60302812 unit 2 kaedah cerun pesongan rasuk

8/3/2019 60302812 Unit 2 Kaedah Cerun Pesongan Rasuk

1/54

OBJEKTIF

Objektif am :

Mempelajari, memahami dan menggunakan kaedah cerun pesongan dalam

proses menyelesaikan masalah bagi rasuk tidak boleh tentu statik.

Objektif khusus :

Menerbitkan persamaan cerun pesongan.

Menentukan nilai momen hujung terikat.

Menentukan nilai serta melakarkan gambarajah momen lentur.

Menentukan nilai serta melakarkan gambarajah daya ricih.

Menyelesaikan masalah yang disebabkan oleh beban tumpu, beban teragih

seragam dan beban gabungan.

KAEDAH CERUN PESONGAN (RASUK)2


2/54

CERUN PESONGAN (RASUK) C4303/U2/2

2.1 Pengenalan

Sesuatu rasuk akan melentur apabila dibebankan. Akibat daripada lenturan

ini maka terjadilah cerun dan pesongan. Cerun adalah sudut antara garis asal

rasuk dan garis tengen pada lengkung lenturan yang melalui titik tersebut

manakala pesongan pula adalah ukuran untuk menunjukkan kuantiti lenturan bagi

sesuatu rasuk, iaitu jarak tegak antara garis asal rasuk sebelum dan selepas

lenturan.

Umumnya rasuk yang disokong mudah akan mengalami pesongan yang

lebih besar berbanding dengan rasuk yang disokong tegar dengan pembebanan

yang sama. Struktur keluli biasanya boleh mengalami pesongan yang lebih besar

berbanding dengan struktur konkrit kerana konkrit adalah lemah dalam tegangan.

Pesongan yang terjadi pada sesuatu struktur sukar dilihat dengan jelas oleh mata

kasar.

Dengan melihat kepada rajah 2.1 di atas yB ialah pesongan pada titik B

manakala A ialah cerun pada titik A. Dalam reka bentuk, pesongan yang

berlebihan boleh menyebabkan kegagalan pada rasuk. Oleh yang demikian adalah

mustahak untuk menentukan pesongan maksimum rasuk dan memastikan

pesongan ini kurang dari pesongan yang dibenarkan.

Rajah 2.1

INPUT

W

A yB

B C

yA

A


3/54


2.2 Menerbitkan Persamaan Cerun Pesongan.

Untuk menerbitkan persamaan cerun pesongan kita perlu analisis

perubahan sesuatu struktur atau rasuk. Di sini terdapat tiga kesan yang perlu

dipertembangkan dalam menerbitkan persamaan cerun pesongan iaitu kesan

putaran, kesan anjakan dan kesan momen hujung terikat.

2.2.1 Kesan putaran dan kesan anjakan.

Apabila sesuatu rasuk dikenakan beban, rasuk akan mengalami kesanputaran dan anjakan. Rajah 2.2 menunjukkan bagaimana rentang AB mengalami

perubahan selepas pembebanan menjadi AB. Bahagian pada titik A akan

berputar sebanyak A dan titik B sebanyak B. Rasuk ini juga akan teranjak dari

titik A ke A pada jarak x1,y1 dan dari titik B ke B pada jarak x2,y2.

Untuk menerbitkan persamaan cerun pesongan, kita mestilah mendapatkan

momen pada keratan x-x

MAB - VA(x) - Mx = 0

Mx = MAB - VA(x)

Kita ketahui formular kelengkungan adalah :-

EI d2y = - Mx

Rajah 2.2

L

y1 A B

A MAB MX y A y2

VA

MBA

x1 B B

VBx x2


4/54


dx2

gantikan dalam formula kelengkungan, maka

EI d2

y = - MAB + VA (x) ------------------------------ (1)dx2

Gunakan kaedah kamiran untuk mendapatkan persamaan kecerunan dan

pesongan.

Kecerunan = dy ; Pesongan = y

dx

EI dy = - MAB (x) + VA (x2) + C1 ------------------------------ (2)

dx 2

EI y = - MAB (x2) + VA (x

3) + C1(x) + C2 ----------------------------- (3)

2 6

C1 dan C2 adalah pemalar

Langkah seterusnya kita kena lihat keadaan sempadan pada titik A. (sila lihat

rajah 2.2)

Apabila x = 0 maka dy = A dan y = y1dx

Gantikan nilai-nilai di atas dalam pers. (2) & (3)

EI A = - MAB (0) + VA (02) + C1

2

maka kita dapati, EI A = C1

EI y1 = - MAB (02) + VA (0

3) + C1(0) + C2

2 6

maka kita dapati, EI y1 = C2

Seterusnya masukkan nilai pemalar C1 dan C2 dalam pers. (2) & (3), maka

EI dy = - MAB (x) + VA (x2) + EI A ----------------------------- (4)

dx 2

EI y = - MAB (x2) + VA (x

3) + EI A(x) + EI y1 ----------------------------- (5)2 6

Apabila x = L maka dy = B dan y = y2dx

Gantikan nilai-nilai di atas dalam pers. (4) & (5), kita akan dapat satu persamaan

yang baru iaitu pers. (6) & (7).


5/54


Dari pers. (4)

EI B = - MAB (L) + VA (L2) + EI A ----------------------------- (6)

2

Langkah seterusnya kita kena lihat keadaan sempadan pada titik B. (sila lihat

rajah 2.2)

Dari pers. (5)

EI y2 = - MAB (L2) + VA (L

3) + EI A(L) + EI y1 --------------------- (7)

2 6

Kemudian kita selesaikan kedua-dua persamaan ini dengan persamaan serentak.

Dari pers. (6) kita jadikan VA sebagai tajuk, maka kita dapati,

VA = 2 [ MAB L - EI A + EI B ]

L2

Kemudian masukkan nilai VA dalam pers. (7), maka kita dapati,

EI y2 = - MAB (L2) + (L3) 2 [ MAB L - EI A + EI B ] + EI AL + EI y1

2 6 L2

selesaikan persamaan di atas dengan menjadikan MAB sebagai tajuk.

EI y2 = - MAB (L2) + MAB (L

2) - EI A L + EI B L + EI AL + EI y12 3 3 3

EI y2 = - 3MAB (L2) + 2MAB (L

2) - 2EI A L + 2EI B L + 6EI AL + 6EI y1

6

6EI y2 = - 3MAB (L2) +2MAB (L

2) - 2EI A L + 2EI B L + 6EI AL +6EI y1

6EI y2 = - MAB (L2) + 4EI A L + 2EI B L + 6EI y1

MAB (L2) = 4EI A L + 2EI B L + 6EI y1 - 6EI y2

MAB = 4EI A L + 2EI B L - 6EI y2 + 6EI y1

L2 L2 L2 L2

MAB = 4EI A + 2EI B - 6EI y2 + 6EI y1L L L2 L2

MAB = 2EI [ 2 A + B - 3y2 + 3y1 ]L L L

MAB = 2EI [ 2 A + B - 3 (y2 y1) ]

L L

Diketahui ( y2 y1) =

kesan putaran

MAB = 2EI [ 2 A + B - 3 ]


6/54


L L

Kesan anjakan

2.2.2 Kesan momen hujung terikat.

Untuk mengukuhkan sesuatu keadaan rasuk, penyinkiran semua darjah

kebebasan perlu dilakukan. Ini akan menyebabkan penambahan kekangan yang

mengikat kedua-dua hujung rasuk itu dengan tegar. Rajah 2.3 menunjukkan satu

rasuk AB yang diikat tegar.

A B

2.2.3 Persamaan momen yang lengkap.

Untuk mendapatkan persamaan cerun pesongan rentang AB, ketiga-tiga

kesan tadi digabungkan seperti ditunjukkan di bawah :-Persamaan momen pada titik A,

MAB = 2EI [ 2 A + B - 3 ] - MFABL L

Persamaan momen pada titik B,

MBA = 2EI [ 2 B + A - 3 ] + MFABL L

Nilai momen hujung terikat.

Pada bahagian ini ditunjukkan bagaimana hendak menentukan nilai

momen hujung terikat bagi setiap kes rasuk di bawah. Contoh 2.1 merupakan satu

rasuk yang mempunyai panjang rentang 4 m dan diikat tegar pada titik A dan pin

L

Rajah 2.3

-M

F

AB +M

F

BA


7/54


pada titik B yang dikenakan beban tumpu 40 kN pada pertengahan rentang. Untuk

kes-kes pembebanan yang lain sila rujuk jadual 2.1.

Nilai Momen Hujung Terikat (MF) Bagi Nilai Sekata.

MFAB = - WL2

12

MFBA = WL2

12

MFAB = - wab2

L2MFBA = w ba

2

L2

MFAB = - wL

8

MFBA = wL

8

MFAB = - WL2

30

MFBA = WL2

30

MF

AB = -Mb(2a-b)L2 MF

BA = Mb(2b-a)L2

MFAB = - WL2

8

MFBA = WL2

8

W / panjang unit

A B

L

w

A B

a b

w

A B

L/2 L/2

W / panjang unit

A B

L

M

A B

a b

W / panjang unit

A B

L

Jadual 2.1


8/54


Tentukan nilai momen hujung terikat bagi rasuk di bawah.

Lukis semula rentang AB dengan mengikat pada kedua-dua bahagian seperti

ditunjukkan dalam gambarajah di bawah dengan keadaan daya dan jarak yang

sama.

Dari jadual 2.1 kita dapati ;

MFAB = - wL MF

BA = + wL

8 8

Masukkan nilai w = 40 kN dan panjang rentang AB = 4 m dalam formula di atas ;

MFAB = - 40(4) MF

BA = + 40(4)8 8

MFAB = - 20 kNm MF

BA = + 20 kNm


40 kN

A B

2 m 2 m

50 kN 15 kN

A B

2 m 2 m 2 m

Contoh 2.2

Contoh 2.1

Penyelesaian

Rentang AB

40 kN

MFAB

MFBA

2 m 2 m

lihat jadual 2.1

m.s. 7


9/54


Dari rentang di atas kita dapati ;

w1 = 50 kN ; a1 = 2 m ; b1 = 4m ; L = 6 m

w2 = 15 kN ; a2 = 4 m ; b2 = 2m

MFAB MF

BA

MFAB = - w1a1b12 - w2a2b2

2 MFBA = + w1b1a12 + w2b2a2

2

L2 L2 L2 L2

MFAB = - 50(2)(4)2 - 15(4)(2)2 MFBA = + 50(4)(2)

2 + 15(2)(4)2

62 62 62 62

MFAB = - 51.11 kNm MF

BA = + 35.56 kNm


12 kN

MFAB MF

BA

1 m 3 m

12 kN

6 kN/m

EI 2EI

A B C

1m 3 m 3 m

Contoh 2.3

Penyelesaian

Rentang AB

Penyelesaian

Rentang AB

50 kN 15 kN

MFAB MF

BA

2 m 2 m 2 m


10/54



w = 12 kN ; a = 1 m ; b = 3 m ; L = 4 m

MFAB MF

BA

MFAB = - wab2 MFBA = + wba

2

L

2

L

2

MFAB = - 12(1)(3)2 MFBA = + 12(3)(1)

2

42 42


BA = + 2.25 kNm

Perhatian perlu diberikan pada rentang BC kerana ianya adalah rasuk julur. Pada

rentang ini tiada berlakunya keadaan momen hujung terikat. Penyelesaian

hendaklah diselesaikan seperti kes rasuk julur.

MBC = - WL2

2

MBC = - 6(3)2

2

MBC = - 27 kNm


Rentang BC

Contoh 2.4

Rentang BC

6 kN/m

B MBC

C

3 m

atauMBC + 6(3)(1.5) = 0

MBC = - 27 kNm


11/54


W = 24 kN/m ; L = 5 m

MFAB MF

BA

MFAB = - WL2 MFBA = + WL

2

12 12

MFAB = - 24(5)2 MFBA = + 24(5)

2

12 12

MFAB = - 50 kNm MFBA = + 50 kNm

MFBC MF

CB

MFBC = - WL MF

CB = + WL

8 8

MFBC = - 40(4) MF

CB = + 40(4)

8 8

MFBC= - 20 kNm MF

CB= + 20 kNm


40 kN

24 kN/m

1.5 EI EI

A B C

5 m 2 m 2 m


Contoh 2.5

Rentang BC

Penyelesaian

Rentang AB

24 kN/m

MFBC

MFCB

B C

24 kN/m

MFAB

MFBA

A 5 m B


12/54


MFAB MF

BA

MFAB = - WL2- wab2 MFBA = + WL

2 + wba2

12 L2 12 L2

MFAB = - 8(3)2 - 12(1)(2)2 MFBA = + 8(3)

2 + 12(2)(1)2

12 32 12 32

MFAB = - 11.33 kNm MFBA = + 8.67 kNm

MFBC MFCB

MFBC = - wab2 MFCB = + wba

2

L2 L2

MFBC = - 10(2)(1)2 MFCB = + 10(1)(2)

2

32 32

MFBC = - 2.22 kNm MF

CB = + 4.44 kNm

12 kN 7 kN

20 kN8 kN/m 6 kN/m

30

3EI 2 EI EIA B C D

1 m 2 m 2 m 1 m 2 m

20 kN

30

MFBC MF

CB

2 m 1 m

* huraikan daya 20 kN secara menegak

20 sin 30= 10 kN

20 kN

30

Rentang BC

Rentang CD

Penyelesaian

Rentang AB

24 kN/m

MFAB

MFBA

A B

12 kN

8 kN/m

A MFAB

MFBA

B

1 m 2 m


13/54


Penyelesaian hendaklah diselesaikan seperti kes rasuk julur.

Cara formula

MCD = - WL2 - wL

2

MCD = - 6(2)2 - 7(2)

2

MCD = - 26 kNm

Uji tahap kefahaman anda dengan mencuba aktiviti dibawah berdasarkan

kepada arahan yang diberikan. Untuk semakan, sila rujuk pada helaianberikutnya.

ARAHAN

Tentukan nilai-nilai momen hujung terikat bagi kes-kes di bawah.

7 kN

6 kN/m

MCDC D

2 m

a) 3 kN5 kN/m

A B C

3 m 3 m

b) 15 kN 7 kN

A B

2 m 2 m 2 m

c) 14 kN

9 kN/m

A B C

1 m 3 m 3 m

atau

Cara pengiraan momen

MCD + 6(2)(1) + 7(2) = 0

MCD = - 26 kNm

AKTIVITI 2A


14/54


d) 15 kN 4 kN

6 kN/m

A B C

2 m 4 m 3 m

e) 7 kN 5 kN

10 kN/m

A B C

6 m 1.5m 1.5m

f) 18 kN

12 kN/m 6 kN/m

A B C D2 m 2 m 4 m 4 m

g) 10 kN 15 kN5 kN/m

A B

3 m 3 m 2 m

h) 8 kN 9 kN

9 kN/m

A B C

1m 2 m 2 m 4 m


15/54


SELAMAT MENCUBA !!!

Jika anda menghadapi sebarang masalah sila rujuk kepada pensyarah anda.

a) MBA = 9 kNm b) MF

AB = -16.44 kNm


BC = 12.89 kNm

MFCB = 3.75 kNm

c) MAB = -7.88 kNm d) MF

AB = -31.33 kNm

MBA = 2.63 kNm MF

BA = 24.67 kNm

MBC = -6.75 kNm MBC = -39 kNmMFCB = 6.75 kNm

e) MFAB = - 30 kNm f) MF

AB = -9 kNmMFBA = 30 kNm M

FBA = 9 kNm

MBC = - 25.5kNm MF

BC = -16 kNm

MAKLUM BALAS 2A

i) 7 kN/m 18 kN

A B C D3 m 5 m 2 m 2 m


16/54


MFCB = 16 kNm

MFCD = -8 kNm

MFDC = 8 kNm

g) MFAB = -44.02 kNm h) MF

AB = -9.44 kNm

MFBA = 50.57 kNm MF

BA = 7.76 kNm

MFBC = -12 kNmMFCB = 12 kNm

i) MBA = 31.5 kNmMFBC = - 14.58 kNm

MFCB = -14.58 kNm

MFCD = -9 kNm

MFDC = 9 kNm

2.4 Menentukan Nilai Serta Melakarkan Gambarajah Momen Lentur.

Dalam input ini kita akan didedahkan bagaimana menentukan nilai

momen lentur akhir. Pelajar perlu melalui langkah-langkah yang akan ditunjukkan

sehingga dapat melakarkan gambarajah momen lentur akhir bagi setiap kes rasuk.

2.4.1 Momen Tindak Balas

Momen lentur tindak balas dihasilkan dengan mengambil kira kesan

pesongan, putaran dan kesan momen hujung terikat di dalam rasuk. Untuk

mendapatkan momen tindak balas kita mesti lihat keadaan sudut pada setiap

INPUT 2B


17/54


tindakbalas rasuk. Pada hujung rasuk yang diikat tegar tidak akan mengalami

sudut putaran ( ) manakala rasuk yang ditupang oleh pin atau roler akan

mengalami sudut putaran, oleh itu kita perlu mencari nilai sudutnya.

2.4.2 Momen Lentur Bebas

Momen lentur bebas adalah momen yang dihasilkan oleh rasuk tupang

mudah atau rasuk julur. Momen lentur bebas dikira dari rentang ke rentang.

Tentukan daya tindakbalas pada rentang dan cari nilai momen pada titik yang

dikehendaki. Biasanya kita akan tentukan nilai momen pada titik yang dikenakan

beban tumpu serta pada titik tengah beban teragih seragam. Kita juga boleh

menggunakan formula dalam menentukan nilai momen tetapi ianya terhad kepada

sesuatu keadaan beban sahaja. Lihat Jadual 2.2 (m.s. 20)

2.4.3 Momen Lentur Akhir

Momen lentur akhir ditentukan dari gabungan momen lentur tindakbalas

dan momen lentur bebas. Di sini anda akan mendapatkan nilai dan melukiskan

gambarajah momen lentur akhir untuk sesuatu kes rasuk.

Langkah yang perlu diikuti adalah seperti berikut :-

a) Menentukan nilai-nilai momen lentur tindakbalas.

i. Momen hujung terikat (MF)

ii. Persamaan Momen

iii. Nilai sudut ( )iv. Nilai momen lentur tindak balas (MLTB)

b) Menentukan nilai momen lentur bebas.

i. Daya tindakbalas (V)

ii. Nilai momen lentur bebas pada titik. (MLB)


18/54


c) Menentukan nilai momen lentur akhir

i. Gambarajah momen lentur tindak balas (GMLTB)

ii. Gambarajah momen lentur bebas (GMLB)iii. Gambarajah momen lentur akhir (GMLA)

Rasuk di bawah mempunyai panjang rentang 4 m dan diikat tegar pada titik A dan

pin pada titik B yang dikenakan beban tumpu 40 kN pada pertengahan rentang.

Dengan menggunakan kaedah cerun pesongan anda boleh menentukan nilai dan

melakarkan gambarajah momen lentur akhir yang akan dijadikan asas kepada

rekabentuk struktur. Contoh 2.6 adalah lanjutan dari contoh 2.1 (momen hujung

terikat).


i) Momen hujung terikat.

Dengan merujuk contoh 2.1 (m.s. 8) anda dapati nilai momen hujung terikat

adalah seperti di bawah.

MFAB = - 20 kNm ; MF

BA = + 20 kNm

ii) Persamaan momen.

Untuk menerbitkan persamaan momen kita perlu lihat samada berlakunya

sudut putaran atau anjakan pada setiap penyangga. Dalam kes ini kita dapati tiada

berlaku sudut putaran pada tupang A kerana rasuk di ikat tegar manakala pada

titik B berlakunya sudut putaran di sebabkan penyangga jenis pin. Penyangga

selain daripada terikat tegar mempunyai sudut putaran.

Contoh 2.6

40 kN

A B

2 m 2 m

Penyelesaian


19/54


Dalam kes ini anggap tiada berlakunya anjakan pada rasuk. Maka,

Sudut putaran A = 0 ; Sudut putaran B 0 ; Anjakan = 0

M = 2EI [ 2 A + B - 3 ] + MF

L L

MAB = 2EI [ 2 A + B - 3 ] - 20

4 L

MAB = EI B - 20 ------------------------------ (1)

2

MBA = 2EI [ 2 B + A - 3 ] + 20

4 L

MBA = 2EI 2 B + 20

4

MBA = EI B + 20 ------------------------------ (2)

iii) Nilai sudut.

Sudut-sudut yang perlu anda cari dalam rasuk ini ialah B .Untuk mencari nilai

anda perlu lihat keadaan keseimbangan momen pada titik B. Di sini anda akan

campurkan semua momen yang bertindak padi titik B.

MB = 0

MBA = 0

EI B + 20 = 0

B = - 20

EI

iv) Nilai-nilai momen lentur tindak balas.Masukkan B dalam pers. 1 & 2

MAB = EI ( -20 ) - 202 EI

MAB = - 30 kNm

MBA = EI ( -20 ) + 20

EI


20/54


MBA = 0 kNm.

b) Menentukan nilai momen lentur bebas.i) Daya tindak balas.

ii) Nilai momen lentur bebas.

Di sini kita hanya akan mencari nilai momen pada titik-titik yang penting sahaja.

Penentuan nilai momen pada titik daya tumpu dan pada pertengahan beban

teragih seragam. Bagi kes rasuk di atas nilai momen yang dicari pada titik daya

tumpu iaitu jarak 2 m dari tupang A.

Pengiraan Momen Formula Momen

Rujuk jadual 2.2

Jadual 2.2 : Momen Lentur Bebas dan Pesongan Rasuk.

Rasuk dan Beban Momen

Maksimum

Pesongan di

pertengahan rentang

WL

4

WL3

48EI

WL2

8

5WL3

384EI

40 kN

VA

VB

MB

= 0 V = 0

VA(4) 40(2) = 0 V

B+ Vb = 40 kN

VA

= 20 kN VB

= 20 kN

W

L/2 L/2

W/2 W/2W

L

WL/2 WL/2

W

M2m

20 kN

2 m

M2m

= WL

4

M2m = 40 (4)4

M2m

= 40 kNm

M = M atau

M2m

= 20(2)

M2m = 40 kNm


21/54


Wab

L

33

43

48 L

a

L

a

EI

WL

+

82

baW

W (8L3-4Lb2 + b3 )384EI

3

Wa Wa (16a2 + 20ab +5b2 )120EI

WL2

2

WL4

8EI

wL

EI

WL

3

3

c) Menentukan nilai serta melakarkan gambarajah momen lentur akhir.

i) Gambarajah momen lentur tindak balas.

ii) Gambarajah momen lentur bebas.

Wa/L

a b

Wb/L L

a b

W/2 L

W

c

W/2

W/2 L

a b

W/2

a

W/2

W/2W/a

30 kN

-

0 0+

-

0 0

+

40 kNm

L

w

L

W


22/54


iii) Gambarajah momen lentur akhir.Untuk mendapatkan nilai momen lentur akhir anda perlu gabungkan atau

tindihkan gambarajah momen lentur tindak balas dengan gambarajah momen

lentur bebas. Cara penindihan ini di tunjukkan seperti dalam gambarajah di

bawah.

Selepas penindihan ini anda boleh tentukan nilai momen pada titik beban tumpu

iaitu 2 m dari titik A.

Setelah penindihan dilakukan kita akan tentukan nilai x dan y. Untuk

mendapatkan nilai x kita gunakan kaedah segitiga sebentuk. Di mana,

x = 30

2 4

x = 15 kNm

atau

(pengiraan ini hanya boleh digunakan mencari nilai pada pertengahan sahaja)

x = 0 + 30 mendapatkan nilai y

2 y = - 15 + 40

x = 15 kNm y = 25 kNm

Gambarajah momen lentur akhir.

30 kNm

x 40 kNm

-

0+

y

30 kNm

0

0 0

0 0

40 kNm

30x

0

2 2


23/54



Contoh 2.7 akan menunjukkan bagaimana nilai momen lentur akhir di tentukan

dengan keadaan daya tumpu yang tidak semetri pada rentang. Contoh ini adalah

lanjutan dari contoh 2.2 (momen hujung terikat).




MFAB = - 51.11 kNm ; MF

BA = + 35.56 kNm


Tidak berlaku sudut putaran pada tupang A.

Anggap tiada berlaku anjakan pada rasuk.

A = 0 ; B 0 ; = 0

MAB = 2EI [ 2 A + B - 3 ] 51.116 L

MAB = EI B - 51.11 ------------------------------ (1)3

50 kN 15 kN

A B

2 m 2 m 2 m

Penyelesaian

Contoh 2.7

30 kNm

15 kNm

-

0 0

+

25 kNm


24/54


MBA = 2EI [ 2 B + A - 3 ] + 35.56

6 L

MBA = 2EI B + 35.56 ------------------------------ (2)3

iii) Nilai sudut.

Lihat keseimbangan momen pada titik B.

MBA = 0

2EI B + 35.56 = 0

3

B = - 35.56(3)2EI

B = - 53.34EI

iv) Nilai-nilai momen tindakbalas.

Masukkan B dalam pers. (1) & (2)

MAB = EI ( -53.34 ) - 51.113 EI

MAB = - 68.89 kNm

MBA = 2EI ( -53.34 ) + 35.563 EI

MBA = 0 kNm


i) Daya tindakbalas.

MB = 0 V = 0

VA(6) 50(4) 15(2) = 0 VB + VA = 65 kN

VA = 38.33 kN VB = 26.67 kN

50 kN 15 kN

M2m M4m38.33 kN 26.67 kN


25/54


ii) Nilai momen lentur bebas

38.33(2) = M2m M4m 26.67(2) = 0M2m = 76.66 kNm M4m = 53.34 kNm


i) Gambarajah momen tindakbalas.


iii) Gambarajah momen lentur akhir.

Mencari nilai x dan y

x = 68.89 y = 68.89

4 6 2 6

x = 45.93 kNm y = 22.96 kNm

Gambarajah momen lentur.

68.89 kN

-0 0

+

-

0 0

+

53.34 kNm76.66 kNm

68.89 kNm

x = 45.93 kNm

- y = 22.96 kNm

0 0

+ 53.34 kNm

30.37 kNm76.66 kNm 30.73 kNm


26/54


a) Contoh 2.8 akan menunjukkan bagaimana nilai momen lentur di tentukan

dengan keadaan daya tidak semetri pada rentang AB dan julur pada rentang BC.

Contoh ini adalah lanjutan dari contoh 2.3 (momen hujung terikat).





BA = + 2.25 kNm MBC = - 27 kNm


Tidak berlaku sudut putaran pada tupang A dan tiada berlaku anjakan pada rasuk.

A = 0 ; B 0 ; = 0

MAB = 2EI [ 2 A + B - 3 ] 6.754 L

MAB = EI B - 6.75 ------------------------------ (1)2

MBA = 2EI [ 2 B + A - 3 ] + 2.25

4 L

MBA = EI B + 2.25 ------------------------------ (2)

iii) Nilai sudut.


MBA + MBC = 0

Contoh 2.8

12 kN6 kN/m

EI 2 EI

A B C1m 3 m 3 m

* nilai EI pada rentang tidak sama.

Penyelesaian


27/54


(EI B + 2.25) + (-27) = 0

B = 24.75

EI


Masukkan B dalam pers. (1) & (2)

MAB = EI (24.75) - 6.75

2 EI

MAB = + 5.63 kNm

MBA = EI (24.75) + 2.25

EI

MBA = + 27 kNm

MBC = - 27 kNm



MB = 0 V = 0 V = 0

VA(4) = 0 VB1 + VA = 12 Kn VB2 = 6(3)

VA = 9 kN VB1 = 3 kN VB2 = 18 kN


M1m = 9(1) M1.5m + 6(1.5)(0.75) = 0

M1m = 9 kNm M1.5m = - 6.75 kNm

12 kN

6 kN/m

M1m

VA VB1 VB2


28/54






Mencari nilai x

a = 21.37

1 4

a = 5.34 kNm

x = 5.63 ax = 0.29 kNm


27 kNm

0 0

5.63 kNm

-

0 0+

9 kNm

27 kNm

6.75 kNm-

0 0

+

(27 5.63)21.37 kNm

a

01 m 3 m

27 kNm

- 6.75 kNm0 0

5.63 kNm x = 0.29 kNm

+ 9 kNm 9.29 kNm


29/54


a) Contoh 2.9 akan menunjukkan bagaimana nilai momen lentur akhir di

tentukan dengan keadaan daya teragih seragam pada rentang AB dan daya tumpu

rentang BC. Contoh ini adalah lanjutan dari contoh 2.4 (momen hujung terikat).



MFAB = - 50 kNm MF

BA = + 50 kNm

MFBC = - 20 kNm MF

CB = + 20 kNm


Tidak berlaku sudut putaran pada tupang A dan C.


A = 0 ; B 0 ; C = 0 ; = 0

MAB = 2E1.5I [ 2 A + B - 3 ] 50

5 LMAB = 3EI B - 50

------------------------------ (1)5

MBA = 2E1.5I [ 2 B + A - 3 ] + 50

5 L

MBA = 6EI B + 50 ------------------------------ (2)

5

40 kN24 kN/m

1.5EI EIA B C

5 m 2 m 2 m


Contoh 2.9

Penyelesaian


30/54


MBC = 2EI [ 2 B + C - 3 ] 20

4 L

MBC = EI B - 20 ------------------------------ (3)

MCB = 2EI [ 2 C + B - 3 ] + 204 L

MCB = EI B + 20 ------------------------------ (4)2

iii) Nilai sudut.


MBA + MBC = 0( 6EI B + 50 ) + (EI B - 20 ) = 0

5

6EI B + EI B = 20 -50

5

6EI B + 5EI B = - 305

B = - 13.636

EI


Masukkan B dalam pers. (1), (2), (3) & (4)

MAB = 3EI (-13.636) - 50

5 EI

MAB = - 58.18 kNm

MBA = 6EI (-13.636) + 50

5 EI

MBA = + 33.64 kNm

MBC = EI (-13.636) - 20

EI

MBC = - 33.64 kNm

MCB = EI (-13.636) + 202 EI

MCB = + 13.18 kNm


31/54




MB = 0 V = 0

VA(5) 24(5)(2.5) = 0 VB1 + VA = 24(5)

VA = 60 kN VB = 60 kN

MC = 0 V = 0

VB2(4) 40(2) = 0 VB2 + Vc = 40

VB2 = 20 kN VC = 20 kN


Rentang AB Rentang BC

60(2.5) = M2.5m + 24(2.5)(1.25) 20(2) = M2m

M1m = 75 kNm M2m = 40 kNm




58.18 kNm33.64 kNm

13.18 kNm

0 0

5.63 kNm

40 kN

24 kN/m

VA VB1 VB2 VC

2.5 m 2 m


32/54




x = 58.18 + 33.64 y = 33.64 + 13.18

2 2

x = 45.93 kNm y = 23.41 kNm


a) Contoh 2.10 akan menunjukkan bagaimana nilai momen lentur akhir di

tentukan dengan keadaan daya gabungan pada rentang AB, daya condong pada

rentang BC dan daya teragih seragam pada rentang CD. Contoh ini adalah

lanjutan dari contoh 2.5 (momen hujung terikat).

12 kN 7 kN

20 kN

8 kN/m 6 kN/m

30

3EI 2EI EIA B C D

1 m 2 m 2 m 1 m 2 m


Contoh 2.10Rujuk

contoh 2.5

(m.s.11)

Penyelesaian

-

0 0

+40 kNm

75 kNm

58.18 kNm

x = 45.91 kNm 33.64 kNm

y = 23.41 kNm13.18 kNm

-

0 0+

16.59 kNm 40 kNm

75 kNm 29.09 kNm


33/54




MF

AB = - 11.33 kNm MF

BA = + 8.67 kNm MCD = - 26 kNm


CB = + 4.44 kNm


Tidak berlaku sudut putaran pada tupang A dan C.


A = 0 ; B 0 ; C 0 ; = 0

MAB = 2E3I [ 2 A + B - 3 ] 11.333 L

MAB = 2EI B - 11.33 ------------------------------ (1)

MBA = 2E3I [ 2 B + A - 3 ] + 8.67

3 L

MBA = 4EI B + 8.67 ------------------------------ (2)

MBC = 2E2I [ 2 B + C - 3 ] 2.22

3 L

MBC = 8EI B + 4EI C 2.22 ------------------------------ (3)

3 3

MCB = 2E2I [ 2 C + B - 3 ] + 4.443 L

MCB = 8EI C + 4EI B + 4.44

------------------------------ (4)3 3

iii) Nilai sudut.

Pada kes rasuk ini anda perlu menentukan nilai sudut B dan C.Untuk mencari

sudut B anda perlu lihat keseimbangan momen pada titik B.Disini anda dapati

dua momen yang bertindak iaitu :-

MBA + MBC = 0

(4EI B + 8.67) + (8EI B + 4EI C 2.22) = 0

3 3

4EI B + 8EI B + 4EI C = 2.22 - 8.67


34/54


3 3

12EI B + 8EI B + 4EI C = - 6.45

3

20EI B + 4EI C = - 19.35

------------------------------ (5)

Lihat keseimbangan momen pada titik C.

MCB + MCD = 0

(8EI C + 4EI B + 4.44) + (-26) = 0

3 3

8EI C + 4EI B = 21.56

3

4EI B + 8EI C = 64.68 ------------------------------ (6)

Dengan menggunakan persamaan serentak selesaikan persamaan (5) dan (6).

pers. (5) x 2

40EI B + 8EI C = - 38.70

------------------------------ (7)

4EI B + 8EI C = 64.68 ------------------------------ (6)

pers. (7) tolak pers. (6)

36EI B = - 103.38

B = - 2.87EI

Masukkan B dalam pers. (6)

4EI B + 8EI C = 64.68

4EI (- 2.87) + 8EI C = 64.68

EI

8EI C = 64.68 + 11.48

C = 9.52

EI


Masukkan B dalam pers. (1), (2), (3) & (4)


35/54


MAB = 2EI (-2.87) - 11.33

EI

MAB = -17.07 kNm

MBA = 4EI (- 2.87) + 8.67

EI

MBA = 2.82 kNm

MBC = 8EI(-2.87) + 4EI(9.52) 2.22

3 EI 3 EI

MBC = - 2.82kNm

MCB = 8EI (9.52) + 4EI (-2.87) + 4.44

3 EI 3 EI

MCB = + 26 kNm

MCD = - 26 kNm



MB = 0 V = 0

VA(3) 12(2) 8(3)(1.5) = 0 VA + VB1 = 12 + 8(3)

VA = 20 kN VB1 = 16 kN

MC = 0 V = 0

VB2(3) 10(1) = 0 Vb2 + Vc1 = 10

VB2 = 3.33 kN Vc1 = 6.67 kN

V = 0

Vc2 = 7 + 6(2)

12 kN 7 kN

8 kN/m 10 kN 6 kN/m

VA

VB1

VB2

VC1

VC2

1 m 2 m 2 m 1 m 1m


36/54


Vc2 = 19 kN

ii) Nilai momen lentur bebasMomen 1 m dari titik A Momen 2 m dari titik B

VA(1) = M1m + 8(1)(0.5) Vb2 (2) = M2m

M1m = 20(1) 8(1)(0.5) M2m = 3.33 (2)

M1m = 16 kNm M2m = 6.66 kNm

Momen 1 m dari titik C

M1m + 7(1) + 6(1)(0.5) = 0

M1m = - 10 kNm






26 kNm

17.07 kNm

2.82 kNm

-

0 0+

(26 - 2.82)b

0

2 1

(17.07 - 2.82)

a

0

1 2

26 kNm-

0 0

+ 10 kNm6.66 kNm -

0 0

16 kNm +


37/54


a = (17.07 2.82) b = 26 - 2.82

2 3 2 3

a = 9.5 kNm b = 15.45 kNm

x = a + 2.82 y = b + 2.82

x = 12.32 kNm y = 18.27 kNm

Gambarajah momen lentur akhir.

26 kNm

y

17.07 kNm

x2.82 kNm 10 kNm

- 11.61 kNm

0 0+ 3.68 kNm


38/54



kepada arahan yang diberikan. Untuk semakan, sila rujuk pada helaianberikutnya.

ARAHAN

Tentukan nilai serta lukiskan gambarajah Momen Lentur Akhir bagi

setiap kes-kes di bawah dengan mengambil nilai momen hujung terikat dari

Maklum balas 2A pada muka surat 15.

AKTIVITI 2B

3 kN

a) 5 kN/m

A B C

3 m 3 m

b) 15 kN 7 kN

A B

2 m 2 m 2 m

c) 15 kN 4 kN

6 kN/m

A B C

2 m 4 m 3 m

d) 7 kN 5 kN

10 kN/m

A B C

6 m 1.5m 1.5m


39/54


Nota :

Unit momen dalam kNm.

a)

b)

MAKLUM BALAS 2B

9

5.06

- 1.120 A B C 0

+ 0.57 5.63

22.8915.26 24.66

- 7.63

0 0+ A B C D

9.40 19.3211.69

e) 8 kN 7 kN 4 kN

5 kN/m 7 kN/m

A B C D3 m 2 m 1m 1m 2 m 3 m

SELAMAT MENCUBA !!!



40/54


c)

d)

e)

2.5 Menentukan Nilai Serta Melakarkan Gambarajah Daya Ricih.

Dalam input ini kita akan didedahkan bagaimana menentukan nilai daya

ricih akhir. Kita perlu melalui langkah-langkah yang akan ditunjukkan sehingga

dapat melakarkan gambarajah daya ricih akhir bagi setiap kes rasuk.

2.5.1 Daya Ricih Bebas

Daya ricih bebas adalah daya yang dihasilkan oleh rasuk tupang mudah.

Daya ricih bebas dikira dari rentang ke rentang. Tentukan daya tindakbalas pada

tupang bebas dengan mengambilkira daya yang dikenakan ke atasnya. Anda boleh

mengira atau menggunakan formula dalam menentukan nilai daya ricih. Lihat

Jadual 2.2 (m.s. 20)

INPUT 2C

32.25 28.88

25.5

- 12.75

0 0

+ A B C45 7.5

16.12

39

29.11

24.16 19.5

- 44 12.75

0 0

+ A B C

14.89

15.24 18.79

12.88

11.6810.48

- 2.02 4.04

0

+ 2.433.61 1.02 10.56 25.8 11.5

1.02


41/54


2.5.2 Daya Ricih Dari Momen Tindak Balas

Di sini anda akan menentukan nilai daya ricih yang di sebabkantindakbalas momen. Momen lentur tindak balas terhasil daripada berlakunya

pesongan, putaran dan kesan momen hujung terikat di dalam rasuk. Untuk

mendapatkan daya ricih dari momen tindak balas anda perlu mangambil suatu

titik dengan menjumlahkan kesemua momen bersamaan dengan sifar.

2.5.3 Daya Ricih Akhir

Daya ricih akhir ditentukan dari gabungan daya ricih bebas dan momen

lentur tindakbalas. Di sini anda akan mendapatkan nilai pada titik-titik penting

serta melukiskan gambarajah daya ricih akhir untuk setiap kes rasuk.

.

Menentukan nilai-nilai daya ricih.

Contoh ini akan menunjukkan bagaimana nilai daya ricih akhir di tentukan

dengan keadaan daya tumpu pada pertengahan rentang AB. Langkah ini adalah

lanjutan dari contoh 2.1 (momen hujung terikat) dan contoh 2.6 (momen

lentur). Untuk mencari nilai daya ricih akhir anda perlu gabungkan daya-daya

yang bertindak dan momen lentur tindak balas mengikut rentang.

40 kN

A B

2 m 2 m

Contoh 2.11

Penyelesaian


42/54


Daya ricih bebas di kira dari rentang ke rentang. Di sini anda akan jadikan rentang

AB sebagai rasuk tupang mudah dengan keadaan daya dan jarak yang sama.

Dari contoh 2.6 (m.s. 17) kita dapati nilai momen lentur tindak balas ialah ;MAB = - 30 kNm ; MBA = 0 kNm

Peringatan kepada pelajar bahawa tandaan menunjukkan nilai ( - ve) dan

menunjukkan nilai ( + ve).

40 kN

30 kNm 0 kNm

A B

Va Vb2 m 2 m

MB = 0 MA = 0 V = 0

VA(4)-40(2) 30 = 0 40(2) -VB(4) 30 = 0 @ VA + VB = 40

VA = 80 + 30 VB = 80 - 30 VB = 12.50 kN4 4

VA = 27.50 kN VB = 12.50 kN

Gambarajah daya ricih akhir.


dengan keadaan dua daya tumpu pada dikenakan pada rentang AB. Langkah ini

adalah lanjutan dari contoh 2.2 (momen hujung terikat) dan contoh 2.7 (momen

lentur).

27.5 kN

+

0 0

-

12.5 kN

50 kN 15 kN

A B

2 m 2 m 2 m

Contoh 2.12


43/54


Dari contoh 2.7 (m.s. 22) kita dapati nilai momen lentur tindak balas ialah ;

MAB = - 68.89 kNm ; MBA = 0 kNm

50 kN 15 kN

68.89 kNm 0 kNm

VA VB2 m 2 m 2 m

MB = 0

VA (6) - 50(4) 15(2) - 68.89 = 0

VA = 200 + 30 + 68.89

6

VA = 49.82 kN

MA = 0 V = 0

50(2) + 15(4) - VB (6) - 68.89 = 0 @ VA + VB = 50 + 15

VB = 100 + 60 - 68.89 VB = 15 .8 kN6

VB = 15.18 kN


Penyelesaian

49.82 kN

+0 0

-

0.18 kN15.18 kN


44/54



dengan keadaan daya tumpu dikenakan pada rentang AB dan beban teragih

seragam pada rasuk julur BC. Langkah ini adalah lanjutan dari contoh 2.3

(momen hujung terikat) dan contoh 2.8 (momen lentur).


MAB = + 5.63 kNm ; MBA = + 27 kNm

Rentang BC iaitu rasuk julur tiada nilai momen lentur tindak balas. Nilai momen

lentur bebas ialah :-

MBC = - 27 kNm

Tandaan menunjukkan nilai ( - ve) dan menunjukkan nilai ( + ve )

Perhatian perlu diberikan kepada MAB = + 5.63 kNm, untuk mendapatkan nilai

yang betul kita perlu meletakan tandaan ( - ve ) supaya sama dangan nilai momen

yang diperolehi .

( - ) - 5.63 = MAB = + 5.63 kNm

MB = 0

12 kN

6 kN/m

I 2 I

A B C

1m 3 m 3 m

Contoh 2.13

Penyelesaian

Vb2 = 6(3)

Vb2 = 18 kN

12 kN

- 5.63 kNm 27 kNm 6 kN/m

Va Vb1 Vb21m 3m 3m


45/54


VA(4) - 12 (3) (- 5.63) + 27 = 0

VA = 36 - 5.63 - 27

4

VA = 0.84 kN

V = 0

VA + VB1= 12

VB1 = 11.16 kN



dengan keadaan daya teragih seragampada rentang AB dan daya tumpu pada

rentang BC. Langkah ini adalah lanjutan dari contoh 2.4 (momen hujung terikat)

dan contoh 2.9 (momen lentur).


MAB = - 58.18 kNm ; MBA = + 33.64 kNm

MBC = - 33.64 kNm ; MCB = + 13.18 kNm

18 kN

+ 0.84 kN

0

- 0

11.16 kN

40 kN58.18 kNm 24 kN/m 33.64 kNm 13.18 kNm

V

AV

B1V

B2V

C

Contoh 2.14

Penyelesaian

40 kN

24 kN/m

1.5 I I

A B C

5 m 2 m 2 m


46/54


MB = 0 V = 0

VA(5) + 33.64 58.18 24(5)(2.5) = 0 VA + VB1 = 24(5)

VA = 58.18 + 300 33.64 VB1 = 55.09 kN

5

VA = 64.91 kN

MC = 0 V = 0

VB2(4) + 13.18 33.64 40(2) = 0 VC + VB2 = 40

VB2 = 80 + 33.64 13.18 VC = 14.88 kN

4

VB2 = 25.12 kN

Gambarajah daya ricih.


dengan keadaan dua daya gabungan dikenakan pada rentang AB dan daya

sendeng pada rentang BC. Daya gabungan juga dikenakan pada rentang julur CD.

Langkah ini adalah lanjutan dari contoh 2.5 (momen hujung terikat) dan contoh

2.10 (momen lentur).

Contoh 2.15

Rujuk contoh 2.10

(m.s.29)

64.91 kN

25.12 kN+

0

- 14.88 kN

55.09 kN


47/54


MAB = -17.07 kNm ; MBA = + 2.82 kNm ; MBC = - 2.82kNm

MCB = + 26 kNm ; MCD = - 26 kNm

MB = 0 V = 0

VA(3) + 2.82 - 12(2) - 8(3)(1.5) 17.07 = 0 VB1 + VA = 12 + 8(3)

VA = 24 + 36 + 17.07 - 2.82 VB1 = 11.25 kN3

VA = 24.75 kN

MC = 0 V = 0

VB2(3) + 26 - 2.82 - 10(1) = 0 VC + VB2 = 10

VB2 = 10 + 2.82 - 26 VB1 = 14.39 kN3

VB2 = - 4.39 kN

V = 0

VC2 = 6(2) + 7

VC2 = 19 kN

12 kN 7 kN

20 kN

8 kN/m 6 kN/m

30

3EI 2EI EI

A B C D

1 m 2 m 2 m 1 m 2 m


12 kN 10 kN 7 kN

8 kN/m 6 kN/m17.07 2.82 26

V

AV

B1V

B2V

C1V

C2

Penyelesaian


48/54


Gambarajah daya ricih.


kepada arahan yang diberikan. Untuk semakan, sila rujuk pada helaian

berikutnya.

ARAHAN

Tentukan nilai serta lukiskan gambarajah Daya Ricih Akhir bagi setiapkes-kes di bawah dengan mengambil nilai momen hujung terikat dari Maklumbalas 2B pada muka surat 38.

AKTIVITI 2C

24.75 kN

16.75 kN 19 kN

+ 4.75 kN 7kN

0 0

- 4.39 kN

11.25 kN

14.39 kN

3 kN

a) 5 kN/m

A B C

3 m 3 m

b) 15 kN 7 kN

A B

2 m 2 m 2 m


49/54


a)

MAKLUM BALAS 2C10.13 kN

+

0 0

-

3 kN4.87 kN

10.87 kN

c) 15 kN 4 kN

6 kN/m

A B C

2 m 4 m 3 m

d) 7 kN 5 kN

10 kN/m

A B C

6 m 1.5m 1.5m

e) 8 kN 7 kN 4 kN5 kN/m 7 kN/m

A B C D

3 m 2 m 1m 1m 2 m 3 m

SELAMAT MENCUBA !!!



50/54


b)

c)

d)

e)

ARAHAN

Dengan menggunakan Kaedah Cerun Pesongan selesaikan setiap kes rasuk

di bawah dengan menentukan :-

PENILAIAN KENDIRI

16.15 kN

+ 1.15 kN

0 0

-

6.48 kN

13.48 kN22 kN

22 kN

13.53 kN

+ 4kN

0

-1.47 kN

25.47 kN31.13 kN

12kN

+ 5 kN0

-

28.87 kN

18.72 kN

6.15 kN

+ 3.54 kN 4.72 kN

0 0.72 kN 0-

4.46 kN

11.46 kN

20.28 kN


51/54


i) Nilai-nilai momen hujung terikat.

ii) Nilai-nilai dan lukiskan gambarajah momen lentur akhir.

iii) Nilai-nilai dan lukiskan gambarajah daya ricih akhir

a)

b)

c)

d)

* Jika anda kurang faham atau tidak pasti sila rujuk kepada pensyarah anda.

Nota : Unit daya ricih dalam kNUnit momen lentur dalam kNm

a) i Nilai dan gambarajah momen lentur akhir.

MAKLUM BALAS

.

10 kN 15 kN

5 kN/m

A 3 m 3 m 2 B8 kN 9 kN 9 kN/m

BA 1 m 2 m 2 m 4 m C

72.58

54.44

27.22

-

0 0+

5.57 60

67.540.27

30 kN 10 kN/m 20 kN

B C

A 2m 2m 4 m 1m 3m D

.

18 kN

7 kN/m

A B C D3m 5m 2m 2m


52/54


ii Nilai dan gambarajah daya ricih akhir.

b) i Nilai dan gambarajah momen lentur akhir.


c) i Nilai dan gambarajah momen lentur akhir.

12.3 kNm

12.08 kNm

11.85 kNm7.38 kNm

14 kNm 18 kNm

2.46 kNm

+0 0

- 6.62 kNm

5.93 kNm

7.54 kNm 10 kNm

18.11 kN

7.54 kN

+0- 0

0.46 kN

9.46

17.84 kN

20.93

+ 5.930 0

- 4.07

19.0734.07

44.07


53/54



d) i Nilai dan gambarajah momen lentur akhir.

31.5 kNm

19.35 kNm 9.9 kNm8.55 kNm

7.2 kNm

-

0 0

+7.88 kNm 21.88 kNm 2.53 kNm 18 kNm

9.45 kNm

22.36 kN

8.33 kN

+

0 0-

12.64 kN 9.68 kN

21 kN

15.31 14.85 14.39 13.27 12.14

9.93

30 20- 15 3.31

0 0

+ 5.07

6.74

15.15


54/54



TAHNIAH!!!

ANDA TELAH BERJAYA MENCAPAI OBJEKTIF.

Sila cuba unit berikutnya.

13.37

11.14

+ 7.580 0

- 8.86

22.43 26.62

60302812 unit 2 kaedah cerun pesongan rasuk

Documents