DILATASI DAN KOMPOSISI TRASNFORMASI

Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Konsep Dasar Matematika III

Dosen Pengampu:

Wahyudi, S.Pd.,M.Pd

Disusun Oleh:

1. Indra Gunawan (292013303)

2. Nur Amanah (292013523)

3. Dea Komalasai (292013277)

PROGDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA

SALATIGA

2015

PRAKARTA

Dengan memanjatkan puji Dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa,atau

segala limpahan rahmat dan karunia-Nya kepada penulis sehingga dapat

menylesaikan makalah ini yang berjudul”Dilatasi dan komposisi tranformasi”.

Penulis menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini berkat bantuan

dan tuntunan Tuhan Yang Maha Esa dan penulisan juga mengucapkan terimakan

trimakasih kepada Bapak Wahyudi selaku dosen pengampu yang telelah banyak

membantu menyusun agar dapat menyelesaikan makalah ini.

Penulisan menyadari bahwa dalam proses penulisan makalah ini masih dari

jauh dari sempurna baik materi maupun cara penulisannya .Namun demikian

penulisan telah berupuya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang

dimiliki sehingga dapat selesai dengan baik dan oleh karenanya .penulisan dengan

rendah hati dan dengan tangan terbuka menerima masukan ,saran dan usulan guna

penyempurnaan makalah ini .

Akhirnya penulis berharap semoga makalah ini dapat menambah wawasan yang

baik luas dan bermanfaat bagi seluruh pembaca.

Salatiga, maret 2015

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Banyak sekali fenomena transformasi yang terjadi dalam kehidupapan sehari

hari.

Misalalnya ,ketika kita membuat perbesaran peta suatu daerah .Begitu juga saat

kita memindah buku buku dari tempat satu ketempat lain .Buku buku yang telah

dipindahkan akan mengalami pergeseran tempat sejauh kami

memindahkannya.Dari pergeseran dan perpindahan tersebut kita sebenarnya

bisa menghitungnya dengan rumusan matemtika pada bab Transformasi

Geometri.

Pada makalah ini dikhususkan membahas mengenai Dilatasi (perkalian) ,adalah

suatu transformasi yang mengubah ukuran( memperbesar atau memperkecil)

suatu bangunan tetapi tidak mengubah bentuk bangunannya dan komposisi

transformasi adalah dua transformasi yang digunakan secara berurutan.

1.2 Rumusan masalah

Dengan ditulisnya makalahkita dapat mengetahui tentang :

1. Apakah Dilatasi itu ?

2. Peranan apa saja yang ada pada kehidupan sehari hari

3. Bagaimana cara penerapan rumus pada soal

4. Apakah itu Komposisi transformasi?

5. Penerapan apa saja yang ada pada kehidupan sehari hari

6. Bagaimana cara penerapan rumus tersebut ?

1.3 Tujuan Penulisan

Dari penulisanmakalah inimka kita dapat mengetahui dan mempelajari tentang

Dilatasi dan komposisi transformasi dapat mengetahui penerapan pada

kehidupan sehari hari .Lalu kita dapat menyelesaikan soal soal mengenai

trnsformasi dan dilatasi.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Dilatasi

Dilatasi (pembesaran atau perkalian) ialah suatu transformasi yang

mengubah ukuran (memperkecil atau memperbesar) suatu bangun tetapi tidak

mengubah bentuk bangun yang bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat

dan faktor (faktor skala) dilatasi.

B.Dilatasi yang ada pada kehidupan sehari hari

Dalam kehidupan sehari hari terhadap penerapan dilatasi yaitu: Pada

mikroskop, alat pembesar dan lian lainnya

C.Faktor skala dalam dilatasi

Faktor skala (k) adalah perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik

pusat dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik pusat dilatasi. Faktor

skala (k) jua di definisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi tiap bayangan

dan panjang sisi yang berkaitan pada benda.

Faktor skala k = Jarak bayangan Panjang Bayangan

Jarak benda Panjang Benda

Contoh: sebuah segitiga ABC dengan titik A (1,2) B (2,3) dan C (3,1) mendapat

dilatasi terhadap titik 0 dengan faktor skala 2. Tentukan koordinat bayangan titik-

titik sudut segitiga ABC

Jawab : Koordinat bayangan titik A, B dan C masing-masing adalah A1 (2,4),

B1(4,6) dan C’ (6,2)

Catatan : Misal faktor skala k1 maka

K = OA' OB' OC' 2

2dan OA':OA 2 :1OA OB OC 1

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

C'

B'

A'

A

C

B

Pada dilatasi suatu bangun faktor K akan menentukan ukuran dan letak

bangun bayangan.

(I) Jika K > 1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap

pusat dilatasi dan bangun semula.

(II) Jika 0 < K < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak

terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

(III) Jika -1 < K < 0, maka bangun bayangan diperkecil dan terletak berlainan

pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

(IV) Jika K < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak berlainan

terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

D. Menentukan koordinat bayangan oleh dilatasi [ 0,K]

1) Dilatasi terhadap titik pusat O (0,0)

Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala

K didapat bayangan titik P’(x’,y’) maka

X’ = KX

y’ = Ky

2) Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b)

Jika titik P(x,y) didilatasikan terhadap titik pusat A(a,b) dengan faktor

skala K didapat bayangan titik P’(x’,y’) maka

X’ = a + K (x-K)

Y’ = b + K (y-a)

P(X1Y)

P’(X’-Y’)

X

Y

0

P(X1q)

P’(X’1 Y’)

X

Y

0

A(a,b)

Contoh soal

1. Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu Y di B.

Karena dilatasi [O,-2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas

segitiga OA’B’ .

Jaban: garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0)memotong sumbu Y di

B(0,2)karena dilatasi [O,-2] maka A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan B’(kx,ky) → B’(0,-4)

Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga seperti pada gambar:

Sehingga luasnya

= ½ x OA’ x OB’

= ½ x 6 x 4

= 12

2. Titik A(-5,13) didilatasikan oleh [P,⅔] menghasilkan A’. Jika koordinat titik

P(1,-2),maka koordinat titik A’ adalah….

x’ = k(x – a) + a

y’ = k(y – b) + b

A(-5,13) A’(x’ y’)

x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3

y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8

Jadi koordinat titik A’(-3,8)

BAB III

KOMPOSISI TRANSFORMASI

1. Pengertian

Komposisi menurut kamus bahasa ,komposisi berarti sebuah proses

penggabungan beberapa elemen menjadi satu kesatuan yang utuh

.Tranformasi adalah suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan

titik ada pada bidang yang sama .Tranformasi menggunakan system

koordinat yang telah di sepakati dan berlaku secara internasional

.Tranformasi juga merupakan suatu oprasi yang memetakan setiap titik pada

bidang Carteseus ke titik lain pada bidang tersebut .Dalam operasi ini

tranformasi ada bagian titik yang berpindah dan kemungkinan ada bagian

atau titik yang tidak berubah posisi .Jika ada titik yang tidak berubah posisi

,maka titik ini disebut titik bayangan .

Komposisi tranformasi adalah duaa tranformasi yang digunakan secara

berurutan.

merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai

transformasi T1 akan dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1.

Komposisi Khusus :

1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar

2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang tegak lurus

ekuivalen dengan rotasi 180º yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu

tersebut.

3. Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan ekuivalen dengan

rotasi dimana titik pusat adalah titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah

sudut antara kedua sumbu.

4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekuivalen dengan rotasi dimana

pusatnya sejauh jumlah sudut keduanya.

LUAS HASIL TRANSFORMASI

Transformasi yang berupa translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah luas

suatu benda

Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya, maka

kita dapat gunakan rumus :

contoh soal

transformasi berikut ini.

1. Tentukanlah persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4 jika dicerminkan

terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat

dilatasi O(0, 0)

Penyelesaian :

cara 1 : cara langsung

cara 2 : menggunakan matriks

Contoh soal

1. Bayangan segitiga ABC, dengan A (2,1), B (6,1), C (5,3) karena refleksi

terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (0,π) adalah…

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari uraian yang diulas pada makalah ini dapat beberapa kesimpulan :

1. Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran bangunan membesar

ataupun memperkecil tanpa mengubah bentuk bangunan .Dilatasi pada

bidang datar di tentukan oleh pusat dilatasi dan faktor dilatasi .

2. Komposisi transformasi adalah dua transformasi yang digunakan secara

berurutan ,ada macam –macam transformasi yaitu :komposisi dua trasnlasi

berurutan ,dua refleksi terhadap dua garis sejajar ,dua refleksi terhadap dua

garis saling tegak lurus .refleksi berurutan terhadap dua garis saling

berpotongan .rotasi berurutan dengan pusat yang sama .

B. Saran

Sebagi seorang guru ,kita tidak hanya mengusai konsep .tetapi juga harus

mampu mengembangkan konsep tersebut . Sehingga dalam penyampaiannya

mudah dipahami oleh peserta didik.

DAFTAR PUSTAKA

Konginan, Marthen, 2005. Cerdas Belajar Matematika. Bandung; Grafindo Media

Pratama.

Tampomas, 2002. Seribu Pena Matematika SMU Jakarta; Erlangga.

Noormandiri, B.K. 2004. Matematika SMA Program Ilmu Alam, Jakarta; Erlangga.