Permukaan dalam Ruang Dimensi-3

Grafik suatu persamaan dalam tiga peubah umumnya berupa permukaan. Grafik ( ) berupa sebuah bidang; grafik ( ) ( )

berupa sebuah bola. Penggambaran permaukaan dapat menjadi

sangat rumit. Paling baik dilakukan dengan mencari perpotongan permukaan dengan bidang yang telah terpilih. Perpotongan ini disebut penampang melintang (Gambar 1) dan hubungannya dengan ketiga bidang koordinat disebut juga jejak permukaan.

CONTOH 1 Buatlah sketsa grafik dari

Penyelesaian:

Untuk mencari jejak dibidang xy, kita tetapkan

pada

persamaan. Sehingga,

Adalah sebuah elips. Jejak-jejak dibidang diperoleh dengan menetapkan dan

dan bidang

(masing-masing

) juga berupa elips. Ketika

jejak ini diperlihatkan pada Gambar 2 dan membantu memberikan gambaran visual yang baik dari permukaan yang diminta (disebut elipsoid).

Jika permukaan sangat rumit, mungkin berguna untuk memperlihatkan jejak-jejaknya dengan bidang-bidang yang sejajar bidang-bidang koordinat. Di sini komputer dengan kemampuan grafik sangat berguna. Pada Gambar 3, diperlihatkan sebuah grafik yang dibangun oleh komputer.

TABUNG Andaikan suatu kurva pada suatu bidang dan suatu garis yang memotong

tetapi tidak pada bidang . Himpunan semua titik pada garis-garis yang sejajar dan memotong dinamakan tabung (Gambar 4).

Secara alamiah tabung terjadi bilamana kita menggambarkan grafik suatu persamaan dalam ruang dimensi-tiga dengan hanya menggunakan dua peubah. Pandang sebagai contoh pertama

dengan peubah

tidak ada. Persamaan ini menentukan sebuah kurva

di bidang

, yakni sebuah hiperbola. Lebih lanjut jika ( maka ( ) juga memenuhi. Selama

) memenuhi persamaan, ) menjelajahi

bernilai riil, titik (

sebuah garis yang sejajar terhadap sumbu . Kita simpulkan bahwa grafik dari persamaan yang diberikan adalah sebuah tabung, yakni tabung hiperbola (Gambar 5).

PERMUKAAN KUADRIK Jika sebuah permukaan merupakan grafik suatu persamaan derajat-dua dalam ruang dimensi-tiga, maka ia disebut permukaan kuadrik. Penampang bidang permukaan kuadrik adalah konik. Persamaan derajat-dua yang umum berbentuk

Dapat

diperlihatkan

bahwa

persamaan

sebarang

demikian

dapat

disederhanakan, dengan rotasi dan translasi sumbu koordinat, ke dalam salah satu dari dua bentuk.

atau

Permukaan kuadrik yang dinyatakan oleh persamaan pertama akan simetri terhadap ketiga bidang koordinat dan titik asal. Permukaan tersebut disebut kuadrik sentral.

Pada Gambar 7 sampai 12, diperlihatkan enam jenis permukaan kuadrik yang umum. Grafik-grafik tersebut digambar dengan komputer aplikasi Microsoft Mathematics 4.0. Dalam menjawab suatu soal, tidak diharapkan untuk dapat meniru gambar tersebut, namun dapat digambar seperti contoh 2 berikut.

CONTOH 2 Berikan analisis persamaan berikut dan buatlah sketsa grafiknya.

Penyelesaian Jejak-jejak di ketiga bidang koordinat diperoleh dengan menetapkan masing-masing Di bidang Di bidang Di bidang . , elips , hiperbola , hiperbola Jejak-jejak ini digambarkan pada Gambar 13. Akan diperlihatkan dibidang mensubstitusikan nilai dan . Kemudian

ke persamaan

yang setara terhadap

Sebuah elips.