr. Lingkaran ': L
(). Tandai titik T(3). Tarik garis ATx
x Lakukan langkah () sd (3) ! dari sudut
'usat lingkaran = titik p5t5ng garis bagi AT dan U
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
74/89
(ii). Cara 9e%&ki$ Linkaran L&ar Langkah$langkahnya :
(1). Gambar segitiga D*(). Gambar Lingkaran ':D
!
+
P"
(,). Gambar Lingkaran ':
P"!
(-). Tandai Titik '5t5ng ':D dan ': ! lalu hubungkan dengan garis lurus (garis itu merupakan sumbu sisi D)
Dengan melakukan langkah sd -Gambarkan sumbu sisi D*
Titik perp5t5ngan sumbu sisi D dan sumbu sisi D* adalahpusat lingkaran luar tersebut
P"
P"+
#A&B #A&B LB/GKA&A/ DALA +GBTBGA
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
75/89
. #A&B$#A&B LB/GKA&A/ DALA +GBTBGA
1). L.HA = A < r
). L.HA" = A" < r
,). L.H" = " < r
L.A" = (A (A" (" A" > ")
!
+
o
A B
C
t2r
t2r t2r
r =0L.
ABC
A > A" > "
Untuk setiap segitiga dengan sisi B = +1 ! +isi BB = + ! +isi BBB = +,
dan Luas = L ! maka #ari$%ari (r) Lingkaran Dalam dapatditentukan dengan rumus :
r & 2L'1 ( '2 ( '"
"5nt5h :
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
76/89
"5nt5h :
Diketahui sebuah segitiga dengan pan%ang sisi : s1 = 1, m !
s = 1- m dan s, = 1 m.
Tentukanlah pan%ang %ari$%ari lingkaran dalamnya7
'enyelesaian :Dik. : +egitiga : s1 = 1, m ! s = 1- m dan s, = 1 m.
Dit. : Lingkaran dalam : r = 48
#a9ab :
r = 0L$# $0 $7
K = s1 > s > s,K = 1, > 1- > 1 = -? K = 1L = F 1 ( 1 D 1, )( 11-)( 1 D 1 )
L = F 1 . 2 . 3 .
L 2 :3
r = 0 . :3#7 #3 #4
r = #
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
77/89
C. *ARI *ARI LINGKARAN LUAR S!GITIGAPada gambar dikanan ini , Lingkaran luar ∆ABC
adalah berpusat di P.
Dibuat diameter CD ,garis bantu DB dan tinggi CE.∠CAB = 'CDB , sebab sama-sama menghadapbusur BC dan ∠AEC = 'DBC = 0;; ! maka ∆AECsebangun dengan ∆DBC , maka :
AC : CD = CE : BC
!A B
C
P
" = AC x BCC
4 (1)
< Luas A" = A < "
0 x L&a$ EABCAB" = 4 ()
0 x L&a$ EABCAB
AC x BCC
4 (1) ()2
C 2 AB x AC x BC0 x L&a$ EABC
0r 2
AB x AC x BC
0 x L&a$ EABC
r 2 AB x AC x BC3 x L&a$ EABC
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
78/89
#adi pada setiap segitiga dengan +isi B = +1 ! sisi BB = +) !
sisi BBB = +, dan Luasnya = L ! maka 'an%ang %ari$%ari
lingkaran luar segitiga itu dapat ditentukan dengan&umus :
"5nt5h 1 :
+ebuah segitiga pan%ang sisinya adalah m ! 2 m dan 1; m.
Tentukanlah pan%ang %ari$%ari lingkaran luarnya7
#a9ab :
r 2S# x S0 x S7
3 x L
r 2 S# x S0 x S7
3 x L
r 2
L 2 03 1m0
< 1m x : 1m x #= 1m3 x 03 1m0
2 3:= 1m7
;< 1m02 4 1m
*adi *ari-ari%inkaran %&ar$eitia it&ada%a 2 4 1m
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
79/89
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
80/89
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
81/89
0. nsurunsur lingkaran
00. -eliling dan "uas
3ilai pi
000. 4aris singgung : Persekutuan "uarDalam
06. udut Pusat dan udut -eliling
udut se&agai #arak putar : +usur se&agai udut
6. udut antara tali&usur
60. egi' ali&usur
egin &eraturan
600. "ingkaran "uar dan dalam segitiga
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
82/89
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
83/89
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
84/89
A B
C
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
85/89
A B
C
!
P
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
86/89
6#0,45 1mr 2 0
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
87/89
1;;
,;;
,;;
,;;
P
K L
9N
erikut beberapa K5nstanta yang dibulatkan sampai - desimal dan
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
88/89
erikut beberapa K5nstanta yang dibulatkan sampai - desimal dan&umus Luas +egi$n eraturan dengan pan%ang sisi = +
+egi$n
K5nstanta &umus Luas+egi$n beraturan
7 =,377= L 2 =,377= S0
3 #,==== L 2 #,==== S0
4 #,50=4 L 2 #,50=4 S0
< 0,4;:# L 2 0,4;:# S0
5 7,
-
8/18/2019 6. LINGKARAN lengkap.ppt
89/89
. SUUT ANTARA UA TALI BUSUR
AB
C
!
?
;