PEMBANDINGAN ORTOGONAL POLINOMIAL

- Sifat kuantitatif (perlakuan merupakan level suatu faktor,

antara perlakuan satu dan perlakuan berikutnya berjarak tetap)

- Bertujuan melihat respon perlakuan yang diberikan

→ berupa persamaan atau fungsi.

- Komponen - komponen perlakuan adalah tingkatan persamaan atau kurva respon berbentuk regresi yang mungkin terjadi

- Banyaknya kurva respon umumnya sampai dengan

fungsi polinomial berderajat k.

Contohnya

►Perlakuan Dosis Pupuk, Konsentrasi Obat, Ukuran Volume Media

►Taraf dari dosis : 10cc, 20cc, 30cc, 40cc

►Konsentrasi 1ppm, 2ppm, 3ppm

Hubungan yang terjadi dapat :

1. Linier

2. Kuadtratik

3. Kubik NON LINIER

4. Kuartik

5. Kuintik

Dst

DIPILIH SALAH SATU YG TERBAIK

Cara Memilih :1. Dengan Ploting Data Pengamatan

2. Dengan Memecah Perlakuan ke dlm komponen : linierm kuadratik dst dan

menghitung F

3. Dengan membandingkan nilai koef determinasi > dg Prog. Curve Expert

Hubungan non-linier

• Merupakan hubungan non linier

• Hub non linier : perubahan pada Y diikuti dengan

perubahan yang tidak tetap pada X dalam wilayah

yang ditentukan

• Contoh : respon padi terhadap pemupukan, pola

pertumbuhan tanaman antar waktu

• Sedang hubungan linier € perubahan tetap

pada seluruh wilayah

Regresi non linier sederhana

• Untuk hubungan non linier, pemilihan regresi

(dan korelasi) yang tepat tergantung bentuk

fungsi yang digunakan

• Sebelum menduga model regresi, maka

linierkan bentuk yang tidak linier

• Transformasi variabel (peubah)

• Membentuk variabel baru

Transformasi variabel

• Bentuk-bentuk yang umum ditemukan di

penelitian pertanian• Y = a eþX € Y’=a’ + þX

• Y = a þX € Y’= a’ + þ’X

dimana Y’=lnY, a’=lna

dimana Y’=logY,a’=loga dan þ’= log þ

dimana Y’=1/Y• 1/Y = a + þX € Y’= a+þX

• Y = a + þ/X € Y’= a+þX’

• Y=(a + þ/X)-1 € Y’= a+þX’

dimana X’=1/X

dimana Y’=1/Y, X’=1/X

Pembentukan variabel baru

• Hubungan non-linier antara 2 variabel €

dilinierkan melalui pembentukan 1 atau lebih

variabel, sedemikian rupa sehingga dapat

menghitung komponen non-linier dari fungsi

aslinya.

• Dalam penelitian pertanian, teknik ini paling

banyak digunakan pada derajad polinomial ke-

k

Contoh• Y = þ0 + þ1X + þ2X2 + …+ þkXk dapat

dilinierkan membentuk peubah baru, micalnya Z1, Z2, … cehingga €

• Y = þ0 + þ1Z1+ þ2Z2 + … + þkZk

• Dimana Z1=X, Z2=X2, Zk=Xk

• Perhatikan bahwa bentuk tercebut adalah regreci linier berganda, dimana dengan variabel bebac Zi

• Untuk menduga model regreci tercebut € maka digunakan cara pendugaan regreci linier benganda

Dengan Scater Plot

o

o

o o

o o

o

o

oo o

o o

o o

Bentuk Kuadratik Bentuk Kubik

Bila digambar kurva € mungkin

o

o

o o

o o

o

o

oo o

o o

o o

Bentuk Kuadratik Bentuk Kubik

• Untuk menduga model regreci polinomial

berderajat k (kuadratik, kubik dct,)

dibutuhkan n>k+1 pacang data

• Bentuk kurva polinomialnya dapat diduga

melalui bentuk diagram pencar dari data

tercebut

• Perhatikan contoh berikut

Perhitungan regresi kuadratik

• Bentuk umum Y = þ0 + þ1X + þ2X2

• Diduga dengan Y = b0 + b1X + b2X2

• Bentuk ini dapat diduga dengan melinierkan

menjadi Y = b0 + b1Z1+ b1Z2

• Perhatikan bahwa model baru hacil trancformaci

tercebut adalah model regreci linier berganda,

cehingga dapat dicari dengan pendugaan model

regreci linier berganda, menggunakan rumuc

langcung atau matrik

Contoh Soal: Data recpon hacil padi pada pemupukan N

Nomor Pasangan Hasil Gabah

(kg/ha) Y

N (kg/ha)

(X=Z1)

X2=Z2

1 4,878 0 0

2 5,506 30 900

3 6,083 60 3.600

4 6,291 90 8.100

5 6.361 120 14.400

Perhatikan bahwa variabel X sudah diganti dengan Z dan X2

diganti dengan Z2. Dengan demikian kerjakan

menurut regresi linier berganda

Isi total, rata, jumlah kuadrat

No Y Z1 Z2 YZ1 YZ2 Z1Z2

1 4,878 0 0

2 5,506 30 900

3 6,083 60 3.600

4 6,291 90 8.100

5 6.361 120 14.400

Total 6383,758 300 27000

Rata2 2127,91933 100 9000

Jk 40462451,7 27000 286740000

Isi YZ1

No Y Z1 Z2 YZ1 YZ2 Z1Z2

1 4,878 0 0 0

2 5,506 30 900 165,18

3 6,083 60 3.600364,98

4 6,291 90 8.100 566,19

5 6.361 120 14.400 763320

Total 6383,758 300 27000 764416,4

Rata2 2127,91933 100 9000 254805,5

Jk 40462451,7 27000 286740000

Isi YZ2

No Y Z1 Z2 YZ1 YZ2 Z1Z2

1 4,878 0 0 0 0

2 5,506 30 900 165,18 4955,4

3 6,083 60 3.600364,98 21898,8

4 6,291 90 8.100 566,19 50957,1

5 6.361 120 14.400 763320 91598400

Total 6383,758 300 27000 764416,4 91676211

Rata2 2127,91933 100 9000 254805,5 30558737

Jk 40462451,7 27000 286740000

Isi Z1Z2

No Y Z1 Z2 YZ1 YZ2 Z1Z2

1 4,878 0 0 0 0 0

2 5,506 30 900 165,18 4955,4 27000

3 6,083 60 3.600364,98 21898,8 216000

4 6,291 90 8.100 566,19 50957,1 729000

5 6.361 120 14.400 763320 91598400 1728000

Total 6383,758 300 27000 764416,4 91676211 2700000

Rata2 2127,91933 100 9000 254805,5 30558737 900000

Jk 40462451,7 27000 286740000

Menghitung b1 dan b2

• Dari rumus

• Ingat bahwa

222

2Σ 2 Σ 1 Σ 1 2 2

Σ 1 Σ 2 Σ 1 2( x )( x ) ( x x )

x )( x y ) ( x x )( x y)b1

(

X ) / nx (X ) ( 222Σ 2 Σ 2 Σ 2

karena merupakan rumus varian

• Dan untuk

• Sehingga setiap nilai varian dan kovarian harus

diselesaikan dulu rumusnya baru nilai dimasukkan

untuk menghitung b1 dan b2

Σ Σ Σx X ) / n(X ) ( 21

2 21 1

Setelah semua varian dan kovarian dimasukkan, maka..

• Diperoleh b1 = 26,65b2 = -0,118

•Dan b0

dengan rumus

diperoleh

b0 = 4,862

b0 Y b1 X 1 b2 X 2

• Persamaan regresi diperoleh

Y = 4,862 + 26,65 Z1 -0,118 Z2

• Karena Z1 dan Z2 merupakan nilai dari X dan X², maka

Y = 4,862 + 26,65 X - 0,118 X2

Anova, koefisien determinasi dan kesimpulan

• Kerjakan anovanya, ketemu Fhit = 245,32, dimana

lebih besar dari F tabel 1% sehingga sangat nyata

• Kesimpulan : respon hasil terhadap pemupukan N dapat

diterangkan dengan persamaan kuadrat

• Hitung koefisien determinasi dan ketemu R² = 0,996

• Artinya : sebayak 99,6% keragaman hasil padi

diterangkan(dipengaruhi) oleh pemupukan N dengan

penduga persamaan regresi kuadrat

BAHAN DISKUSI

• Lakukan analisis untuk regresi polinomial

berderajad 2 (regresi kuadrat)

• Data di akhir slide

•

kuadrat

• Hitung anovanya dan koefisien determinasinya

• Berikan kesimpulan dan interpretasinya

Pengaruh penggunaan pupuk cair thd produksi sorgum

Konsentrasi

( pupuk cair)

(%)

Pengamatan/ kelompokTotal

1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

7 7 15 11 9

12 17 12 18 18

14 18 18 19 19

19 25 22 19 23

7 10 11 15 11

49

77

88

108

54

T o t a l 376

Sidik Ragam

S.K. d.b. J.K. K.T. Fhitung Ftabel

0,05 0,01

Perlakuan

G a l a t

4

20

475,76

161,20

118,94

8,06

14,76** 2,87 4,43

T o t a l 24 636,96

Uji BNJ :

Perlakuan

(Konsentrasi)

Rerata perl.

( x )

B e d a

(x–5%) (x–25%) (x–10%)(x–15%)

BNJ

(5%)

20%

15%

10%

25%

5%

21,6 a

17,6 ab

15,4 bc

10,8 cd

9,8 d

11,8* 10,8* 6,2* 4,0

7,8* 6,8* 2,2

5,6* 4,6

1,0

5,4

Koefisien Ortogonal Polinomial untuk 5 perlakuan

R e s p o n

(derajat polinomial)

Koefisien Ortogonal polinomial Jumlah

Kuadrat

Koefisien

Perlakuan & Total

(5%) (10%) (15%) (20%) (25%)

49 77 88 108 54

Linier

Kuadratik

Kubik

Kuartik

-2 -1 0 1 2

2 -1 -2 -1 2

-1 2 0 -2 1

1 -4 6 -4 1

10

14

10

70

{(-2)x49 + (-1)x77 + 0x88 + 1x108 + 2x54}

JK linier = = 33,62

5 x 10

{2x49 + (-1)x77 + (-2)x88 + (-1)x108 + 2x54}

JK kuadratik = = 343,21

5 x 14

2

2

JK kubik = 64,98JK kuartik = 33,95

Uji Respon melalui Sidik Ragam

S.K. d.b. J.K. K.T. Fhitung Ftabel

0,05 0,01

Perlakuan

- Linier

- Kuadratik

- Kubik

- Kuartik

G a l a t

4

1

1

1

1

20

475,76

33,62

343,21

64,98

33,95

161,20

118,94

33,62

343,21

64,98

33,95

8,06

4,17

42,58**

8,06*

4,21

4,25 8,10

T o t a l 24 636,96

Jadi respon perlakuan pupuk cair terhadap prod sothum s merupakan

bentuk regresi kubik.

Coefficients and divisors for Orthogonal Comparisons in Regression

Number of

treatments

Degree of

polynomial

Treatment totals

T1 T2 T3 T4 T5 T6

Divisor

( ∑Ci ) λ

2 1 -1 +1 2 2

3 1

2

-1 0 +1

+1 -2 +1

2

6

1

3

4 1

2

3

-3 -1 +1 +3

+1 -1 -1 +1

-1 +3 -3 +1

20

4

20

2

1

10/3

5 1

2

3

4

-2 -1 0 +1 +2

+2 -1 -2 -1 +2

-1 +2 0 -2 +1

+1 -4 +6 -4 +1

10

14

10

70

1

1

5/6

35/12

61

2

3

4

5

-5 -3 -1 +1 +3 +5

+5 -1 -4 -4 -1 +5

-5 +7 +4 -4 -7 +5

+1 -3 +2 +2 -3 +1

-1 +5 -10 +10 -5 +1

70

84

180

28

252

2

3/2

5/3

7/12

21/10

2

Andaikan kita mempelajari pengaruh dosis vitamin (X) terhadap kenaikan berat badan domba (Y), datanya:

Dosis (X) 1 2 3 4 5 6 7 8

Kenaikan BB (Y) 1 1.2 1.8 2.5 3.6 4.7 6.6 9.1

Source df SS MS F

Regresi X 1 52.04 52.04 260.2

X2lX 1 4.83 4.83 24.15

Residual 5 0.20

Total 7 57.07

Scatter plot Pertambahan Berat Badan dan Dosis

Dari data yang ada dan ANOVA tabel diperoleh:

Y = 1.13 – 0.41X + 0.17X2 dan nilai r2 = 0.997

Perhatikan bila dalam model hanya ada X saja.

Source df SS MS F

Regresi ( X) 1 52.04 52.04 61.95

Residual 6 5.03 0.84

Total 7 57.07

Persamaan garis: Y = 1.20 + 1.11X dan nilai r2 = 0.912

Nilai Fhitung = 61.95 > F 1,6,0.975=8.81 H0 ditolak

Kembali ke ANOVA tabel sebelumnya, kita akan uji apakah pe(+)an IV X2 secara bermakna akan memprediksi Y setelah ada IV X didalam model. DPL kita bertanya apakah pe(+)an r2 sebesar 0.085 (0.997 - 0.912) berperan dalam memprediksi DV

kita gunakan:

F = (ekstra SS karena pe(+)an X2)/MS residual = 4.83/0.04 = 120.75 > F1,5,0.975 = 10.0

disimpulkan pe(+)an IV X2 bermakna meningkatkan prediksi Y.

Mungkinkan kita me(+)kan third order atau me(+) X3

dalam model.

Perhatikan ANOVA tabel berikut.

Source df SS MS F

Regresi X 1 52.04 52.04

X2lX 1 4.83 4.83 120,75 *

X3lX, X2 1 0.14 .14 10.0

Residual 4 0.056 0.014

Total 7 57.066

Nilai F utk pe(+)an DV X3 = 10.0 < F1,4,0.975 = 12.2 H0: 3 = 0 diterima pe(+) third order (X3) tidak

memprediksi Y. Kita berkeseimpulan bahwa a) pe(+)an second order sangat fit dgn nilai r2=0.997, b) pe(+)an nilai r2 menjadi 0.999 pada third order hanya sebesar 0.002 kecil, c) kurva yang ada cukup diterangkan dgn

‘second order’

aplikasi

Curve expert

S = 13.41782360

r = 0.67466041

X Axis (units)

Y A

xis

(u

nit

s)

0.0 4.6 9.2 13.8 18.3 22.9 27.50.00

10.63

21.27

31.90

42.53

53.17

63.80 x y15 3415 3615 3820 5620 5820 5325 3425 3225 36

Linear Fit: y=a+bxStandard Error: 13.4178236Correlation Coefficient: 0.6453155Comments:Linear regression completed successfully. No weighting used.

S = 9.51652423

r = 0.87188971

X Axis (units)

Y A

xis

(u

nit

s)

0.0 4.6 9.2 13.8 18.3 22.9 27.50.00

10.63

21.27

31.90

42.53

53.17

63.80

Quadratic Fit: y=a+bx+cx^2Coefficient Data:a = -2.2335165b = 5.1710623c = -0.14172161

Kenaikan Berat Badan Kambing pada Akhir Percobaan

Perlakuan

(Jumlah Stylo)

U l a n g a n Total

1 2 3 4 5

A ( 0 kg )

B ( 0,5 kg)

C ( 1 kg )

D ( 1,5 kg)

E ( 2 kg )

1,52

1,70

1,80

1,85

2,20

1,63

1,74

1,78

1,90

1,99

1,77

1,62

1,79

1,85

2,01

1,56

1,80

1,70

1,92

2,10

1,60

1,73

1,89

2,00

1,98

8,08

8,59

8,96

9,52

10,28

45,43