BAHAN AJAR STRUKTURALJABARBAB IOPERASI PADA HIMPUNANKompetensi Umum :Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan dapat memahami dengan baik operasi pada himpunan dan operasi pada himpunan dan dapat memecahkan suatu masalah tentang himpunan.Kompetensi Khusus :Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat :a. Menentukan irisan dan gabungan dari dua atau lebih himpunan.b. Menentukan komplemen dari suatu himpunanc. Memeriksa apakah suatu relasi merupakan suatu relasi binerd. Memeriksa apakah suatu pemetaan bersifat injektif, surjektif atau bijektifDeskripsi Singkat :Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek dengan suatu sifat/ciri tertentu. Dalam bab ini akan dibahas mengenai teori himpunan, relasi dan pemetaan yang akan mendasari pokok-pokok bahasan bab-bab berikutnya.1.1 HimpunanSecara harafiah himpunan mengandung pengertian sebgai suatu kumpulan atau koleksi / gabungan dari objek-objek. Objek-objek ini baisa disebut anggota atau unsur atau elemen dari himpunan tersebut. Jadi himpunan dapat didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek dengan suatu sifat/ciri tertentu, dengan kata lain himpunan adalah kumpulan suatu objek yang mempunyai ciri dan karakteristik yang sama. Suatu himpunan biasa dinotasikandengan menggunakan huruf besar/kapital, misalkan A,B,C.. , X, Y, Z, sedangkan unsur-unsur atau anggota-anggota dinotasikan dengan huruf kecil, misalkan a,b,c,k, ..Misalkan suatu x menyatakan anggota dari himpunan A maka dinotasikan dengan x A dan misalkan y menyatakan bukan anggota dari himpunan A maka dinotasikan y A. Sedangkan himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dan dinotasikan denganContoh 1.1 :misalkan + adalah himpunan semua bilangan akhir bulat positif, ditulis Z+ = {0,1,2,3,.}, maka 2 Z+ tetapi -1 Z+contoh 1.2 :Misalkan 2Z+ = {0,2,4,6, . }, maka 2 Z+ tetapi 3 Z+Definisi 1.1 :Suatu himpunan A dikatakan merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota dari himpunan A merupakan anggota dari himpunan B, yang dilambangkan dengan ADefinisi 1.2 :Suatu himpunan A dikatakan merupakan himpunan bigian sejati (proper subset) dari himpunan B, jika A dan terdapat sedikitnya satu unsur dari B yang bukan anggota dari A, yang dilambangkan dengan ADengan kata lain, A artinya A tetapi B bukan merupakan himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan A bisa juga diartikan A jika dan hanya jika A dimana A B(A A dimana A B).Gambar 1.1.Himpunan Bagian dan Himpunan Bagian SejatiContoh 1.3:Tunjukkan bahwa himpunan bilangn asli N merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan bulat Z, himpunan bilangan bulat Z merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan rasional Q dan himpunan bilangan rasional Q merupakan bagian sejati dari himpunan bilangan real R.Penyelesaian :N = (himpunan bilangan asli) = {1,2,3 .}Z = (himpunan bilangan bulat) = {, -2,-1,0,1,2, }Q = {himpunan bilangan rasional} = { ,2,-1,5,-1,-0,5,0,0,5,1,}R = {himpunan bilangan real} = { ,-2,-1,5,-1,-1/2,-1/4,0,0,25, , }Disini akan ditunjukkan bahwa N, Z, Z Q, dan Q R, sehingga N Z Q R.Gambar 1.2,Himpunan Bagian Sejati dari Sistem Bilangan RealDefinisi 1.3 :A gabungan B ditulis dengan A B adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A atau anggota B, disimbolkan dengan A B ={x A dan x B}.Definisi 14 :A irisan B, ditulis dengan A B adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A, sekaligus anggota B, disimbolkan dengan A B = {x A dan x B}.Definisi 15 :Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan anggota-anggota x dengan x A, yang dinyatakan dengan Ac.A B A B ACgambar 1.3Diagram Venn Suatu gabungan, irisan dan komplemenContoh 14 :Himpunan A = {a,b,c,d,e,f} dari himpunan B = {d,e,f,g}, makaA B = {d,e,f} dan A B = {a,b,c,d,e,f,g}.Dari definisi-defini yang ada diperoleh sifat-sifat dari himpunan, sebagai berikut:Teorema 1.1 :Untuk sebarang dua himpunan A dan B diperoleh :A A B = AA A B = BBukti :Harus dibuktikan A A B = A dan A B = A dan A B A= A a. A A B = A.Misalkan x A dan x B, maka x A BA B dan A B B, maka A= A Bb. AA B = A Bmisalkan x A dan x Bx A B = A maka A B B sehingga A B.Dari persamaan a dan b, terbukti bahwa A A B.B = B(ii) Harus dibuktikan A AB B = B dan A AB = B Ba. A AB B = BMisalkan x A, atau B, maka x keduanya.x A A B, x A atau x B maka B = A Bb. A AB BMisalkan x A atau B, sehingga A BDari persamaan a dan b, terbukti bahwa A AB B = B

Teorema 1.2 :Untuk sebarang tiga himpunan A,B dan C diperoleh :A (B C) = (A B) (A C)Bukti :Yang perlu dibuktikan dari A (B C) = (A B) (A C) adalah :a. A (B C) = (A B) (A C)Misalkan x A dan x B, x C.x A (B C)x A dan x (B C)x A dan {x B atau x C)(x A dan x B) atau (x A dan x C)x (A B) atau x (A C)x (A B) (A C)sehingga A (B C) (A B) (A C)b. (A B) (A C) A (B C)Misalkan x A dan x B, x Cx (A B) (A C)x (A B) atau x (A C)( x A dan x B)atau (x A dan x C)x A dan (x B atau x C)x A dan x (B C)x A (B C)sehingga (A B) (A C) A (B C)dari persamaan a dan b, terbukti bahwa (A B) (A C) A (B C)Definisi 1.6:Selisih himpunan A dan B adalah A-B = {x l x A dan x Bc}A BGambar 1.4.Diagram Venn suatu selisih dari dua himpunanJika himpunan A mempunyai n unsur maka ditulis lAl = n. Jika dua himpunan A dan B masing-masing mempunyai n dan m unsur, mkaa ditulis lAl = n dan lBl = m.Teorema 1.3 :Untuk dua himpunan A dan B yang mempunyai masing-masing n dan m unsur, maka lA Bl = lAl + lBl lA Bl = n + m lA BlBukti :A B BGambar 1.5.Diagram Venn gabungan himpunan-himpunan yang saling lepasDari gambar 1.5 diilustrasikan A B dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan yang lepas A dan B A, dan B dapat dinyatakan sebagai gabungan himpunan-himpunan yang lepas A B dan B A, sehingga di peroleh:lBl = lB Al + lA Bl, maka lB-Al = lBl lA BllA Bl = lAl + lB Al= lAl + lBl lA Bl= n + m lA BlDefinisi 1.7Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari himpunan bagian dari A. Banyaknya anggota himpunan kuasa dari himpunan yang mempunyai n anggota (n bilangan bulat) adalah 2Contoh 1.7 :Himpunan kuasa ( power set) dari A= {a,b,c} adalah 23 = 8 yaitu { , {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.Jika suatu himpunan semua anggotanya adalah himpunan disebut keluarga (family) atau koleksi himpunan dinotasikan dengan huruf cantik.Contoh 1.8 :Misalkan Rt = {1,2}, R2, = {1,4}, R3 = {1,2,3} maka keluarga (koleksi) dari himpunan tersebut adalah R = {R1,R2,R3}Suatu himpunan semesta bisa dinotasikan dengan S, yiatu himpunan yang anggotanya adalah anggota dari semua himpunan yang dibicarakan.Definisi 18 :Misalkan R suatu keluarga (koleksi), himpunan tak kosong, maka : Gabungan himpunan-himpunan di R adalah himpunan yang didefinisikan dengan : untuk suatuHimpunan ini memuat semua anggota (di S) yang menjadi anggota dari sebarang satu himpunan di . Irisan himpunan-himpunan di adalah himpunan yang menjadi anggota dari sebarang satu himpunan di .untuk suatuHimpunan ini memuat semua anggota (di S) yang menjadi anggota dari sebarang satu himpunan di .Contoh 1.9 :Misalkan = {R1,R2,R3} adalah keluarga ( koleksi ) dari himpunan seperti pada contoh 8, maka :a. = {1,2,3,4}b. = {1}1.2 RelasiDefinisi 1.9 :Misalkan A dan B merupakan dua himpunan tak kosong, maka suatu relasi T biner dari A ke B adalah suatu himpunan bagian dari AxB, jika A=B, maka T disebut Relasi biner pada A.Contoh 1.10 :Relasi < pada himpunan A = {a,b,c} adalah himpunan {(a,b), (a,c), (b,c)} dan relasi pada A adalah {(a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,c)}Bila T suatu relasi pada A maka (a,b) T, ditulis dengan aTb.Definisi 1.10 :Misalkan T suatu relasi pada A maka T disebut :a. Refleksi jika aTa berlakub. Simetris jika aTb maka bTa berlakuc. Transitif jika aTb dan bTc, maka aTc berlakud. Trikotomi jika tepat salah satu berlaku :aTb atau a = b atau bTadari definisi didapatkan : T disebut relasi ekuivalen pada A, jika T repleksif, simetris, dan transitif. T disebut relasi berurut parsial pada A jika T refleksif, anti simetris, dan transitif. T disebut relasi terurut total jika T transitif dan trikotomi.Contoh 1.11 :Kesamaan merupakan suatu relasi ekuivalen pada sebarang himpunan.Contoh 1.22 :Kesebangunan adalah suatu relasi ekivalen pada himpunan semua segitiga.Contoh 1.13 :< adalah suatu relasi terurut total pada himpunan semua bilangan rel (rasional, bulat, asli).1.3 PemetaanDefinisi 1.11 :Misalkan A,B himpunan tak kosong, fungsi atau pemetaan dari A ke B adalah suatu himpunan bagian f dari A x B demikian sehingga untuk setiap a A terdapat satu b B dengan (a,b) f. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f dan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain).Dengan kata lain, misalkan A, B suatu himpunan tak kosong. Suatu pengaitan f dari A ke B disebut pemetaan atau fungsi jika :1. Untuk setiap a A terdapat b B sehingga f(a) = b2. Untuk sebarang a1,a2 A dengan a1, = a2 maka f(a1) = f(a2).Gambar 1.6Pemetaan dari AxBPada gambar 1.6 ditujukan bahwa setiap anggota A dipetakan tepat pada suatu anggota B, didefinisikan A x B = {(a,b) l a A dan b B}. Dalam koordinat kartesius pemetaan A x B = B x A.Contoh 1.15 :Jika A,B R didefinisikan A = {x l 1 x 4} = {1, 2, 3, 4} dan B = { x l 2 x 3} = {2,3}. Tunjukan bahwa A x B B x A !Penyelesaian :Relasi terhadap A x B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3)}Relasi terhadap B x A = {(2,1, (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}Dari gambar 1.7 terlihat grafik kartesius A x B B x A.Y43211 2 3 4 XA X BB x AGambar 1.7Grafik Kartesius AxB dan BxA.Definisi 1.12 :Misalkan A, B himpunan tak kosong.1. suatu pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan 1 1 (injektif) jika untuk sebarang a1, a2, A dengan f(a1) = f(a2) maka a1 = a2.2. suatu pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan onto / pada (surjektif) jika untuk setiap b B terdapat a A sehingga f(a) = b.3. suatu pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan bijektif (korespondensi 1 -1) jika f pemetaan 1- 1 (injektif) dan onto/pada (surjektif).A B A B A BIjektif Surjektif bijektifGambar 1.8Pemetaan injektif, surjektif, dan bijektifDefinisi 1.13: B, suatu fungsi f dikatakan sama dengan g ditulis f = g jika f(a),Misalkan f, g : A . C fungsi, maka g o f : A B, g : B Jika A, B, dan C himpunan dan f : A C adalah fungsi yang didefinisikan dengan (g o f) (a) = g(f(a)) untuk setiap . fungsi g o f ini disebut komposisi dari f dan g.Teorema 1.4 : D fungsi, maka h o (g o f) = (h o g) o f C dan h : C B, g : B Komposisi fungsi adalah assosiatif yaitu jika f : A Bukti :Misalkan , makah o (g o f) (a) = (h o g) o f (a)h((g o f) (a)) = (h o g) (f(a))]h(g(f(a))) = h(g(f(a)))Definisi 1.14 : A disebut : B suatu fungsi. Fungsi g : B Misalkan f : A 1. Balikan kiri dari f jika g o f = iA2. balikan kanan dari f jika f o g = iB3. balikan dari f jika g balikan kiri sekaligus balikan kanan dari f, yaitu g o f = iA dan f o g = iB. Bila A = B maka dapat disingkat g o f = iA = f o g.Contoh 1.16 : 3Z dengan f(x) = 3x.Misalkan f : Z 3Z dengan g(x) =dan g : Z , . Tunjukan bahwa g balikan kiri dan juga balikan kanan dari f :Penyelesaian :(g o f) (x) = g(f(x)) = g(3x) = x = iz, menunjukan bahwa g adalah balikan kiri dari f.(f o g) (x) = f(g(x)) = f = x = i3Z menunjukkan bahwa g adalah balikan kanan dari f.Dikarenakan g o f = iZ dan f o g = i3Z maka g saling berbalikan dengan f.Definisi 1.15 :Misalkan A dan B suatu himpunan tak kosong, himpunan A dan B dikatakan B fungsi korespondensi 1-1.ekuivalen jika dan hanya terdapat f : A Contoh 1.17 :Himpunan Z dan 3Z adalah ekuivalen, karean terdapat pengaitan f(n) = 3n untuk n yang mendefinisikan fungsi korespondensi 1 1.Definisi 1.16:Misalkan A suatu himpunan tak kosong. Himpunan A dikatakan hingga (finite). Jika terdapat n bilangan bulat positif demikian sehingga A dan {1, 2, 3, , n} adalah ekuivalen. Sedangkan himpunan A dikatakan tak hingga (infinite) jika A dan {1, 2, 3, , n} tidak ekuivalen untuk setiap n bilangan bulat positif.Contoh 1.18 :Misalkan H adalah himpunan semua bilangan bulat positif yang kuran dari 30, maka G adalah suatu himpunan hingga.1.4 Rangkuman1. Himpunan adalah kumpulan suatu objek yang mempunyai cirri dan karakteristik yang sama, himpunan dinyatakan dengan huruf besar dan anggota / unsurnya dengan huruf kecil.2. Gabungan adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A atau anggota B, disimbolkan dengan A B= {x A atau x B}. irisan adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota B, disimbolkan dengan A B= { x A dan x B}. Komplemen dari suatu himpunan A adalah himpunan anggota-anggota x dengan x A, yang dinyatakan Ac3. T disebut relasi ekuivalen pada A, jika T refleksif, simetris, dan transitif. T disebut relasi terurut parsial pada A jika T refleksif, anti simetris, dan transitif. T disebut relasi terurut total jika T transitif dan trikotomi.4. Dua pemetaan (fungsi) dikatakan sama jika domain dan kodomain dari keduanya sama, dan nilai fungsi dimana-mana sama.5. Misalkan A dan B adalah himpunan tak kosong. Pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan 1 1 (injektif) jika untuk sebarang a1, a2 A dengan f(a1)=f(a2) maka a1 = a2. Pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan onto / pada (surjektif) jika untuk setiap b B terdapat a A sehingga f(a)=b. Pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan bijektif (korespondensi 1 1) jika f pemetaan 1 1 (injektif) dan onto/pada (surjektif).1.5 Soal-soal latihan1. Misalkan A, B dan C himpunan tak kosong. Buktikan :a. A (B C) = (A B) (A C)b. = + + - +c. A (B C)=(A-B) (A-C)2. Seratus mahasiswa diberikan kuisioner tentang mata kuliah yang digemarinya. Tujuh puluh orang suka mata kuliah kalkulus, lima puluh orang suka mata kuliah aljabar dan empat puluh lima orang suka mata kuliah Differensial. Juga 36 orang mengatakan suka mata kuliah Kalkulus dan Aljabar, 22 orang suka mata kuliah Kalkulus dan Differensial, dan 3 orang suka ketiga mata kuliah tersebut. Berapa banyak mahasiswa yang tidak suka ketiga mata kuliah tersebut dan gambarkan grafiknya !3. Himpunan semesta S={x / x bilangan bulat ; -5 x 20}, diketahui A={-5,-3,-1,1,3,5,7}, B={-2,0,2,4,6} dan C={5,7,19,20}a. Tentukan (A B) (A C), lalu bandingkan dengan A (B C)b. Tentukan (A B)c dan (B C) c, lalu bandingkan dengan Ac Bc dan Bc Cc4. Tentukan relasi < dan pada himpunan A={1,2,3,4}.5. Tunjukkan bahwa :a. Kesamaan merupakan suatu relasi ekuivalen pada sebarang himpunan.b. Kesebangunan adalah suatu relasi ekuivalen pada himpunan semua segitiga.c. < adalah suatu relasi terurut total pada himpunan semua bilangan real (rasional, bulat, asli)d. adalah suatu relasi terurut parsial pada himpunan semua bilangan real (rasional, bulat, asli)6. Misalkan A dan B dua himpunan masing-masing mempunyai n unsure. Tunjukkan bahwa banyaknya bijektif dari A B adalah n !7. Jika f : A B, g : B C, h : C D, pemetaan sedemikian hingga gof=hof dan f surjektif. Buktikan bahwa g=hBAB 2OPERASI BINER PADA HIMPUNANBILANGAN BULATKompetensi Umum:Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi suatu himpunan terhadap suatu operasi biner.Kompetensi khusus:Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:a. Menentukan operasi biner jika diberikan suatu operasi pada himpunan tertentub. Mengidentifikasi sifat-sifat dari operasi biner apakah tertutup, komutatif, assosiatif memiliki identitas dan adanya invers untuk setiap elemen himpunan itu.c. Menerapkannya dalam operasi penjumlahand. Menerapkannya dalam operasi perkaliane. Menentukan bilangan bulat modulo nDeskripsi singkat:Misalkan s adalah suatu himpunan sebarang yang tak kosong, maka pemetaan s X s ke s disebut operasi biner. Dalam bab ini akan diperkenalkan konsep tentang operasi biner dan sifat-sifatnya dengan menggunakan pendekatan pemetaan.2.1 Sifat-sifat Operasi BinerSebelum membicarakan sifat-sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat, terlebih dahulu akan diuraikan secara singkat mengenai himpunan bilangan bulat. Sudah diterangkan sebelumnya bahwa himpunan semua bilangan bulat {,-3,-2,-1,0,1,2,3,} disimbolkan dengan Z. Untuk himpunan bagian dari Z yaitu {,-3,-2,-1} dan {0,1,2,3,} berturut-turut merupakan himpunan semua bilangan bulat negative dan himpunan semua Z- dan Z+. secara singkat dapat ditulis sebagai berikut:Z = {,-3,-2,-1,0,1,2,3,}Z- = {,-3,-2,-1}Z+.= {0,1,2,3,}Pada himpunan bilangan bulat Z dikenal dua operasi baku penjumlahan/aditif (+) dan perkalian/ multikatif (.).Sebagaimana telah diketahui setiap pasang bilangan bulat dapat ditambahkan (dijumlahkan) maupun dikalikan, begitu pula setiap pasang bilangan rasional atau bilanagan real. Ide penambahan atau perkalian akan didefinisikan secara lebih umum sebagai operasi biner salam suatu himpunan, secara singkat akan dijelaskan dalam definisi berikut:Definisi 2.1:Misalkan S adalah suatu himpunan sebarang yang tak kosong, maka pemetaan S x S S disebut operasi biner.Misalkan f suatu operasi biner dalam S, yaitu suatu pemetaan dari S x S ke S, dan misalkan (a,b) S x S dengan f(a,b) c, maka ditulis a * b = c (dibaca a operasi biner b sama dengan c). Jadi sesuai dengan konsep pemetaan, sesungguhnya pasangan terurut (a,b) S x S dengan c, yang dinotasikan dengan (a,b) c.Definisi 2.2:Sifat operasi biner (*) pada suatu himpunan bilangan bulat Z disimbolkan dengan (Z,*).1. TertutupMisalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka a dan b tertutup terhadap bilangan bulat Z bila a * b Z2. KomutatifMisalkan a,b Z maka a * b = b * a3. AssosiatifMisalkan a,b,c Z maka (a * b) * c = a * (b * c)4. Adanya unsur satuan atau identitasMisalkan a Z maka a * e = e * a = a5. Adanya unsure balikan atau inversMisalkan a Z maka a * a-1 = a-1 * a = eContoh 2.1:Misalkan suatu himpunan yang tak kosong S={a,b,c,d}, didefinisikan x * y = y untuk setiap x,y S adalah suatu operasi biner dalam S. Tunjukkan operasi biner dari himpunan tersebut.Penyelesaian:Disini akan ditunjukkan daftar operasi biner dalam bentuk table (yang dinamakan daftar Cayley), biasa dipakai untuk mendefinisikan suatu operasi biner dalam himpunan yang banyak anggota / unsurnya terhingga.Table 2.1Daftar Cayley (Operasi Biner)S ={a,b,c,d}yang didefinisikan x * y = y x,y Sy* A b c dx a A b c db A b c dc A b c dd A b c dCara membaca daftar Cayley seperti pada table 2.1 adalah sebagai berikut:1. Unsur yang mau dioperasikan dari sebelah kiri kit abaca kolom paling kiri, misalkan ambil unsure x2. Kemudian unsure x mau dioperasikan dengan unsure y dari sebelah kanan.3. Unsur yang terakhir ini dibaca pada baris yang paling atas, sehingga unsure x * y adalah unsur yang sekelompok dengan y sebaris dengan x.Dengan demikian dalam daftar Cayley yang terdapat dalam table 2.1. dapat kita baca :a * a = aa * b = ba * c = ca * d = d b * a = ab * b = bb * c = cb * d = d c * a = ac * b = bc * c = cc * d = d d * a = ad * b = bd * c = cd * d = dContoh 2.2 :Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefinisikan x * y = bila x y dan x * x = x untuk setiap x,y Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan assosiatif.Penyelesaian :a. TertutupMisalkan x = 2 dan y = 3x * y = 2 * 3 = 1x * x = 2 * 2 = 2x * y dan x * x tertutup terhadap Z+, sehingga x,y Z+b. Komutatifx, y Z+, misalkan x = 2 dan y = 3x * y = 2 * 3 = =1y * x = 3 * 2 = = 1x * y = y * x komutatifc. Assosiatifx, y,z Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4(x * y) * z = (2 * 3)* 4 = * 4 = = 3x * (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * = = 1(x * y) * z x * (y * z) tidak assosiatifDari definisi sebelumnya mengenai operasi biner, bila operasi biner mempunyai satu atau lebih operasi biner yang merupakan dasar-dasar Struktur Aljabar, didefinisikan :Definisi 2.3 :Struktur Aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi biner pada sistem aljabar tersebut.Misalkan S suatu himpunan yang dilengkapi dengan sekelompok Operasi biner * dan o, maka S menjadi satu struktur aljabar dengan dua operasi biner yang dinotasikan (S,*,o) atau (S,o,*)Contoh 2.3 :Himpunan semua bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan dan perkalian merupakan suatu struktur aljabar, yang dinotasikan (Z, +, . )Definisi 2.4 :Grupoid adalah suatu struktur aljabar yang mempelajari hanya satu operasi biner (terhadap penjumlahan atau perkalian)Contoh 2.4 :Misalkan S adalah suatu himpunan tak kosong, didefinisikan x . y = y untuk setiap x,y S, maka (S, . ) adalah merupakan grupoid.Contoh 2.5 :Misalkan S adalah suatu himpunan tak kosong, didefinisikan x + y = y untuk setiap x,y S, maka (S, + ) adalah merupakan grupoid.Pada sub bab selanjutnya akan dijelaskan secara lebih mendalam mengenai struktur aljabar yang berupa grupoid terhadap penjumlahan dan perkalian.2.2 Operasi Biner Terhadap PenjumlahanPada sub pokok bahasan ini, akan dijelaskan definisi dan contoh dari opersi biner terhadap penjumlahan yang merupakan grupoid, dismbolkan dengan (Z, ) atau (Z,+). Misalkan Z6 = {0,1,2,3,4,5} ini menyatakan bahwa bilangan bulat Z tertutup terhadap {0,1,2,3,4,5}dan (Z6, ) atau (Z6, +) menyatakan bahwa penjumlahan bilangan bulat Z tertutup terhadap Z6 = {0,1,2,3,4,5}Definisi 2.5 :Sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat Z terhadap penjumlah (Z, ) atau (Z,+) adalah :1. TertutupMisalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka penjumlahan a dan b tertutup terhadap bilangan bulat Z bila a + b Z2. KomutatifMisalkan a,b Z maka a + b = b + a3. AssosiatifMisalkan a,b,c Z maka (a + b) + c = a + (b + c)4. Adanya unsur satuan atau identitasMisalkan a Z untuk penjumlahan unsur satuan atau identitas e = 0 sehingga a + e = a + 0 = a dan e + a = 0 + a = a5. Adanya unsur balikan atau inversMisalkan a Z untuk penjumlahan unsur balikan atau invers dari a adalah (-a), sehingga a + (-a) = a a = 0 = e dan (-a) + a = -a + a = 0 = eContoh 2.6 :Buatlah table operasi biner Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} terhadap penjumlahan (Z5, +} dan tunjukkan sifat-sifat dari operasi binernya.Penyelesaian:Terlebih dahulu kita definisikan operasinya:0 + 3 = 3 0 + 4 = 41 + 3 = 4 1 + 4 = 02 + 3 = 0 2 + 4 = 13 + 3 = 1 3 + 4 = 24 + 3 = 2 4 + 4 = 3setelah itu kita buat table operasi biner dari (Z5,+)Tabel 2.2Operasi biner (Z5,+)+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3untuk mengetahui sifat-sifat penjumlahan operasi binernya dapat dilihat dari table:a. TertutupAmbil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 dan 3 Z52 + 3 = 0, karena hasilnya 0 Z5, maka tertutup terhadap Z5b. KomutatifAmbil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 dan 3 Z52 + 3 = 03 + 2 = 0sehingga 2 + 3 = 3 + 2 = 0maka Z5 komutatifc. AssosiatifAmbil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2,3 dan 4 Z5(2 + 3 ) + 4 = 0 + 4 = 42 + (3 + 4) = 2 + 2 = 4sehingga (2 + 3 ) + 4 = 2 + (3 + 4) = 4maka Z5 assosiatifd. Adanya unsur satuan atau identitasAmbil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 Z52 + e = 2 + 0 = 22 + e = 0 + 2 = 2sehingga 2 + e = 2 + e = 2maka Z5 ada unsur satuan atau identitase. Adanya unsure balikan atau inversAmbil sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 Z52 + (-2) = 2 2 = 0 = e(-2) + 2 = -2 + 2 = 0 = esehingga 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 = emaka Z5 ada unsur balikan atau invers.2.3 Operasi Biner Terhadap PerkalianPada sub pokok bahasan ini, akan dijelaskan definisi dan contoh dari opersi biner terhadap perkalian yang merupakan grupoid, dismbolkan dengan (Z, ) atau (Z,.). Misalkan Z6 = {0,1,2,3,4,5} ini menyatakan bahwa bilangan bulat Z tertutup terhadap {0,1,2,3,4,5}dan (Z6, ) atau (Z6, .) menyatakan bahwa perkaliann bilangan bulat Z tertutup terhadap Z6 = {0,1,2,3,4,5}Definisi 2.6 :Sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat Z terhadap perkalian (Z, ) atau (Z,.) adalah :1. TertutupMisalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka perkalian a dan b tertutup terhadap bilangan bulat Z bila a . b Z2. KomutatifMisalkan a,b Z maka a . b = b . a3. AssosiatifMisalkan a,b,c Z maka (a . b) . c = a . (b . c)4. Adanya unsur satuan atau identitasMisalkan a Z untuk perkalian unsur satuan atau identitas e = 1 sehingga a . e = a . 1 = a dan e . a = 1+a=a5. Adanya unsur balikan atau inversMisalkan a Z untuk perkalian unsur balikan atau invers dari a adalah(a-1)= , sehingga a + (a-1) = a . = 1 = e dan a-1 . a= .a = 1 = eContoh 2.7 :buatlah table operasi biner A = {a1, a2, a3 ,a4 ,a5} terhadap perkalian (a, .) dan tunjukkan sifat-sifat dari opersi binernya.Penyelesaian :Terlebih dahulu kita definisikan operasinya:a1 . a2 = a3a2 . a2 = a4a3 . a2 = a5a4 . a2 = a1a5 . a2 = a2setelah itu kita buat table operasi biner dari (A, .)Tabel 2.3Operasi biner (A,+). a1 a2 a3 a4 a5a1 a2 a3 a4 a5 a1a2 a3 a4 a5 a1 a2a3 a4 a5 a1 a2 a3a4 a5 a1 a2 a3 a4a5 a1 a2 a3 a4 a5Untuk mengetahui sifat-sifat perkalian operasi binernya dapat dilihat dari table:a. TertutupAmbil sebarang nilai dari A,misalkan a1 dan a2 Aa1 . a2 = a3karena hasilnya a3 A, maka tertutup terhadap Ab. KomutatifAmbil sebarang nilai dari Amisalkan a1 dan a2 Aa1 . a2 = a3a2 . a1 = a3sehingga a1 . a2 = a3 = a2 . a1 = a3maka A komutatifc. AssosiatifAmbil sebarang nilai dari Amisalkan a1 , a2 dan a3 A(a1 . a2 ) . a3 = a3 . a3 = a1a1 . (a2 . a3 )= a1 . a5 = a1sehingga (a1 . a2 ) . a3 = a1 . (a2 . a3 )= a1maka A assosiatifd. Adanya unsur satuan atau identitasAmbil sebarang nilai dari Amisalkan a1 Aa1 . e = a . 1 = ae + a1 = 1 . a = asehingga a1 . e = e + a1 = amaka A ada unsur satuan atau identitase. Adanya unsur balikan atau inversAmbil sebarang nilai dari A, misalkan a1 Aa1. a-1= a . = 1a-1 . a1 = . a= 1sehingga a1. a-1= a-1 . a1 = 1 = emaka A ada unsur balikan atau invers.Masih ada beberapa hal lagi yang dapat kita katakana mengenai grupoid terhadap perkalian.Misalkan kita ambil grupoid dari himpunan semua bilangan bulat yaitu(Z, .).Dalam grupoid tersebut kita tahu jika ab = ac maka b = c dimana a 0,sifat ini dinamakan hukum pencoretan kiri bila ba = ca maka b = c dimana a 0,maka sifat ini dinamakan hukum pencoretan kanan.Definisi 2.7 :Sebuah grupoid S dikatakan memenuhi hokum pencoretan kiri jika kesamaan ab =ac mengakibatkan b = c,dimana a 0Definisi 2.8 :Sebuah grupoid S dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika kesamaan ba = ca mengakibatkan b = c,dimana a 0.Definisi 2.9:Himpunan semua bilangan bulat tak nol merupakan grupoid komutatif terhadap perkalian yang memenuhi hokum pencoretan.Definisi 2.10:Himpunan semua bilangan asli merupakan grupoid komutatif terhadap perkalian yang memenuhi hokum pencoretan.2.4 . Bilangan Bulat Modulo nTelah dikemukakan, untuk memahami topik-topik yang ada pada struktur aljabar diperlukan suatu contoh sebagai model. Model yang paling mudah dipahami adalah bilangan bulat. Pada bagian ini dibicarakan lebih lanjut tentang bilangan bulat yaitu tentang algoritma pembagian bilangan bulat dan bilangan bulat modulo n dengan menggunakan prindip kongruensi.Teorema 2.1 : (Algoritma Pembagian)Misalkan a, b Z dan b 0, maka terdapat q, r Z demikian sehingga a = bq + r, dengan 0 r < . Bilangan bulat q dan r ditentukan secara tunggal oleh a dan b yang diperlukan. Selanjutnya a disebut bilangan yang dibagi, b disebut pembagi, q disebut hasil bagi, dan r disebut sisa.Definisi 2.9:Misalkan a, b Z, b dikatakan membagi a, dinotasikan b / a, jika terdapat q Z yang memenuhi a = bq, b disebut pembagi a atau factor dari a. sebaliknya b tidak membagi a, dinotasikan b a, jika tidak terdapat q Z yang memenuhi a = bq.Contoh 2.10:4| 8, 4 dikatakan pembagi 8, sebab 8 = 4 . 2Contoh 2.11:3 8, 3 dikatakan bukan pembagi 8, sebab tidak terdapat q Z yang memenuhi 8 = 3q dengan kata lain 8 3q untuk sebarabg q Z.Berdasarkan algoritma pembagian bilangan bulat, untuk a, n Z dimana n 0, terdapat q,r Z demikian sehingga a = nq + r, dengan 0 r < . Dalam hal ini dapat ditulis a r = nq, sehingga dapat dikatakan n membagi a r, dan dikatakan a dan r kongruen modulo n, ditulis :a = r (mod n)secara eksplisit dua bilangan bulat a dan b kongruen modulo n didefinisikan sebagai berikut:Definisi 2.10:Misalkan a,b,c Z dan n 0, bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, ditulis a = r(mod n), jika membagi (a b).Contoh 2.12:8 2 (mod 3) merupakan kongruen modulo n, karena 8 2 = 2 . 3contoh 2.13:9 2 (mod 3) bukan merupakan kongruen modulo n, karena 9 2 2.32.5 Rangkuman1. Sifat-sifat operasi biner (*) pada suatu himpunan bilangan bulat Z disimbolkan dengan (Z,*) terhadap penjumlahan ataupun perkalian adalah : Tertutup Komutatif Assosiatif Adanya unsure satuan atau identitas Adanya unsure balikan atau invers2. Struktur Aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada system aljabar tersebut.3. Grupoid adalah suatu struktur aljabar yang mempelajari hanya satu operasi biner (terhadap penjumlahan atau perkalian).4. Sebuah grupoid S dikatakan hokum pencoretan kiri jika kesamaan ab=ac mengakibatkan b=c, dimana a 0, dan grupoid S dikatakan memenuhi hokum pencoretan kanan jika kesamaan ba=ca mengakibatkan b=c, dimana a 0.5. Misalkan a, b Z dan b 0, maka q, r Z demikian sehingga a = bq +r, dengan 0 r < . Bilangan bulat q dan r ditentukan secara tunggal oleh a dan b yang diperlukan. Selanjutnya a disebut bilangan yang dibagi, b disebut pembagi, q disebut hasil bagi, dan r disebut sisa.6. Misalkan a, b, c Z dan n 0,, bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, ditulis a r (mod n), jika membagi (a-b).2.6 Soal-soal latihan.1. Misalkan X = {0,1,2,3} dimana X Z.Diketahui :a * b = c3 * 1 = 03 * 2 = 13 * 3 = 2Buatlah table operasi biner dan jelaskan sifat-sifatnya.2. Untuk sebarang m, n ZDidefinisikan m * n = m + n + 1Tunjukkan :a. E himpunan bilangn genap yang tidak tertutup terhadap operasi biner.b. K himpunan bilangna ganjil yang tertutup terhadap operasi biner.3. Tunjukkan sifat-sifat operasi biner dari a + b dan a . b di Z+ jika a, b Z+4. Buktikan jika bx = by (b 0, x dan y Z), maka x = y. gunakan hokum pencoretan kiri.5. Tunjukkan apakah perkalian matriks A = dan B = adalah komutatif atau bukan.6. Buktikan teorema 1 (Algoritma Pembagian) dalam sub pokok bahasan 2.4BAB 3SEMIGRUP DAN MONOIDKompetensi Umum :Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid.Kompetensi Khusus:Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:a. Menjelaskan serta memberi contoh suatu Semigrupb. Menjelaskan serta memberi contoh suatu MonoidDeskripsi Singkat:Dalam bab ini merupakan kelanjutan dari bab 2, jika dalam bab sebelumnya dijelaskan mengenai struktur aljabar yang mempunyai satu atau dua operasi biner, dalam bab ini akan dibahas mengenai Semigrup yang mempunyai satu prasyarat tertutup dan assosiatif dan operasinya dan bila Semigrup memiliki unsur kesatuan maka dinamakan Monoid.3.1 Semigrup dan MonoidTelah kita pelajari konsep grupoid yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner. Grupoid adalah suatu struktur aljabar hanya dengan satu operasi biner saja dan tanpa syarat apa-apa, yang merupakan struktur aljabar yang paling sederhana.Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari struktur aljabar dengan satu operasi biner, tetapi sudah diberi prasyarat yaitu sifat tertutup dan assosiatif dari operasinya.Definisi 3.1:Suatu grupoid (G, +) dikatakan semigrup terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat:1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan2. Assosiatif terhadap penjumlahanContoh 3.1 :Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup terhadap penjumlahan dengan lambing (N,+), (Z,+), (Q,+) dan (R,+).Definisi 3.2 :Suatu grupoid (G, .) dikatakan semigrup terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat :1. (G, .) tertutup terhadap perkalian2. Assosiatif terhadap perkalianContoh 3.2 :Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R, merupakan semigrup terhadap perkalian dengan lambang (N, .) untuk bilangan asli, (Z, .) untuk bilangan bulat, (Q, .) untuk bilangan rasional dan (R, .) bilangan real.Contoh 3.3 :Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner a * b = a + b + ab. Tunjukkan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.Penyelesaian :1. TertutupMisalkan a,b Na * b = a + b + ab Nmaka a * b tertutup terhadap bilangan asli N.2. AssosiatifMisalkan a,b,c N(a * b) * c = (a + b + ab) * c= (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c= a + b + ab + c + ac + bc + abca * (b * c) = a * (b + c + bc)= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)= a + b + c + bc + ab + ac + abcMaka a,b,c N berlaku a * b) * c = a * (b * c)Jadi, (N, *) yang didefinisikan a * b = a + b + ab merupakan suatu semigrup.Contoh 3.4 :Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan daftar Cayley sebagai berikut:Table 3.1Daftar Cayley suatu grupoid. a b c da b c d ab d a b cc a b c dd c d a bTunjukkan apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup.Penyelesaian :Akan ditunjukkan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan.Misalkan x =a, y = a dan z = a(x . y) . z = (a . a) . a= b . a= dx . (y . z) = a . (a . a)= a . b= cDidapat (x . y) . z = d dan x . (y . z) = cSehingga (x . y) . z x. (y . z)Jadi grupoid tersebut bukan merupakan suatu semigrup.Suatu semigrup yang memiliki unsure satuan atau identitas dinamakan sebuah monoid, dijelaskan pada definisi berikut ini :Definisi 3.3 :Suatu grupoid (G,+) dikatakan monoid terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat-syarat:1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan2. Assosiatif terhadap penjumlahan3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan.Dengan kata lain, semigrup terhadap penjumlahan yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 0) disebut monoid terhadap penjumlahan.Contoh 3.5 :Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, +), bilangan rasional (Q,+) dan bilangan (R,+), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu nol (0).Definisi 3.4 :Suatu grupoid (G, .) dikatakan monoid terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat :1. (G, .) tertutup terhadap perkalian2. Assosiatif terhadap perkalian3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap perkalian.Dengan kata lain, semigrup terhadap perkalian yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 1) disebut monoid terhadap perkalian.Contoh 3.6 :Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, .), bilangan rasional (Q, .) dan bilangan (R, .), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu satu (1).Kalau kita buat bagan yang melukiskan suatu struktur aljabar yang berupa semigrup dan monoid dapat diperoleh gambar sebagai berikut:Gambar 3.1Gambar dari suatu Semigrup dan Monoid3.2 Rangkuman1. Suatu grupoid (G, *) dikatakan semigrup jika memenuhi syarat-syarat : (G, *) tertutup Assosiatif2. Suatu grupoid (G, *) dikatakan smonoid jika memenuhi syarat-syarat : (G,*) tertutup Assosiatif Mempunyai unsure satuan atau identitasDengan kata lain, semigrup yang mempunyai unsur satuan atau identitas disebut monoid.3.3 Soal-soal latihan1. Misalkan himpunan bilangan asli N, diidentifikasikan sebagai operasi biner x * y = x + y xy. Tunjukkan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup.2. Dari soal no 1, tunjukkan bahwa (N,*) merupakan monoid.3. Tunjukkan bahwa operasi biner dari a + b dan a . b di Z+ memenuhi sifat-sifat dari:a. semigrupb. monoid4. Misalkan X = {0,1,2,3} dimana X Z.Diketahui :a * b = c3 * 1 = 03 * 2 = 13 * 3 = 2Buatlah tabel operasi biner dan apakah memenuhi sifat-sifat semigrup dan monoid.BAB 4DASAR-DASAR GRUPKompetensi Umum :Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup.Kompetensi Khusus:Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:a. Mengidentifikasi suatu himpunan tak kosong terhadap operasi suatu grupb. Membuktikan dan menerapkan sifat-sifat sederhana suatu grup.c. Mengidentifikasi suatu himpunan bagian dari suatu Grup merupakan suatu Subgrup atau bukand. Menentukan orde suatu GrupDeskripsi Singkat:Grup merupakan struktur aljabar dengan satu operasi biner. Dalam bab ini akan dibahas mengenai sifat-sifat atau syarat suatu grup, himpunan bagian dari Grup yang merupakan Subgrup, serta mementukan orde suatu Grup.4. Sifat-sifat GrupPada bab 3, telah kita pelajari konsep semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner (grupod terhadap suatu penjumlahan atau perkalian) yang memiliki prasyarat tertutup dan assosiatif. Sedangkan monoid adalah suatu struktur aljuabar dengan satu operasi biner (semigrup yerhadap penjumlahan atau perkalian)yang setiap anggotanya memiliki unsure satuan atau identitas.Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari definisi atau syarat-syarat dasar dari suatu grup dan mengaplikasikannya dalam contoh-contoh soal sederhana, baik itu terhdap penjumlahan atau perkalian, adapun definisi mengnai grup adalah:Definisi 4.1:Suatu monoid (G,*) dikatakan suatu grup jika setiap anggotanya memiliki unsure balikan atau invers yaitu : G sehingga a * a-1 = a-1 * a = e a-1 G a Dengan kata lain, dari definisi tersebut dapat kita ketahui syarat-syarat dari suatu grup yaiutu memenuhi sifat monoid dan setiap anggotanya memiliki unsure balikan atau invers. Adapun untuk lebih jelasnya mengenai syarat-syarat suatu grup akan dijabarkan dalam definisi berikut ini:Definisi 4.2 :Grupoid (G,*) dikatakan suatu grup jika memenuhi syarat-syarat:a. Tertutup GMisalkan a, b adalah anggota G maka a dan b tertutup bila a * b b. Asosiatif G maka (a * b) * c = a * (b * c)Misalkan a, b, c c. Adanya unsur satuan atau identitas G maka a * e = e * a = aMisalkan a d. Adanya unsure balikan atau invers R maka a * a-1 = a-1 * a = e = 0Misalkan a Contoh 4.1:Misalkan G ={-1,1} adalah suatu himpunan.Tunjukkan bahwa G adalah suatu grup terhadap perkalian (G, .)Penyelesaian:Tabel 4.1Daftar Cayley G = {-1,1} terhadap (G,.). -1 1-1 1 -11 -1 1Dari tabel 4.1 akan ditunjukkan bahwa G = {-1,1} merupakan suatu grup terhadap perkalian (G,.), yaitu :A. TertutupAmbil sebarang nilai dari G GMisalkan 1 dan -1 -1 . 1 = -1 G, maka tertutup terhadap Gkarena hasilnya -1 B. AssosiatifAmbil sebarang nilai dari G GMisalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 (a . b) . c = (-1 . -1) . 1 = 1 .1 = 1a . (b . c) = -1 . (-1 . 1) = -1 . -1 = 1sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1maka G assosiatifC. Adanya unsure satuan atau identitasAmbil sebarang nilai dari G GMisalkan -1 -1 . e = -1 . 1 = -1e . -1 = 1 . -1 = -1sehingga -1 . e = e . -1 = -1maka G ada unsure satuan identitas atau inversD. Adanya unsure balikan atau invers GAmbil sebarang nilai dari G, misalkan -1 -1 . (-1)-1 = -1 . = 1 = e(-1)-1 . -1 = . -1 = 1 = eSehingga -1 . (-1)-1 = (-1)-1 . -1 = 1 = eMaka G ada unsure balikan atau inversJadi, G = {-1,1} merupakan grup terhadap perkalian (G, .)Contoh 4.2 :Misalkan G = {-1,1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +)Penyelesaian:Tabel 4.2Daftar Cayley G = {-1,1} terhadap (G,+). -1 1-1 -2 01 0 2Berdasarkan daftar Cayley tabel 4.2.Operasi penjumlahan himpunan G = {-1,1}menghsilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2}adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1,1, maka operasi penjumlahan G = {-1,1}tidak tertutup terhadap himpunannya.Sehingga G = {-1,1} adalah bukan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).Contoh 4.3:Misalkan G ={0, 1, 2, 3, 4, 5} adalh merupakan himpunan dari Z6. tunjukkan bahwa G adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).Penyelesian:Tabel 4.3Daftar cayley G ={0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G,+)+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4Dari tabel 4.3 akan ditunjukkan bahwa G ={0, 1, 2, 3, 4, 5}merupakan suatu grup terhdap penjumlahan (G,+), yaitu:a. TertutupAmbil sebarang nilai dari G GMisalkan 0, 1, 2, 3, 4, 5 1 + 2 = 31 + 3 = 41 + 4 = 51 + 5 = 0 G, maka tertutup terhadap Gkarena hasilnya 0, 3, 4, 5 b. AssosiatifAmbil sebarang nilai dari G GMisalkan a = 2, b = 4 dan c = 5 (a + b) + c = (2 + 4) + 5 = 0 + 5 = 5a + (b + c) = 2 + (4 + 5) = 2 + 3 = 5sehingga (a + b) + c = a + (b + c) = 5maka G assosiatifc. Adanya unsur satuan atau identitasAmbil sebarang nilai dari G GMisalkan 4 4 + e = 4 + 0 = 4e + 4 = 0 + 4 = 4sehingga 4 + e = e + 4 = 4maka G ada unsure satuan identitas atau inversd. Adanya unsur balikan atau inversAmbil sebarang nilai dari G, GMisalkan 4 4 + (-4) = 4 4 = e(-4) + 4 = -4 + 4 = eSehingga 4 + (-4) = (-4) + 4 = 4 = eMaka G ada unsur balikan atau inversJadi, G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan grup terhadap penjumlahan (G, +).SEMIGROUPGROUPOIDMONOIDGROUPGambar 4.1,Bagan dari suatu GrupBila suatu grup memenuhi sifat komutatif, dimana a* b = b * a, maka grup tersebut dinamakan grup komutatif atau grup abelian. Adapun definisinya adalah sebagai berikut:Definisi 4.3 :Suatu grupoid (G,*) dikatakan grup komutatif (grup abelian) jika memenuhi syarat-syarat :a. Tertutup GMisalkan a, b adalah anggota G maka a dan b tertutup bila a * b b. Asosiatif G maka (a * b) * c = a * (b * c)Misalkan a, b, c c. Adanya unsur satuan atau identitas G maka a * e = e * a = aMisalkan a d. Adanya unsure balikan atau invers G maka a * a-1 = a-1 * a = eMisalkan a e. Komutatif G maka a * b = b * aMisalkan a, b Contoh 4.4:Dari contoh 4.1, tunjukkan bahwa G = {-1,1} adalah suatu grup komutatif terhadap perkalian (G,.).Penyelesaian:Dari contoh 4.1 telah ditunjukkan bahwa G = {-1,1} adalah suatu grup terhdap perkalian (G,.).Sekarang akan ditunjukkan sifat komutatif dari grup tersebut.Ambil sebarang nilai dari G : G (pada tabel 4.1)Misalkan 1 dan -1 -1 . 1 = -11 . -1 = -1sehingga -1 . 1 = 1 . -1 = -1karena grup tersebut memnuhi sifat komutatif, maka grup tersebut adaloah grup komutatif atau grupabelian terhadap perkalian (G,.).Contoh 4.5:Dari contoh 4.3 tunjukkan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu grup komutatif terhadap penjumlahan (G.+).Penyelesaian:Dari contoh 4.3 telah ditunjukkan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G,+).Sekarang akan ditunjukkan sifatkomutatif dari grup tersebut. G (pada tabel 4.3)Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 dan 5 1 + 5 = 05 + 1 = 0sehingga 1 + 5 = 5 + 1 = 0karena grup tersebut memnuhi sifat komutatif, maka grup tersebut adalah grup komutatif atau grup abelian terhadap penjumlahan (G,+)Ada beberapa sifat dari suatu grup, yang akan dijelaskan dalam teorema berikut ini:Teorema 4.1Misalkan (G, .) adalah suatu grup, maka:a. G maka (a-1)-1 = aJika a b. G maka (ab)-1 = b-1a-1Jika a, b Bukti:1. Dari sifat unsur satuan atau identitas, diketahui a-1 . a = e = a . a-1, maka dapat dikatakan bahwa a unsure balikan dari a-1 . dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (a-1)-1 = a2. (ab) (b-1a-1) = ((ab)b-1)a-1 = (a(bb-1))a-1 = (ae)a-1 = aa-1 = eDengan cara yang sama didapat :(b-1a-1) (ab) = b-1(a-1(ab)) = b-1((a-1a)b) = b-1(eb) = b-1b = eSehingga dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (ab)-1 = b-1a-1Dalam operasi penjumlahan (+), teorema tersebut dapat ditulis sebagai berikut:Teorema 4.2:Misalkan (G,+) adalah suatu grup, maka:a. G, maka -(-a) = aJika a b. G, maka -(a+b) = (-a) + (-b)Jika a, b Teorema 4.3: G, maka:Misalkan (G,.)adalah suatuu grup dan a, b, x a. Jika xa = xb, maka a = b (penghapusan kiri)b. Jika ax = bx, maka a = b (penghapusan kanan)Bukti:a. Misalkan xa = xbMaka: x-1(xa) = x-1(xb)(x-1x) a = (x-1x) bea = ebSehingga : a = b (penghapusan kiri)b. Misalkan ax = bxMaka: (ax)x-1 = (bx)x-1a (x-1x) = b (x-1x)ae = beSehingga : a = b (penghapusan kanan)Dalam operasi penjumlahan (+), teorema 4.3 dapat ditulis sebagai berikut:Teorema 4.4: G, maka:Misalkan (G,+)adalah suatuu grup dan a, b, x a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)a. Sub GrupPada sub pokok bahasan ini akan diperkenalkan subgroup yang merupakan bagian dari grup. Secara harfiah subgroup dapat diartikan sebagai grup bagian yang mempunyai sifat-sifat dari grup. Adapun definisinya adalah sebagai berikut:Definisi 4.5: G. (H,*) dikatakan subgroupMisalkan (G,*) adalah suatu grup dan H dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu grup terhadap operasi yang ada dalam (G,*).Dari definisi tersebut dapat diartikan bahwa untuk membuktikan bahwa (H,*) adalah subgroup dari grup (G,*), harus melalui langkah-langkah sebagai berikut:a. GHarus ditunjukkan bahwa H b. harus ditunjukkan bahwa (H,*) merupakan suatu grupContoh 4.6:Dari contoh 4.1, tunjukkan bahwa H = {1} adalah merupakan subgroup dari G = {-1,1} terhadap perkalian (G, .).Penyelesian: G.H = {1} merupakan himpunan bagian dari G = {-1,1}sehingga H Dari tabel 4.1, akan ditunjukkan H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu grup:a. Tertutup H dan 1 . 1 = 1Misalkan 1 H, maka tertutup terhadap Hkarena hasilnya 1 b. Assosiatif HMisalkan a = 1, b = 1 dan c = 1 (a . b) . c = (1 . 1) . 1 = 1 .1 = 1a . (b . c) = 1 . (1 . 1) = 1 . 1 = 1sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1 maka H assosiatifc. Adanya unsur satuan atau identitas HMisalkan 1 1 . e = 1 . 1 = 1e . 1 = 1 . 1 = 1sehingga -1 . e = e . -1 = -1maka H ada unsur satuan identitas atau inversd. Adanya unsur balikan atau invers HMisalkan 1 1 . (1)-1 = 1 . = 1 = e(1)-1 . 1 = . 1 = 1 = eSehingga 1 . (1)-1 = (1)-1 . 1 = 1 = e, maka G ada unsur balikan atau inversJadi, H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu grup, sehingga (H, .) merupakan subgroup dari (G, .).Contoh 4.7:Dari contoh 4.3, tunjukkan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhdap penjumlahan (G, +).Penyelesaian: G.H = {0, 2, 4} adalah merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} sehingga H Dari tabel 4.3. akan ditunjukkan H = {0, 2, 4}memenuhi syarat-syarat suatu grup:a. TertutupAmbil sebarang nilai dari H HMisalkan 0, 2, 4 0 + 0 = 00 + 2 = 20 + 4 = 42 + 2 = 42 + 4 = 04 + 4 = 2 H, maka tertutup terhadap Hkarena hasilnya 0, 2, 4 b. AssosiatifAmbil sebarang nilai dari H HMisalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 (a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 2 maka H assosiatifc. Adanya unsur satuan atau identitasAmbil sebarang nilai dari H HMisalkan 4 4 + e = 4 + 0 = 4e + 4 = 0 + 4 = 4sehingga 4 + e = e + 4 = 4maka H ada unsur satuan identitas atau inversd. Adanya unsur balikan atau inversAmbil sebarang nilai dari H HMisalkan 4 4 + (-4) = 4 4 = 0 = e(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = eSehingga 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 = e, maka G ada unsur balikan atau inversJadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu grup, sehingga (H, +) merupakan subgroup dari (G, +).Contoh 4.8:Dari contoh 4.3, tunjukkan bahwa H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).Penyelesaian: G.H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H Akan ditunjukkan bahwa H = {1, 2, 3} memenuhi syarat-syarat suatu grup: HAmbil sebarang nilai dari H misalkan 2, 3 Dari tabel 4.3. didapat : 2 + 3 = 5 H, sehingga lima tidak tertutup terhadap operasi biner G tetapi 5 5 (H,+) maka bukan merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.Contoh 4.9:G = {-1,1} adalah subgroup dari (Z, .), tetapi bukan merupakan subgroup dari (Z,+) karena operasi di Z dan di G = {-1.1} tidak sama.b. Orde suatu Grup G,a merupakan unsure atauMisalkan G adalah suatu grup dan a anggota atau elemen dari grup. Unsur dari grup ini dapat membentuk atau membangun suatu grup, jumlah dari unsure suatu grup atau subgroup tersebut disebut orde.Definisi 4.6:Misalkan (G,*) adalah suatu grup. Banyaknya unsure-unsur dari grup (G,*) . (G,*) disebutGdisebut orde dari grup (G,*), dilambangkan dengan terhingga (finite) dan disebut grup tak hingga bilaGgrup hingga bila tah hingga.GDefinisi4.7:Orde dari suatu unsur a dalam suatu grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) na = e (e = 1, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.Contoh 4.10:Orde dari grup (Z,+) dan (Z, .) adalah tak hingga.Contoh 4.11:Orde dari grup G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah 6 dan orde dari subgroup H = {0, 2, 4}adalah 3.Contoh 4.12:Tentukan subgroup dari Grup (Z4,+) dan tentukan orde masing-masing subgroup.Penyelesaian:= 4Z4Grup Z4 = {0, 1, 2, 3} orde dari Subgroup dari unsure-unsur Z4 adalah: Z4}Missal n = 0, 1, 2, 3 dan Ha = {na, n a = 0H0 = {0}= 1H0Sehingga a = 1H1 = {1, 2, 3, 0}= 4H0Sehingga a = 2H2 = {2, 0}= 2H2Sehingga a = 3H3 = {3, 2, 1, 0}= 4H3Sehingga 4.4 Rangkumana. Grupid (G,*) dikatakan suatu grup jika memenuhi syarat-syarat:a. Tertutupb. Asosiatifc. Adanya unsur satuan atau identitasd. Adanya unsur balikan atau invers2. Suatu Grup dikatakan grup komutatif atau grup abelian jika memenuhi syarat-syarat dari grup dan mempunyai sifat komutatif.3. (H,*) adalah subgroup dari grup (G,*), harus melalui langkah-langkah sebagai berikut:a. GHarus ditunjukkan bahwa H b. harus ditunjukkan bahwa (H,*) merupakan suatu grup G. (H,*) dikatakanDengan kata lain, (G,*) adalah suatu grup dan H subgroup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu grup terhadap operasi yang ada dalam (G,*).4. Misalkan (G,*) adalah suatu grup. Banyaknya unsure-unsur dari grup . (G,*)G(G,*) disebut orde dari grup (G,*), dilambangkan dengan terhingga (finite) dan disebut grup takGdisebut grup hingga bila tah hingga.Ghingga bila 5. Orde dari suatu unsur a dalam suatu grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) na = e (e = 1, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.4.5 Soal-Soal Latihan1. G. Z+} yang didefinisikan operasi biner pada G dengan a * b = a + b + ab, untuk semua a, b Misalkan G = {x Tunjukkan apakah (G,*) merupakan suatu grup dan periksa apakah (G,*) juga merupakan grup abelian.2. Misalkan Q+ adalah bilangan rasional positif, didefinisikan operasi biner a * b = Q+ . buktikan apakah operasi bineruntuk a, b tersebut merupakan grup da periksa apakah merupakan grup abelian.3. Misalkan g adalah grup matriks 2 x 2 , didefinisikan :Buktikan G adalah grup abelian terhadap oprasi biner perkalian (G, .)4. Misalkan (G,+) adalah suatu grupBuktikan :i. G a -(-a) = a, ii. G a, b -(a + b) = (-b) + (-a), 5. GMisalkan (G,+) adalah suatu grup dan a, b, x Buktikan :a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)6. Misalkan G adalah suatu grup dan 0 dan H G dengan H H terhingga. Buktikan bahwa H suatu subgroup dari G jika H tertutup terhadap operasi yang ada dalam G.7. Tentukan subgroup yang dibangun oleh unsure-unsur dari grup(Z9,+) dan tentukan orde dari masing-masing subgrupnya.BAB 5GRUP SIKLIK, GRUP PERMUTASI, HOMOMORFISMAKompetensi Umum :Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Grup, Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma Grup.Kompetensi Khusus:Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat:1. Memahami dengan baik definisi dari grup siklik2. Menentukan generator dan orde dari Grup Siklik3. Memberikan contoh dari Grup Siklik4. Memahami dengan baik definisi dari Grup Permutasi5. Memberikan contoh dari Grup Permutasi6. Memahami dengan baik definisi dari Homomorfisma Grup7. Memahami dengan baik ketiga-tiga hokum homomorfisma8. Memberikan contoh dari Homomorfisma GrupDeskripsi Singkat:Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dan sifat-sifat atau syarat dalam membentuk suatu Grup Siklik, Grup Permutasi dan Homomorfisma Grup.a. Grup SiklikPada bab 4, telah dibahas mengenai orde dari suatu grup dan subgroup. Pada sub pokok bahasan ini akan dijelaskan suatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis sebagai perpangkatan (positif atau negatif) atau perkalian dari suatu unsure tetap dari grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan grup siklik.Definisi 5.1: (Terhadap perkalian) G sedemikian hingga G =Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a Z}. elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. n {an Definisi 5.2: (terhadap penjumlahan) Z}. n G sedemikian hingga G = {na Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a Definisi 5.3: G, maka generator a yangMisalkan (G,*) adalah suatu grup dan a membangun suatu subgrup [a] dinamakan subgroup siklik dari (G,*).Jadi yang dimaksud dengan subgroup siklik yaitu suatu grup yang dibangkitkan oleh suatu unsur.Definisi 5.4: G, maka generator a yangMisalkan (G,*) adalah suatu grup dan a membangun suatu subgrup [a] dimana [a] = G, maka subgroup tersebut dinamakan grup siklik.Dengan kata lain, grup siklik adalah subgroup yang unsure-unsurnya merupakan unsur-unsur dari grup itu sendiri. Suatu grup siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur.Grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsure terhingga dinamakan grup siklik berhingga dan grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsure tak terhingga dinamakan grup siklik tak hingga.Contoh 5.1:Misalkan G = {-1,1} adalah suatu grup terhadap operasi perkalian (G, .). Tentukan grup siklik dari grup tersebut.Penyelesaian:Generator dari G = {-1,1} adalah -1 dan 1[-1] = Z }n {(-1)n = {(-1)0, (-1)1, (-1)2,}= {-1, 1}[1] = Z }n {(1)n = {(1)0, (1)1, (1)2,}= {1}Generator -1 adalah membangun suatu grup siklik, sehingga:[-1] = {-1, 1}Generator 1 adalah membangun grup siklik, sehingga:[1] = {1}Contoh 5.2:Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan grup siklik dari grup tersebut.Penyelesaian:Generator dari G = {0, 1, 2, 3} adalah 0, 1, 2, 3[0] = Z}n {n(0) = {0}[1] = Z}n {n(1) = {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, }= {0, 1, 2, 3}[2] = Z}n {n(2) = {0.2, 1.2, 2.2, 3.2, }= {0, 2}[3] = Z}n {n(3) = {0.3, 1.3, 2.3, 3.3, }= {0, 3, 2, 1}generator 1 dan 3 adalah membangun suatu grup siklik, sehingga :[1] = [3] = {0, 1, 2, 3}generator 0 dan 2 adalah membangun subgroup siklik, sehingga :[0] = {0}[2] = {0, 2}Contoh 5.3:Grup (Z,+) merupakan grup siklik tak hingga yang dibangun oleh 1.Penyelesaian:[1] = {, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, }= {, -2, -1, 0, 1, 2, }Jadi, 1 merupakan generator yang membentuk grup siklik tak hingga.Contoh 5.4:Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah grup bilangan kompleks terhadap perkalian (I4, .). tentukan grup siklik dari grup tersebut.Penyelesaian:Generator dari I4 = {1, -1, i, -i} adalah 1, -1, i, dan i[1] = Z }n {(1)n = {(1)0, (1)1, (1)2,}= {1}[-1] = Z }n {(-1)n = {(-1)0, (-1)1, (-1)2,}= {-1, 1}[i] = Z }n {(i)n = {(i)0, (i)1, (i)2, (i)3, (i)4}= {1, i, -1, i}[-i] = Z }n {(-i)n = {, (-i)-2, (-i)-1(-i)0, (-1)1, (-1)2,}= {1, -i, i, -1}generator i dan i adaalh membangun suatu grup siklik, sehingga :[i] = [-i] = {1, -1, i, -i}generator 1 dan -1 adalah membangun subgroup siklik, sehingga :[1] = {1}[-1] = {1, -1}Teorema 5.1:Setiap grup siklik adalah grup abelian.Bukti: Z }.n Misalkan (G, .) merupakan grup siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G = {(a)n G, sehingga x = am dan y = anAmbil x, y Z., untuk m, n x . y = am . an = am+n = an+m = an . am = y . xJadi, (G, .) merupakan grup komutatif. Z }.n Misalkan (G,+) merupakan grup siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G = {na Z. G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m, n Ambil x, y x + y = na + ma = (n + m)a = ma + na = y + xJadi, (G,+) merupakan grup komutatif.Contoh 5.5:Dari contoh 5.2, tunjukkan bahwa grup siklik tersebut merupakan grup komutatif.Penyelesaian:Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu grup siklik dari grup G = {0, 1, 2, 3} terhadap penjumlahan (G,+). Z. G, sehingga x =na dan y = ma, untuk m, n Misalkan x, y Ambil n = 1 dan m = 2, dan generator a = 3x + y = na + ma= (n + m)a= 1.3 + 2.3= (1 + 2).3= 3.3 = 1y + x = ma + na= (m + n)a= 2.3 + 1.3= (2 + 1).3= 3.3 = 1Jadi, grup siklik G = {0, 1, 2, 3}merupakan grup komutatif.b. Grup PermutasiDefinisi 5.5:Suatu pemutasi dari n unsur adalah suatu fungsi bijektif dari himpunan n unsure kehimpunan itu sendiri.Untuk memudahkan digunakan bilangan bulat (1, 2, 3, , n) untuk menyatakan himpunan n unsur. disajikan :Permutasi Contoh 5.6 : pemutasi pada himpunan permutasi-permutasi dariMisalkan (2) = 1,(1) = 2, bilangan-bilangan bulat (1, 2, 3, 4, 5) sehingga (2) = 3.(4) = 5, (3) = 4, Ditulis permutasi ini : di dan adalah dua permutasi, maka hasil kali dari dan Jika (i)) untuk setiap i = 1, 2, 3, , n( yaitu ((i) = definisikan kemudian, berarti pertama kita mengerjakan permutasi kali pada hasil kalinya).mengerjakan permutasi Contoh 5.7: dua permutasi yang didefinisikan sebagai berikut : dan Misalkan danPenyelesaian:, sehingga : kita definisikan komposisi Untuk menentukan (5) = 3(1)) = ((1) = (4) = 5(2)) = ((2) = (3) = 4(3)) = ((3) = (2) = 1(4)) = ((4) = (1) = 2(5)) = ((5) = Jadi kita definisikan komposisiUntuk menentukan , sehingga : (2) = 4(1)) = ((1) = (1) = 5(2)) = ((2) = (4) = 2(3)) = ((3) = (5) = 1(4)) = ((4) = (3) = 3(5)) = ((5) = JadiDefinisi 5.6:Misalkan A adalah suatu himpunan berhingga ari S(A) adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan adalah merupakan grup permutasi. S(A) dan himpunan A permutasi dari A jika dan hanya jika Jadi berhingga. Sebarang himpunan permutasi-permutasi yang membentuk grup disebut grup permutasi. Grup dari semua permutasi dari himpunan n unsur n, o). Odisebut grup simetris berderajat n dan dinyatakan dengan (rder n, adalah n! dan bila ndari > 2 dimana n bilangan bulat positif, n tidak komutatif.maka Contoh 5.8:2 =2 adalah 2! = 2, sehingga Orde grup Contoh 5.9:3}, dimana :2, 1, 2, 1, 0, 3 = {3 adalah 3! = 6, sehingga Orde grup ari 0 = dan 1 =1 = 2dan =2 = dan 3 =Diperoleh tabel komposisi dari grup ini :Tabel 5.1.3komposisi grup simetris O 0 1 2 1 2 30 0 1 2 1 2 31 1 2 0 3 1 22 2 0 1 2 3 11 1 2 3 0 1 22 2 3 1 2 0 13 3 1 2 1 2 0Grup tersebut tidak komutatif / abelian, dapat dibuktikan bahwa grup 3yang sebayak-banyaknya terdiri dari 5 unsur yang abelian. Sedangkan 3 merupakan suatu contoh grup tidakterdiri dari 6 unsur, sehingga abelian dengan unsure terkecil.Perhatikan segitaga sama sisi dengan titik sudut 1, 2, 3. unsur-unsur 2 dapat ditafsirkan rotasi searah jarum jam dari segitiga sama1, 0, sisi meneglilingi titik berat bidang.sebelum rotasi sesudah rotasi0 : rotasi 00 (3600)1 : rotasi 12002 : rotasi 2400sebelum pencerminan sesudah pencerminan0 : pencerminan 1terhadap garis bagi 1 : pencerminan 2terhadap garis bagi 2 : pencerminan 3terhadap garis bagi 3 juga disebut grup simetris segitiga samaOleh karena alas an ini, sisi dengan lambing D3 yang berarti grup dihedral ketiga. Grup dihedral ke-n dengan notasi D3 adalah grup simetris segi n yang beraturan.Definisi 5.7:n Bila a1 adalah unsur-unsur yang berbeda dari {1, 2, 3, ,, n}, permutasi yang didefinisikan oleh:(ar) = a1(ar-1) = ar, (a2) = a3, , (a1) = a2, {a1, a2, , ar} disebut siklus dari r unsur atau siklus-r.(x) = x bila x dan Dari definisi tersebut, bila diperhatikan nilai dari n tak muncul dalam notasi siklus, misalnya :adalah siklus-4dandanContoh 5.10: = (1Tulislah 3 4 = (12) dan = (13) serta 2)o(3 . o o 4 . Hitunglah 4) sebagai permutasi dalam Penyelesaian: = (1 3 4 2) = = (1 3) = = (1 2) o (3 4) = o =sehingga o o = o o== (2 4 3)Suatu permutasi yang tidak siklus dapat dipisahkan menjadi dua atau {1, 2, 3, .., n},n dan a adalah suatu permutasi lebih siklus. Bila terdiri dari unsur yangmaka orbit atau putaran dari a didalam 3(a),2(a), berbeda a, Permutasi dapat dipisahkan menjadi beberapa orbit yang berbeda, dan tiap-tiap orbit diberikan sebagai suatu siklus.Misalnya =(5) =4(1) = (2) = 5, dan 3(1) = 2(1) = (0) = 3, Dalam permutasi a, 1. jadi orbit dari 1 adalah {1, 3, 2, 5} dan juga merupakan orbit dari 2, 3, dan 5. orbit tersebut diberikan oleh siklus-4 yaitu (1 3 2 5). tetap pada mereka.Orbit dari 4 dan 7 adalah mereka sendiri, karena Orbit 6 dan 8 adalah {6, 8}, yang diberikan oleh siklus-2 yaitu (6 8). dapat digambarkan oleh gambar berikut:Orbit-orbit dari = (1Dapat kita periksa bahwa hasil dari 3 2 5)o(4)o(6 8)o(7). Dikarenakan tidak ada suatu bilangan yang termasuk ke dalam dua siklus yang berbeda, maka siklus-siklus tersebutdisebut siklus yang saling lepas(disjount).c. HomomorfismaSering kita jumpai adanya dua grup yang memiliki struktur yang sama, seperti pada grup multikatif (perkalian) dari himpunan bilangan kompleks {1, -1, i, -i} dan grup dari matriks-matriks terhadap perkalian matriks, yang memiliki daftar cayley yang sama atau identik.Jika himpunan bilangan kompleks kita misalkan sebagai himpunan {e, a, b, c} dan grup dari matriks-matriks kita misalkan sebagai himpunan {E, A, B, C}, maka daftar cayley dapat kita buat seperti pada tabel 5.2 dan 5.3.Tabel 5.2.Daftar cayley {e, a, b, c}. E a b ce e a b ca a e c bb B c a ec C b e aTabel 5.3.Daftar cayley {E, A, B, C}. E A B CE E A B CA A E C BB B C A EC C B E ADari tabel 5.2. dan 5.3. dapat kita lihat adanya perpadanan satu-satu (1 1) antata unsur-unsur dari grup empat bilangan kompleks {1, -1, i, -i} dan grup matriks sedemikian hingga jika x perpadanan dengan x dan y perpadanan dengan y maka xy berpadanan dengan xy, dikatakan perpadanan tersebut sebagai mengawetkan hasilkali.Dapat disimpulkan dari daftar cayley bahwa kedua grup tersebut struktur-strukturnya memiliki sifat yang sama atau identik, yang dinamakan isomorfik.Definisi 5.8: T disebtu homomorfisma grup, bila : : S Bila (S, .) dan (T, .) adalah merupakan dua grup, maka fungsi S a, b (b), (a) . (a.b) = bila grupgrup-grup tersebut memiliki operasi berbeda, misalnya (S,*) dan (T,o), maka fungsi : (S,*) (T,o) disebtu homomorfisma grup, bila : S a, b (b), (a) o (a * b) = Ada beberapa definisi khusus mengenai homorfisma adalah sebagai berikut :Definisi 5.9:a. Monomorfisma adalah suatu homomorfisma grup yang injektifb. Epimorfisma adalah suatu homomorfisma grup yang surjektifc. Isomorfisma adalah suatu homomorfisma grup yang bijektifDefinisi 5.10:Suatu homomorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu endomorfisma dan suat endomorfisma yang bijektif dinamakan automorfisma.Contoh 5.11:Tunjukkan bahwa grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan homomorfisma.Penyelesaian:Tabel 5.4.Daftar cayley grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)+ 0 1 . -1 10 0 1 1 -11 1 0 -1 1Dari tabel 5.4. menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsure di (Z2,+) berkorespondensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian (H, .), sehingga terdapat korespondensi 1 1 dari kedua tabel tersebut. Hal ini menunjkkan bahwa kedua grup memiliki struktur yantg sama. Jadi kedua grup tersebut dikatakan isomorfik. : (Z2,+)Sekarang akan ditunjukkan bahwa pemetaan Z2. Dari(H , .) untuk setiap a, b (1) = -1, sehingga :(0) = 1 dan table diketahui pemetaan (a + b) (b)(a) . = (0 + 1) (1)(0) . = (1) = 1 . -1-1 = -1 : (Z2, +)Jadi terbukti bahwa (H, .) suatu homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma.Contoh 5.12:Misalkan (Z, +) adalah grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. (x) = : Z Z adalah Tunjukkan bahwa (Z, +) yang didefinisikan pemetaan 2x, x Z, adalah suatu Homomorfisma.Penyelesaian :Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma:Misalkan x,y Z, maka :(x + y) = 2 (x + y)= 2x + 2y(x + y) ( y)(x) + = adalah suatu Homomorfisma.Sehingga merupakan suatu Endomorfisma karena daerahDalam hal ini Homomorfisma kawan (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari suatu Grup ke dalam dirinya sendiri.5.4 Rangkuman1. Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G = {an n Z}. Grup (G, +) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G={na n Z}. Elemen a disebut generator dari Grup Siklik tersebut.2. Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a G, maka generator a yang membangun suatu subgroup [a] dimana [a] = G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.3. Misalkan A adalah suatu himpunan berhingga dan S(A) adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan adalah merupakan Grup Permutasi.4. Bila a1,a2,ar adalah unsure-unsur yang berbeda dari {1,2,3,,n}, permutasi n yang didefinisikan oleh : (a2) (a1) = a2, (ar)(ar-1) = ar, = a3,, = a1(x) = x bila xDan { a1,a2,ar} disebut suatu siklus dari r unsure atau siklus-r5. : S T dari Grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila :Suatu pemetaan (a . b) (b), (a) . = a, b S : (S,*) (T,o) dari grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila :Suatu pemetaan (a * b) (b), (a) o = a, b S6. Suatu Homomorfisma Grup yang injektif disebut Monomorfisma, suatu Homomorfisma Grup yang surjektif disebut Epimorfisma, dan suatu Homomorfisma Grup yang bijektif disebut Isomorfisma.7. Suatu Homomorfisma dari suatu Grup ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu Endomorfisma yang bijektif dinamakan Automorfisma.5.5 Soal-soal Latihan1. Diketahui matruks M = adalah suatu Grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (M, .) merupakan suatu Grup Siklik.2. Diketahui matriks N= adalah suatu Grup terhadap perkalian. Tunjukkan apakah (N, .) merupakan suatu Grup Siklik.3. Buktikan dengan contoh bahwa Subgrup dari Grup Siklik merupakan juga Grup Siklik.4. Diketahui : = dan = . Tentukan apakah:a. = b. ) ) = ((5. Selidiki apakah himpunan permutasi-permutasi berikut:a. S=b. T =Terhadap operasi perkalian merupakan suatu Grup.6. Carilah hasil kali dari permutasi-permutasi berikut:a. (1 4 6 7) o (2 5 3)b. (1 2 4 5) o (2 3 4)c. (3 7 2) o (1 5) o (4 2)7. Carilah orde Grup dari dan tentukan Grup Dihedral D4, dengan gambar dan buatlah table komposisinya.8. Dari fungsi f : R R berikut, manakah yang merupakan suatu Isomorfisma dari (R,+) ke (R,+).a. f(x) =b. f(x) = 3x 3c. f(x) = x39. Buktikan bahwa jika (x) = In x, x > 0, x R, maka adalah suatu Isomorfisma dari (R+, +) ke (R,+)10. Carilah semua Homomorfisma Grup dari :a. Z ke Z4b. Z ke D3BAB 6GRUP FAKTORKompetensi Umum :Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari grup faktor.Kompetensi Khusus :Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa secara rinci diharapkan dapat :a. Menentukan relasi ekuivalen dari Grupb. Menentukan Koset Kiri dan Koset Kanan dari Grupc. Menerapkan Teorema Lagrange dalam Grupd. Memahami dengan baik defenisi dari Subgrup Normale. Memahami dengan baik pengertian Grup FaktorDeskripsi Singkat :Pada bab 4 telah diperkenalkan konsep tentang subgrup, yaitu suatu himpunan bagian dari suatu Grup yang merupakan Grup terhadap operasi yang sama, yaitu operasi yang ada dalam Grup tersebut. Dalam bab ini akan diperkenalkan dengan Subgrup Normal yaitu suatu Subgrup yang mempunyai sifat tambahan. Gabungan dari koset-koset dari suatu Subgrup Normal dapat membentuk suatu Grup yang dinamakan Grup Faktor.6.1 Relasi EkuivalenPada bab 1, telah dijelaskan secara singkat mengenai relasi. Suatu relasi T dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan bagian dari A X B. bila pasangan (a,b) merupakan anggota dari T, maka a berelasi dengan b, dan ditulis sebagai aTb. Bila (a,b) bukan merupakan anggota T, maka a tidak berelasi dengan b dan ditulis a=b.Relasi-relasi dalam kehidupan sehari-hari misalnya orang tua dari, lebih pintar dari, berasal dari daerah yang sama dengan. Sedangkan relasi-relasi dalam matematika misalnya sama dengan, adalah anggota dari, dan sebangun. Suatu relasi T dari A ke B mempunyai sifat bahwa untuk suatu unsur a A dan b B, maka aTb atau a=b.Suatu fungsi f : A B menunjukkan suatu relasi T dari A ke B yang memberikan aTb yang artinya f (a) = b. himpunan bagian T dari A X B adalah grafik dari fungsi tersebut. Dengan demikian maka relasi-relasi adalah keadaan yang umum daripada fungsi-fungsi. Satu unsur dapat berelasi dengan beberapa unsur atau tidak berelasi sama sekali.Suatu relasi dari himpunan A ke A sendiri disebut relasi pada A. suatu terurut parsial pada suatu himpunan, misalnya