perbaikan uts (supriyatno)

8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)

1/12

PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL

1. Jelaskan Hukum Newton Tentang Gaya Gravitasi! Gambarkan Visualisasi DanTuliskan Rumusnya Dengan Benar!

Jawab :

Hukum gravitasi Newton yang menyatakan bahwa gaya tarik menarik antara dua

buah benda adalah sebanding dengan massa kedua benda tersebut dan berbanding terbalik

dengan jarak kuadrat antara pusat massa kedua benda tersebut. Hukum gravitasi Newton

ini dapat digambarkan gaya tarik antara dua titik massa m0 dan m yang berjarak r dibawah

ini;

Gambar 1. Gaya gravitasi antara dua buah titik massa.

⃗F ( ⃗r )=−Gm

0 (⃗r0 ) m (⃗r )

|⃗r0−⃗r|2

⃗r0−⃗r

|⃗r0−⃗r|

Dengan G adalah konstanta gravitasi yang besarnya adalah 6,67 ! "# $"" N m%kg. &ika

persamaan diatas menyatakan gaya tarik yang dialami partikel m akibat partikelm

0

maka tanda negati' menyatakan bahwa gaya tarik tersebut memiliki arah yang berlawanan

dengan r yang mempunyai arah dari partikelm

0 menuju m. Gaya persatuan massa yang

mempunyai jarak r darim

0 disebut medan gravitasi dari partikelm

0 yang besarnya(

⃗F ( ⃗r )=−G m (⃗r)|⃗r|2

⃗r|⃗r|

Dimanar̂=

⃗r−⃗r0

|⃗r−⃗r0| . )arena medan ini bersi'at konservati', maka medan gravitasi bisa

dinyatakan sebagai gradien dari suatu 'ungsi potensial skalarU (⃗r 1) sebagai berikut (

⃗g( ⃗r )=−∇U (⃗r )

Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO

(15/388400/PPA/0483! Page 1


2/12


DimanaU (⃗r )=−G m1/r merupakan potensial gravitasi dari massa m".)arena itu

potensial disuatu titik pada ruang bersi'at penjumlahan, sedang potensial gravitasi dari

suatu distribusi massa yang kontinyu di suatu titik P diluar distribusi massa tersebut

merupakan suatu bentuk integral.

2. Jelaskan engaa "#a $otensial %kalar Gravitasi! engaa &onse $otensial%'alar e#an Gravitasi (ni Daat emermu#a)kan $er)itungan*

Jawab:

*da +otensial kalar gravitasi berdasarkan konsep uatu benda dengan massa tertentu

dalam sistem ruang akan menimbulkan medan potensial di sekitarnya. Dimana medan

potensial bersi'at konservati', artinya usaha yang dilakukan dalam suatu medan gravitasi

tidak tergantung pada lintasan yang ditempuhnya tetapi hanya tergantung pada posisi awal

dan akhir. -edan potensial ini dapat dinyatakan sebagai gradien atau potensial skalar.

+otensial salar medan gravitasi dapat mempermudah perhitungan karena salar

medan gravitasi mempunyai si'at penjumlahan, misalnya potensial di suatu titik pada

ruang bersi'at penjumlahan sedangkan potensial gravitasi dari suatu distribusi gravitasi

massa yang ontinue di suatu titik diluar distribusi massa tersebut merupakan suatu bentuk

integral. ebagai ontoh, jika massa yang terdistribusi ontinue tersebut mempunyai rapat

massa ρ (⃗r0) di dalam volume /, maka potensial di suatu titik + di luar / adalah(

U p ⃗r=−G∫ ρ (⃗r0)d

3

r⃗ 0

|⃗r−⃗r0|

Dengan(

|⃗r−⃗r0|=√ r2+r

0

2−2 r r0

cosφ

+. Jelaskan ersamaan ,ala'e #an $oisson! Dimana ersamaan tersebutberlaku*

Jawab :

Persamaan laplace dan poisson berlaku pada persamaan medan. Persamaan

Laplace dan Poisson secara matematis dituliskan sebagai berikut:


(15/388400/PPA/0483! Page 2


3/12


………………..(persamaan Laplace)

...…………..(persamaan Poisson)

Kedua persamaan ini diperoleh dari teorema Gauss, dimana divergensi dari suatu

medan vektor di dalam suatu volume sama dengan integral permukaan medan tersebut

terhadap permukaannya. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut:

Pada ruang volume dimana tidak terdapat suatu massa di dalamnya akan berlaku

persamaan Laplace. engan memasukkan bah!a , maka

Sedangkan untuk ruang volume yang di dalamnya terdapat suatu massa ", akan

berlaku persamaan Poisson.

#ntuk massa yang memiliki volume yang kecil, maka berlaku

Sehingga dapat disimpulkan bah!a persamaan Laplace berlaku pada ruang

volume yang didalamnya tidak terdapat suatu massa. Sedangkan $ika dalam ruang

volume tersebut terdapat massa, maka yang berlaku adalah persamaan Poisson.

-. Jelaskan yang #imaksu# #engan anomali gravitasi!

Jawab :

%nomali medan gravitasi di topogra&i atau posisi '(,y,)* secara matematis dapat

dide&enisikan sebagai selisih dari medan gravitasi observasi di topogra&i terhadap

medan gravitasi teoritis di topogra&i. +ilai medan ini dipengaruhi oleh lintang, ketinggian,

dan massa topogra&i disekitar titik tersebut. Secara matematis dapat dinyatakan:

∆ g ( x , y , z )=gobs ( x , y , z )−gteoritis ( x , y , z)


(15/388400/PPA/0483! Page 3


4/12


engan ∆ g ( x , y , z ) merupakan anomali medan gravitasi di topogra&i, dan

gobv ( x , y , z ) adalah medan gravitasi observasi di topogra&i yang sudah dikoreksikan

terhadap koreksi pasang surut, koreksi tinggi alat, dan koreksi dri&t. Sedangkan

gteo( x , y , z) merupakan medan gravitasi teoritis di topogra&i.

"edan gravitasi teoritis yang ditentukan lebih a!al adalah medan gravitasi normal

yang terletak pada bidang s&eroida re&erece 'pada ketinggian )-* sebagai titik re&erensi

geodesik. umus medan gravitasi normal pada bidang s&eroid re&erence ini adalah:

g (φ )=∑n=0

∞

an sin2

nφ

engan

φ

adalah garis lintang. Persamaan tersebut terlihat bah!a semakintinggi letak lintang maka semakin besar percepatan gravitasi. /adi medan

gravitasi bumi cenderung bertambah besar ke arah kutub.

. "a yang #imaksu# #engan e/uivalent stratum* Jelaskan ersamaane/uivalent stratum #i0abarkan! "a yang #imaksu# #engan ke0a#iansingularitas* Bagaimana 'ara menyelesaikannya*

Jawab:

0kivalen stratum adalah kondisi distribusi massa di ba!ah permukaan ')-* yang

di!akili oleh nilai ∆ g di permukaan. "isalkan dianggap bah!a e&ek grvitasi

∆ g( x , y ) pada ) - dihasilkan oleh distribusi massa yang tidak diketahui yang

berada diba!ah bidang ' (,y* ini. Kemudian bentuk massa apapun yang berada di

ba!ah bidang, e&ek gravitasinya pada sembarang titik di z ≤0 seharunya akan

memberi nilai yang sama $ika distribusi massa diletakan pada permukaan ) - dan

dapat dihitung dengan tepat dengan menggunakan persamaan2

∆ g ( x , y , z=0 )=2 πGσ ( x , y , z )


(15/388400/PPA/0483! Page 4


5/12


dengan G merupakan tetapan gravitasi pada bidang (,y dengan densitas

σ ( x , y ) g /cm3 . ensitas pada permukaan bidang (,y 'density coating* yang dapat

me!akili perhitungan nilai e&ek gravitasi untuk distribusi massa yang tidak diketahui

pada arah ) - ini disebut dengan ekuivalen stratum.

Ke$adian singularitas adalah kondisi apabila &ungsi #'r* dimana r r- dalam

persamaan berikut. U p⃗ r=−G∫

ρ (⃗r0)d3r⃗ 0

|⃗r−⃗r0|

/ika r r- , yang artinya |⃗r−⃗r0| -, maka hasil dari integral tersebut men$adi tidak

terde&enisi, dan perhitungan men$adi tidak bermakna. #ntuk menghindari kondisi

singularitas ini dibuat lingkaran kecil di pusat massa dengan $ari3$ari 4 dan volume v ,

sehingga potensial # pada persamaan di atas men$adi

U (r )=−G ∫V −v

❑ ρ (⃗r0)d3

r⃗0

|⃗r−⃗r0| −G∫

v

❑ ρ (⃗r0)d3⃗r0

|⃗r−⃗r 0|

5ntegral pada suku pertama tidak singular dan mempunyai nilai nol, maka

U (r )=−G∫v

❑

ρ (⃗r0)d3

⃗r0

|⃗r−⃗r0|

/ika 4 cukup kecil, maka ρ (⃗r0) dapat dianggap konstan, dan dapat dikeluarkan dari

tanda integral. engan demikian diperoleh #'r* sebagai &ungsi Green.

∇

(¿¿2( 1

|⃗r−⃗r0|))

U (r )=−Gρ(⃗r0)¿

"engingat bah!a nilai dari

∇2(

1

|⃗r−⃗r0|)

3678' ⃗ r−⃗r

0¿

"aka,

U (r )=4 πG x ρ (⃗ r0 )


(15/388400/PPA/0483! Page 5


6/12


. Jelaskan bagaimana #engan Teorema Gauss kita #aat menentukan massaanomaly total #ibawa) bi#ang engukuran! Tuliskan #an 0elaskan rumusak)irnya!

Jawab: 9eorema Gauss menyediakan cara yang sangat sederhana perhitungan massa

excess untuk memberikan anomali dalam g ketika observasi dilakukan pada sebuah

bidang horisontal. 9eorema ini dapat dinyatakan sebagai berikut: $ika F adalah suatu

&ungsi vektor yang mana analitis pada permukaan tertutup S yang mengandung volume

V , kemudian

dengan n adalah unit vektor normal keluar pada S. "isalkan kita masukkan F 3∇U

dengan U adalah potensial gravitasi dalam kaitan dengan massa3massa yang

terdistribusi dengan sebuah desitas excess ρ 'r 0* dalam V . Kemudian ruas kiri persamaan

di atas men$adi

dengan M menyatakan masssa excess total yang terkandung dalam volume V .

"isalkan kita memilih untuk permukaan S hemisphere 'bola terpancung setengah*

ber$e$ari R pada ) -, tertutup oleh bidang ) -, . Kemudian dalam limit R ∞ bagian

ruas kanan dari '1* men$adi

bentuk pertama pada bagian kanan persamaan adalah , dan

bagian kedua dapat dievaluasi sebagai berikut: $ika r 0 adalah posisi pusat massa dari

bahan beranomali, yang mana kita asusmsikan terdistribusi dalam volume tertentu, maka

men$adi besar, U 'R * GM ; |R – r -| yang mana sama dengan


7/12


dengan cara mengintegralkan terhadap koordinat3koordinatnya kemudian

membaginya dengan .

. Jelaskan bagaimana kita #aat menentukan osisi titik usat massaanomaly! Tuliskan #an 0elaskan rumus ak)irnya!

Jawab:

Posisi pusat massa " pada bidang ) - dapat ditentukan dengan penerapan

teorema berikut yang berkaitan dengan Kogbetliant) '=*. Penun$ukkan pada gambar >,

0&ek gravity pada P'(, y, -* berkaitan dengan elemen massa dalam volume ? pada

@'ξ ,η ,ζ * adalah

Gambar =. Penempatan pusat massa sebuah benda berdimensi tiga yang terpendam

Sekarang mengingat integral

/ika kita misalkan x 3 ξ r cos , y 3 η r sin , maka

Aang mana lenyap karena simetri. Bleh karena itu bagian real dan ima$iner dN harus

lenyap dengan bebas, memberikan


(15/388400/PPA/0483! Page 7


8/12


"isalkan kita menganggap bagian pertama dari persamaan3persamaan dua ini. Cal ini

memberikan kita

Derdasarkan pada '=E*. /ika sekarang kita mengintegrasikan kedua sisi dari

persamaan ini atas volume ?, kita memperoleh

'=>a*

dimana adalah koordinat pusat massa ". engan cara yang sama,

'=>b*

engan dan merupakan pusat koordinat. %rti penting dari persamaan

ini adalah dengan melakukan penintegralan pada suku sebelah kiri, kemudian

membaginya dengan =7G" maka akan didapatkan koordinat pusat massa '(,y* pada

)-.

3. engaa elaksanaan kontinuasi baik keatas mauun kebawa) lebi) mu#a)bila #ilakukan #alam kawasan 4rekuensi sasial*

Jawab:

alam melakukan kontinuasi melibatkan proses pengintegralan berlipat, sehingga

apabila dilakukan dalam koordinat ruang akan diperoleh kesulitan dalam prosesnya.

9erlebih lagi, koordinat ruang memiliki banyak variasi sehingga akan sangat sulit untuk

digunakan dalam proses kontinuasi. Sebagai solusinya, koordinat ruang diubah men$adikoordinat &rekuensi spasial yang hanya mengandung satu variabel. Proses

perubahan;trans&ormasi ini dikenal dengan trans&ormasi Fourier.


(15/388400/PPA/0483! Page 8


9/12

Upwa! "#$%&$'a%$

D#w$wa! "#$%&$'a%$


5. Buatla) #iagram alir elaksanaan kontinuasi keatas #an kebawa)! "aman4aatnya* Jawab:

iagram alir kontinuasi ke atas

"an&aat dari Kontinuasi keatas apabila dilakukan dalam ka!asan &rekuensi spasial

maka dapat digunakan sebagai lo! pass &ilter, artinya &ilter ini digunakan untuk

mendapatkan &rekuensi lemah dengan cara mereduksi 'menghilangkan &rekuensi tinggi*

atau untuk mendapatkan anomali regional.

iagram alir kontinuasi ke ba!ah

"an&aat dari kontinuasi keba!ah apabila dilakukan dalam ka!asan &rekuensi

spasial maka ini disebut dengan high pass &ilter, artinya &ilter ini digunakan untuk

mendapatkan &rekuensi yang tinggi dengan cara mereduksi atau menghilangkan

&rekuensi yang lemah atau untuk mendapatkan anomali lokal.


(15/388400/PPA/0483! Page (


10/12


16."a yang #imaksu# #engan #erivasi otensial gravitasi* Bagaimana 'aramelaksanakannya* "a man4aatnya*

Jawab:

erivasi potensial gravitasi merupakan salah satu cara yang e&ekti& untuk

memisahkan antara anomali residual dengan anomali regional. erivasi ini menurunkan

potensial # terhadap kedalaman ).

Secara matematis perhitungan derivasi potensial gravitasi diberikan oleh rumusan

sebagai berikut:

( )

( )

#0

# #

"1 , 2

p

r z g g r rd dr

z r z

π

ϑ ϑ π

∞ −∂∆ − = ∆ ÷∂ +∫ ∫

∫ ∞

→

∆+

∆−=

∂∆∂

−ε ε

##

#

212#1

r

g g

z

g Lim

z

r

#ntuk menghitung −(∂ ∆ g/∂ z) dalam ) -, persamaan di atas dilakukan

trans&ormasi Fourier men$adi

#1 , 2 e!p1 2 1 , 2 z F p q p q p q F p q z

∂ = + +∂

"an&aat dari dilakukannya derivasi potensial gravitasi adalah untuk membantu

mengintrepetasikan peta kontur anomali yang tidak $elas akibat anomali regional dan

residu yang tumpang tindih akibat penggunaan metode pemisahan secara tradisional.

erivasi potensial akan menghasilkan peta kontur yang bernilai positi& dan negati&

'dipole*, kemudian kontur batas dari klosur positi& dan negati& dapat di interpretasikan

sebagai garis batas daerah anomali.

11."a yang #imaksu# #engan eksansi multi7ole me#an otensialgravitasi* Jelaskan bagaimana konsenya #an aa man4aatnya* Berikan8onto)nya!

Jawab:

Ekspansi Medan Gravitasi ke Multipole (Multi Kutu!" Pada prinsipnya interpretasi

gravitasi dengan metode ekspansi multipole adalah interpretasi langsung. 5nterpretasi

gravitasi ini digunakan untuk menentukan e(ess mass dari benda sumber anomali

gravitasi. engan pemodelan secara teoritis yang berdasarkan pada tiga buah momen

multipole yaitu 00

, 02

, 22

, ketiga momen multikutub tersebut menentukan bentuk

massa dari benda anomali, dengan ketentuan:


(15/388400/PPA/0483! Page 1)


11/12


b!m=4 πG (2!+1 )−1∫

v

ρ (⃗ r0 ) r0! y!−m (ϑ 0 φ0 ) d

3r0

#ntuk b!m

pada persamaan tersebut di atas terdapat =l31 yang memungkinkan

mereduksi momen multipole dari benda. Desarnya b!m

ini hanya bergantung pada

bentuk rasi volume itu yang pada prinsipnya dapat ditentukan secara khusus dari

medan potensial luar, sehingga b!m

dapat digunakan sebagai cara untuk membuat

intepretasi langsung.

−U ( x , y , z )=0

0

r

+2

0 (3 z " 2−r2 )

2 r5 +

3 22 ( x " 2− y " 2 )

r5

apat dianggap merupakan !akilan pasti dari anomali potensial gravitasi benda

bermassa ". Sumbu (, y , ) dalam persamaan ini adalah sumbu simetri benda dengan

volume ? yang dalam kerangka ini momen benda dapat dihitung dengan mudah. #ntuk

keperluan interpretasi , persamaan terakhir di ubah men$adi

9u$uan utama dari interpretasi gravity adalah untuk mencari nilai . nilai

dari konstanta ini mengindikasikan bentuk dari material penyebab anomaly yang bisa

memiliki bentuk berupa:

1. 0llipsoida tiga dimensi dengan sumbu3sumbu a,b,c dan kerapatan sama H.

=. Silinder elliptika

I. Dalok

Gambar I. "odel material penyebab anomaly

"an&aatnya adalah upaya untuk menggambarkan anomali medan magnet maupun

anomali gravitasi dengan suatu rekayasa model hal ini terkait dengan permasalahan

untuk pemilihan dimensi dan kontras densitas dari suatu model sehingga diharapkan

e&ek gravitasi secocok mungkin dengan bentuk residual anomalinya.

Jontohnya :


(15/388400/PPA/0483! Page 11


12/12


Salah satu contoh bentuk yang dapat digunakan adalah silinder Dentuk silinder

memiliki kelebihan karena memiliki sudut tak berhingga, sehingga pendekatan lebih

mudah dilakukan. Dentuk bentuk sederhana yang digunakan dapat lebih dari satu

bentuk, sehingga dapat diinterpretasi dengan menampilkan kontur dan pro&ilnya.

Pemodelan volume dan posisi dapur magma gunung merapi dapat dilakukan denganbentuk ellips atau bola.


(15/388400/PPA/0483! Page 12
https://id.wikipedia.org/wiki/Silinderhttps://id.wikipedia.org/wiki/Silinderhttps://id.wikipedia.org/wiki/Suduthttps://id.wikipedia.org/wiki/Suduthttps://id.wikipedia.org/wiki/Silinder

perbaikan uts (supriyatno)

Documents