persamaan difusi 1-dimensi ( fisika matematika ii )

8/3/2019 PERSAMAAN DIFUSI 1-DIMENSI ( fisika matematika II )

1/9

PERSAMAAN DIFUSI 1-DIMENSI


2/9

t

uu

12

dtdT

TdxXd

X111

2

2

(1)

Metode pemecahan pemisahan variabelu(x,t) = X(x)T(t)

Sisipkan ke pers (1), diperoleh

2

Tdt

dT

Xdx

Xd

)(

2

2

2

2 =


3/9

T

dt

dT

Xdx

Xd

)(

2

2

2

X(x) = (P ex + Q e-x )

T(t) = R et

Untuk t , T() haruslah berhingga, maka tetapan haruslah negatip,

= - k2

2

= - k2

Solusi umum pers (1)

tk

ekxBkxAtxu

2

)sincos(),(

(2)


4/9

Contoh

Tinjau sebatang logam panas sepanjang l yang terentangsepanjang sumbu x positip. Pada batang ini , mula-mulatersebar suhu dalam keadaan mantap (steady state)dengan ujung x = 0 bersuhu 00 sedangkan ujing x = l

bersuhu 1000. Jika pada keadaan takmantap, t 0, keduaujung batang dipertahankan bersuhu 00, tentukanlahdistribusi suhu T(x,t) pada batang tersebut.

X=0 X=l

00 1000


5/9

Contoh

Syarat batas keadaan mantap

u0(0,0) = 0 dan u0(l, 0) = 100

0)0,(02

2

xudx

d

Keadaan awal adalah keadaan mantap, u0(x,0) memenuhi persamaan

U0(x,0) = p + qx

Sisipkan syarat batas mantap, diperoleh

p = 0 dan q = 100/l

Solusi keadaan mantap : U0(x,0) = (100/l) x


6/9

Keadaan tidak mantap

Distribusi suhu T(x,t) memenuhi pers. Difusi.

Syarat batas ,

U0(0,t) = 0 dan U(l,t) = 0

Syarat awal : solusi keadaan mantap

U0(x,0) = (100/l)x


7/9

Keadaan tidak mantap

Syarat batas 1 U(0,t) = 0

tkekxBkxAtxu

2

)sincos(),(

A = 0

Syarat batas 2 U(l,t) = 0

Sin kl = 0 , atau k = np = n(/l) ( n : 1, 2, 3, . . . )

))(sin(),(22

1

tpn

n

nenpxBtxU


8/9

))(sin(),(22

1

tpn

n

n enpxBtxU

lxxl

npxBxUn

n

0............,.........100

)sin()0,(1

Bn = ????

Ditentukan menggunakan syarat awal.

Deret Fourier sinusfungsi (100/l)x

ndx

l

xnx

llB

nl

n

1

0

)1(200sin

1002

Solusi syarat batas dan awal persoalan ini,

tpn

n

n

el

xn

ntxU

22

sin)1(200

),(1

1


9/9

Syarat batas

Syarat Dirichlet

Syarat Neumann

persamaan difusi 1-dimensi ( fisika matematika ii )

Documents