8/19/2019 Persamaan Bernoulli HIDROLIKA 2

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-bernoulli-hidrolika-2 1/5

Persamaan Bernoulli

September 25, 2013 oleh joetomo 3 Komentar  

Pada bidang ilmu mekanika fluida, persamaan kekekalan energi untuk kasus air yang

incompressible lebih tenar dengan nama persamaan Bernoulli

!liran air pada pipa

Persamaan ini dapat diturunkan dengan mudah dari persamaan dinamik "gerak# $e%ton&eskipun relatif mudah, namun penurunannya memerlukan pengetahuan dasar mekanikakontinum khususnya soal tegangan dan deformasi "regangan#

'ulisan ini saya buat karena saya pada beberapa posting mendatang, saya ingin membahas

mengenai aliran air pada tanah, yang tentunya pada beberapa kasus harus menggunakan

 persamaan Bernoulli

(ntuk memahami posting berikut, tidak ada salahnya memba)a dua potongan tulisan

sebelumnya mengenai introduksi hukum gerak $e%ton dan re*ie% hukum kekekalan

momentum

(ntuk menurunkan persamaan energi, saya akan mulai dari hukum kekekalan momentum sbb+

ang mana setelah menggunakan persamaan -auss.-reen./stogradsky, dapat ditulis menjadi

8/19/2019 Persamaan Bernoulli HIDROLIKA 2

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-bernoulli-hidrolika-2 2/5

Pertamatama kalikan *ektor ke)epatan ke persamaan diatas

Setelah mengalikan dengan , maka perubahan momentum menurut %aktu yang sesungguhnyamerupakan gaya " force# berubah menjadi perubahan usaha "energi# menurut %aktu "daya#

'erms pertama dari persamaan diatas dapat disederhanakan dengan mengetahui turunan parsial

diba%ah ini

Sehingga bila kita injeksikan persamaan diatas ke persamaan sebelumnya diperoleh

(ntuk meme)ah persamaan diatas dan mengetahui berapa besarnya daya yang bekerja di internaldan eksternal elemen material, maka kita dapat meme)ahnya dengan menjabarkan di*ergensi

diba%ah ini

Perhatikan bah%a tanda + merupakan lambang double dot product , sedangkan

merupakan di*ergensi dari tensor orde 2 yang tentunya akan menghasilkan *ektor i sisi lain

gradien dari *ektor akan menghasilkan tensor

4al menarik dari persamaan diatas adalah terms ketiganya yang mana adalah tensor

gradien ke)epatan Saya belum pernah menulis tentang tensor ini, namun se)ara prinsip sama

dengan tensor gradien perpindahan "4en)ky# yang pernah saya tulis sebelumnya

'ensor gradien ke)epatan ini dapat didekomposisi menjadi tensor ke)epatan deformasi yang bertanggungja%ab terhadap perubahan bentuk dan tensor ke)epatan rotasi

'erms bernilai nol karena produk double dot  dari tensor simetrik dan tensor antisimetrik 

 pasti bernilai nol

Bila kita gabungkan 2 persamaan terakhir, maka+

8/19/2019 Persamaan Bernoulli HIDROLIKA 2

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-bernoulli-hidrolika-2 3/5

Sehingga persamaan dayanya menjadi

Bila persamaan diatas berlaku untuk suatu *olume material tertentu, maka

&enggunakan teori di*ergensi -auss.-reen./stogradsky, maka terms kedua persamaan diatasdapat diubah menjadi

Karena kita tahu adanya tensor tegangan au)hy dimana *ektor tegangan dapat didefinisikan sbb

&aka persamaan perubahan energinya dapat ditulis

!tau agar lebih jelas, masingmasing terms diatas dijelaskan sbb+

Persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli sesungguhnya adalah persamaan energi diatas Persamaan Bernoulli

 berlaku untuk fluida sempurna, tanpa disipasi energi, dan incompressible

8/19/2019 Persamaan Bernoulli HIDROLIKA 2

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-bernoulli-hidrolika-2 4/5

!gar memperoleh persamaan Bernoulli yang umum kita lihat di buku teks, maka pertama kita

harus hapus bagian perubahan energi internal material 6ni disebabkan karena air diasumsikan

incompressible

Sehingga persamaan dayanya menjadi+

Karena kita tahu ke)epatan adalah gradien perpindahan menurut %aktu , kita dapatmodifikasi sedikit persamaan diatas menjadi

ari sini sudah mulai terlihat bentuk persamaannya, terms pertama adalah perubahan energikinetik menurut %aktu, terms kedua adalah usaha yang diaplikasikan ke suatu area menurut

%aktu, sedangkan terms ketiga adalah perubahan energi potensial menurut %aktu

Karena tidak ada disipasi energi, maka daya yang diaplikasikan ke sistem nol, sehingga

energinya konstan menurut %aktu, oleh karena itu, kita dapat tuliskan persamaan diatas dalam

 bentuk energi sbb+

'erm pertama adalah energi kinetik 

'erm kedua adalah usaha yang diaplikasikan ke suatu permukaan tertentu Kita dapat

memodifikasi terms ini, pertamatama dengan mengaplikasikan hubungan tensor tegangan

au)hy Kemudian dengan mengetahui bah%a untuk kondisi kasus in)ompressible

dan tak terdisipasi, maka tensor tegangan au)hy hanya terdiri dari bagian reversiblenya saja

yang berupa tekanan, maka Sehingga term kedua dapat dimodifikasi sbb+

8/19/2019 Persamaan Bernoulli HIDROLIKA 2

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-bernoulli-hidrolika-2 5/5

'erm ketiga adalah energi potensial dimana adalah per)epatan gra*itasi

Bila kita gabungkan ketiga terms diatas diperoleh

an akhirnya kita dapatkan persamaan yang tenar dengan nama persamaan Bernoulli +mrgreen+

Karena total energi pada potongan tampang manapun bernilai konstan, maka persamaan diatas

seringkali ditulis

engan terms pertama dikenal sebagai dynamic pressure, sedangkan penjumlahan terms kedua

dan ketiga dikenal sebagai static pressure

!tau dalam bentuk tinggi tekanan dapat ditulis menjadi+

imana terms pertama dikenal sebagai velocity head , terms kedua merupakan pressure head , dan

terms ketiga adalah elevation head  'otal dari semuanya dikenal sebagai tinggi total tekanan

"total head #

Gimana? Setelah menurunkan persamaan diatas, kita bisa melihat sedikit bagaimana koneksiantara mekanika kontinum dengan persamaan Bernoulli yang telah kita pelajari sejak di bangku

sekolah menengah atas 7#