LINEAR ALGEBRA

APLIKASI MATEMATIKMTE3114

Aplikasi Matematik Dalam Teknologi Moden

Aplikasi Matematik dalam Perkembangan Teknologi Maklumat

Di era globalisasi ini hampir semua aktiviti manusia tidak terlepas dari penggunaan teknologi. Selain lebih praktikal dan efisien, penjimatan masa juga menjadi alasan penggunaan teknologi diguna pakai dalam aktiviti manusia. Sifat manusia yang selalu tidak merasa puas mendorong mereka untuk terus mendapatkan sesuatu yang terbaik, salah satunya ialah dalam bidang teknologi. Hal tersebut mendorong manusia untuk berfikir secara kritis untuk melengkapi seluruh keperluannya..

Matematik dikenali sebagai ilmu asas. Pembelajaran matematik akan melatih kemampuan berfikir secara kritis, logik, analitikal, dan sistematik. Tetapi peranan matematik tidak hanya terbatas dalam hal tersebut. Perkembangan bidang ilmu lain, seperti fizik, biologi, ekonomi ataupun dalam bidang ilmu sosial, tidak terlepas dari menggunakan aplikasi matematik. Matematik juga disebut sebagai jambatan ilmu pengetahuan dan teknologi. Sebagai contoh, kemajuan teknologi angkasa lepas yang sangat pesat membangun pada masa sekarang kerana kemajuan bidang ilmu fizik. Tetapi kemajuan ilmu fizik itu sendiri tidak akan tercapai tanpa aplikasi matematik dan perkembangan matematik itu sendiri.

Dalam perkembangan teknologi maklumat, matematik memberikan sumbangannya yang tersendiri. Pelbagai aplikasi dan program dalam komputer tidak terlepas dari penerapan aplikasi matematik, diantaranya adalah operasi Aljabar , teori graf, diskrit matematik, logik simbol, probabiliti dan statistik. Teknologi yang semakin berkembang ini menunjukkan perkembangan manusia dalam menerapkan aplikasi matematik dalam mengembangkan bidang lain.

Salah satu contohnya adalah dalam perkembangan penyimpanan memori. Memori menyimpan pelbagai bentuk data atau maklumat sebagai angka biner. Data yang belum berbentuk biner akan dipecahkan (encoded) dengan beberapa arahan instruksi yang mengubahnya menjadi sebuah angka atau urutan angka-angka.

Selain itu matematik mengajar kita untuk berfikir secara kritis, bagaimana agar teknologi itu terus berkembang sejajar dengan berkembangnya ilmu matematik. Pengolahan angka-angka dalam matematik membentuk suatu rumus programing yang digunakan dalam pengembangan ilmu komputer.

Teknologi maklumat dan matematik sangat erat hubungannya. Kerana asas teknologi maklumat adalah pembuatan software dan di dalam pembuatannya itu memerlukan pengiraan dan logik matematik yang tepat. Oleh itu, matematik sangat penting dalam rangka sebagai asas dan pengembangan dalam kemajuan teknologi maklumat khususnya pembuatan software. Dalam pembuatan software tersebut menggunakan sistem bilangan biner dan kod bilangan. Semua disusun dengan urutan tertentu sehingga menghasilkan suatu software yang dapat diguanakan untuk mempermudah aktiviti kita. Disamping itu, untuk membuat suatu program dalam komputer, kita harus menggunakan algoritma. Algoritma itu sendiri adalah langkah sistematik yang mengikuti kaedah logik matematik.

Perkembangan ilmu matematik itu sendiri sebenarnya memberi kesan kepada perkembangan teknologi maklumat. Perkembangan teknologi maklumat juga akan mempermudahkan pengolahan pengiraan matematika menjadi lebih sistematik.

Aplikasi Matematik dalam Cakera Padat

Cakera padat (compact disc atau CD) adalah sebuah piring kompak dari jenis cakera optik (optical disc) yang dapat menyimpan data digital yang pada asalnya dibangunkan bagi menyimpan bunyi digital. CD yang dijual di pasaran pada lewat tahun 1982 masih merupakan media fizikal yang digunakan untuk rakaman audio komersil sehingga kini. Sebuah CD audio terdiri daripada satu atau lebih runut stereo yang disimpan menggunakan pengekodan PCM 16-bit pada kadar pensampelan sebanyak 44.1kHz. Piawai CD mempunyai diameter sebanyak 120mm dan boleh menyimpan audio sebanyak lebih kurang 80 minit iaitu kira-kira sebanyak 700MB atau 700 juta bit.

Teknologi cakera padat kemudian diubah suai untuk dijadikan peranti storan data yang dikenali sebagai CD-ROM dan merangkumi media perakaman tunggal serta perakaman berbilang kali (CD-R dan CD-RW). CD-ROM dan CD-R masih merupakan teknologi yang digunakan secara meluas dalam industri komputer peribadi pada hari ini.

Mulai tahun 1983, sistem penyimpanan data dalam CD mula diperkenalkan dengan pengeluaran Digital Audio Compact Disc. Sejak dari itulah teknologi penyimpanan data dalam CD berkembang. Cakera padat diperbuat daripada plastik polikarbonat setebal 1.2mm yang telah dilapisi dengan lapisan aluminium amat tulin yang sangat nipis yang telah disinari oleh sinar laser. Sinar laser itu akan membentuk pit (lubang) berukuran mikro, yang sangat kecil sekali. Lubang-lubang itu akan membentuk deretan kod yang berupa data. Lapisan plastik itu akan dilapis lagi oleh plastik cair yang berguna sebagai pelindung dan pemantul. Proses tersebut dilakukan secara bertahap dalam suatu mesin cetakan.

CD-ROM bersifat read only (hanya dapat dibaca, dan tidak dapat ditulis). Untuk membaca data yang terdapat dalam CD-ROM, alat utama yang diperlukan adalah pemacu CD (CD Drive). Perkembangan CD-ROM terkini memungkinkan CD dapat direkodkan atau dirakam berulang kali (Re Write / RW) yang lebih dikenal dengan nama CD-RW.

CD-ROM yang ada ketka ini umumnya dibuat dari plastik polikarbonat dan dilapisi permukaan yang sangat reflektif seperti alumunium. Data atau maklumat dirakam secara digital sebagai lubang-lubang mikroskopik pada permukaan yang reflektif. Proses ini dilakukan dengan menggunakan laser yang berintensiti tinggi. Permukaan yang berlubang ini kemudian dilapisi oleh lapisan bening. Data dibaca dengan menggunakan laser berintensiti rendah yang menyinari lapisan bening tersebut sementara motor di dalam pemacu cd memutarkan cakera padat tersebut..

Intensiti laser tersebut berubah setelah mengenai lubang-lubang tersebut kemudian memantulkan dan dibaca oleh sensor optik yang kemudian ditukar menjadi data digital. Penulisan data pada CD-ROM hanya dapat dilakukan sekali saja. Walaupun demikian, cakera padat ini memiliki kelebihan tersendiri kerana bentuknya yang kecil dan tipis memudahkannya untuk dibawa kemana-mana.

Suara yang ditangkap oleh alat pemroses suara memiliki data digital yang mana datanya dinyatakan dalam bilangan biner, iaitu 0 dan 1. Rangkaian 0 dan 1 ini menginterpretasikan suatu nilai sendiri yang mana dengan dekoder tertentu akan menghasilkan nilai yang diinginkan (data yang diperoleh tidak rosak/sesuai).

Maklumat pada CD dikod sebagai landasan berlubang - (pit) yang diacu pada lapisan plastic polikarbonat. Kawasan antara lubang dikenali sebagai bump. Setiap lubang sedalam sekitar 125nm dengan keluasan 500nm, dan berbeza antara 850nm hingga 3.5m panjang. Ruang antara landasan adalah seluas 1.6m. Untuk membayangkan skala pit dan bump pada CD, sekiranya cakera padat diperbesarkan pada saiz stadium, lubang itu adalah sebesar sebiji pasir.

CD dibaca dengan memusat laser semikonduktor jarak gelombang 780nm melalui bawah lapisan palstik polikarbonat. Perbezaan jarak antara pit dan bump adalah satu per enam jarak gelombang cahaya laser, mendorong kepada perbezaan satu per tiga jarak gelombang fasa antara cahaya yang dipantulkan daripada pit dan daripada bump sekitarnya. Dengan mengukur kekuatan ini dengan fotodiod, data boleh dibaca dari cakera padat. Pit dan bump itu sendiri tidak mewakili sifar dan satu data binari. Sebaliknya perbezaan antara pit dan bump atau bump ke pit mewakili satu, sementara tiada perubahan menunjukkan sifar. Ini seterusnya dinyahkod dengan menbalikkan modulasi lapan ke empatbelas, akhirnya mendedahkan data kasar yang tersimpan dalam cakera padat.

Aplikasi Matematik dalam Sistem Komputer

Algoritma adalah suatu prosedur yang tepat untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan bantuan komputer serta menggunakan suatu bahasa pemrogaman tertentu seperti bahasa Pascal, Visual Basic, Java, dan masih banyak lagi bahasa yang lain. Dalam kehidupan seharian, sebenarnya kita juga menggunakan algoritma untuk melaksanakan sesuatu. Sebagai contoh, ketika kita menulis surat, maka kita perlu melakukan beberapa langkah seperti berikut: Mempersiapkan kertas dan sampul, mempersiapkan alat tulis, seperti pen atau pensil,mula menulis,memasukkan kertas ke dalam sampul.

Fungsi Algoritma ialah kita dapat mengatasi masalah dari yang sederhana sehingga kepada masalah yang kompleks sekalipun. Namun, seorang pengguna komputer perlu membuat suatu program dengan menggunakan bahasa yang difahami oleh komputer. Sebelum ditukar dalam bentuk bahasa pemrogaman, diagram alir (Flow Chart) dan Pseudocode perlu dibuat terlebih dahulu. Hal ini bertujuan agar dapat mempermudahkan kerja dalam membuat suatu program dalam komputer. Selain itu, algoritma dapat mengatasi masalah logik dan masalah matematik dengan cara berurutan.

Pada asasnya, komputer adalah mesin digital, ertinya komputer hanya boleh mengesan kehadiran arus elektrik (biasanya disimbolkan dengan 1) dan tidak ada arus elektrik (biasanya dilambangkan dengan 0). Dengan kata lain, kita harus menggunakan simbol 0 dan 1 untuk melakukan pemrogaman komputer. Bahasa pemrogaman yang menggunakan simbol 0 dan 1 ini disebut sebagai satu sistem bilangan biner.

Bilangan biner digunakan dalam komputer yang biasanya tidak kelihatan oleh pengguna. Tapi ada kalanya kemampuan untuk membaca bilangan biner sangat menguntungkan kerana komputer menyimpan baik arahan mahupun data dalam bentuk bilangan biner.Seperti yang telah diketahui bahawa dalam computer, sistem bilangan biner adalah sistem yang dipilih baik untuk penyimpanan data mahupun untuk pemprosesan suatu operasi. Sebagai manusia kita biasanya tidak menggunakan bilangan biner dalam menyelesaikan masalah harian.

Sebagian besar data yang akan digunakan dalam komputer diterjemahkan dalam bentuk yang dapat dibaca oleh manusia terutama dalam bentuk huruf alphabet, bilangan dan tanda baca. Teks yang berasal dari dokumen pengolah data, angka yang digunakan dalam perhitungan, nama dan alamat dalam basis data, data transaksi pembelian dengan kad kredit, kata kunci dan rumus-rumus yang membentuk suatu program komputer, semuanya adalah contoh input data yang tersusun atas huruf, bilangan dan tanda baca.

Terdapat tiga kod alfanumerik yang sering digunakan. Ketiga kod itu dikenal sebagai Unicode, ASCII (American Code for Information Interchange), EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code). EBCDIC dibuat oleh IBM. Penggunaanya terbatas hanya untuk peralatan IBM yang lama dan terminal yang kompatibel dengan IBM. Kebanyakan komputer dan terminal memakai Unicode dan ASCII. Jadual kode ASCII ditunjukkan dibawah ini.

Kod ASCII merupakan suatu standard piawai dalam kod huruf dan simbol seperti Heks dan Unicode tetapi ASCII lebih bersifat universal, contohnya 124 adalah untuk karakter |. Ia selalu digunakan oleh komputer dan alat komunikasi lain untuk menunjukkan teks.

Kode ASCII sebenarnya memiliki komposisi bilangan biner sebanyak 8 bit. Dimulai dari 0000 0000 hingga 1111 1111. Sementara Heksadesimal atau sistem bilangan basis 16 adalah sebuah sistem bilangan yang menggunakan 16 simbol. Berbeza dengan sistem bilangan desimal, simbol yang digunakan dari sistem ini adalah angka 0 sampai 9, ditambah dengan 6 simbol lainnya dengan menggunakan huruf A hingga F.

ASCII (American Standart Code for Informa tion Interchange), menggunakan 7-bit bagi menghasilkan beberapa data. Sistem ini digunakan oleh beberapa pengeluar komputer secara menyeluruh sehingga menghasilkan suatu standard yang sesuai untuk semua jenis komputer. Walaupun ASCII menggunakan kod 7-bit , tetapi dalam pelaksanaannya menggunakan kod 8-bit. ASCII menggunakan kod 8-bit untuk mengesan pelbagai kesalahan yang timbul. Paling kiri merupakan Karakter Nilai Unicode, urutan kedua (heksadesimal) selanjutnya Nilai ANSI ASCII, sementara urutan paling kanan merupakan Keterangan.

Contoh :

1. 002032 = Space

2. 002133 = !

3. 002335 =

4. 002537 = Simbolperatus (%)

5. 02638 = Simbol and (&).

6. Dan lain lain.

Jumlah kombinasi yang dihasilkan adalah sebanyak 256, dimulai dari kod 0 hingga 255 dalam sistem bilangan Desmal. Komputer hanya mengenali sistem binari, bukan angka desimal atau simbol huruf, dan lain-lain. ASCII adalah cara umum untuk menukar symbol huruf dan karakter lainnya ke sistem binari, yang dapat diwakili kepada manusia dalam bentuk bilangan oktal, heksadesimal, atau pun desimal dan lain-lain.

Kedua-dua jadual ASCII dan EBCDIC dibahagi dalam dua kategori iaitu: karakter yang dapat dicetak (printing character) dan karakter kontrol (control character). Printing Character akan menghasilkan output pada skrin atau printer. Control Character digunakan untuk mengawal posisi pada skrin atau kertas, sehingga menyebabkan terjadinya suatu arahan, misalnya membunyikan bel atau menghapus satu karakter atau untuk mengkomunikasikan suatu status antara komputer dan peralatan I/O seperti kontrol C, yang digunakan pada banyak komputer untuk menghentikan segera suatu program. Karakter yang dibentuk dengan menekan secara bersama kekunci kontrol [ctrl] dan suatu huruf disebut dengan control character Penjelasan masing-masing control character dalam tabel ASCII ditunjukkan pada gambar berikut ini:

Sebahagian besar data alphanumerik dalam komputer dihasilkan dari input yang berasal dari keyboard meskipun ada bentuk input data lain yang biasa digunakan. Alternatif sumber input alphanumerik yang sering digunakan adalah: optical character recognition. barcode readers, magnetic stripe readers dan voice input.Peranan Matematik Sebagai Budaya Berterusan

Selain berperanan dalam bidang teknologi moden, matematik juga turut memainkan peranan sebagai budaya yang berterusan. Contoh pertama boleh dilihat melalui aspek kesenian seperti dalam dekorasi dinding (friezes). Friezes ini merupakan satu konsep matematik yang mengklasifikasikan corak pada permukaan dua dimensi yang berulang-ulang dalam satu arah berdasarkan Simetri dalam corak. Corak yang akan terbentuk hasil daripada konsep ini akan membentuk kepelbagaian corak yang menarik dan unik. Bagi menghasilkan corak yang menarik itu, asasnya dibentuk dengan menggunakan tapak kaki dahulu sebelum ia ditukarkan kepada bentuk-bentuk corak yang menarik. Terdapat 7 corak dekorasi dinding asas yang mengaplikasikan konsep penjelmaan (transformation) dalam matematik yang kongruen (tidak melibatkan pembesaran / enlargement). Dekorasi dinding tersebut ialah seperti berikut:

Dekorasi dindingketerangan

Dekorasi ini dikenali sebagai F1- Hop. Corak ini terhasil daripada proses translasi ke sisi.

Dekorasi ini dikenali sebagai F2- Step. Corak ini terhasil daripada proses translasi ke sisi dan pantulan glide.

Dekorasi ini dikenali sebagai F3- Sidle. Corak ini terhasil daripada proses translasi dan pantulan secara menegak dan simetri.

Dekorasi ini dikenali sebagai F4- Spinning Hop. Corak ini terhasil daripada proses translasi dan putaran (separuh pusingan)

Dekorasi ini dikenali sebagai F5- Spinning Sidle. Corak ini terhasil daripada proses translasi, pantulan glide, dan putaran (separuh pusingan)

Dekorasi ini dikenali sebagai F6- Jump. Corak ini terhasil daripada proses translasi dan pantulan

Dekorasi ini dikenali sebagai F7- Spinning Jump. Corak ini terhasil daripada ketiga-tiga translasi translasi, pantulan, dan putaran

Dalam aspek kesenian juga, matematik diaplikasikan menerusi penggunaan mozek (mosaic). Mozek merupakan salah satu seni yang mewujudkan imej-imej dengan himpunan kepingan kecil kaca berwarna, batu atau bahan-bahan lain. Teknik seni ini boleh dijadikan hiasan dalaman atau dijadikan sebagai simbol dan lambang kebudayaan sesuatu tamadun di dunia. Sebagai contoh, rekaan mozek Girih, digunakan bagi melambangkan kesenian islam. Ia biasanya terdapat di masjid-masjid yang mana dijadikan sebagai hiasan di dinding-dinding.

Keunikan bentuk-bentuk dan corak-corak yang direka menjadikan masjid-masjid lebih menarik dan sekaligus ketamadunnaya dikenali di seluruh dunia.

Seterusnya, masyarakat India juga mengaplikasikan matematik geometri di dalam budaya mereka. Pembinaan kolam merupakan satu simbol yang melambangkan masyarakat hindu. Kolam merujuk kepada karya seni hiasan yang dilukis di atas lantai di hadapan dewa-dewadi bilik puja atau di hadapan rumah semasa perayaan Diwali. Dalam pembinaan Kolam, penggunaan bahan utama ialah tepung beras yang dicampurkan dengan serbuk warna bagi menambahkan daya tarikan. Mereka membentuk lukisan-lukisan tersebut berdasarkan dengan menggunaka pelbagai bentuk geometri yang sangat unik dan menarik yang melambangkan cirri-ciri kebudayaan masyarakat India. Untuk menambahkan keunikan corak-corak tersebut, proses pantulan, translasi dan putaran diaplikasikan.

Seterusnya dari aspek pemakanan. Pemakanan yang baik merupakan salah satu aspek penting dalam mendapatkan status kesihatan yang berkualiti. Seperti sedia maklum, setiap individu menginginkan kesihatan yang baik. Maka, piramid makanan telah dijadikan sebagai panduan utama oleh semua individu di seluruh dunia dalam merancang pengambilan set makanan yang sesuai dan seimbang. Makanan yang seimbang mengandungi semua jenis kelas makanan yang diperlukan oleh kita setiap hari dalam nisbah yang betul untuk mendapatkan tenaga. Terdapat tujuh kelas makanan yang utama iaitu karbohidrat, protein, lemak, vitamin, garam mineral, air dan pelawas.

Berdasarkan piramid makanan di atas, kadar yang diperlukan bagi setiap aras piramid telah ditentukan dari permulaan piramid makanan dibina dan menjadi rujukan sehingga ke hari ini. Sebagai contoh, pada aras paling bawah piramid, kadar pengambilan kelas makanan karbohidrat yang diperlukan adalah paling banyak bagi membekalkan tenaga. Pengambilan makanan yang seimbang akan turut member kesan kepada indeks jisim badan seseorang (BMI). Sebagai contoh, individu yang mempunyai lemak yang berlebihan dalam badan tidak akan mendapat BMI yang normal . Tokoh matematik iaitu Lambert Adolphe Jacques Quetelet , telah mengaitkan matematik dengan nutrisi. Beliau telah menyumbang kepada penciptaan indeks jisim badan (BMI) yang mana masih kekal sehingga ke hari ini. Menurut beliau, BMI merujuk kepada kadarberatberbanding ketinggian, atau isipadu seseorang.

Indeks Jisim Badan = jisim (kg) / tinggi 2 (m2)

Aplikasi matematik sebagai budaya yang berterusan juga boleh dilihat melalui bidang permainan. Di dunia, pelbagai jenis permainan telah dijadikan sebagai simbol atau lambang kebudayaan masing-masing. Dalam masyarakat melayu, congkak adalah satu permainan tradisional turun temurun yang dimainkan sejak dahulu lagi. Congkak berasal dari perkataan congak yang bermaksud kiraan. Ilmu Matematik yang telah diaplikasikan menerusi permainan ini ialah algoritma. Oleh yang demikian, individu yang mahir dalam pengiraan atau mencongak akan mempunyai kelebihan mengumpul mata dan seterusnya memenangi permainan. Dalam permainan congkak, terdapat dua bahan iaitu papan congkak dan buah congkak. Papan congkak biasanya diperbuat daripada pelbagai jenis kayu dan terdapat tujuh lubang sebaris yang dikenali sebagai 'kampung' dan di kedua-dua hujungnya terdapat lubang ibu yang dikenali sebagai 'rumah'. Panjang papan congkak tujuh lubang biasanya sekitar 80 cm dan lebarnya 18 cm. Buah congkak pula biasanya menggunakan guli.

Muzik ialah bunyian yang disusun secara sistematik dan mempunyai kualiti tersendiri. Untuk menghasilkan muzik yang berkualiti memerlukan penyusunan konsep muzik yang betul dan terperinci. Oleh itu, dalam bidang muzik juga tidak terkecuali yang mana operasi Matematik telah diapliksikan. Sebagai contoh dapat dilihat dalam not-not yang dihasilkan. Setiap not yang dihasilkan ini mewakili frekuensi yang berbeza.Maka setiap not yang digunakan akan menghasilkan bunyi atau nada yang berbeza. Ada yang bernada tinggi dan juga ada yang bernada rendah, pemuzik yang menghasilkan not-not untuk membentuk sebuah lagu yang boleh membuai perasaan pendengar adalah seorang pemuzik yang mempunyai pengetahuan yang baik dalam kedua-dua bidang ini kerana mereka pandai mengaitkan antara Matematik dan Muzik. Contoh not muzik yang diwakili oleh frekuensi yang berbeza :

Menyiasat asas bagi Matematik kotemporari

Matematik kontemporari ialah jambatan kepada ilmu dan pengetahuan matematik. Ia menghubungkan pelbagai disiplin ilmu untuk menjadikannya lebih berkembang dan moden. Salah satu hasil daripada gabungan kepelbagaian ilmu matematik ialah melalui Sistem Binari iaitu hasil gabungan teori nombor asas dan nombor asas 2 . Sistem Binari ialah satu sistem yang mempersembahkan nombor menggunakan asas 2. Nombor-nombor (1, 2, 3, 4, 5) dipersembahkan dengan diwakili digit 0 dan 1. Perkembangan sistem binary ini telah memberi sumbangan yang besar di dalam ilmu sains komputer dan kecanggihan peranti elektronik.

Contoh nombor sistem binari :

Secara ringkasnya, nilai tempat bagi sistem binari adalah

Sistem binari telah diaplikasikan dalam pelbagai jenis peranti elektronik seperti kalkulator, komputer, dan mesin taip elektronik. Dalam aplikasi terhadap komputer misalnya, data-data diwakilkan dalam bentuk digital yang mana komputer hanya memahami dua keadaan sahaja iaitu ada arus( on) atau tiada arus (off). Ada arus (on) diwakili dengan nombor 1 manakala tiada arus off) diwakili dengan nombor 0.

Penggunaan sistem binari juga digunakan dalam kod ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Kod ini digunakan secara meluas dalam bidang

Mikrokomputer. Kod ASCII mewakili simbol pada papan kekunci komputer. Terdapat 127 kod ASCII yang mewakili 127 simbol kesemuanya. Contoh kod ASCII:

5