statistika inferensial 1

Bahan ajar Statistika Inferensial

Jurusan Matematika FMIPA Unnes – Putriaji Hendikawati 2011

0

BAHAN AJAR

STATISTIKA INFERENSIAL

KODE MATA KULIAH MAT 201

ROMBEL 410140-03 410140-04 410140-05 410140-06 410140-07

Semester Gasal 2011/2012

Disusun Oleh Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc.

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Semarang 2011



1

DAFTAR ISI

BAB I PENAKSIRAN PARAMETER

1. Pengertian Penaksiran

2. Menaksir Rata-rata µ

3. Menaksir Proporsi π

4. Menaksir Simpangan Baku σ

5. Menaksir Selisih Rata-Rata

6. Menaksir Selisih Proporsi

BAB II PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Pendahuluan

2. Dua Macam Kekeliruan

3. Langkah Pengujian Hipotesis

4. Uji Hipotesis Rata-Rata

5. Uji Hipotesis Proporsi

6. Uji Hipotesis Varians

7. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata

8. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi

9. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians

10. Uji Homogenitas Varians Populasi

BAB III ANALISIS VARIANS

BAB IV ANALISIS REGRESI

BAB V ANALISIS KORELASI



2

BAB I

PENAKSIRAN PARAMETER

1. Pengertian Penaksiran

Statistika digunakan untuk menyimpulkan populasi.

Kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara

sampling maupun sensus. Namun, karena berbagai faktor untuk

menyimpulkan populasi diambil sebuah sampel yang representatif kemudian

berdasarkan hasil analisis terhadap data sampel, kesimpulan mengenai

populasi dibuat.

Kelakuan populasi yang akan diamati adalah mengenai parameter populasi

dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dianalisis, nilai-

nilai yang perlu yaitu statistik dihitung dan berdasarkan nilai-nilai statistik

dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku.

Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter sehubungan dengan cara-

cara menaksir harga parameter. Harga parameter yang sebenarnya tetapi tidak

diketahui nilainya tersebut akan ditaksir berdasarkan statistik sampel yang

diambil dari populasi yang bersangkutan.

Parameter populasi yang akan ditaksir pada bab ini adalah rata-rata,

simpangan baku dan proporsi.

Secara umum parameter populasi akan diberi simbol θ (baca: theta). Jadi θ

bisa merupakan rata-rata µ , simpangan baku σ , proporsi π dan sebagainya.

Jika θ tidak diketahui harganya, ditaksir oleh harga θ (baca: theta topi), maka

θ dinamakan penaksir.

Sangat diharapkan θθ =ˆ , yaitu penaksir dapat mengatakan harga parameter θ

yang sebenarnya. Namun, keinginan ini dapat dikatakan terlalu ideal.

Kenyataan yang sering terjadi adalah:

a. menaksir θ oleh θ terlalu tinggi, atau



3

b. menaksir θ oleh θ terlalu rendah.

Kriteria untuk memperoleh penaksir yang baik yaitu: takbias, memiliki varians

minimum dan konsisten.

a. penaksir θ dikatakan penaksir takbias jika rata-rata semua harga θ yang

mungkin akan sama dengan θ , ditulis ( ) θθ =ˆE . Penaksir yang tidak

takbias disebut penaksir bias.

b. penaksir bervarians minimum ialah penaksir dengan varians terkecil

diantara semua penaksir untuk parameter yang sama. Jika 1θ dan 2θ dua

penaksir untuk θ , jika varians 1θ < varians 2θ , maka 1θ merupakan

penaksir bervarians minimum.

c. Misalkan θ penaksir untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel

acak berukuran n. Jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran

populasi menyebabkan θ mendekati θ , maka θ disebut penaksir

konsisten.

d. Penaksir yang takbias dan bervariansi minimum dinamakan penaksir

terbaik.

Jika harga parameter θ ditaksir oleh θ tertentu, maka θ dinamakan penaksir

atau tepatnya titik taksiran (estimasi titik).

Misalkan akan ditaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika Unnes.

Maka diambil sebuah sampel acak, kemudian data sampel dikumpulkan lalu

dihitung rata-ratanya. Misalkan diperoleh x = 160 cm. Jika 160 cm ini

digunakan untuk menaksir rata-rata tinggi mahasiswa jurusan matematika

Unnes, maka 160 adalah titik taksiran untuk rata-rata tinggi mahasiswa

matematika Unnes.

Secara umum x adalah penaksir atau titik taksiran untuk µ .



4

Titik taksiran untuk suatu parameter µ , harganya akan berlainan tergantung

pada harga x yang diperoleh dari sampel yang diambil, sehingga hasilnya

kurang meyakinkan atau kurang dapat dipercaya. Untuk itu digunakan interval

taksiran atau selang taksiran, yaitu menaksir harga parameter di antara batas

dua harga.

Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang sempit dengan derajat

kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan menaksir, disebut

koefisien kepercayaan, merupakan pernyataan dalam bentuk peluang.

Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan γ (baca: gamma), maka

10 << γ . Harga γ yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi

dan seberapa besar peneliti ingin yakin dalam membuat kesimpulan. Yang

biasa digunakan adalah 95,0=γ atau 99,0=γ .

Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien

kepercayaan γ , diambil sebuah sampel acak lalu hitung nilai statistik yang

diperlukan.

Perumusan dalam bentuk peluang untuk parameter θ antara A dan B adalah:

(I.1) ( ) γθ =<< BAP

Dengan A dan B fungsi daripada statistik, merupakan variabel acak, tetapi

tidak tergantung pada θ .

Bentuk (I.1) dapat diartikan: peluangnya sama dengan γ bahwa θ terletak

antara A dan B. Jika A dan B dihitung harganya berdasarkan data sampel,

maka A dan B akan merupakan bilangan tetap, sehingga pernyataan di atas

menjadi: kita merasa 100 γ % percaya bahwa parameter θ akan ada di dalam

interval (A, B).



5

2. Menaksir Rata-rata µ

Misalkan dipunyai populasi berukuran N dengan rata-rata µ dan simpangan

baku σ . Dari populasi ini akan ditaksir parameter rata-rata µ . Untuk itu

ambil sebuah sampel acak berukuran n, hitung satatistik yang diperlukan yaitu

x dan s . Titik taksiran untuk rata-rata µ adalah x . Dengan kata lain,

nilai µ ditaksir oleh harga x yang diperoleh dari sampel.

Untuk memperoleh taksiran yang tinggi derajat kepercayaannya, digunakan

interval taksiran atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang

dikehendaki.

a. Simpangan baku σ diketahui dan populasi berdistribusi normal

Rumus (I.1) menjadi:

(I.2) γσµσγγ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+<<−

nzx

nzxP ..

21

21

Dengan γ = koefisien kepercayaan dan γ2

1z = bilangan z dari tabel normal

baku untuk peluang γ21 .

Untuk memperoleh 100 γ % interval kepercayaan parameter µ dapat

digunakan rumus:

(I.3) n

zxn

zx σµσγγ

..2

12

1 +<<−

b. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal

Kenyataannya parameter σ jarang sekali diketahui. Maka rumus (I.2) diganti

(I.4) γµ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+<<−

nstx

nstxP pp ..

Dengan γ = koefisien kepercayaan dan pt = nilai t dari daftar distribusi

Student dengan ( )γ+= 121p dan dk = (n-1).



6

Untuk interval kepercayaannya:

(I.5) nstx

nstx pp .. +<<− µ

Bilangan nstx p .− dan

nstx p .+ masing-masing merupakan batas bawah

dan batas atas kepercayaan.

Jika ukuran sampel n relatif besar dibandingkan dengan ukuran populasi N

yakni %5>Nn , maka rumus (I..3) dan rumus (I.5) menjadi:

(I.6) 1

.1

.2

12

1 −−

+<<−−

−N

nNn

zxN

nNn

zx σµσγγ

(I.7) 1

.1

.−−

+<<−−

−N

nNnstx

NnN

nstx pp µ

c. Simpangan baku σ tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi

normal

Jika ukuran sampel n tidak terlalu kecil, maka dapat digunakan dalil limit

pusat. Selanjutnya aturan-aturan yang diuraikan dalam bagian (b) di atas dapat

digunakan dengan kekeliruan yang sangat kecil.

Jika distribusi populasi sangat menyimpang dari normal dan ukuran sampel

kecil sekali, maka teorinya harus dipecahkan menggunakan bentuk distribusi

asli dari populasi yang bersangkutan.

Hal ini tidak dibicarakan di sini.

Contoh

Sebuah populasi berdistribusi normal berukuran 1000 dengan simpangan baku

5,75. dari populasi diambil sampel acak dan diperoleh rata-rata 68,6. Taksirlah:

a. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 30

b. rata-rata populasi bila ukuran sampelnya 80

dengan menggunakan kepercayaan 95% .



7

Penyelesaian

Diketahui x = 68,6

σ = 5,75

γ = 95% = 0,95

γ21 475,0= 475,0z = 1,96

a. Sampel n = 30 %51000

30≤=

Nn

n

zxn

zx σµσγγ

..2

12

1 +<<−

( ) ( )3075,5.96,16,68

3075,5.96,16,68 +<<− µ

66,7054,66 << µ

Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah

66,7054,66 << µ .

Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi

tersebut akan ada dalam interval dengan batas 66,54 dan 70,66.

b. Sampel n = 80 %51000

80≥=

Nn

1

.1

.2

12

1 −−

+<<−−

−N

nNn

zxN

nNn

zx σµσγγ

( ) ( )11000

801000.3075,5.96,16,68

11000801000

3075,5.96,16,68

−−

+<<−−

− µ

aa +<<− 6,686,68 µ

Jadi, 95% interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ialah

aa +<<− 6,686,68 µ .

Dengan kata lain, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa rata-rata populasi

tersebut akan ada dalam interval dengan batas a−6,68 dan a+6,68 .



8

3. Menaksir Proporsi

Misalkan sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi binomial

berukuran N dimana terdapat proporsi π untuk peristiwa A yang ada dalam

populasi tersebut. Jika terdapat x peristiwa A, sehingga proporsi sampel untuk

peristiwa A = nx . Jadi titik taksiran untuk π adalah n

x .

Digunakan pendekatan oleh distribusi normal kepada binomial untuk ukuran

sampel n cukup besar.

Rumus 100 γ % keyakinan untuk interval kepercayaan π adalah

(I.8) npqzp

npqzp ..

21

21 γγ

π +<<−

dengan nxp= dan pq −=1 sedangkan

γ21z adalah bilangan z yang

diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ21 .

Contoh

Diadakan survei terhadap sebuah populasi masyarakat di kota Semarang dengan

mengambil sampel 100 orang dan diperoleh yang suka berolahraga sejumlah 60

orang. Dengan koefisien kepercayaan 95%, taksirlah interval kesukaan

berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut.

Penyelesaian

Diketahui γ = 95% = 0,95

γ21 475,0= 475,0z = 1,96

6,010060

==p q = 0,4

Interval kepercayaan π adalah

npqzp

npqzp ..

21

21 γγ

π +<<−



9

( ) ( )( ) ( ) ( )( )100

4,06,0.96,16,0100

4,06,0.96,16,0 +<<− π

696,0504,0 << π

%6,69%4,50 <<π

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa persentase kesukaan

berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut akan ada dalam interval

dengan batas 50,4 % dan 69,6 %.

4. Menaksir Simpangan Baku σ

Untuk menaksir varians 2σ dari sebuah populasi, maka perlu dihitung sampel

varians 2s berdasarkan sampel acak berukuran n.

(I.9) ( )

1

22

−

−= ∑

nxx

s i

Varians 2s adalah penaksir takbias untuk varians 2σ , tetapi simpangan baku

s bukan penaksir takbias untuk simpangan baku σ . Jadi titik taksiran s

untuk σ adalah bias.

Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians 2σ , maka 100 γ %

interval kepercayaan untuk 2σ ditentukan dengan menggunakan distribusi

chi-kuadrat.

(I.10) ( )( )

( )( )

212

1

22

212

1

2 11

γγχ

σχ

−+

−<<

− snsn

dengan n ukuran sampel sedangkan ( )2

121 γ

χ+

dan ( )2

121 γ

χ−

diperoleh dari daftar

chi-kuadrat berturut-turut untuk ( )γ+= 121p dan ( )γ−= 12

1p dengan

( )1−= ndk .

Interval taksiran simpangan baku σ diperoleh dengan melakukan penarikan

akar ketidaksamaan dalam rumus (I.10).



10

Contoh

Dari sebuah populasi yang berdistribusi normal, diambil sampel yang representatif

dan diperoleh simpangan baku sebesar 6 dengan ukuran sampel 31. Dengan

koefisien kepercayaan 99%, taksirlah interval dari simpangan baku populasi.

Penyelesaian

Diketahui n = 31

s = 6

γ = 99 % = 0,99

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7,53230,995,0

2131,99,012

12

,121 ===

−++χχχ

γ dk

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8,13230,005,0

2131,99,012

12

,121 ===

−−−χχχ

γ dk

Interval kepercayaan simpangan baku populasi adalah

( )( )

( )( )

212

1

22

212

1

2 11

γγχ

σχ

−+

−<<

− snsn

( )( ) ( )( )8,13

61317,53

6131 22

2 −<<

− σ

( )( ) ( )( )8,13

61317,53

6131 22 −<<

− σ

8465,84846,4 << σ

Jadi, kita merasa 99% yakin (percaya) bahwa simpangan baku populasi tersebut

akan ada dalam interval dengan batas 4,4846 dan 8,8465.

5. Menaksir Selisih Rata-Rata

Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan

rata-rata dan simpangan baku masing-masing 1µ dan 1σ untuk populasi

pertama, 2µ dan 2σ untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah

sampel acak dengan ukuran 1n dan 2n dari masing-masing populasi. Rata-rata

dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut 1x , 1s dan 2x , 2s .



11

Akan ditaksir selisih rata-rata )( 21 µµ − .

Titik taksiran untuk adalah )( 21 µµ − adalah )( 21 xx − .

Untuk menaksir selisih rata-rata dibedakan hal-hal berikut:

a. Dalam hal 21 σσ =

Jika kedua populasi normal dan memiliki σσσ == 21 yang besarnya

diketahui, maka 100 γ % interval kepercayaan untuk )( 21 µµ − adalah

(I.11) 212

12121212

12111)(11)(nn

zxxnn

zxx ++−<−<+−− σµµσγγ

dengan γ2

1z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ21 .

Jika kedua populasi normal dan memiliki σσσ == 21 tetapi besarnya tidak

diketahui, maka perlu tentukan varians gabungan dari sampel yang dinyatakan

dengan 2s .

(I.12) ( ) ( )2

11

21

222

2112

−+−+−

=nn

snsns

Interval kepercayaannya ditentukan dengan menggunakan distribusi Student.

Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan )( 21 µµ − adalah

(I.13) 21

212121

2111.)(11.)(nn

stxxnn

stxx pp ++−<−<+−− µµ

dengan s diperoleh dari rumus (I.12) dan pt diperoleh dari daftar distribusi

Student dengan ( )γ+= 121p dan 221 −+= nndk .

b. Dalam hal 21 σσ ≠

Untuk populasi normal dengan 21 σσ ≠ teori di atas tidak berlaku dan teori

yang ada hanya bersifat pendekatan.



12

Dengan memisalkan 11 σ=s dan 22 σ=s untuk sampel-sampel acak

berukuran cukup besar, dapat dilakukan pendekatan kepada distribusi normal.

Rumus interval kepercayaan ditentukan oleh:

(I.14) 2

22

1

21

212121

2

22

1

21

2121 )()(

ns

nszxx

ns

nszxx ++−<−<+−−

γγµµ

dengan γ2

1z diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang γ21 .

c. Observasi berpasangan

Misalkan populasi pertama memiliki variabel acak X dan populasi kedua

dengan variabel acak Y. Rata-ratanya masing-masing xµ dan yµ . Diambil

sampel acak dari tiap populasi yang berukuran sama, nnn == 21 .

Diperoleh data sampel ( )nxxx ,,, 21 K dan ( )nyyy ,,, 21 K , dan bila data

observasi ini berpasangan maka

1x berpasangan dengan 1y

2x berpasangan dengan 2y

M

nx berpasangan dengan ny

Dalam hal berpasangan, maka untuk menaksir selisih atau beda rata-rata

yxB µµµ −= , dapat pula dibentuk selisih atau beda tiap pasangan data yaitu

111 yxB −= , 222 yxB −= ,…, nnn yxB −= .

Dari sampel berukuran n yang datanya terdiri dari 1B , 2B ,…, nB , dihitung

rata-rata B dan simpangan baku Bs dengan menggunakan

nB

B i∑= dan ( )

( )1

221

−

−= ∑ ∑

nnBBn

s iB

Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan Bµ adalah

(I.15) n

stBn

stB Bp

Bp .. B +<<− µ



13

dengan pt diperoleh dari daftar distribusi Student dengan ( )γ+= 121p dan

( )1−= ndk .

Contoh (Sudjana)

Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I

dilakukan 50 kali yang menghasilkan 1x = 60,2 dan 21s = 24,7. Cara II dilakukan

60 kali dengan 2x = 70,4 dan 22s = 37,2. Tentukan interval kepercayaan 95%

mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara tersebut.

Penyelesaian

Diketahui 1x = 60,2 ; 21s = 24,7

2x = 70,4 ; 22s = 37,2

Dimisalkan hasil kedua cara pengukuran berdistribusi normal.

( ) ( ) 975,095,012112

1 =+=+= γp ; 10826050 =−+=dk

Karena kedua populasi normal dan memiliki σσσ == 21 tetapi besarnya tidak

diketahui, maka varians gabungan dari sampel adalah

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 53,3126050

2,371607,241502

11

21

222

2112 =

−+−+−

=−+−+−

=nn

snsns

Maka interval kepercayaan

21

212121

2111.)(11.)(nn

stxxnn

stxx pp ++−<−<+−− µµ

6053,31

5053,31.)2,604,70(

6053,31

5053,31.)2,604,70( 108;975,021108;975,0 ++−<−<+−− tt µµ

( ) ( ) ( ) ( )08,1.984,1)2,604,70(08,1.984,1)2,604,70( 21 +−<−<−− µµ

34,1206,8 21 <−< µµ

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa selisih rata-rata pengukuran dari

kedua cara tersebut akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 8,06 dan 12,34.

6. Menaksir Selisih Proporsi

Misalkan dipunyai dua populasi binomial dengan parameter untuk peristiwa

yang sama masing-masing 1π dan 2π . secara independen dari tiap populasi



14

diambil sebuah sampel acak berukuran 1n dan 2n . Proporsi untuk peristiwa

yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah 1

11 n

xp = dan 2

22 n

xp = dengan

1x dan 2x menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan.

Akan ditentukan interval taksiran untuk ( )21 ππ − dengan menggunakan

pendekatan oleh distribusi normal asalkan 1n dan 2n cukup besar.

Rumus untuk 100 γ % interval kepercayaan selisih ( )21 ππ − adalah

(I.16)

( ) ( )2

22

1

11

212121

2

22

1

11

2121 n

qpnqp

zppn

qpnqp

zpp ++−<−<+−−γγ

ππ

dengan 11 1 pq −= dan 22 1 pq −= sedangkan γ2

1z diperoleh dari daftar

normal baku untuk peluang γ21 .

Contoh (Sudjana)

Diambil dua sampel acak yang masing-masing terdiri atas 500 pemudi dan 700

pemuda yang mengunjungi sebuah pameran. Ternyata diperoleh bahwa 325

pemudi dan 400 menyukai pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95%

mengenai perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran

dan menyukainya.

Penyelesaian

Diketahui

persentase pemudi yang menyukai pameran %65%100500325

1

11 =×==

nxp

persentase pemuda yang menyukai pameran %57%100700400

2

22 =×==

nxp

Jadi, %35%6511 11 =−=−= pq dan %43%5711 22 =−=−= pq

Maka interval kepercayaan



15

( ) ( )2

22

1

11

212121

2

22

1

11

2121 n

qpnqp

zppn

qpnqp

zpp ++−<−<+−−γγ

ππ

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )700

43,057,0500

35,065,057,065,0700

43,057,0500

35,065,057,065,095,0.2

12195,0.21 ++−<−<+−− zz ππ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0284,096,157,065,00284,096,157,065,0 21 +−<−<−− ππ

136,0024,0 21 <−< ππ

Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa perbedaan persentase pemuda dan

pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya akan ada dalam interval

yang dibatasi oleh 2,4% dan 13,6%.

LATIHAN

1. Diketahui populasi siswa dengan ukuran 100 Taksirlah rata-rata penguasaan

kemampuan bahasa dari populasi tersebut jika:

a. diambil sampel secara acak sebanyak 4 siswa dengan penguasaan

kemampuan bahasa berikut 60,2 ; 65,4 ; 70,1 dan 72,8 dengan koefisien

kepercayaan 95%.

b. diambil sampel secara acak sebanyak 10 siswa dengan penguasaan

kemampuan bahasa berikut 60,4 ; 55,7 ; 70,2 ; 70,3 ; 60,5 ; 66,6 ; 62,8 ;

63,9 ; 70,1 ; 64,8 dengan koefisien kepercayaan 99%.

2. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138,

175, 152, 149, 148, 200, 182, 164. Jika berat tomat berdistribusi normal,

tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata berat tomat.

3. Diketahui dua buah sampel yang diambil dari dua buah populasi.

Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45

Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63

Tentukan selisih rata-ratanya bila interval kepercayaan 95 %, jika:

a. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar yaitu 9,5.

b. simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar namun tidak

diketahui nilainya.



16

c. simpangan baku kedua populasi diasumsikan tidak sama.

4. Dari populasi tanaman padi jenis A dan jenis B, diambil sampel tinggi

tanaman padi sbb:

Sampel I dari padi jenis A : 39,3 ; 45,5 ; 41,2 ; 53 ; 44,2 ; 42,5 ; 63,9.

Sampel II dari padi jenis B : 37 ; 42,4 ; 40,1 ; 52,2 ; 41,5 ; 40,8 ; 60,2.

Dengan observasi berpasangan tersebut dan interval kepercayaan 95 %,,

taksirlah selisih rata-ratanya.

5. Sebuah sampel berukuran 200 lampu yang dihasilkan oleh sebuah mesin

produksi menunjukkan 15 buah lampu rusak. Sebuah sampel lain berukuran

100 buah lampu yang dihasilkan oleh mesin kedua mengandung 12 buah

lampu yang rusak. Tentukan interval kepercayaan 99% untuk selisih kedua

perbandingan.



17

BAB II

PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Pendahuluan

Sebelumnya telah dipelajari cara-cara menaksir parameter untuk mengambil

kesimpulan tentang berapa besar harga parameter. Cara pengambilan

kesimpulan yang kedua akan dipelajari adalah melalui pengujian hipotesis.

Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk

menjelaskan hal tersebut yang sering dituntut untuk melakukan

pengecekannya.

Jika asumsi atau dugaan tersebut dikhususkan mengenai populasi, umumnya

mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis disebut hipotesis

statistik.

Contoh hipotesis

a. peluang lahirnya bayi berjenis kelamin laki-laki = 0,5.

b. 25 % masyarakat termasuk golongan A.

c. Rata-rata pendapatan keluarga di suatu daerah Rp 300.000,00 tiap bulan.

Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar, maka perlu diadakan penelitian

sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk

menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian

hipotesis.

2. Dua Macam Kekeliruan

Meskipun dalam penelitian hipotesis telah diterima atau ditolak, tidak berarti

bahwa telah dibuktikan kebenaran hipotesis. Yang diperlihatkan adalah hanya

menerima atau menolak hipotesis saja.

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat

terjadi, yaitu:



18

a. Kekeliruan tipe I ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima,

b. Kekeliruan tipe II ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Tipe Kekeliruan Ketika Membuat Kesimpulan tentang Hipotesis

Keadaan Sebenarnya Kesimpulan Hipotesis Benar Hipotesis Salah Terima Hipotesis BENAR SALAH

(Kekeliruan tipe II) Tolak Hipotesis SALAH

(Kekeliruan tipe II) BENAR

Kedua tipe kekeliruan dinyatakan dalam bentuk peluang. Peluang membuat

kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan α (alpha) maka disebut pula

kekeliruan α dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan β

(beta) dikenal dengan kekeliruan β .

α disebut taraf signifikan (level of significan) atau taraf arti atau sering

disebut taraf nyata.

Jika α diperkecil, maka β menjadi besar dan demikian sebaliknya.

Harga α yang biasa digunakan adalah 01,0=α atau 05,0=α .

Misalnya, dengan 05,0=α atau sering disebut taraf nyata (taraf signifikansi)

5%, artinya kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa akan menolak

hipotesis yang harusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin

bahwa telah dibuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan

bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti mungkin salah

dengan peluang 0,05.

3. Langkah Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis akan membawa pada kesimpulan untuk menerima atau

menolak hipotesis. Sehingga terdapat dua pilihan, dimana digunakan

perumusan seperlunya agar lebih terperinci dan lebih mudah dalam penentuan

di antara dua pilihan tersebut.



19

Hipotesis yang biasa dinyatakan dengan H, perlu dirumuskan dengan singkat

dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Agar tampak adanya dua

pilihan, maka hipotesis H ini didampingi pernyataan lain yang isinya

berlawanan yang disebut dengan hipotesis tandingan (alternatif) yang

dinyatakan dengan A.

Pasangan hipotesis H dan A, tepatnya H melawan A, akan menentukan

kriteria pengujian yang terdiri dari daerah penerimaan dan daerah penolakan

hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering disebut dengan daerah kritis.

Bila menguji parameter θ (θ dapat berupa rata-rata µ , proporsi π ,

simpangan baku σ , dll), maka:

a. Hipotesis mengandung pengertian sama

Pengujian sederhana lawan sederhana

1) H : 0θθ =

A : 1θθ =

dengan 10 ,θθ dua nilai berbeda yang diketahui.

Pengujian sederhana lawan komposit

2) H : 0θθ =

A : 0θθ ≠

3) H : 0θθ =

A : 0θθ >

4) H : 0θθ =

A : 0θθ <

b. Hipotesis mengandung pengertian maksimum (pengujian komposit lawan

komposit)

H : 0θθ ≤

A : 0θθ >



20

c. Hipotesis mengandung pengertian minimum pengujian komposit lawan

komposit)

H : 0θθ ≥

A : 0θθ <

Berikut hanya akan dipelajari pengujian terhadap hipotesis yang

perumusannya mengandung pengertian sama atau tidak memiliki perbedaan,

disebut hipotesis nol 0H melawan hipotesis tandingannya 1H , yang

mengandung pengertian tidak sama, lebih besar atau lebih kecil. 1H harus

dipilih dan ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi.

Pasangan 0H dan 1H yang telah dirumuskan dituliskan dalam bentuk berikut.

⎩⎨⎧

≠=

01

00

: H : H

θθθθ

atau

⎩⎨⎧

>=

01

00

: H : H

θθθθ

atau

⎩⎨⎧

<=

01

00

: H : H

θθθθ

Selanjutnya, pilih bentuk statistik yang akan digunakan, apakah z, t, 2χ , F

atau lainnya. Harga statistik yang dipilih dihitung besarnya berdasarkan data

sampel yang dianalisis. kriteria pengujian ditentukan berdasarkan pilihan taraf

nyata α atau disebut ukuran daerah kritis.

Peran hipotesis tandingan 1H dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai

berikut:

1) Jika 1H mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi statistik

yang digunakan didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung

distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah



21

α21 . Karena adanya dua daerah penolakan maka pengujian hipotesis

dinamakan uji dua pihak.

Kedua daerah dibatasi oleh d1 dan d2 (pada contoh gambar d1 dinyatakan

dengan nilai z = -1,96 dan d2 dinyatakan dengan z = 1,96) yang harganya

diperoleh dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan

oleh α .

Kriteria yang digunakan: terima 0H jika harga statistik yang dihitung

berdasarkan data penelitian terletak diantara d1 dan d2, selain itu tolak 0H .

2) Jika 1H mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam distribusi statistik

yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah

kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .



22

Harga d (pada contoh gambar d dinyatakan dengan nilai z = 1,96) diperoleh

dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang ditentukan oleh α ,

menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan 0H .

Kriteria yang digunakan: tolak 0H jika statistik yang dihitung berdasarkan

sampel tidak kurang dari d, selain itu terima 0H .

Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.

3) Jika 1H mempunyai perumusan lebih kecil, maka dalam distribusi statistik

yang digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah

kiri. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α .

Gambar daerah penerimaan dan penolakan akan sama dengan pada option 2)

di atas, namun daerah penolakan terletak disebelah kiri.

Kriteria yang digunakan: terima 0H jika statistik yang dihitung berdasarkan

penelitian lebih besar dari d, selain itu tolak 0H .

Pengujian hipotesis ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kiri.

Secara ringkas langkah pengujian hipotesis adalah:

1. Rumuskan hipotesis pengujian yang akan digunakan.

2. Tentukan besarnya taraf nyata α .

3. Tentukan kriteria pengujian.

4. Tentukan nilai statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang

diambil.

5. Menarik kesimpulan menerima atau menolah 0H berdasarkan hasil 3 dan 4.

4. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Dua Pihak

Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ

dan simpangan baku σ . Untuk menguji parameter rata-rata µ , diambil

sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik x dan s .



23

a. Dalam hal σ diketahui

Langkah pengujian hipotesis:

1. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧

≠=

01

00

: H : H

µµµµ

dengan 0µ sebuah harga yang

diketahui.

2. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .

3. Kriteria pengujian.

Terima 0H jika ( ) ( )αα −−<<−

12112

1 zzz , selainnya tolak 0H .

Dengan ( )α−121z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang ( )α−121 .

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

(II.1)

n

xz σµ0−

=

dengan x adalah rata-rata sampel, 0µ nilai yang diketahui, σ adalah

simpangan baku populasi.

5. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

Contoh

Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar

800 jam. Namun timbul dugaan bahwa masa pakai lampu tersebut telah berubah.

Maka dilakukan pengujian terhadap 50 lampu untuk menentukan hal ini. Ternyata

diperoleh rata-ratanya 792 jam. Berdasarkan pengalaman diketahui simpangan

baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan menggunakan kepercayaan

95% apakah kualitas lampu telah berubah atau belum.

Penyelesaian

Diketahui x = 792 ; n = 50 ; σ = 60



24



≠=

01

00

: H : H

µµµµ

yaitu ⎩⎨⎧

≠=

800 : H 800 : H

1

0

µµ

2. Taraf signifikansi α = 5%.



12112

1 zzz

( ) ( )05,012105,012

1 −−<<− zzz 96,196,1 <<− z

Dengan ( )α−121z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

( )α−121 .

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil

94,0

5060

8007920 −=−

=−

=

n

xzσµ

5. Kesimpulan : karena 94,0−=hitungz terletak dalam daerah penerimaan

0H maka 0H diterima. Jadi, 800=µ . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%

hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu

masih 800 jam.

b. Dalam hal σ tidak diketahui

Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka

digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s .



≠=

01

00

: H : H

µµµµ



Terima 0H jika αα 2112

11 −−<<− ttt

, selainnya tolak 0H .



25

Dengan α2

11−t diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)

dengan peluang α211− dan 1−= ndk .


(II.2)

ns

xt 0µ−=

(II.3) ( )

12

−

−= ∑

nxx

s i

dengan x adalah rata-rata sampel, 0µ nilai yang diketahui, s adalah

simpangan baku sampel.


Contoh

Untuk contoh sebelumnya (kasus masa hidup lampu pijar), dimisalkan simpangan

baku populasi tidak diketahui, dan dari sampel diperoleh s = 55 jam. Selidikilah

dengan menggunakan kepercayaan 95% apakah kualitas lampu telah berubah

atau belum.

Penyelesaian

Diketahui x = 792 ; n = 50 ; s = 55



≠=

01

00

: H : H

µµµµ

yaitu ⎩⎨⎧

≠=

800 : H 800 : H

1

0

µµ




11 −−<<− ttt

dengan dk = 50 - 1 = 49

( ) ( )05,012105,012

1 −−<<− ttt 01,201,2 <<− t




26

029,1

5055

8007920 −=−

=−

=

ns

xt µ

5. Kesimpulan : karena 029,1−=hitungt terletak dalam daerah penerimaan

0H maka 0H diterima. Jadi, 800=µ . Artinya, dalam taraf signifikansi 5%

hasil penelitian menunjukkan bahwa masa pakai lampu belum berubah yaitu

masih 800 jam.

5. Uji Hipotesis Rata-Rata µ : Uji Satu Pihak

Misalkan dipunyai sebuah populasi berdistribusi normal dan diambil sebuah

sampel acak berukuran n, lalu dihitung statistik x dan s .

Uji Pihak Kanan




>=

01

00

: H : H

µµµµ



Tolak 0H jika α−≥ 5,0zz , selainnya 0H diterima.

Dengan α−5,0z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang ( )α−5,0 .


menggunakan statistik z yang sama dengan rumus (II.1).



Pada kenyataannya simpangan baku σ sering tidak diketahui, maka

digunakan taksirannya yaitu simpangan baku s .



27



>=

01

00

: H : H

µµµµ



Tolak 0H jika α−≥ 1tt , selainnya 0H diterima.

Dengan α−1t diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)

dengan peluang α−1 dan 1−= ndk .


menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.2).


Contoh

Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi

memiliki varians 2,3. metode baru diusulkan untuk mengganti metode lama jika

rata-ratanya per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan

apakah metode akan diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata

rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil risiko

5% untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan

labih dari 16 buah. Apakah keputusan yang akan diambil pengusaha?

Penyelesaian

Diketahui x = 16,9 ; n = 20 ; σ = 3,2 , 0µ =16



≠=

01

00

: H : H

µµµµ

yaitu ⎩⎨⎧

>=

16 : H 16 : H

1

0

µµ



Tolak 0H jika α−≥ 5,0zz 64,105,05,05,0 == −− zz α



28


65,2

203,2169,160 =

−=

−=

n

xzσµ

5. Kesimpulan : karena 64,165,2 5,0 =>= −αzzhitung terletak pada daerah kritis

maka 0H ditolak. Jadi, 16>µ . Sehingga dapat disimpulkan bahwa dengan

risiko 5% metode baru dapat menggantikan metode lama.

Uji Pihak Kiri




<=

01

00

: H : H

µµµµ



Tolak 0H jika α−−≤ 5,0zz , selainnya 0H diterima.

Dengan α−5,0z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang ( )α−5,0 .







<=

01

00

: H : H

µµµµ



Tolak 0H jika α−−≤ 1tt .

Terima 0H jika α−−> 1tt .



29

Dengan α−1t diperoleh dari daftar distribusi Student t dengan peluang

α−1 dan 1−= ndk .




Contoh

Masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan kaleng tidak

sesuai dengan yang tertera pada kemasannya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini,

23 kaleng makanan diteliti secara acak. Dari sampel tersebut diperoleh berat rata-

rata 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 5%, bagaimanakah

pendapat anda mengenai keluhan masyarakat tersebut.

Penyelesaian

Diketahui x = 4,9 ; n = 23 ; s = 0,2 ; 0µ = 5

Langkah pengujian hipotesis dengan varians populasi tidak diketahui:


≠=

01

00

: H : H

µµµµ

yaitu ⎩⎨⎧

<=

5 : H 5 : H

1

0

µµ

Jika rata-rata berat makanan kaleng tidak kurang dari 5 ons tentu masyarakat

tidak akan mengeluh.



Tolak 0H jika α−−≤ 1tt 72,105,011 −=−=− −− tt α dengan dk = 23 - 1 = 22


398,,2

232,0

59,40 −=−

=−

=

ns

xt µ

5. Kesimpulan : karena 72,1398,2 1 −=−<−= −αtthitung terletak pada daerah kritis

maka 0H ditolak. Jadi, 5<µ . Sehingga dapat disimpulkan penelitian tersebut

menguatkan keluhan masyarakat mengenai berat makanan kaleng yang kurang

dari berat yang tertera pada kemasan yaitu 5 ons.



30

6. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Dua Pihak

Misalkan dipunyai populasi binomial dengan proporsi peristiwa A adalah π .

Untuk menguji parameter proporsi π , diambil sebuah sampel acak berukuran

n dari populasi dan menghitung proporsi sampel peristiwa A sebesar nx .



≠=

01

00

: H : H

ππππ

dengan 0π sebuah harga yang diketahui.




12112





(II.4) ( )

n

nx

z00

0

1 ππ

π

−

−=

dengan nx adalah proporsi peristiwa A dari sampel dan 0π adalah

proporsi yang diuji.


Contoh

Akan diuji distribusi jenis kelamin laki-laki dan jenis kelamin perempuan adalah

sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang terdiri atas 2.458 laki-laki.

Dalam taraf nyata 5%, apakah benar distribusi kedua jenis kelamin tersebut adalah

sama.

Penyelesaian

Diketahui x = 2.458; n = 4800 ; 0µ = 0,5



31



≠=

01

00

: H : H

ππππ

yaitu ⎩⎨⎧

≠=

5,0 : H 5,0 : H

1

0

ππ




12112

1 zzz

( ) ( )05,012105,012

1 −−<<− zzz 96,196,1 <<− z


( ) ( )68,1

48005,015,0

5,048002458

1 00

0=

−

−=

−

−=

n

nx

zππ

π

5. Kesimpulan : karena 68,1=hitungz terletak dalam daerah penerimaan 0H maka

0H diterima. Jadi, 5,0=µ . Artinya, benar distribusi kedua jenis kelamin

tersebut adalah sama.

7. Uji Hipotesis Proporsi π : Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan



>=

01

00

: H : H

ππππ



Tolak 0H jika α−≥ 5,0zz .

Terima 0H jika α−< 5,0zz .

Dengan α−5,0z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

( )α−5,0 .





32


Uji Pihak Kiri



<=

01

00

: H : H

ππππ



Tolak 0H jika α−−≤ 5,0zz , selainnya terima 0H .


( )α−5,0 .




Contoh

Berbagai media memberitakan bahwa dari seluruh wanita 60% nya suka

menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya. Untuk menyelidiki kebenaran

berita tersebut, maka diambil sampel acak 100 orang wanita dan setelah

diwawancarai ternyata yang suka menonton sinetron hanya 40 orang. Dengan α =

5%, ujilah kebenaran pernyataan berita tersebut dengan alternatif bahwa wanita

suka menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya kurang dari 60%.

Penyelesaian

Diketahui x = 40 n = 100

6,0%600 ==π

Langkah pengujian hipotesis uji pihak kiri:


<=

01

00

: H : H

ππππ

yaitu ⎩⎨⎧

<=

6,0 : H 6,0 : H

1

0

ππ





33

Tolak 0H jika α−−≤ 5,0zz 005,05,0 −−≤ zz 45,0zz −≤ 64,1−≤z

Terima 0H jika α−−> 5,0zz 64,1−>z

α−5,0z diperoleh dari daftar distribusi normal baku dengan peluang ( )α−5,0 .

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel)

( ) ( )08,4

1006,016,0

6,010040

1 00

0−=

−

−=

−

−=

n

nx

zππ

π

5. Kesimpulan: karena α−−=−<−= 5,064,108,4 zzhitung maka 0H ditolak.

Jadi, 0ππ < . Artinya, pemberitaan di media mengenai kesukaan wanita

menonton sinetron untuk mengisi waktu luangnya tidak benar.

8. Uji Hipotesis Varians 2σ : Uji Dua Pihak

Pada pengujian rata-rata µ untuk populasi normal diperoleh hal dimana

simpangan baku σ diketahui yang umumnya diperoleh dari pengalaman dan

untuk menentukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk itu dimisalkan

populasi berdistribusi normal dengan varians 2σ dan daripadanya diambil

sebuah sampel acak berukuran n. Varians sampel yang besarnya 2s dihitung

dengan rumus:

( )1

22

−−

= ∑n

xxs i atau

( )( )1

222

−

−= ∑ ∑

nnxxn

s ii


1. Hipotesis pengujian ⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=2

02

1

20

20

: H

: H

σσ

σσ



Terima 0H jika 2

211

22

21 αα

χχχ−

<< , selainnya tolak 0H .



34

Dengan 2

21 α

χ dan 2

211 α

χ−

diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat

dengan 1−= ndk dan masing-masing peluang α21 dan ( )α2

11− .


(II.5) ( )20

22 1

σχ sn −

=

(II.6) ( )

1

22

−

−= ∑

nxx

s i atau

(II.7) ( )

)1(

222

−

−= ∑ ∑

nnxxn

s ii


Contoh

Pada kasus sebelumnya tentang masa hidup lampu, diambil σ = 60 jam dengan

ukuran sampel n = 50 diperoleh s = 55 jam. Jika masa hidup lampu berdistribusi

normal, benarkah σ = 60 jam dalam taraf nyata 5%.

Penyelesaian

Diketahui σ = 60 jam ; n = 50 ; s = 55 jam



⎪⎨⎧

≠

=2

02

1

20

20

: H

: H

σσ

σσyaitu

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=

3600 : H

3600 : H2

1

20

σ

σ



Terima 0H jika 2

211

22

21 αα

χχχ−

<< dengan 491501 =−=−= ndk

205,0.2

1122

05,0.21 −

<< χχχ 2975,0

22025,0 χχχ <<

4,714,32 2 << χ


( ) ( )( ) 174,413600

025,3150120

22 =

−=

−=

σχ sn



35

5. Kesimpulan : karena 174,412 =χ terletak dalam daerah penerimaan 0H maka

0H diterima. Jadi, 36002 =σ . Artinya, benar σ = 60 jam dalam taraf nyata

5%.

9. Uji Hipotesis Varians 2σ : Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan



⎪⎨⎧

>

=2

02

1

20

20

: H

: H

σσ

σσ



Tolak 0H jika 21

2αχχ −≥ , selainnya terima 0H .

Dengan 21 αχ − diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan

1−= ndk dan peluang ( )α−1 .


menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).


Uji Pihak Kiri



⎪⎨⎧

<

=2

02

1

20

20

: H

: H

σσ

σσ



Tolak 0H jika 22αχχ ≤ , selainnya terima 0H .

Dengan 2αχ diperoleh dari daftar distribusi Chi Kuadrat dengan 1−= ndk

dan peluang α .



36


menggunakan statistik Chi Kuadrat yang sama dengan rumus (II.5).


Contoh (Walpole)

Seorang pengusaha pembuat baterai menyatakan umur baterainya berdistribusi

hampir normal dengan simpangan baku sama dengan 0,9 tahun. Diambil sampel

acak sebesar 10 baterai mempunyai simpangan baku 1,2 tahun. Gunakan taraf

nyata 5% untuk menguji apakah σ > 0,81 tahun!

Penyelesaian

Diketahui 0σ = 0,81 tahun ; n = 10 ; s = 1,2 tahun



⎪⎨⎧

>

=2

02

1

20

20

: H

: H

σσ

σσyaitu

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

=

81,0 : H

81,0 : H2

1

20

σ

σ



Tolak 0H jika 21

2αχχ −≥ , selainnya terima 0H .

919,16205,0.2

1 =χ dengan 91101 =−=−= ndk


( ) ( )( ) 0,1681,0

44,31110120

22 =

−=

−=

σχ sn

5. Kesimpulan : karena 919,1616 205,0.2

12 =<= χχ terletak dalam daerah

penerimaan 0H maka 0H diterima. Jadi, 81,02 =σ . Artinya, tidak ada alasan

meragukan bahwa simpangan baku umur baterai adalah 0,9 tahun.

10. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Dua Pihak

Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua populasi.

Misalnya membandingkan hasil belajar, daya kerja suatu obat, dsb. Maka



37

akan digunakan dasar distribusi sampling mengenai selisih statistik, misalnya

selisih rata-rata dan selisih proporsi.

Misalkan dipunyai dua buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan

rata-rata dan simpangan baku masing-masing 1µ dan 1σ untuk populasi

pertama, 2µ dan 2σ untuk populasi kedua. Secara independen diambil sebuah

sampel acak dengan ukuran 1n dan 2n dari masing-masing populasi. Rata-rata

dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut 1x , 1s dan 2x , 2s .

Akan diuji tentang rata-rata 1µ dan 2µ .

a. Dalam hal σσσ == 21 dan σ diketahui


a. Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧

≠=

211

210

: H : H

µµµµ

b. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .

c. Kriteria pengujian.


12112

1 zzz, selainnya tolak 0H .



d. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil.

(II.8)

21

21

11nn

xxz+

−=σ

e. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.

b. Dalam hal σσσ == 21 tetapi σ tidak diketahui



≠=

211

210

: H : H

µµµµ




38



11211 −−

<<− ttt , selainnya tolak 0H .

Dengan α2

11−t diperoleh dari daftar distribusi t (distribusi Student)

dengan peluang α211− dan 221 −+= nndk .


(II.9)

21

21

11nn

s

xxt+

−=

(II.10) ( ) ( )2

11

21

222

2112

−+−+−

=nn

snsns


Contoh (Sudjana)

Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk

jangka waktu tertentu. Ingin diketahui makanan mana yang lebih baik bagi ayam.

Sampel acak yang terdiri atas 11 ayam diberi makanan A dan 10 ayam diberi

makanan B. Hasil percobaan pertambahan berat badan ayam (ons) sebagai berikut

Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4

Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 2,6 3,7

Bila populasinya dianggap normal, ujilah pada taraf nyata 5%, apakah kedua

makanan tersebut sama baiknya atau tidak!

Penyelesaian

Diketahui dari data di atas Ax = 3,22 ; Bx = 3,07 ; 2As = 0,1996 ; 2

Bs = 0,1112.

Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun

sama besar.

Langkah pengujian hipotesis dalam hal σσσ == 21 tetapi σ tidak diketahui


≠=

211

210

: H : H

µµµµ




39



11211 −−

<<− ttt dengan 1921011221 =−+=−+= nndk

αα 2112

11 −−<<− ttt

05,0.21105,0.2

11 −−<<− ttt 09,209,2 <<− t


Simpangan baku gabungan ( ) ( )2

11

21

222

2112

−+−+−

=nn

snsns diperoleh s = 0,397.

( )862,0

101

111397,0

07,322,311

21

21 =+

−=

+

−=

nns

xxt

5. Kesimpulan : karena 09,2862,009,2 <=<− hitungt terletak dalam daerah

penerimaan 0H maka 0H diterima. Jadi, 21 µµ = . Artinya, kedua macam

makanan tersebut memberikan pertambahan berat badan ayam yang sama,

sehingga kedua makanan tersebut sama baiknya.

c. Dalam hal 21 σσ ≠ dan keduanya tidak diketahui

Untuk kasus ini belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan.

Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik

t′ .



≠=

211

210

: H : H

µµµµ



Terima 0H jika 21

2211

21

2211

wwtwtwt

wwtwtw

++

<′<++

− , untuk harga t yang

lain 0H ditolak.

Dengan 1

21

1 nsw = ;

2

22

2 nsw =

( ) ( )1,2111

1−−=

ntt

α dan ( ) ( )1,2

1122−−

=n

ttα



40

mt ,β diperoleh dari daftar distribusi Student dengan peluang β dan

mdk = .


(II.11)

2

22

1

21

21

ns

ns

xxt+

−=′


Contoh (Sudjana)

Suatu barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin diketahui apakah

kedua proses itu menghasilkan barang yang sama kualitasnya ditinjau dari rata-

rata daya tekannya. Maka diadakan percobaan sebanyak 20 kali masing-masing

dari hasil proses pertama maupun kedua. Diperoleh informasi 1x = 9,25 kg ; 2x =

10,4 kg ; 1s = 2,24 kg ; 2s = 3,12 kg. Bila populasinya dianggap normal dengan

varians kedua populasi tidak sama, dengan taraf nyata 5%, ujilah bagaimana

hasilnya!

Penyelesaian

Diketahui 1x = 9,25 kg ; 2x = 10,4 kg ; 1s = 2,24 kg ; 2s = 3,12 kg.

Pada kasus ini populasi dianggap normal dan variansnya tidak diketahui namun

sama besar.

Langkah pengujian hipotesis dalam hal 21 σσ ≠ dan keduanya tidak diketahui

1. Hipotesis pengujian

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≠

=

berbeda yang tekan daya rata-rata kualitasdengan barangan menghasilk proses kedua; : Hsama yang tekan daya rata-rata kualitasdengan barangan menghasilk proses kedua; : H

211

210

µµ

µµ



Terima 0H jika 21

2211

21

2211

wwtwtwt

wwtwtw

++

<′<++

−



41

2509,0200176,5

1

21

1 ===nsw ; 4867,0

207344,9

2

22

2 ===nsw

( ) ( ) ( ) ( ) 09,219;975,0120,05,0.2111,2

1111

=====−−−−

ttttnα

( ) ( ) ( ) ( ) 09,219;975,0120,05,0.2111,2

1122

====−−−−

ttttnα

Sehingga 21

2211

21

2211

wwtwtwt

wwtwtw

++

<′<++

−

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )4867,02509,0

09,24867,009,22509,04867,02509,0

09,24867,009,22509,0++

<′<++

− t

09,209,2 <′<− t


339,1

207344,9

200176,5

4,1025,9

2

22

1

21

21 =+

−=

+

−=′

ns

ns

xxt

5. Kesimpulan : karena 09,2339,109,2 <=′<− t terletak dalam daerah

penerimaan 0H maka 0H diterima. Jadi, 21 µµ = . Artinya, kedua proses

menghasilkan barang dengan kualitas yang sama baiknya.

d. Observasi berpasangan

Untuk observasi berpasangan, maka diambil yxB µµµ −= .

Jika 111 yxB −= , 222 yxB −= ,…, nnn yxB −= , maka data 1B , 2B ,…,

nB menghasilkan rata-rata B dan simpangan baku Bs .



≠=

0 : H0 : H

1

0

B

B

µµ




11211 −−

<<− ttt , selainnya tolak 0H .



42

Dengan α2

11−t diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang

α211− dan 1−= ndk .


(II.12)

nsBt

B=


11. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Satu Pihak

Serupa dengan uji dua pihak, pada uji satu pihak juga dimisalkan dipunyai dua

buah populasi, keduanya berdistribusi normal dengan rata-rata masing-masing

1µ dan 2µ dan simpangan baku 1σ dan 2σ .

Uji Pihak Kanan

a. Dalam hal 21 σσ =


1) Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧

>=

211

210

: H : H

µµµµ

2) Tentukan besarnya taraf signifikansi α .

3) Kriteria pengujian.

Terima 0H jika α−< 1tt , dan tolak 0H untuk harga t yang lain.

Dengan 221 −+= nndk dan peluang ( )α−1 dari daftar distribusi t.

4) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil

menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10).

5) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.


Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik

t′ .



43


a) Hipotesis pengujian ⎩⎨⎧

>=

211

210

: H : H

µµµµ

b) Tentukan besarnya taraf signifikansi α .

c) Kriteria pengujian.

Tolak 0H jika 21

2211

wwtwtwt

++

≥′ , dan terima 0H jika terjadi sebaliknya.

Dengan 1

21

1 nsw = ;

2

22

2 nsw =

( ) ( )1,2111

1−−=

ntt

α dan ( ) ( )1,2

1122−−

=n

ttα

Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah ( )α−1 sedangkan

derajat kebebasannya masing-masing ( )11 −n dan ( )12 −n .

d) Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil

menggunakan statistik t′ yang sama dengan rumus (II.11).

e) Menarik kesimpulan berdasarkan hasil 3 dan 4.




>=

0 : H0 : H

1

0

B

B

µµ



Tolak 0H jika α−≥ 1tt , selainnya terima 0H .

Dengan α−1t diperoleh dari daftar distribusi t dengan peluang α−1

dan 1−= ndk .






44

Uji Pihak Kiri

a. Dalam hal 21 σσ = dan keduanya tidak diketahui



<=

211

210

: H : H

µµµµ



Tolak 0H jika α−−≤ 1tt , dan terima 0H untuk harga t yang lain.

Dengan α−1t diperoleh dari daftar distribusi t dengan 221 −+= nndk

dan peluang ( )α−1 .


menggunakan statistik t yang sama dengan rumus (II.9) dan (II.10).



Pendekatan yang diggunakan adalah statistik t′ .



<=

211

210

: H : H

µµµµ



Tolak 0H jika 21

2211

wwtwtwt

++

−≤′ , dan terima 0H jika terjadi

sebaliknya.

Dengan 1

21

1 nsw = ;

2

22

2 nsw =

( ) ( )1,2111

1−−=

ntt

α dan ( ) ( )1,2

1122−−

=n

ttα

Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t adalah ( )α−1 sedangkan

derajat kebebasannya masing-masing ( )11 −n dan ( )12 −n .



45


menggunakan statistik t′ yang sama dengan rumus (II.11).





<=

0 : H0 : H

1

0

B

B

µµ



Tolak 0H jika ( )1),1( −−−≤ ntt α , dan terima 0H untuk ( )1),1( −−−> ntt α .




12. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Dua Pihak

Misalkan dipunyai dua populasi binomial yang di dalamnya didapat proporsi

peristiwa A sebesar 1π dan 2π . Secara independen dari tiap populasi diambil

sebuah sampel acak berukuran 1n dan 2n . Proporsi untuk peristiwa yang

diperhatikan pada sampel tersebut adalah 1

1

nx dan

2

2

nx .



≠=

: H : H

211

210

ππππ




12112






46


menggunakan pendekatan distribusi normal.

(II.13)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−=

21

2

2

1

1

11nn

pq

nx

nx

z

dengan 21

21

nnxxp

++

= dan pq −=1


Contoh

Di kecamatan Semarang Barat dari 250 siswa SD, 150 orang suka matematika.

Di kecamatan Gunungpati dari 300 siswa SD, 162 orang suka matematika.

Dengan α = 5%, ujilah adakah perbedaan yang signifikan tentang kesukaan

matematika di kedua kecamatan tersebut.

Penyelesaian

Diketahui x1 = 150 n1 = 250

X2 = 162 n2 = 300



≠=

: H : H

211

210

ππππ




12112

1 zzz

( ) ( )05,012105,012

1 −−<<− zzz

96,196,1 <<− z

( )α−121z dari daftar distribusi normal baku dengan peluang ( )α−12

1 .


5673,0300250162150

21

21 =++

=++

=nnxxp



47

4327,05673,011 =−=−= pq

( )( )43,1

3001

25014327,05673,0

300162

250150

11

21

2

2

1

1

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−=

nnpq

nx

nx

z

5. Kesimpulan: karena 96,143,196,1 <=<− hitungz maka 0H diterima.

Jadi, 21 ππ = . Artinya tidak ada perbedaan yang signifikan kesukaan

matematika di kecamatan Semarang Barat maupun di kecamatan Gunungpati.

13. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Proporsi: Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan



>=

: H : H

211

210

ππππ



Tolak 0H jika α−≥ 5,0zz dan Terima 0H jika α−< 5,0zz .


( )α−5,0 .




Uji Pihak Kiri



<=

: H : H

211

210

ππππ





48

Tolak 0H jika α−−≤ 5,0zz , dan terima 0H jika α−−> 5,0zz .


( )α−5,0 .




Contoh (Sudjana)

Terdapat dua kelompok A dan B, masing-masing terdiri atas 100 pasien yang

menderita suatu penyakit. Kepada kelompok A diberika obat tertentu sedangkan

pada kelompok B tidak. Dalam waktu 1 bulan, terdapat 80 orang yang sembuh

dari kelompok A dan 68 orang yang sembuh dari kelompok B. Dengan α = 1%,

ujilah adakah penelitian dengan pemberian obat ini membantu menyembuhkan

penyakit!

Penyelesaian

Diketahui xA = 80 nA = 100

xB = 68 nB = 100



>=

: H : H

B1

B0

ππππ

A

A



Tolak 0H jika α−≥ 5,0zz dan Terima 0H jika α−< 5,0zz .

64,105,05,05,0 == −− zz α


74,01001006880

=++

=++

=BA

BA

nnxxp

26,074,011 =−=−= pq



49

( )( )94,1

1001

100126,074,0

10068

10080

11=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−=

BA

B

B

A

A

nnpq

nx

nx

z

5. Kesimpulan: karena 64,194,1 >=hitungz maka 0H ditolak.

Jadi, B ππ >A . Artinya, pada taraf 5%, pemberian obat dapat membantu

penyembuhan penyakit.

Bagaimanakah bila penelitian ini diuji dengan taraf nyata 1%, apakah masih

memberikan hasil yang sama dengan kesimpulan di atas!

14. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians: Uji Dua Pihak

Ketika menaksir selisih rata-rata dan menguji kesamaan atau perbedaan dua

rata-rata ditekankan asumsi bahwa kedua populasi memiliki varians yang

sama agar menaksir dan menguji bisa dilakukan. Dalam hal varians yang

berbeda, hingga saat ini hanya digunakan cara pendekatan. Oleh karena itu,

maka perlu dilakukan pengujian mengenai kesamaan dua varians atau lebih.

Populasi-populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi

dengan varians yang homogen. Bila populasi tersebut memiliki varians yang

berbeda disebut populasi dengan varians yang heterogen.

Berikut akan dilakukan pengujian kesamaan varians untuk dua populasi.

Misalkan dipunyai dua populasi normal dengan varians 21σ dan 2

2σ .



⎪⎨⎧

≠

=2

22

11

22

210

:: H

: H

σσ

σσ



Terima 0H jika ( ) ( ) ( )1,1211,1,2

11 2121 −−−−−<<

nnnnFFF

αα, selainnya tolak 0H .

Dengan ( )nmF ,β diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang β dan

dk pembilang m dan dk penyebut n.



50

4. Statistik hitung berdasarkan data penelitian (sampel) yang diambil jika

sampel dari populasi pertama berukuran 1n dengan variansi 21s dan sampel

dari populasi kedua berukuran 2n dengan variansi 22s .

(II.14) 22

21

ssF =

Statistik lain yang digunakan

(II.15) terkecilVariansterbesarVariansF =

Kriteria pengujian.

Tolak 0H jika ( )21 ,21 vv

FFα

≥ .

Dengan ( )21 ,21 vv

Fα

diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang α21

dan derajat kebebasan v1 dan v2.


Contoh

Dari dua populasi siswa diukur hasil prestasi belajar siswa. Dari populasi pertama

diukur 10 orang siswa ternyata 21s = 24,7. Dari populasi kedua diukur 13 siswa

ternyata 22s = 37,2. Dengan α = 10%, ujilah apakah kedua populasi tersebut

homogen.

Penyelesaian

Diketahui 21s = 24,7 n1 = 10

22s = 37,2 n2 = 13



⎪⎨⎧

≠

=2

22

11

22

210

:: H

: H

σσ

σσ





51

Terima 0H jika ( ) ( ) ( )1,1211,1,2

11 2121 −−−−−<<

nnnnFFF

αα

( )( ) ( ) ( ) ( )113,110,1,021113,110,1,02

11 −−−−−<< FFF

( ) ( )12,9,05,012,9,95,0 FFF <<

( )( )12,9,05,0

12,9,05,0

1 FFF

<<

80,207,31

<< F

80,23257,0 << F

Dengan ( )nmF ,β diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang β dan

dk pembilang m dan dk penyebut n.


664,02,377,24

22

21 ===

ssF

5. Kesimpulan: karena 80,2664,03257,0 <=< hitungF maka 0H diterima.

Jadi, 22

1 σσ = . Artinya kedua varians populasi sama atau kedua populasi

tersebut homogen.

Bila digunakan statistik lain

506,17,242,37===

terkecilVariansterbesarVariansF

Kriteria pengujian.

Tolak 0H jika ( )21 ,21 vv

FFα

≥ ( )( ) 07,39,121,02

1 =≥ FF .

Dengan ( )21 ,21 vv

Fα

diperoleh dari daftar distribusi F dengan peluang α21 dan

derajat kebebasan v1 dan v2.

Kesimpulan: karena 07,3506,1 <=hitungF maka 0H diterima.

Jadi, 22

1 σσ = . Artinya kedua varians populasi sama atau kedua populasi tersebut

homogen.



52

15. Uji Hipotesis Kesamaan Dua Varians: Uji Satu Pihak

Uji Pihak Kanan



⎪⎨⎧

>

=2

22

11

22

210

:: H

: H

σσ

σσ



Tolak 0H jika ( )1,1 21 −−≥ nnFF α , selainnya terima 0H .


menggunakan statistik yang sama dengan rumus (II.14)


Uji Pihak Kiri



⎪⎨⎧

<

=2

22

11

22

210

:: H

: H

σσ

σσ



Tolak 0H jika ( )( )1,11 21 −−−< nnFF α , selainnya terima 0H .


menggunakan statistik yang sama dengan rumus (II.14).


16. Uji Homogenitas Varians Populasi

Berikut merupakan perluasan untuk menguji kesamaan k buah ( )2≥k varians

populasi yang berdistribusi normal.

Misalkan dipunyai k ( )2≥k buah populasi berdistribusi independen dan

normal massing-masing dengan varians 222

21 ,,, kσσσ K .



53

Akan diuji hipotesis

⎩⎨⎧ ===

berlakutidakdengan sama tandasatu sedikitaling : H : H

1

222

210

pkσσσ K

berdasarkan sampel acak yang diambil dari setiap populasi.

Terdapat beberapa metode untuk melakukan pengujian homogenitas varians

populasi, antara lain uji Bartlett.

LATIHAN

1. Pengusaha ban mobil X mengatakan bahwa produksi bannya tahan pakai

dalam pemakaian mobil sejauh 80.000 km. Timbul dugaan bahwa masa pakai

ban telah berubah, untuk menentukan hal ini dilakukan penelitian dengan cara

menguji 50 ban dan diperoleh rata-rata pemakaian 79.200 km. Dari

pengalaman diketahui simpangan baku mas apakai ban 6000 km dengan taraf

nyata 5%. Selidiki apakah kualitas ban tersebut telah berubah atau belum!

2. Diambil sampel sebanyak 20 mahasiswa FMIPA dengan nilai matematika

sbb: 65, 66, 67, 60, 62, 64, 70, 72, 60, 62, 63, 64, 65, 65, 66, 65, 64, 64, 63,

65. Dengan menggunakan taraf signifikansi α = 5% dan α = 1%, ujilah

hipotesis yang mengatakan bahwa rata-rata penguasaan matematika

mahasiswa FMIPA adalah 65.

3. Ujilah apakah ada perbedaan yang signifikan (berarti) dari prestasi hasil

belajar siswa dengan penerapan dua metode pembelajaran yang berbeda yaitu

Metode A dan Metode B. Diketahui informasi dari sampel yang diberi Metode

A yaitu n = 30 dan x = 60. Sedangkan dari sampel yang diberi Metode B

dengan n = 32 dan x = 62. Dan diketahui dari pengalaman bahwa 21 σσ = =6

dan α = 5%.

4. Dua jenis makanan ternak A dan B diberikan pada sapi secara terpisah dalam

jangka waktu tertentu. Ingin diketahui jenis makanan mana yang lebih baik

untuk ternak tersebut, untuk itu diambil sampel 11 ekor sapi diberi makanan A



54

dan 10 ekor sapi lain diberi makanan B. Setelah pemberian makanan ternak

tersebut dalam waktu 1 minggu, dicatat pertambahan berat sapi (dalam kg)

sbb:

Makanan A : 3,4 4,0 3,8 2,7 3,6 3,0 2,6 2,9 3,3 3,0 3,1

Makanan B : 3,7 2,6 3,0 3,0 2,9 3,3 3,2 3,4 2,9 2,7

Dengan α = 5%, tentukan apakah kedua jenis makanan ternak tersebut sama

baiknya jika diasumsikan:

a. Simpangan baku pertambahan berat badan dari dua populasi sama tapi

tidak diketahui.

b. Simpangan baku pertambahan berat badan dari dua populasi tidak sama

tidak diketahui.

5. Dilakukan penelitian untuk menguji hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan

kemampuan pegawai pria dan wanita dalam bidang elektronika. Berdasarkan

sampel yang diambil secara acak, dan setelah ditest diperoleh kemampuan

pegawai pria (X1) dan kemampuan pegawai wanita (X2) sebagai berikut:

X1 : 70 80 76 40 80 70 90 99 60 50 76 41 72 90 50

X2 : 70 70 90 40 90 80 70 40 50 90 70 40 72 80 42

Buktikan hipotesis tersebut dengan α = 5%!

6. Diadakan eksperimen pembelajaran matematika dengan Model I dan Model

II. Digunakan sampel berpasangan sejumlah 12 pasang. Setelah dilakukan

eksperimen diperoleh hasil tes matematika sbb:

Model I 60 64 52 70 53 100 20 40 30 45 66 65

Model II 58 62 54 70 50 96 22 38 35 42 65 66

Dengan α = 5%, ujilah apakah rata-rata hasil belajar dari kedua populasi

tersebut sama atau berbeda secara signifikan!



55

BAB III

ANALISIS VARIANS

Analisis varians (ANAVA) atau analysis of variance (ANOVA) adalah suatu

teknik statistik yang memungkinkan untuk mengetahui apakah dua atau lebih

mean populasi bernilai sama dengan menggunakan sampel dari masing-masing

populasi yang diuji. Analisis varians merupakan teknik analisis yang fungsinya

hampir sama dengan teknik t-tes, yaitu untuk menguji perbedaan mean (rata-rata)

dari sampel. Kelebihan analisis varians dibandingkan dengan uji-t dalam

rancangan penelitian eksperimen adalah dalam menguji beda mean analisis

varians tidak hanya terbatas pada mean dua sampel namun dapat digunakan untuk

menguji kesamaan atau perbedaan antar rata-rata dari k buah ( )2>k populasi

yang berdistribusi normal.

Dasar pemikiran penggunaan analisis varians adalah bahwa varians total semua

subjek dalam suatu eksperimen dapat dianalisis dari dua sumber, yaitu variansi

antar kelompok dan variansi di dalam kelompok.

Asumsi dasar dari analisis varians adalah sebagai berikut:

Populasi yang diamati memiliki distribusi normal.

Pengambilan sampel dilakukan secara acak dan setiap sampel independen/tidak

terikat sampel yang lain.

Populasi-populasi dimana nilai sampel diperoleh memiliki varians populasi yang

sama atau dapat ditulis 222

21 , kσσσ === K dengan k jumlah populasi.

Dikenal beberapa jenis varians sampel 2s , salah satunya dihitung dengan rumus

( )1

22

−−

= ∑n

xxs i dan varians populasi adalah 2σ .

Varians untuk sekumpulan data ini melukiskan derajat perbedaan atau variansi

nilai data individu yang ada dalam kelompok atau kumpulan data tersebut.



56

Variansi ini dihitung dari nilai rata-rata kumpulan data. Selain itu dikenal pula

varians sampling berbagai statistik, untuk rata-rata diberi lambang 2xσ , untuk

proporsi dengan lambang 2

nxσ , dan sebagainya.

Langkah-langkah Analisis varians adalah sebagai berikut:

1. Rumuskan hipotesis nol ( 0H ) dan hipotesis tandingannya ( 1H ).

0H : mean k populasi ( )2>k yang berdistribusi normal adalah sama.

1H : diantara k populasi ( )2>k terdapat mean populasi yang berbeda.

(minimum ada satu tanda sama dengan tidak berlaku)

Atau secara matematis

kH µµµµ ==== K3210 :

k

k

kH

µµµµµµµµµµµµ

≠≠≠≠≠=≠====≠

K

K

K

321

321

3211 :

2. Ambil sampel acak dari k buah ( )2>k populasi sbb:

Sampel I Sampel II Sampel III ... Sampel k 11x 12x 13x ... kx1

21x 22x 23x ... kx2

31x 32x 33x ... kx3 M M M ... M

1nx 2nx 3nx ... nkx

1x 2x 3x ... kx 3. Tentukan besarnya taraf signifikansi α .

4. Gunakan statistik F (Fisher)

kelompokdalamiansmeansantarians

VDKVAMFhitung var

var==

( )1

1

2

22

−

−===∑=

k

xxnnSVAM

k

jj

xσ , 1−= kdk



57

( )( )1

1 1

2

−

−=∑∑= =

nk

xxVDK

n

i

k

jjij

Dengan x mean dari semua mean sampel

jx mean sampel ke-j, j = 1, 2, ..., k

ijx nilai data observasi ke-i dari sampel ke-j


Terima 0H jika ( )( )1,1; −−≤ nkkhitung FF α .

Tolak 0H jika ( )( )1,1; −−> nkkhitung FF α .

6. Mengambil kesimpulan berdasarkan hasil 4 dan 5.

7. Jika 0H diterima maka pengujian berakhir.

Jika 0H ditolak, analisis dilanjutkan dengan Uji Lanjut salah satunya

dengan menggunakan Uji α

21LSD (Least Significant Different).

( ) dnk

StLSD .1,2

11211 −−−

=αα

ji

d ns

nsS

22

+= , VDKs =2

Kriteria pengujian Uji lanjut α

211−

LSD

Bandingkan antara ix dan jx : ji xx ≠ jika α

211−

>−= LSDxxd jiij .

Contoh

Diterapkan model pembelajaran dengan 3 metode, kemudian dilakukan tes dan

diperoleh skor hasil tes sbb:

Sampel ke-

Metode I Metode II Metode III

1 25 22 22 2 29 25 21 3 28 24 26 4 30 25 23



58

a. Dengan anava selidikilah apakah ada perbedaan diantara tiga mean skor

hasil belajar dengan ketiga metode tersebut.

b. Bila terdapat perbedaan, dengan uji lanjut selidikilah model pembelajaran

yang manakah yang terbaik. Gunakan α = 5%.

Penyelesaian

Diketahui 1x = 28 2x = 24 3x = 23

x = 25

Langkah-langkah Analisis varians:

Merumuskan hipotesis uji

3210 : µµµ ==H

1H : paling sedikit ada satu tanda sama dengan tidak berlaku.

Sampel acak dari 3 buah populasi seperti tertera pada soal di atas.

Taraf signifikansi α = 5%..

Gunakan statistik F (Fisher)

( )( ) ( ) ( ){ } 28

132523252425284

1

2221

2

=−

−+−+−=

−

−=∑=

k

xxnVAM

k

jj

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

78,391

14328232826

28212822

28252824

28252822

28302828

28292825

1

22

22

22

22

22

22

1 1

2

==

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

+−+−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

+−+−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

+−+−

=

−

−=∑∑= =

nk

xxVDK

n

i

k

jjij

41,778,3

28===

VDKVAMFhitung

Kriteria pengujian.

Terima 0H jika ( )( )1,1; −−≤ nkkhitung FF α

Tolak 0H jika ( )( )1,1; −−> nkkhitung FF α



59

( )( ) ( )( ) ( ) 26,49,2;05,0143,13;05,01,1; === −−−− FFF nkkα

Kesimpulan : karena ( )( ) 26,441,7 1,1; =>= −− nkkhitung FF α maka 0H ditolak.

Artinya, ada perbedaan diantara ketiga mean skor hasil belajar dengan

ketiga metode tersebut.

Karena 0H ditolak, maka analisis dilanjutkan dengan Uji Lanjut menggunakan

Uji α

211−

LSD

3748,1478,3

478,322

=+=+=ji

d ns

nsS , 78,32 ==VDKs

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 11,33748,1.26,2

3748,1.

3748,1..

9,975,0

143,05,02111,2

11211

==

=

==−−−−−

t

tStLSD dnkαα

Kriteria pengujian Uji lanjut α

211−

LSD

Bandingkan antara ix dan jx : ji xx ≠ jika α

211−

>−= LSDxxd jiij .

11,3424282112112 =>=−=−=

− αLSDxxd . Berarti 1x > 2x .

11,3523282113113 =>=−=−=

− αLSDxxd . Berarti 1x > 3x .

11,3123242113223 =<=−=−=

− αLSDxxd . Berarti 2x = 3x .

Kesimpulan : Metode pembelajaran yang paling efektif adalah model

pembelajaran I, yang paling berbeda diantara ketiga metode tersebut.

LATIHAN

1. Dilakukan penelitian tentang produksi susu sapi dari 3 lokasi. Diambil 10 sapi

sebagai sampel dari masing-masing lokasi. Penelitian selama 3 bulan tercatat

hasil seperti pada data berikut.



60

Jawa Madura Bali 341 360 302 323 300 304 356 296 286 289 223 245 343 250 235 335 296 216 361 284 287 298 200 296 300 208 264 Pr

oduk

si su

su (l

iter)

309 231 259 Dengan taraf signifikansi α = 5%, selidiki apakah ada perbedaan

perbandingan produksi susu sapi di 3 lokasi tersebut? Jika ada perbedaan

manakah yang paling berbeda!

2. Dilakukan pengamatan terhadap hasil tes UAN siswa SMA. Para siswa itu

dikelompokkan dalam 3 kategori (1) SMA Favorit, (2) SMA Negeri, dan (3)

SMA Swasta. Diperoleh data pengamatan sebagai berikut:

No SMA Nilai No SMA Nilai No SMA Nilai 1 favorit 4,25 8 negeri 4,00 15 swasta 4,00 2 favorit 5,00 9 negeri 3,00 16 swasta 3,50 3 favorit 4,75 10 negeri 3,50 17 swasta 3,75 4 favorit 3,75 11 negeri 3,75 18 swasta 3,00 5 favorit 4,50 12 negeri 3,50 19 swasta 3,25 6 favorit 4,25 13 negeri 3,25 20 swasta 3,50 7 favorit 4,00 14 negeri 4,25 21 swasta 2,75

Selidiki apakah ketiga kelompok tersebut memiliki nilai rata-rata UAN yang

sama dengan taraf signifikansi α = 5%.

3. Dilakukan penelitian mengenai berat badan mahasiswa berdasarkan sarapan

yang dimakan dari 4 kelompok sampel dan diperoleh data berat badan (dalam

kg) sbb:

Sampel ke-

Mie instan

Nasi Roti Singkong

1 45 46 47 43 2 55 54 58 52 3 40 45 44 40 4 65 64 65 48 5 60 62 63 58 6 58 59 62 60 7 57 54 59 55



61

Dengan taraf signifikansi α = 5%, selidiki sarapan manakah yang membuat

berat badan mahasiswa lebih tinggi dari yang lain!



62

BAB IV

ANALISIS REGRESI

1. Pendahuluan

Metode analisis yang telah dibahas sebelumnya adalah analisis terhadap data

mengenai sebuah karakteristik atau atribut (data kualitatif) dan mengenai

sebuah variabel, diskrit maupun kontinu (data kuantitatif). Namun, kenyataan

yang terjadi, banyak persoalan yang meliputi lebih dari sebuah variabel.

Misalkan, hasil belajar siswa tergantung pada waktu belajar, hasil produksi

padi tergantung pada cuaca serta penggunaan pupuk, dan lain sebagainya.

Oleh karena itu perlu untuk mempelajari analisis data yang terdiri atas banyak

variabel.

Jika dipunyai data yang terdiri atas dua atau lebih variabel, maka dapat

dipelajari bagaimana variabel-variabel tersebut berhubungan. Hubungan yang

diperoleh umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematik yang

menyatakan hubungan fungsional antara variabel. Studi yang mmempelajari

hubungan antar variabel ini dikenal dengan analisis regresi.

Tujuan dari bab ini adalah bagaimana menghitung suatu perkiraan atau

persamaan regresi yang akan menjelaskan hubungan antara dua variabel.

Yang akan dibahas adalah regresi garis sederhana, dimana akan dibahas

mengenai hubungan antara dua variabel yang biasanya cukup tepat dinyatakan

dalam suatu garis lurus. Selanjutnya tujuan dari penggunaan persamaan

regresi adalah memperkirakan nilai dari suatu variabel pada nilai tertentu dari

variabel lain dengan kata lain persamaan regresi digunakan untuk peramalan.

2. Hubungan Fungsional Antara Variabel

Dalam analisis regresi, variabel akan dibedakan menjadi dua, yaitu variabel

bebas (variabel prediktor) dan variabel takbebas (variabel respon). Variabel

yang mudah diperoleh atau tersedia dapat digolongkan ke dalam variabel



63

bebas sedangkan variabel yang terjadi karena variabel bebas, merupakan

variabel takbebas. Dalam analisis regresi, variabel bebas akan dinyatakan

dengan kXXX ,,, 21 K ( )1≥k sedangkan variabel takbebas dinyatakan

dengan Y.

Telah diketahui bahwa statistika bertujuan untuk menyimpulkan populasi

dengan menggunakan hasil analisis data sampel. Untuk analisis regresi juga

akan ditentukan hubungan fungsional yang diharapkan berlaku untuk populasi

berdasarkan data sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.

Hubungan fungsional ini akan dituliskan dalam bentuk persamaan matematik

yang disebut dengan persamaan regresi yang akan bergantung pada

parameter-parameter.

Secara umum model atau persamaan regresi untuk populasi dapat ditulis

dalam bentuk

(IV.1) ( )mkxxxy XXXk

θθθµ ,,,,,, 2121,,,. 21KKK =

Dengan mθθθ ,,, 21 K parameter-parameter yang ada dalam regresi.

Model regresi sederhana untuk populasi dengan sebuah variabel bebas yang

biasa dikenal dengan regresi linier sederhana adalah

(IV.2) Xxy 21. θθµ +=

Dalam hal ini parameternya adalah 1θ dan 2θ .

Berdasarkan sebuah sampel, akan ditentukan atau ditaksir persamaan regresi

populasi pada rumus (IV.1). Hal ini dapat dilakukan dengan jalan menaksir

parameter-parameter mθθθ ,,, 21 K .

Untuk kasus regresi linier sederhana, perlu ditaksir parameter 1θ dan 2θ . Jika

1θ dan 2θ ditaksir oleh a dan b , maka persamaan regresi berdasarkan

sampel adalah

(IV.3) bXaY +=ˆ



64

Regresi dengan X merupakan variabel bebas dan Y variabel takbebasnya

dinamakan regresi Y atas X.

Model regresi populasi pangkat dua atau parabola untuk sebuah variabel bebas

dengan parameter 1θ , 2θ dan 3θ adalah

(IV.4) 2321. 2 XXxxy θθθµ ++=

Dan berdasarkan sampel acak, parameter-parameter 1θ , 2θ dan 3θ perlu

ditaksir dengan persamaan berikut

(IV.5) 2ˆ cXbXaY ++=

Dengan a , b dan c masing-masing diperoleh dari perhitungan berdasarkan

data penelitian yang berturut-turut merupakan taksiran untuk 1θ , 2θ dan 3θ .

Berikut cara menentukan persamaan regresi, apabila dimiliki data

pengamatan.

3. Metode Tangan Bebas

Metode ini merupakan metode kira-kira dengan menggunakan diagram pencar

(scatter diagram) dengan data yang diperoleh berdasarkan hasil pengamatan.

Jika variabel yang diamati meliputi variabel bebas X dan variabel takbebas Y,

maka data pengamatan yang diperoleh digambarkan pada sebuah diagram

dengan X dinyatakan pada sumbu mendatar dan Y pada sumbu tegak sehingga

terbentuk diagram pencar yang menunjukkan titik-titik tertentu.

Ada dua manfaat dari penggunaan diagram pencar ini yaitu: (1) Membantu

menunjukkan apakah terdapat hubungan yang bermanfaat antara dua variabel,

(2) Membantu menetapkan tipe persamaan yang menunjukkan hubungan

antara kedua variabel tersebut. Seperti yang tertulis dalam manfaat yang

kedua, dari letak titik-titik pada diagram pencar, dapat diperkirakan bentuk

regresinya. Jika letak titik-titik yang terbentuk di sekitar garis lurus, maka

dapat diduga terjadi regresi linier. Namun, hubungan yang terbentuk tidak



65

selalu harus berupa garis lurus. Jika letak titik-titik yang terbentuk di sekitar

garis lengkung, maka dapat diduga terjadi regresi nonlinier.

Hubungan yang tergambar pada diagram pencar dapat berupa hubungan

positif (atau langsung) antar dua variabel yaitu jika variabel bebas meningkat

maka variabel takbebas juga meningkat. Namun, adapula kemungkinan pada

variabel tertentu terdapat hubungan yang negatif (atau berlawanan) yaitu jika

variabel bebas meningkat maka variabel takbebas akan menurun. Atau bahkan

tidak ada hubungan sama sekali antara variabel (titik-titik yang terbentuk pada

diagram pencar tidak menunjukkan pola tertentu).

4. Metode Kuadrat Terkecil Untuk Regresi Linier

Metode ini berdasarkan pada kenyataan bahwa jumlah pangkat dua (kuadrat)

dari jarak antara titik-titik dengan garis regresi yang sedang dicari harus

sekecil mungkin.

Untuk pengamatan yang terdiri dari sebuah variabel bebas X dan variabel

takbebas Y di mana model regresi linier untuk populasi seperti rumus (IV.2)

telah dapat diduga, maka perlu ditaksir parameter-parameter regresi sehingga

diperoleh persamaan seperti rumus (IV.3). Jadi untuk populasi, model regresi

linier adalah

Xxy 21. θθµ +=

Harga parameter 1θ dan 2θ ditaksir oleh a dan b , sehingga persamaan

regresi menggunakan data sampel adalah

bXaY +=ˆ

Koefisien-koefisien regresi a dan b untuk regresi linier dapat dihitung

dengan rumus



66

(IV.6)

( )( ) ( )( )( )

( )( )( )22

22

2

∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑

−

−=

−

−=

ii

iiii

ii

iiiii

XXn

YXYXnb

XXn

YXXXYa

Jika terlebih dahulu dihitung koefisien b , maka koefisien a dapat pula

ditentukan dengan rumus

(IV.7) XbYa −=

dengan X dan Y masing-masing adalah rata-rata untuk variabel X dan Y.

Dalam regresi linier, koefisien b berarti perubahan rata-rata Y untuk setiap

perubahan satu unit variabel X. Perubahan nilai Y bertambah apabila nilai b

bertanda positif dan berkurang untuk tanda b negatif.

Contoh (Supranto)

Berikut data penjualan dari perusahaan makanan ringan

X : persentase kenaikan biaya iklan

Y : persentase kenaikan hasil penjualan

X 1 2 4 5 7 9 10 12

Y 2 4 5 7 8 10 12 14

Berapakah besarnya ramalan presentase kenaikan penjualan apabila biaya

iklan dinaikkan menjadi 15 %.

Penyelesaian

X Y 2X XY

1 2 1 2

2 4 4 8

4 5 16 20

5 7 25 35

7 8 49 56

9 10 81 90



67

10 12 100 120

12 14 144 168

∑ = 50iX

25,6=X

∑ = 62iY

75,7=Y

∑ = 4202iX ∑ = 499iiYX

Untuk menghitung ramalan presentase kenaikan penjualan, terlebih dahulu

dicari persamaan regresi dari data tersebut.

( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( )

04,1860892

50420862504998

222==

−−

=−

−=

∑∑∑∑∑ii

iiii

XXn

YXYXnb

( ) 25,125,604,175,7 =−=−= XbYa

Sehingga diperoleh persamaan XbXaY 04,125,1ˆ +=+=

Nilai koefisien 04,1=b artinya setiap ada kenaikan 1% biaya iklan, maka

hasil penjualan akan naik sebesar 1,04 %.

Persamaan XbXaY 04,125,1ˆ +=+= selanjutnya dapat digunakan untuk

meramalkan presentase kenaikan penjualan apabila terjadi perubahan

(kenaikan atau pengurangan) biaya iklan.

Jika biaya iklan dinaikkan menjadi 15 %, maka ramalan presentase kenaikan

penjualan adalah

XY 04,125,1ˆ += dengan X = 15 % diperoleh ( ) 85,161504,125,1ˆ =+=Y .

Jadi besarnya ramalan presentase kenaikan penjualan apabila biaya iklan

dinaikkan menjadi 15 % adalah 16,85.

5. Berbagai Varians Sehubungan dengan Regresi Linier Sederhana

Untuk analisis selanjutnya tentang regresi linier sederhana, terdapat beberapa

asumsi yang harus diambil.

Asumsi pertama, mengenai kekeliruan prediksi atau galat prediksi atau

perbedaan YYe ˆ−= yang terjadi, mengingat hasil pengamatan variabel

takbebas Y belum tentu sama nilainya dengan harga yang diharapkan yaitu Y

yang diperoleh dari regresi hasil pengamatan (sampel). Dalam populasi, galat



68

prediksi dimisalkan berbentuk variabel acak yang mengikuti distribusi normal

dengan rata-rata nol dan varians 2σ .

Asumsi kedua, untuk setiap harga X yang diberikan, variabel takbebas Y

independen dan berdistribusi normal dengan rata-rata ( )X21 θθ + dan varians 2

.XYσ . Varians 2.XYσ dimisalkan sama untuk setiap X maka dapat dinyatakn

oleh varians kekeliruan taksiran ( )2εσ dan kekeliruan baku taksiran xy.σ .

5.1. Kesalahan Baku Regresi dan Koefisien Regresi Sederhana

Kesalahan baku atau selisih taksir standar merupakan indeks yang

digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan regresi dan koefisien regresi

atau mengukur variasi titik-titik observasi di sekitar garis regresi. Dengan

kesalahan baku, batasan seberapa jauh melesetnya perkiraan dalam

meramalkan data dapat diketahui (Hasan, 2010). Apabila semua titik

observasi berada tepat pada garis regresi maka kesalahan baku akan bernilai

sama dengan nol. Hal ini menunjukkan bahwa perkiraan yang dilakukan

pada data pengamatan sesuai dengan data yang sebenarnya.

Berikut rumus yang digunakan untuk menghitung kesalahan baku regresi

dan koefisien regresi.

a. Kesalahan baku untuk regresi

2

.2

−

−−= ∑ ∑ ∑

nXYbYaY

Se

b. Kesalahan baku untuk koefisien regresi a (parameter a )

( )22

2

∑∑∑

−

−=

XXn

SXS e

a

c. Kesalahan baku untuk koefisien regresi b (parameter b )

( )nX

X

SS e

b 22 ∑∑ −

=



69

Coba Anda hitung kesalahan baku regresi, koefisien regresi a dan

koefisien regresi b dengan data dari contoh soal sebelumnya!

5.2. Pendugaan Interval Koefisien Regresi

6. Regresi Non Linier

Seringkali regresi linier tidak dapat digunakan pada beberapa data karena

hipotesis kelinieran telah ditolak. Hal ini juga dapat dilihat dari bentuk

diagram pencar yang tidak menunjukkan bentuk garis lurus, sehingga model

regresi linier akan menyimpang dari letak titik-titik dalam diagram pencar.

Hal ini perlu diperbaiki dengan menggunakan regresi nonlinier.

Beberapa model regresi nonlinier yang mudah dan sering digunakan, antara

lain:

6.1. Model Parabola kuadratik

Persamaan umum model ini ditaksir oleh

(IV.8) 2ˆ cXbXaY ++=

Dengan koefisien-koefisien cba ,, harus ditentukan berdasarkan data

hasil pengamatan. Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka

cba ,, dapat dihitung dengan sistem persamaan:

∑∑∑ ++= 2iii XcXbnaY

∑∑∑∑ ++= 32iiiii XcXbXaYX

∑∑∑∑ ++= 4322iiiii XcXbXaYX

6.2. Model Parabola Kubik


(IV.9) 32ˆ dXcXbXaY +++=



70

Dengan koefisien-koefisien dcba ,,, dihitung dari data pengamatan.

Sistem persamaan yang harus diselesaikan untuk menentukan dcba ,,,

adalah:

∑∑∑∑ +++= 32iiii XdXcXbnaY

∑∑∑∑∑ +++= 432iiiiii XdXcXbXaYX



Semakin tinggi pangkat X dalam persamaan regresi, maka semakin

banyak pula sistem persamaan yang harus diselesaikan.

6.3. Model Eksponen


(IV.10) XbaY =ˆ

Bentuk ini dapat dikembalikan kepada model linier apabila diambil

logaritmanya. Dalam logaritma persamaannya akan menjadi

(IV.11) ( )XbaY loglogˆlog +=

Apabila diambil YY ˆlogˆ =′ , aa log=′ , dan bb log=′ , maka diperoleh

model XbaY ′+′=′ˆ yang adalah model linier seperti pada rumus (IV.3).

dengan rumus (IV.6), maka a′ dan b′ dapat dihitung, selanjutnya karena

aa log=′ dan bb log=′ , maka a dan b juga dapat dihitung.

Dalam logaritma, maka a dan b dapat dicari dari rumus

(IV.12) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

nX

bn

Ya ii log

loglog

( ) ( )( )( )∑ ∑

∑∑∑−

−= 22

logloglog

ii

iiii

XXn

YXYXnb



71

Model eksponensial dalam rumus XbaY =ˆ sering pula disebut model

pertumbuhan karena sering digunakan dalam menganalisis data hasil

pengamatan yang berhubungan dengan fenomena yang sifatnya tumbuh.

Dalam hal ini, model persamaannya menjadi

(IV.13) bXeaY =ˆ

dengan e adalah bilangan pokok logaritma asli.

6.4. Model Geometrik


(IV.14) bXaY =ˆ

Bentuk ini dapat dikembalikan kepada model linier dan apabila diambil

logaritmanya, maka

(IV.15) XbaY loglogˆlog +=

Bentuk ini merupakan model linier dalam Xlog dan Ylog . Koefisien a

dan b dapat dihitung dari:

(IV.16) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

nX

bn

Ya ii loglog

log

( ) ( )( )( )∑ ∑

∑∑∑−

−= 22 log)log(

loglogloglog

ii

iiii

XXn

YXYXnb

6.5. Model Logistik

Model paling sederhana model logistik dapat ditaksir oleh

(IV.17) XabY 1ˆ =

Untuk Y yang tidak sama dengan nol, maka bentuk di atas dapat pula

ditulis sebagai XabY=ˆ

1 .

Jika diambil logaritmanya, diperoleh



72

(IV.18) ( )XbaY

loglogˆ1log +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Yang merupakan model linier dalam variabel-variabel X dan ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Y1log .

Koefisien-koefisien a dan b dapat dicari dengan menggunakan rumus

(IV.19) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

nX

bn

Ya ii log

loglog

( ) ( )( )( )∑ ∑

∑∑∑−

−= 22

logloglog

ii

iiii

XXn

YXYXnb

Dengan Ylog diganti oleh ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Y1log .

6.6. Model Hiperbola

Persamaan umum yang sederhana untuk model hiperbola dapat dituliskan

dalam bentuk

(IV.20) bXa

Y+

=1ˆ

Atau jika tidak ada Y berharga nol dapat ditulis menjadi

(IV.21) bXaY

+=ˆ1

Yang merupakan bentuk linier dalam variabel-variabel X dan Y1 .

Koefisien-koefisien a dan b dapat dihitung dengan rumus

(IV.22) ( )( ) ( )( )

( )∑ ∑∑∑∑∑

−

−= 22

2

)( ii

iiiii

XXn

YXXXYa

( ) ( )( )( )∑ ∑

∑∑∑−

−= 22 )( ii

iiii

XXn

YXYXnb

Apabila variabel Y diganti oleh Y1 .



73

7. Regresi Linier Ganda

Sebelumnya telah dibahas hubungan linear dari dua variabel X dan Y dengan

menggunakan persamaan regresi linier bXaY +=ˆ .

Dalam kenyataan, banyak data pengamatan yang terjadi dengan melibatkan

lebih dari dua variabel. Misalnya hasil panen padi (Y) dipengaruhi oleh

penggunaan pupuk ( 1X ), luas sawah ( 2X ) dan curah hujan ( 3X ). Secara

umum, data hasil pengamatan Y dapat terjadi atau dipengaruhi oleh variabel-

variabel bebas kXXX ,,, 21 K .

Akan ditentukan hubungan antara Y dan kXXX ,,, 21 K sehingga diperoleh

regresi antara Y dan kXXX ,,, 21 K . Yang akan ditinjau hanyalah garis regresi

sederhana yang dikenal dengan nama regresi linier berganda. Model regresi

linier ganda atas kXXX ,,, 21 K akan ditaksir oleh

(IV.23) kk XbXbXbaY ++++= K2211ˆ

dengan kbbba ,,,, 21 K merupakan koefisien-koefisien yang harus ditentukan

berdasarkan data pengamatan. Perhatikan bahwa regresi linier bXaY +=ˆ

merupakan hal istimewa dari rumus (IV.23) untuk 021 ===== kbbba K .

Koefisien-koefisien kbbba ,,,, 21 K ditentukan dengan menggunakan metode

kuadrat terkecil (Least Square Method) yang menghasilkan persamaan normal

sebagai berikut

(IV.24) ∑∑ ∑ ∑ =++++ YXbXbXban kkK2211

∑∑ ∑ ∑∑ =++++ YXXXbXXbXbXa kk 112122

111 K

∑∑ ∑ ∑∑ =++++ YXXXbXbXXbXa kk 222

221212 K

M

∑∑ ∑ ∑∑ =++++ YXXbXXbXXbXa kkkkkk2

2211 K

Bila persamaan tersebut diselesaikan, maka akan diperoleh nilai

kbbba ,,,, 21 K . Kemudian dapat dibentuk persamaan regresi berganda.



74

Apabila persamaan regresi telah diperoleh, maka dapat diramalkan nilai Y

dengan syarat bila nilai kXXX ,,, 21 K sebagai variabel bebas sudah

diketahui.

Sama halnya dengan regresi linier, dalam regresi linier ganda perubahan rata-

rata Y memperhatikan nilai dan tanda koefisien dari masing-masing variabel

X. Pada rumus (IV.23) maka koefisien 1b menyatakan perubahan rata-rata Y

untuk setiap perubahan satu unit variabel 1X apabila kXXX ,,, 32 K

semuanya dianggap tetap. Koefisien 2b menyatakan perubahan rata-rata Y

untuk setiap perubahan satu unit variabel 2X apabila kXXX ,,, 31 K

semuanya dianggap tetap, demikian seterusnya. Jelas bahwa setiap koefisien

hanya memberikan gambaran parsial apa yang terjadi pada Y untuk perubahan

X yang berhubungan dengan koefisien yang bersesuaian. Oleh karena itu

koefisien-koefisien kbbba ,,,, 21 K disebut pula koefisien regresi parsial.

Contoh (Supranto)

Perhatikan file PDF

LATIHAN 1. Dengan menggunakan persamaan garis regresi bXaY +=ˆ , hitunglah ramalan

nilai Y jika X = 16 dari kedua data berikut a.

X 2 4 3 8 9 10 15 13

Y 1 2 5 7 8 11 13 14

b. X 1 3 4 7 9 11 13

Y 12 11 9 8 6 5 4

2. Berikut data nilai hasil ujian mahasiswa matematika Unnes

X : nilai hasil ujian Kalkulus mahasiswa matematika Unnes



75

Y : nilai hasil ujian Statistika mahasiswa matematika Unnes

X 7 6 8 9 10 5 4 9 7 3

Y 6 8 9 7 9 6 5 8 8 4

a. Dengan menggunakan persamaan regresi, berapakah nilai ujian Statistika

jika nilai ujian Kalkulus yang diperoleh sebesar 8,5.

b. Tuliskan persamaan regresi linier sederhana, berapakah besarnya nilai

koefisien regresi? Jelaskan arti dari nilai-nilai tersebut!

c. Tentukan kesalahan baku regesi, koefisien regresi a dan koefisien regresi

b .

d. Dalam soal ini bolehkan variabel Y memiliki nilai negatif? Berikan alasan

Anda!

3. Dipunyai kumpulan data berikut

X ni XXXX ,,,,, 21 KK

Y ni YYYY ,,,,, 21 KK

Jika ( )( )

( )∑∑

−

−−= 2XX

YYXXb

i

ii dan XbYa −=

dengan ∑= iXn

X 1 dan ∑= iYn

Y 1

Tunjukkan bahwa:

a. ( )( )( )22 ∑∑

∑∑∑−

−=

ii

iiii

XXn

YXYXnb

b. ( )∑=

=−−n

ii XbaY

1

0

4. Sebuah perusahaan mencatat hasil penjualan dari tahun ketahun sebagai

berikut. Tahun 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986

Hasil Penjualan

(jutaan Rp)

83 60 54 21 22 13 13



76

Terlihat adanya kemunduran dalam hasil penjualan tersebut. Dengan menggunakan trend parabola 2ˆ cXbXaY ++= , hitung berapa ramalan hasil penjualan untuk tahun 1987 dan 1988? Gambarkan grafik Y dan Y dalam satu gambar!

5. Perhatikan data berikut

X : harga barang perunit dalam ribuan rupiah

Y : hasil penjualan barang X dalam jutaan rupiah

X 20 35 60 100 150 300 500 800

Y 150 125 105 100 92 77 62 58

Dengan menggunakan trend eksponensial XbaY =ˆ , berapakah ramalan hasil

penjualan jika X = 900!

6. Perkembangan jumlah pabrik pada suatu daerah selama 6 tahun adalah sebagai berikut.

Tahun 1981 1982 1983 1984 1985 1986

Banyaknya pabrik 4 8 12 18 18 20

Dengan menggunakan trend logistik XabY 1ˆ = , hitung ramalan banyaknya

pabrik yang dibangun pada tahun 1987?

7. PT ANGIN MOBAT MABIT menerapkan stategi promosi untuk meningkatkan pendapatan penjualan mesin jahit. Akan dilihat pengaruh iklan melalui televisi dan koran terhadap pendapatan. Berikut data mingguan yang tercatat:

Iklan TV (juta rupiah)

Iklan Koran (juta rupiah)

Pendapatan (juta rupiah)

1 2 4 6 7 9

2 4 5 7 8

10

1 3 6 8 9

11

Dengan menggunakan persamaan regresi linier berganda, berapakah ramalanpendapatan penjualan mesin jahit jika promosi dengan Iklan TV sebesar 10 juta rupiah dan promosi dengan Iklan koran sebesar 12 juta rupiah!



77

BAB V

ANALISIS KORELASI

1. Pendahuluan

Jika data hasil pengamatan terdiri dari banyak variabel, maka hal yang perlu

diketahui berikutnya adalah seberapa kuat hubungan antara variabel-variabel

tersebut terjadi. Dengan kata lain, perlu ditentukan derajat hubungan antara

variabel-variabel. Studi yang membahas tentang derajat hubungan antara

variabel dikenal dengan nama analisis korelasi. Sedangkan ukuran yang

digunakan untuk mengetahui derajat hubungan, terutama untuk data

kuantitatif, dinamakan koefisien korelasi.

Adanya hubungan (korelasi) antara variabel yang satu dengan variabel lainnya

dapat dinyatakan dengan perubahan nilai variabel. Dalam bab ini hanya akan

dibahas mengenai hubungan linier antara dua variabel X dan Y .

Apabila dua variabel X dan Y mempunyai hubungan, maka nilai variabel X

yang sudah diketahui dapat digunakan untuk memperkirakan/menaksir atau

meramalkan Y. Ramalan pada dasarnya merupakan perkiraan/taksiran

mengenai terjadinya suatu kejadian (nilai suatu variabel) untuk waktu

mendatang, misalnya ramalan harga beras bulan depan, ramalan jumlah

penduduk 10 tahun mendatang, dan lain sebagainya.

Serupa dengan analisis regresi, variabel Y yang nilainya akan diramalkan

disebut variabel takbebas, sedangkan variabel X yang nilainya digunakan

untuk meramalkan nilai Y disebut variabel bebas atau variabel peramal

(predictor) atau sering disebut variabel yang menerangkan (explanatory).

2. Koefisien Korelasi



78

Hubungan dua variabel dapat merupakan hubungan positif maupun negatif.

Hubungan X dan Y dikatakan positif apabila kenaikan (penurunan) X pada

umumnya diikuti oleh kenaikan (penurunan) Y. Sebaliknya dikatakan negatif

jika kenaikan (penurunan) X pada umumnya diikuti oleh penurunan

(kenaikan) Y.

Jika antara variabel X dan Y ada hubungan, bentuk diagram pencarnya akan

mulus/teratur. Apabila terdapat hubungan positif, maka diagram pencar akan

bergerak dari kiri bawah ke kanan atas, sedangkan apabila terdapat hubungan

negatif, maka diagram pencar akan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.

Bila bentuk diagram pencar tidak teratur, artinya kenaikan/penurunan X pada

umumnya tidak diikuti oleh naik turunnya Y, dikatakan X dan Y tidak

berkorelasi. Atau dengan kata lain, X dan Y dikatakan saling bebas

(independent) jika naik dan turunnya varianel X tidak mempengaruhi Y atau

antara X dan Y tidak ada hubungan atau hubungnnya sangat lemah sehingga

dapat diabaikan.

Apabila hubungan X dan Y dapat dinyatakan dengan fungsi linier, maka kuat

hubungan antara X dan Y diukur dengan suatu nilai yang disebut Koefisien

Korelasi. Nilai koefisien korelasi.ini paling sedikit -1 dan paling besar 1. Jika

r adalah koefisien korelasi,maka nilai r dapat dinyatakan sebagai



79

11 ≤≤− r

Jika

1=r , hubungan X dan Y sempurna dan positif (mendekati 1, hubungan sangat

kuat dan positif)

1−=r , hubungan X dan Y sempurna dan negatif (mendekati -1, hubungan

sangat kuat dan negatif)

0=r , hubungan X dan Y lemah sekali atau tidak ada hubungan.

X dikatakan mempengaruhi Y, jika perubahan nilai X menyebabkan adanya

perubahan nilai Y, artinya naik turunnya nilai X akan mengakibatkan naik

turunnya nilai Y, sehingga nilai Y akan bervariasi. Namun, naik turunnya nilai

Y tidak hanya disebabkan oleh variabel X, karena masih ada faktor lain yang

menyebabkannya. Misalnya naik turunnya hasil panen padi (Y) dipengaruhi

oleh penggunaan pupuk ( 1X ), namun juga dapat dipengaruhi faktor-faktor

lain misalnya luas sawah, curah hujan dan lain-lain. Selanjutnya dapat

dihitung besar kontribusi dari X terhadap naik turunnya nilai Y dengan suatu

koefisien yang disebut koefisien penentuan/koefisien determinasi (coefficient

of determination).

Jika koefisien determinasi ditulis KD, maka untuk menghitung KD sebagai

berikut

2rKD =

Besar koefisien determinasi menunjukkan besarnya sumbangan variabel bebas

terhadap variabel takbebas. Total nilai koefisien determinasi sebesar 100 %,

jika koefisien determinasi bernilai kurang dari 100 % maka sisanya

dipengaruhi oleh faktor lain.

Cara menghitung r adalah sebagai berikut

Rumus 1

∑∑

∑

==

==n

ii

n

ii

n

iii

yx

yxr

1

2

1

2

1



80

XXx ii −= ∑=

=n

iiX

nX

1

1

YYy ii −= ∑=

=n

iiY

nY

1

1

atau

Rumus 2

∑ ∑∑ ∑

∑∑∑

= == =

===

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

YYnXXn

YXYXnr

1

2

1

2

1

2

1

2

111

Contoh (Supranto)

Berikut data penjualan dari perusahaan makanan ringan

X : persentase kenaikan biaya iklan

Y : persentase kenaikan hasil penjualan

X 1 2 4 5 7 9 10 12

Y 2 4 5 7 8 10 12 14

Hitunglah r!

Penyelesaian

Untuk menghitung r, dibuat tabel berikut

Dengan rumus 1 X Y

( )xXX −

( )yYY −

2x 2y xy

1 2 - 5,25 - 5,75 27,5625 33,0625 30,1875

2 4 - 4,25 - 3,75 18,0625 14,0625 15,9375

4 5 - 2,25 - 2,75 5,0625 7,5625 6,1875

5 7 - 1,25 - 0,75 1,5625 0,5625 0,9375

7 8 0,75 0,25 0,5625 0,0625 0,1875

9 10 2,75 2,25 7,5625 5,0625 6,1875

10 12 3,75 4,25 14,0625 18,0625 15,9375



81

12 14 5,75 6,25 33,0625 39,0625 35,9375

∑ = 50iX

25,6=X

∑ = 62iY

75,7=Y

∑ = 0ix

∑ = 0iy

∑ = 5,1072ix

∑ = 5,1172

iy

∑ = 5,111ii yx

99,0389,1125,111

5,1175,1075,111

1

2

1

2

1 ====

∑∑

∑

==

=

n

ii

n

ii

n

iii

yx

yxr

Hubungan antara X dan Y sebesar 0,99 yang menunjukkan hubungan yang

sangat kuat dan positif, artinya kenaikan biaya iklan pada umumnya

menaikkan hasil penjualan.

Koefisien determinasi %989801,02 === rKD artinya sumbangan iklan

terhadap variasi Y (naik turunnya hasil penjualan) adalah 98 %, dan 2 %

sisanya disebabkan oleh faktor-faktor lainnya.

Dengan rumus 2

X Y 2X 2Y XY

1 2 1 4 2

2 4 4 16 8

4 5 16 25 20

5 7 25 49 35

7 8 49 64 56

9 10 81 100 90

10 12 100 144 120

12 14 144 196 168

∑ = 50iX ∑ = 62iY ∑ = 4202iX ∑ = 5982

iY ∑ = 499iiYX



82

∑ ∑∑ ∑

∑∑∑

= == =

===

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

8

1

28

1

28

1

28

1

2

8

1

8

1

8

1

88

8

i iii

i iii

ii

ii

iii

YYXX

YXYXr

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )22 625988504208

62504998

−−

−=r

99,0075,899

892940860

892===

3. Korelasi Rank (Peringkat)

Misalkan ada dua orang Adi dan Bayu yang sama-sama minuman ringan

dalam kemasan. Kedua orang tersebut diminta untuk memberikan penilaian

terhadap 10 merk minuman ringan dalam kemasan. Minuman ringan yang

paling digemari diberi nilai 1 dan seterusnya sampai minuman ringan yang

tidak disenangi diberi nilai 10. Sehingga dalam hal ini Adi dan Bayu

memberikan rank (peringkat) terhadap merk minuman ringan tersebut.

Pemberian peringkat ini dapat juga dibalik, minuman ringan yang paling

digemari diberi nilai 10 dan seterusnya sampai yang tidak disenangi diberi

nilai 1. Diperoleh hasil pemberian rank sebagai berikut

No Merk Minuman Ringan Rank dari Adi Rank dari Bayu 1 Coca Cola 9 8 2 Fanta 5 3 3 Sprite 10 9 4 Frestea 1 2 5 Mizone 8 7 6 Pulpy Orange 7 10 7 Teh Sosro 3 4 8 Pepsi Blue 4 6 9 Fruittea 2 1

10 Tebs 6 5

Untuk menghitung koefisien korelasi antara rank dari Adi dan Bayu terhadap

10 merk minuman ringan dalam kemasan tersebut digunakan Koefisien

Korelasi Rank (Rank Spearman).



83

( )16

1 2

2

−−= ∑

nnd

r irank

dimana

id = selisih dari pasangan rank ke-i

n = banyaknya pasangan rank (dalam hal ini n = 10)

Contoh

Carilah koefisien korelasi rank antara rank Adi dan Bayu dalam menilai 10

merk minuman ringan.

Penyelesaian

Rank Adi 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5

Rank Bayu 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

Selisih Rank (d) -1 -2 -1 1 -1 3 1 2 -1 -1 2d 1 4 1 1 1 9 1 4 1 1

Sehingga

( )( )

( ) 85,08545,01455,01110010

1141611

61 2

2

==−=−

++++−=

−−= ∑ K

nnd

r irank

Jadi, koefisien korelasi rank antara rank Adi dan Bayu dalam menilai 10 merk

minuman ringan sebesar 0,85.

Contoh (Supranto, 1992: 159)

Ada 10 calon sales yang diuji mengenai teknik penjualan. Setelah mereka

selesai diuji kemudian ditugaskan untuk melakukan penjualan. Diperoleh data

hasil ujian (X) dan hasil penjualan tahun pertama (Y). Nilai X dan Y dari 10

sales termasuk rank-nya adalah sebagai berikut.

Sales Nilai Ujian (X)

Rank Hasil Penjualan

(Y)

Rank Selisih Rank (d)

2d

A 48 3 312 2 1 1 B 32 6 164 8 -2 4 C 40 5 280 4 1 1 D 34 7 196 7 0 0



84

E 30 8 200 6 2 4 F 50 1,5 288 3 -1,5 2,25 G 26 9 146 10 -1 1 H 50 1,5 361 1 0,5 0,25 I 22 10 149 9 1 1 J 43 4 252 5 -1 1

Karena F dan H memiliki nilai yang sama maka rank mereka harus sama yaitu

5,12

21=

+ . Mula-mula F diberi nilai 1 dan H diberi nilai 2 (atau sebaliknya,

kemudian dirata-rata). Apabila terdapat 3 objek yang memiliki nilai yang

sama, maka diurutkan dan dicari rata-ratanya.

Sehingga

( )( )

( ) 9061,00939,01110010

1141611

61 2

2

=−=−

++++−=

−−= ∑ K

nnd

r irank

Jadi, koefisien korelasi rank antara rank nilai ujian dan hasil penjualan sebesar

0,9061.

LATIHAN

1. Berikan contoh pasangan variabel yang memiliki hubungan positif dan

negatif.

2. Tentukan apakah hubungan variabel X dan Y berikut positif atau negatif.

Hitung nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi kemudian

interpretasikan hasilnya.

a. X 2 4 3 8 9 10 15 13

Y 1 2 5 7 8 11 13 14

b. X 1 3 4 7 9 11 13

Y 12 11 9 8 6 5 4



85

3. Berikut data nilai hasil ujian mahasiswa matematika Unnes

X : nilai hasil ujian Kalkulus mahasiswa matematika Unnes

Y : nilai hasil ujian Statistika mahasiswa matematika Unnes

X 7 6 8 9 10 5 4 9 7 3

Y 6 8 9 7 9 6 5 8 8 4

Hitung nilai koefisien korelasi dan koefisien determinasi kemudian

interpretasikan hasilnya.

4. Amat dan Budi diminta untuk memberikan rank berdasarkan suka dan

tidaknya terhadap merk rokok tertentu. Rokok yang paling disenangi diberi

nilai 10 dan yang paling tidak disenangi diberi nilai 1. Diperoleh hasil rank

sebagai berikut.

No Merk Rokok Rank dari Amat Rank dari Budi 1 AAA 2 9 2 BBB 10 4 3 CCC 8 3 4 DDD 3 6 5 EEE 4 5 6 FFF 1 7 7 GGG 5 8 8 HHH 2 6

Hitung koefisien korelasi rank berdasarkan data tersebut!

5. Tabel berikut menunjukkan nilai 10 mahasiswa yang telah berbentuk rank,

yang diperoleh dari hasil ujian kuliah Statistika dan Praktikum. Carilah

korelasi ranknya.

Praktikum 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5

Statistika 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6



86

DAFTAR PUSTAKA

Hasan, I. 2001. Pokok-Pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif). Edisi Kedua.

Bumi Aksara. Jakarta.

Sudjana. 1996. Metoda Statistika Edisi ke 6. Penerbit Tarsito. Bandung.

Sugiyono. 2005. Statistik Untuk Penelitian. Penerbit Alfabeta. Bandung.

Supranto, J. 1992. Statistik Teori dan Aplikasi. Jilid 1. Erlangga. Jakarta.

Walpole, R & Myers, R. 1986. Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur dan

Ilmuan. Terjemahan. Penerbit ITB. Bandung.

statistika inferensial 1

Documents