3. peluang.pdf

Peluang dan Variabel Random

Statistika Inferensial: Mengambil kesimpulan, inferensi ataugeneralisasi tentang suatu populasi berdasarkan informasiyang diperoleh dari sampel.

Peluang (probabilitas): Harga angka yang menunjukkanseberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.




tidak mungkin

sangat tidak mungkin

mungkin ya mungkin tidak

sangat mungkin

pasti




0 1

tidak mungkin

sangat tidak mungkin

mungkin ya mungkin tidak

sangat mungkin

pasti


Eksperimen (percobaan, trial): Prosedur yang dijalankan padakondisi yang sama dan dapat diamati hasilnya (outcome).

Ruang sampel (semesta, universe: Himpunan semua hasil yangmungkin dari suatu eksperimen.

Peristiwa (kejadian, event): Himpunan bagian dari suatu ruangsampel.


ContohEksperimen : Pelemparan sebuah mata uang logam

dua kaliHasil : Sisi mata uang yang tampakRuang sampel : S = {MM,MB,BM,BB }

dengan M: sisi muka dan B: sisi belakangPeristiwa : A = paling sedikit muncul satu belakang

= {MB,BM,BB}B = muncul sisi yang sama

= {MM,BB}


ContohEksperimen : Sebuah biji kedelai ditanamHasil : Tumbuh atau tidak tumbuhRuang sampel : S = {tidak tumbuh, tumbuh}

atau S = {0, 1}Peristiwa : A = biji kedelai tumbuh

= {1}


ContohEksperimen : Pemilihan seorang mahasiswa secara

random dan dicatat IPnyaHasil : Bilangan antara 0 sampai dengan 4Ruang sampel : S = {0 ≤ X ≤ 4 | X ∈ R}

Himpunan bilangan real antara 0 sampaidengan 4

Peristiwa : A = IP di atas 2= {2 ≤ X ≤ 4 | X ∈ R}

B = IP di bawah 1= {0 ≤ X ≤ 1 | X ∈ R}


ContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil :Ruang sampel :Peristiwa :


ContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil : mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6Ruang sampel :Peristiwa :


ContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil : mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6Ruang sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Peristiwa :


ContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil : mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6Ruang sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Peristiwa : A = muncul mata dadu genap



= {2, 4, 6}



= {2, 4, 6}B = muncul mata dadu gasal

= {1, 3, 5}


Peluang Suatu PeristiwaDefinisi klasik, dengan menganggap tiap-tiap elemen ruangsampel S mempunyai peluang yang sama untuk terjadi.Peluang terjadinya peristiwa A,

P (A) =n(A)

n(S)

dengan n(A) = banyaknya anggota dalam peristiwa A, dann(S) = banyaknya anggota ruang sampel


Peluang Suatu PeristiwaBeberapa ketentuan:

• 0 ≤ P (A) ≤ 1

• P (S) = 1 (peluang dari ruang sampel)

• P (∅) = 0 (peluang dari peristiwa yang tidak akan pernahterjadi)

• P (A) = 1 − P (Ac) (aturan komplemen)

• P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B) (aturan penjumlahan)Bila A dan B adalah kejadian yang saling asing,A ∩ B = ∅, maka P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

• P (B) = P (A ∩ B) + P (Ac ∩ B)A ∩ B dan Ac ∩ B saling asing


Peluang Suatu PeristiwaContohSebuah dadu dilempar sekali. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6.Misal didefinisikan A : muncul mata dadu 3 dan B : munculmata dadu bilangan prima A = {3} dan n(A) = 1 ; B = {2, 3, 5}dan n(B) = 3 dan

P (A) =n(A)

n(S)=

1

6

dan

P (B) =n(B)

n(S)=

3

6=

1

2


Peluang Bersyarat dan IndependensiDiketahui A dan B dua peristiwa dari ruang sampel S, danP (B) > 0, maka peluang bersyarat terjadinya A jika diketahui Btelah terjadi, ditulis P (A | B), didefinisikan sebagai

P (A | B) =P (A ∩ B)

P (B)

Dua kejadian A dan B disebut kejadian independen jika

P (A ∩ B) = P (A).P (B)


Peluang Bersyarat dan IndependensiContoh (Peluang Bersyarat)Sepasang dadu dilempar bersama jika diketahui jumlah keduamata dadu yang keluar adalah 6, hitunglah peluang bahwa satudiantara dua dadu tersebut adalah mata dadu 2.B = {jumlahan mata dadu adalah 6}

= {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} danA = {mata dadu 2 muncul dari salah satu dadu}

= {(2, 4), (4, 2)}

P (A | B) =n(A ∩ B)

n(B)=

2

5


Peluang Bersyarat dan IndependensiContoh (Peluang Bersyarat)Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teraturberangkat tepat waktu adalah P (A) = 0,83; peluang sampaitepat waktu adalah P (B) = 0,82; peluang berangkat dan sampaitepat waktu adalah P (A ∩ B) = 0,78.Peluang bahwa suatu pesawat sampai tepat waktu jika diketahuiberangkat tepat waktu adalah

P (B | A) =P (A ∩ B)

P (A)=

0,780,83

= 0,94

Peluang bahwa suatu pesawat berangkat tepat waktu jikadiketahui sampai tempat waktu adalah

P (A | B) =P (A ∩ B)

P (B)=

0,780,82

= 0,95


Peluang Bersyarat dan IndependensiContoh (independensi)Suatu kota kecil mempunyai satu unit mobil pemadamkebakaran dan satu ambulans yang bekerja saling independenuntuk keadaan darurat. Peluang mobil kebakaran siap saatdiperlukan adalah 0,98. Peluang ambulans siap waktudiperlukan adalah 0,92. Dalam suatu kejadian kebakarangedung, hitung peluang keduanya siap.Misalkan A dan B menyatakan kejadian mobil pemadamkebakaran dan ambulans siap. Karena A dan B independen,peluang mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap :

P (A ∩ B) = P (A).P (B) = 0,98× 0,92= 0,9016


Teorema BayesContohSebuah pabrik mempunyai 3 mesin A, B dan C yangmemproduksi berturut-turut 60%, 30%, dan 10% dari totalbanyak unit yang diproduksi pabrik. Persentase kerusakanproduk yang dihasilkan dari masing-masing mesin tersebutberturut-turut adalah 2%, 3% dan 4%. Suatu unit dipilih secararandom dan diketahui rusak. Hitung probabilitas bahwa unittersebut berasal dari mesin C.Misal kejadian R adalah unit yang rusak, akan dihitungP (C | R), yaitu probabilitas bahwa suatu unit diproduksi olehmesin C dengan diketahui unit tersebut rusak.


Teorema BayesContoh (lanjutan)Dengan teorema Bayes, kejadian P (A), P (B) dan P (C) adalahpeluang (persentase produksi) dari masing-masing mesin;P (R | A), P (R | B) dan P (R | C) adalah peluang (persentasekerusakan) dari masing-masing mesin.

P (C | R) =P (C).P (R | C)

P (A).P (R | A) + P (B).P (R | B) + P (C).P (R | C)

=(0, 1)(0, 04)

(0, 6)(0, 02) + (0, 3)(0, 03) + (0, 1)(0, 04)=

4

25

3. peluang.pdf

Documents