1. integral tak wajar

7/30/2019 1. Integral Tak Wajar

1/11

MA1114 KALKULUS I

INTEGRAL TAK WAJAR


2/11

Kalkulus 2-unpad

Integral Tak Wajar

Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlahRiemann ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :

b

a

dxxf )(

a. Batas pengintegralan berhingga

b. Integran(f(x)) kontinu pada selang pengintegralan

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi makaintegral itu disebut integral tak wajar.

Jenis-jenis integral tak wajar

a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga.

b. Integral tak wajar dengan integran tak kontinu.


3/11

Kalkulus 2-unpad

a. Integral Tak Wajar karena Batas Pengintegralan Tak Hingga

Definisi :

b

a

b

adxxfdxxf )(lim)(

b

aa

bdxxfdxxf )(lim)(

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, maka integral tak wajardisebut konvergen, sebaliknya disebut divergen.

(i)

(ii)

(iii)

c

c

dx)x(fdx)x(fdx)x(f

b

cb

c

aadx)x(flimdx)x(flim

c

dx)x(f

c

dx)x(f

dx)x(fJika dan konvergen,maka konvergen.


4/11

12

1lim

2 bex

b

Kalkulus 2-unpad

Contoh: Periksa kekonvergenan ITW

0

2

dxxe xdxxxe

1

2

)xx(

dx

52

2a. b. c.

Jawab :

dxxedxxxeb

x

b

1

2

lim

1

2a.

2

2

1

2

1lim aa

e

Jadi integral tak wajar

b.

a

e xa

0

2

1lim

2

dxxedxxxe

a

x

a

0

2

lim0 2

1

2

21lim eeb

b

Jadi integral tak wajar konvergen ke -1/2.

2

1

dxxxe

1

2divergen.

0

2

dxxe x


5/11

Kalkulus 2-unpad

12

1

2 5252522 xx

dx

xx

dx

)xx(

dx

1

1

22 52lim

52lim

a

b

ba xxdx

xxdx

b

x

ba

x

a1

211

1

211 tan

2

1limtan

2

1lim

1tantan2

1limtan1tan

2

1lim 1

211

2111

b

b

a

a

422

1

242

1

c.

2

2

Jadi integral tak wajar tersebut konvergen ke


6/11

Kalkulus 2-unpad

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Kontinu

(i) Integran Tak Kontinu di Ujung Selang

Jika f kontinu pada [a,b) dan maka

)x(flimbx

s

abs

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

Jikaf kontinu pada (a,b] dan maka

)x(flimax

b

tat

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakankonvergen, sebaliknya dikatakan divergen.


7/11

Kalkulus 2-unpad

(ii) Integran Tak Kontinu di Titik Dalam Selang Pengintegralan

Jikaf(x) kontinu pada [a,

b], kecuali di c

dengan a< c

< b dan

)(lim xfcx

,maka

b

c

dxxfc

a

dxxfb

a

dxxf )()()(

b

t

dxxfs

a ct

dxxf

cs

)(lim)(lim

I II

Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar b

a

dxxf )(

konvergen.


8/11

Kalkulus 2-unpad

Contoh: Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar

1

0

dxx

xln

Jawab :

x

xln)x(f Karena fungsi tidak kontinu dix=0 dan

x

xlnlim

x 0

maka

1

0

1

0

lnlim

ln

tt

dxx

xdx

x

x

tx

t

1)(ln

2

1lim 2

0

2

0 )(ln02

1

lim tt

divergen.Jadi integral tak wajar1

0

lndx

x

x


9/11


10/11

Kalkulus 2-unpad

Integral tak wajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungandari dua jenis di atas, yaitu batas pengintegralan takhingga danintegran diskontinu pada batas pengintegralan, seperti contoh

berikut.Contoh: Periksa kekonvergenan integral tak wajar

0 1dx

x

x

Jawab :

Integral di atas merupakan integral tak wajar karena- batas atas integral tak hingga

sehingga

0 1

dxx

x

1

0

2

1 2111

dxx

xdx

x

xdx

x

x

x

xxf

1)( diskontinu dix = 1,

x

x

x

x

xx 1limdan

1lim

11


11/11

Kalkulus 2-unpad

b

btt

s

s

dxx

xdx

x

xdx

x

x

2

2

101111 limlimlim

Karena

0111 10

011

|s|lnslim|x|lnxlimdxx

xlim

s

ss

ss

Maka integral tak wajar divergen .

0

1dx

x

x

Soal-soal latihan

Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut

024 x

dx

04

dxx

e

1

1x

dx

1

0 21 x

dx

1. 2. 3. 4.

222 )1( x

dxx5.

22)(ln

.6xx

dx

3

329

.7x

dxx

1. integral tak wajar

Documents