Rumus Sudut Majmuk/Addition Formulai. Rumus Sudut Majmuk (Addition Formulae) adalah berikut

sin (A + B) = sinA kosB + kos A sinBsin (A - B) = sinA kosB - kos A sinB

kos (A + B) = kosA kosB - sin A sinBkos (A - B) = kosA kosB + sin A sinB

tan (A + B) = tan A+ tanB1−tan A tanB

tan (A - B) = tan A− tanB1+ tan A tan B

ii. Daripada sin (A + B) = sinA kos B + kos A sin B, jika B = A makasin(A + A) = sin 2A = sinA kosA + kos A sin A

= 2 sinA kos A

Daripada kos (A + B) = kos A kos B - sin A sin B, jika B = A makakos(A + A) = kos 2A = kos A kos A + sin A sin A

= kos2 A + sin2 A

Oleh kerana kos 2 A + sin 2 A = 1kos 2A = kos 2 A – ( 1 – kos 2 A) = kos 2 A – 1 + kos 2 A = 2 kos 2 A – 1

ataukos 2A = ( 1 – sin 2 A) – sin 2 A = 1 – 2 sin 2 A

Daripada tan (A + B) = tan A+ tanB1−tan A tanB , jika B = A maka

tan (A + A) = tan 2A = tan A+ tan A1−tan A tan A

= 2 tan A

1−tan2 A

Maka Rumus Sudut Berganda (Double angle formulae) adalah :

sin 2A = 2 sinA kos A

kos 2A = 2 kos 2 A – 1

1

= 1 – 2 sin 2 A

tan 2A = 2 tan A

1−tan2 A

iii. Rumus sudut separuh (Half angle formulae)

sin A = 2 sin A2

kos A2

kos A = kos 2 A2

– sin 2 A2

= 2 kos 2 A2

– 1

= 1 – 2 sin 2 A2

tan A = 2 tan

A2

1−tan2A2

Contoh soalan yang menggunakan rumus majmuk dan sudut berganda

1. Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai-nilai yang berikuta. kos 105°b. sin 85° kos 40° – kos 85° sin 40°c. kos 2 15° – sin 2 15°

d.tan 85 °−tan 40 °1+ tan 85 ° tan 45 °

e. sin 165°

(Panduan : 105° = 60° + 45° : Lukis segitiga tepat bagi 60° dan 45°)

2. Permudahkan setiap fungsi trigonometri yang berikut ke satu nisbah trigonometri. Kemudian dengan menggunakan kalkulator, tentukan nilainya

a. kos 25° kos 45° - sin 25° sin 45°

b.tan 32 °+ tan 67 °1−tan32 ° tan 67 °

c. sin 52° kos 40° + kos 52° sin 40°

3. Permudahkan setiap fungsi trigonometri yang berikut dan cari nilainya dengan menggunakan kalkulator

2

a. 2 sin 53° kos 53°b. kos 2 82° - sin2 82°c. 1 – 2 sin2 66°

d.2 tan 38 °

1−tan238 °

Jawapan:

1. a.1−√32√2

b.1

√2c. √3

2d. 1

e. √3−12√2

2. a. 0.3420b. -6.314c. 0.9994

3. a. 0.9613b. -0.9613c. -0.6691d. 4.011

Latihan

1. Buktikan setiap identiti yang berikuta. (sin θ + kos θ)2 ≡ 1 + sin 2θ

b. tan θ ≡ sin2θ1+kos2θ

c. kot θ – tan θ ≡ 2 kot 2θd. (2 kos θ + 1)(2 kos θ – 1) ≡ 2 kos 2θ + 1

2. Selesaikan persamaan trigonometri yang berikut bagi 0°≤ θ ≤360°a. kos 2θ = 3 kos θ – 2b. sin 2θ = kos θc. 3 kos 2θ + 8 sin θ + 5 = 0

3

3. Diberi tan A = p dan sin 2A = 2 p

1+ p2 . Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai untuk tan 15°

4. Selesaikan persamaan berikut bagi 0°≤ A ≤360°

i 6 kosek 2 A – 13 kot A = 0.ii. kos 2A = kos Aiii. 2 sin 2A = kos 2 A

5. Diberi bahawa tan θ = p , 0°≤ θ ≤90°, nyatakan setiap yang berikut dalam sebutan pi. sin θii. kos (90° - θ)

4