MMOODDUULL AANNAALLIISSAA RREEAALL

EEddiissii 11

UUnnttuukk kkuulliiaahh ((ppeennggaannttaarr)) aannaalliissaa rreeaall yyaanngg

ddiilleennggkkaappii ddeennggaann pprrooggrraamm MMAATTLLAABB

Merupakan bentuk modul soal jawab dan tata cara pembahasan

Ditujukan kepada mahasiswa dan pengajar S1 matematika pada umumnya

Oleh :

Dr. H. A. Parhusip

Univ. Kristen Satya Wacana ,

Salatiga , Jateng.

2

CARA MENULIS BUKTI BARISAN BILANGAN REAL YANG KONVERGEN DAN DIVERGEN

dengan ilustrasi MATLAB

Oleh

Hanna Arini Parhusip

Center of Applied Science and Mathematics

Science and Mathematics Faculty

Satya Wacana Christian University

Latar Belakang

Cara memahami dan menuliskan kembali bukti dalam matematika

merupakan masalah yang umum bagi siswa, mahasiswa maupun pengajar.

Selama ini seringkali siswa diajar dengan teknik berhitung sedangkan cara

menuangkan alasan secara matematis sangat minim diajarkan. Demikian pula

mengkomunikasikan hasil hitungan secara formal dan saintifik (mengikuti kaidah

matematika) juga sangat mungkin belum dialami siswa sehingga ketika menjadi

mahasiswa matematika hal itu menjadi kendala yang sangat besar.

Kemampuan mengungkapkan alasan dalam analisis sangat diperlukan.

Untuk itulah kemampuan ini perlu dikaji dan dikembangkan. Terlebih lagi adanya

penggunaan komputer, maka analisis sangat terbantu dalam membantu berintuisi

untuk mengungkapkan fenomena umum dari suatu kasus yang dipelajari.

Tulisan ini akan menginspirasi bagaimana menuliskan pembuktian secara

formal dalam analisa real khususnya tentang konvergensi atau divergensi suatu

barisan bilanga real. Kasus yang dipelajari sangat sederhana yaitu barisan

(a). 2

13

n

nan (b).

12

42n

nan (c). n

n

n

ea

2.

Dari ketiga kasus yang dipelajari sebagai contoh maka diharapkan mahasiswa

dapat mengolah soal jawab yang terkait dengan pembuktian tersebut.

Kasus 1.

n

n

n

nan

/21

/13

2

13. Untuk n maka 1/n 0 dan 2/n 0 .

Oleh karena itu .31/3/21

/13limlim

n

na

nn

n Jelas barisan konvergen ke 3.

Biasanya mahasiswa menulis hanya berhenti sampai disini. Secara formal

matematis, maka perlu ditulis lebih elegant. Secara formal , suatu barisan

bilangan real dikatakan konvergen (punya limit) dengan definisi berikut.

Definisi 1 : Suatu barisan bilangan real na dikatakan mempunyai limit L, atau

barisan tersebut konvergen ke L ditulis Lannlim artinya untuk sembarang

0 , pertidaksamaan Lan harus dipenuhi untuk semua nilai n N .

Dengan kata lain Lan harus dipenuhi untuk semua nilai n, kecuali paling

banyak pada bilangan berhingga n, sebutlah pada n =1,2,,N-1.

Untuk memahami definisi tersebut kita akan membahas barisan 2

13

n

nan dan

akan membuktikan dengan menuliskan secara formal bahwa

.31/3/21

/13limlim

n

na

nn

n

Perlu dibuktikan bahwa 3lim nn

a . Artinya untuk sembarang 0 ,

pertidaksamaan 3na harus dipenuhi untuk semua nilai n, kecuali paling

banyak pada bilangan berhingga n, sebutlah pada n=1,2,,N-1. Sedangkan pada

n=N berlaku dan N pada umumnya tergantung pada nilai . Kita dapat

mempelajari hal ini dengan mendaftar sebagai tahap observasi. Agar membuat

daftar dengan mudah, kita dapat menggunakan MATLAB sebagai alat bantu

4

(dapat pula dengan Excel).

Program tentang ini dan hasil keluaran ditunjukkan pada Tabel 1 dan Gambar 1.

Tabel 1. Daftar Program untuk menggambar

n

n

n

nan

/21

/13

2

13.

__________________________ clear close all n=5;i=1; while n

Tabel 1. Daftar n, nilai barisan tiap n dan nilai untuk tiap n.

n na

10 2.2857 0.7143 20 2.5833 0.4167

40 2.7727 0.2273

80 2.8810 0.1190

160 2.9390 0.0610

320 2.9691 0.0309

Secara analitik, umumnya kita tetapkan , kemudian kita dapat

mendapatkan nilai n=N yang sesuai dengan yang dipilih. Dengan kata lain kita

perlu memformulasikan untuk suatu n=N yang umumnya tergantung pada .

Sedangkan Tabel 1 diperoleh dengan menetapkan nilai n terlebih dahulu

sehingga nilai diperoleh merupakan selisih nilai na dengan 3 (yang sudah kita

klaim sebagai limit barisan). Secara komputasi, maka nilai n lebih mudah

ditetapkan terlebih dahulu. Sedangkan prosedur analitik menjelaskan bahwa kita

tetapkan terlebih . Kita dapat menetapkan misalkan sekitar 0.1 maka

berdasarkan Tabel 1, kita dapat memperoleh n=N sekitar 80. Nampaknya cara

analitik lebih susah tetapi hal itu diperlukan untuk proses pembuktian umum

bahwa barisan tersebut konvergen pada 3. Kita coba dengan proses ini.

Dengan proses berikut ini ternyata salah. Kita akan mencari batas N

dengan cara mencari batas paling atas yaitu sehingga

3na atau - < 32

13

n

n< .

6

Dengan menggunakan batas atas, sebutlah 32

13

n

n= atau 3n +1 -3n -6 = n

+2 atau -5-2 = n atau n= N = 25

(bernilai bulat negatif, padahal n

harus positif bulat). Jika dipilih batas bawah

-n -2 = 3n + 1 -3 atau 2-2 = (3 + )n atau N= 3

22 (salah).

Lantas, bagaimana menentukan n=N dengan cara yang benar ?.

Coba - < 32

13

n

n< ditulis sebagai 3na yaitu

2

63

2

13

n

n

n

n<

atau 2

5

n< . Karena bilangan positif kecil dan n bilangan asli maka kita

dapat memilih 2

5

n< atau 5 < n +2 atau n

25. Jadi kita dapat

memilih N > 25

agar barisan konvergen pada 3. Perhatikan bahwa dengan

kondisi ini kita dapat memilih N dengan menetapkan terlebih dahulu. Hal ini

ditunjukkan pada Tabel 2. Jadi dengan cara ini kita dapat memperoleh bukti

bahwa 3na untuk Nn dengan N 25

. Perhatikan bahwa N

bilangan asli (bulat), padahal 25

dapat tidak bulat. Untuk itu kita perlu

menuliskan kondisi N 25

menjadi N 25

. Jadi dari tata cara

menulis 3na sangat menentukan dalam mendapatkan kondisi N

25. Mari kita coba untuk kasus yang lain.

Tabel 2. Daftar nilai berbagai 2

13

n

nan untuk berbagai yang

ditetapkan

N

25

Nilai na

pada n=N

2

13

n

nan -

Nilai

na

pada

n=N

0.2000

0.1000

0.0500

0.0250

0.0100

0.0050

0.0010

22

47

98

198

498

998

4998

2.5917

2.7980

2.9000

2.9500

2.9800

2.9900

2.9980

2.7917

2.8980

2.9500

2.9750

2.9900

2.9950

2.9990

2.9917

2.9980

3.0000

3.0000

3.0000

3.0000

3.0000

Kasus 2. Pelajari 12

42n

nan . Bagaimana n

nalim ?

Jawab : Barisan tersebut berbentuk fungsi rasional dalam n dengan pembilang n

+ 4 dan penyebut bentuk kuadrat. Untuk n yang membesar maka penyebut akan

lebih cepat membesar daripada pada bagian pembilang. Oleh karena itu kita

dapat menyimpulkan intuisi tersebut bahwa nn

alim =0. Untuk memberikan

penjelasan yang lebih ilustratif kita dapat memvisualisasikan barisan tersebut

untuk berbagai n. Kita dapat mengubah program pada Tabel 1 dengan

menggantikan definisi barisan sehingga diperoleh hasil pada Gambar 2 yang

menunjukkan bahwa untuk n membesar maka nilai barisan menuju ke 0.

Secara formal, kita perlu membuktikan bahwa untuk sembarang

pertidaksamaan 0na harus dipenuhi untuk semua nilai n, kecuali paling

banyak pada bilangan berhingga n, sebutlah pada n=1,2,,N-1. Sedangkan pada

n=N berlaku dan N pada umumnya tergantung pada nilai . Dengan cara kasus

1 , kita dapat menulis 0na yaitu

8

12

42n

n sebagai

nn

n

/12

/41.

Gambar 2. Visualisasi 12

42n

nan untuk berbagai nilai n.

Kita ambil batas atas sehingga berlaku atau 1 + 4/n < 2n + /n atau

1 + (4 - )/n < 2n . Dalam bentuk ini kita belum mampu menyederhanakan

(mendapatkan kondisi n=N yang tergantung . Kita ubah dengan cara lain

berikut ini.

Jelas bahwa

222 2

4

12

4

2

4

n

n

n

n

n. (a1)

Perhatikan bahwa pertidaksamaan tersebut dicari sedemikian rupa sehingga kita

mendapatkan suatu n=N yang hanya tergantung . Untuk mendapatkan urutan

pertidaksamaan yang benar kita dapat menggunakan program MATLAB untuk

membantu kita dalam menvisualisasikan.

Tabel 3. Menggambar berbagai

barisan pada pertidaksamaan a.

clear

close all

n=linspace(1,10,20);

an1=(n +4)./(2*n.^2+1);

an2=(n +4)./(2*n.^2);

an3=4./(2*n.^2);

plot(n,an1,*,n,an2,o,n,an3,.)

Gambar 3. Visualisasi 22

4

n (bertanda .),

12

42n

n(bertanda *) dan

22

4

n

n(bertanda o)

untuk berbagai nilai n.

Jadi kita dapat menggunakan batas 22

2

2

4

nn< untuk mencari N. Dengan

menggunakan notasi n = N pada 2

2

n diperoleh 2 <

2N atau N2

. Marilah

kita daftar untuk berbagai nilai yang kita tetapkan dengan mengambil nilai N

yang memenuhi N2

dan menyelidiki nilai barisan untuk setiap N yang

dipilih. Kita dapat mendaftarnya dengan MATLAB. Perhatikan bahwa 2

tidak

bulat maka kita perlu membulatkan dengan fngsi floor pada MATLAB. Program

ditunjukkan pada Tabel 4 dan hasil keluaran program ditunjukkan dengan daftar

Tabel 5 agar kita dapat melihat seberapa besar nilai barisan untuk tiap dan N

yang dipilih.

10

Tabel 4. Program MATLAB untuk membuat daftar nilai dan 2

serta nilai

barisannya.

Epsku=[0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.02 0.01 0.005 0.0025 0.001]

batasn=floor(sqrt(2./epsku));

Daftar=[epsku batasn];

siN=batasn + 1;

an=(siN +4)./(2*siN.^2+1);

Daftark=[epsku batasn siN an]

Tabel 5. Daftar yang ditetapkan dan nilai N dan barisan yang diperoleh

2

n=N yang dipilih

12

42n

nan

pada N yang dipilih

0.2000 3 4 0.2424 0.1500 3 4 0.2424 0.1000 4 5 0.1765 0.0500 6 7 0.1111 0.0250 8 9 0.0798 0.0200 10 11 0.0617 0.0100 14 15 0.0421 0.0050 20 21 0.0283 0.0025 28 29 0.0196 0.0010 44 45 0.0121

Bagaimana menuliskan bukti formal bahwa ?012

4limlim

2n

na

nn

n.

Hal ini ditunjukkan berikut ini berdasarkan tahap observasi di atas.

012

4limlim

2n

na

nn

n artinya untuk setiap sembarang > 0 maka perlu

ditunjukkan 012

42n

n untuk Nn . Dengan mengetahui bahwa

222 2

4

12

4

2

4

n

n

n

n

n kita dapat memilih

22

2

2

4

nn< untuk mencari N.

Dengan menggunakan notasi n = N pada 2

2

n diperoleh 2 <

2N atau N2

.

Kasus 3. Bagaimana dengan ?2

limlimn

n

nn

n

ea

Sebagaimana pada kasus 1 dan 2, untuk mendapatkan intuisi tentang

sifat barisan untuk n membesar, maka kita dapat membuat gambar atau

mendaftar na untuk berbagai nilai n. Karena pembilang dan penyebut membesar

dengan cepat untuk nilai n yang diberikan, kita menggunakan n yang tidak terlalu

besar. Kita hanya mengedit program Tabel 1 yang ditunjukkan pada Tabel 6 dan

hasil keluaran ditunjukkan pada Gambar 4 dan daftar nilai n dan barisan terkait

ditunjukkan pada Tabel 7. Hasil grafik menunjukkan bahwa untuk n yang

membesar maka kita peroleh n

ne

2. Kita tidak dapat menyimpulkan : berapakah

n=N sehingga untuk setiap n>N maka ada nilai barisan berhingga yang dekat

dengan nilai barisan pada n=N. Barisan demikian kita sebut barisan divergen.

Untuk itu kita perlu membuktikan bahwa barisan tersebut divergen (tidak ada

suatu nilai berhingga yang dapat dipilih). Kita menuliskan na untuk n

Secara formal ditulis suatu barisan divergen dalam definisi berikut.

Definisi 2 : Suatu barisan bilangan real na mendekati tak hingga (divergen)

untuk n mendekati tak hingga jika untuk sembarang bilangan real M >0, terdapat

suatu bilangan positif bulat N sedemikian hingga untuk berlaku

Man , Nn . (a2)

12

Ekspresi (a2) menjelaskan bahwa jika kita menetapkan bahwa limit barisan

adalah M , maka nilai barisan akan selalu lebih besar dari M pada suatu n=N.

Kita akan bahas pada kasus 3.

Diberikan suatu M > 0, n

ne

2> M atau M

en

2 atau M

en ln

2ln atau

2ln1

ln

2lnln

ln

2ln

ln M

e

M

e

Mn . Jadi dipilih

)(2ln1

lnNn

Mn . (b)

Jadi jika dipilih 2ln1

ln MN maka (b) dipenuhi atau berarti barisan

tersebut divergen. Ekspresi 2ln1

ln M bisa ttidak bulat sedangkan N harus bulat

positif. Maka kita dapat menuliskan (b) dengan

)(,2ln1

lnNn

Mn

Kita dapat melakukan observasi menggunakan kondisi (c) dengan menetapkan M

dan memilih N, serta mendaftar nilai barisan pada tiap N yang ditunjukkan pada

Tabel 8. Perintah untuk melakukan hal ini ditunjukkan pada Tabel 8 dan

keluarannya ditunjukkan pada Tabel 9.

Tabel 6. Program

MATLAB untuk

menggambar barisan

n

ne

2

___________________

Clear

close all

n=1;i=1;

while n

14

Tabel 8. Program MATLAB dengan input M dan mencari batas (c) dan nilai barisan

Clear

close all

M=[5 10 15 20 30 50 60 70 80];

batasN=log(M)./(1 -log(2))

Npilih=floor(batasN)+1;

aNpilih=exp(Npilih)./(2.^Npilih);

DaftarMNan=[M' batasN' Npilih' aNpilih']

Tabel 9.Daftar M, 2ln1

ln M, dan N serta nilai barisan

n

ne

2

M

2ln1

ln M

N

yang dipilih n

ne

2

5.0000 5.2450 6.0000 6.3036

10.0000 7.5039 8.0000 11.6444

15.0000 8.8252 9.0000 15.8263

20.0000 9.7628 10.0000 21.5102

30.0000 11.0841 12.0000 39.7351

50.0000 12.7489 13.0000 54.0055

60.0000 13.3430 14.0000 73.4011

70.0000 13.8454 14.0000 73.4011

80.0000 14.2805 15.0000 99.7625

Perhatikan bahwa pada kasus ini kita berharap bahwa ada suatu limit

sebutlah M sehingga untuk N yang dipilih maka hasil nilai barisan akan cukup

saling berdekatan atau berbeda cukup kecil (kurang dari 1) untuk N yang

berturutan. Mungkin kita mencurigai hasil tersebut karena N masih kecil. Kita

dapat menguji program dengan menggunakan program Tabel 8 untuk M yang

jauh lebih besar maka akan diperoleh hasil kesimpulan yang sama.

Tabel 9.Daftar M, 2ln1

ln M, dan N serta nilai barisan

n

ne

2

M

2ln1

ln M

N yang dipilih n

ne

2

100 15 16 136 200 17 18 250 300 19 19 340 400 20 20 463 500 20 21 629 600 21 21 629 700 21 22 855 800 22 22 855 900 22 23 1162 1000 23 23 1162 10000 30 31 13527

Kesimpulan dan saran

Pada tulisan ini telah ditunjukkan bagaimana menggantikan intuisi kita

dalam menentukan barisan konvergen atau divergen dalam bentuk grafik dengan

bantuan program MATLAB.

Saya harap kasus 1-3 dapat memberikan pemahaman barisan konvergen

dan divergen serta bagaimana menuliskan bukti secara formal dengan tata

bahasa matematika yang benar.

Referensi

Goldberg, R.R., 1976. Methods of Real Analysis, John Wiley & Sons, Inc, Second

Edition, New York.

16

LATIHAN SOAL DAN JAWAB ANALISA REAL

Referensi soal : Goldberg, R.R., 1976. Methods of Real Analysis, John Wiley &

Sons, Inc, Second Edition, New York.

Topik :Barisan konvergen dan barisan divergen

Halaman 32.

Ex 2.2

1. Jika 1nns suatu barisan bilangan real, dan jika Msn , In dan jika

Lsnnlim , buktikan ML .

Jawab :

Diketahui Lsnnlim artinya Lsn

nlim . Artinya untuk sembarang 0 ,

pertidaksamaan Lsn harus dipenuhi untuk semua n N .

Karena diketahui pula Msn berlaku sebagai berikut:

Msn

nn

limlim Padahal Lsnnlim dan M

nlim = M (limit konstan tidak tergantung

N) sehingga jelas bahwa Lsnnlim M

nlim =M atau ML .

2. Jika RL , RM dan ML untuk setiap 0 , buktikan ML .

Bukti : Diketahui ML artinya juga ML . Jelas pula bahwa LL

Padahal ML sehingga LL M . Jelas pula bahwa MM

Sehingga LL MM . Atau ML .

3. Jika 1nns suatu barisan bilangan real dan jika untuk setiap

0 , berlaku

Lsn , Nn

dimana N tidak tergantung pada , buktikan bahwa semua tetapi untuk

suatu berhingga banyak tiap suku pada barisan 1nn

s sama dengan L.

Bukti : aneh soalnya.

4. (a) Tentukan IN sedemikian hingga

5

12

3

2

n

n, Nn .

Jawab : 5

12

3

2

n

n ditulis sebagai

5

1

3

62

3

2

n

n

n

n atau

5

1

3

6

n

Sehingga berlaku 5

1

3

6

n atau 330 n atau n27 . Jadi dapat dipilih

N27 sehingga berlaku 5

12

3

2

n

n, 27n .

(b) Buktikan bahwa 23

2lim

n

n

n.

Bukti : dari soal (a) kita dapat menuliskan 23

2lim

n

n

n menjadi

23

2

n

n, Nn . Dicari N yang memenuhi yaitu

23

2

n

n

3

62

3

2

n

n

n

n

3

6

n

atau 36 n n36 n36

. Jadi dapat dibuktikan

23

2lim

n

n

n artinya 2

3

2

n

n, Nn dengan

36N .

5(a) Tentukan IN sehingga 1/1 n < 0.03 ketika Nn .

(b) Buktikan bahwa nlim 1/1 n =0.

18

6. Jika bilangan rasional, buktikan bahwa barisan 1

!sinn

n punya limit.

7. Untuk setiap barisan berikut, buktikan apakah barisan tersebut punya limit

(konvergen) atau tidak punya limit.

(a).

1

2

5n

n

n (b)

1

2/17

3

nnn

n (c)

1

27

3

nnn

n.

8.(a) Buktikan bahwa barisan 17 /10 nn punya limit 0.

(b). Buktikan bahwa 1

710/ nn tidak punya limit.

Catatan : perhatikan bahwa beberapa suku-suku pertama pada barisan (a)

lebih besar daripada beberapa suku pertama ada barisan (b). Hal ini

menekankan bahwa eksistensi dari suatu limit barisan tidak tergantung pada

beberapa suku pertama.

9. Buktikan bahwa 1/1 nnn tidak mempunyai limit.

10. Jika !/5 ns nn , tunjukkan bahwa !/5lim nsn

nn

(Petunjuk : buktikan

bahwa )/5(!5/55 nsn jika n > 5.

JAWAB

9. Buktikan bahwa 1/1 nnn tidak mempunyai limit.

Bukti : perlu dibuktikan berdasarkan definisi suatu barisan divergen yaitu :

Suatu barisan bilangan real na mendekati tak hingga (divergen) untuk n

mendekati tak hingga jika untuk sembarang bilangan real M >0, terdapat suatu

bilangan positif bulat N sedemikian hingga untuk berlaku

Man , Nn . (a)

Untuk kasus soal yaitu diberikan suatu M > 0 (sebagai limit), maka nn /1 > M.

Kita tahu bahwa nnn /1 sehingga nn /1 > M berakibat n > M. Jadi jika kita

menetapkan mulai pada suatu n=N barisan punya limit M, ternyata nilai barisan

(yaitu n=N, kebetulan) selalu lebih besar dari M. Jadi M bukan limit barisan. Jadi

barisan 1/1 nnn tidak punya limit.

Ex 2.4

1. Label setiap barisan dengan (A) jika konvergen dan (B) jika divergen ke

tak hingga dan (C) jika divergen ke tak hingga atau (D) jika berosilasi.

(Gunakan intuisi anda dari pemahaman anda dari calculus, tidak perlu

dbuktikan).

Catatan : intuisi anda dapat digantikan dengan membuat program kecil

sebagaimana pada paper.

Definisi Barisan Jawab pelabelan

(a) 1)2/sin( nn

(b) 1)sin( nn

(c) 1nne

(d) 1

/1

n

ne

(e) 1)/sin( nnn

(f) 1)12/tan()1( nn

20

(g) 1

/1...3

1

2

11

n

n

(h) 1

2

nn

Pengembangan lebih lanjut (personal study) : jika anda tertarik buktikanlah hasil

anda dan dukunglah dengan ilustrasi program.

2. Buktikan bahwa 1nn divergen ke tak hingga

3. Buktikan bahwa 11 nnn adalah konvergen. Petunjuk : Ingat

bagaimana menemukan dy/dx dengan proses x ketika xy .

4. Buktikan bahwa jika barisan bilangan real 1nns divergen ke tak hingga

maka 1nns divergen ke negative tak hingga.

5. Anggap bahwa 1nns konvergen ke 0. Buktikan bahwa

1)1( nnn s konvergen ke 0.

6. Angap bahwa 1nns konvergen ke 0L . Buktikan bahwa

1)1( nnn s berosilasi.

7. Angap bahwa 1nns divergen ke tak hingga. Buktikan bahwa

1)1( nnn s berosilasi.