Download - Perbaikan UTS (Supriyatno)
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
1/12
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
1. Jelaskan Hukum Newton Tentang Gaya Gravitasi! Gambarkan Visualisasi DanTuliskan Rumusnya Dengan Benar!
Jawab :
Hukum gravitasi Newton yang menyatakan bahwa gaya tarik menarik antara dua
buah benda adalah sebanding dengan massa kedua benda tersebut dan berbanding terbalik
dengan jarak kuadrat antara pusat massa kedua benda tersebut. Hukum gravitasi Newton
ini dapat digambarkan gaya tarik antara dua titik massa m0 dan m yang berjarak r dibawah
ini;
Gambar 1. Gaya gravitasi antara dua buah titik massa.
⃗F ( ⃗r )=−Gm
0 (⃗r0 ) m (⃗r )
|⃗r0−⃗r|2
⃗r0−⃗r
|⃗r0−⃗r|
Dengan G adalah konstanta gravitasi yang besarnya adalah 6,67 ! "# $"" N m%kg. &ika
persamaan diatas menyatakan gaya tarik yang dialami partikel m akibat partikelm
0
maka tanda negati' menyatakan bahwa gaya tarik tersebut memiliki arah yang berlawanan
dengan r yang mempunyai arah dari partikelm
0 menuju m. Gaya persatuan massa yang
mempunyai jarak r darim
0 disebut medan gravitasi dari partikelm
0 yang besarnya(
⃗F ( ⃗r )=−G m (⃗r)|⃗r|2
⃗r|⃗r|
Dimanar̂=
⃗r−⃗r0
|⃗r−⃗r0| . )arena medan ini bersi'at konservati', maka medan gravitasi bisa
dinyatakan sebagai gradien dari suatu 'ungsi potensial skalarU (⃗r 1) sebagai berikut (
⃗g( ⃗r )=−∇U (⃗r )
Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO
(15/388400/PPA/0483! Page 1
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
2/12
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
DimanaU (⃗r )=−G m1/r merupakan potensial gravitasi dari massa m".)arena itu
potensial disuatu titik pada ruang bersi'at penjumlahan, sedang potensial gravitasi dari
suatu distribusi massa yang kontinyu di suatu titik P diluar distribusi massa tersebut
merupakan suatu bentuk integral.
2. Jelaskan engaa "#a $otensial %kalar Gravitasi! engaa &onse $otensial%'alar e#an Gravitasi (ni Daat emermu#a)kan $er)itungan*
Jawab:
*da +otensial kalar gravitasi berdasarkan konsep uatu benda dengan massa tertentu
dalam sistem ruang akan menimbulkan medan potensial di sekitarnya. Dimana medan
potensial bersi'at konservati', artinya usaha yang dilakukan dalam suatu medan gravitasi
tidak tergantung pada lintasan yang ditempuhnya tetapi hanya tergantung pada posisi awal
dan akhir. -edan potensial ini dapat dinyatakan sebagai gradien atau potensial skalar.
+otensial salar medan gravitasi dapat mempermudah perhitungan karena salar
medan gravitasi mempunyai si'at penjumlahan, misalnya potensial di suatu titik pada
ruang bersi'at penjumlahan sedangkan potensial gravitasi dari suatu distribusi gravitasi
massa yang ontinue di suatu titik diluar distribusi massa tersebut merupakan suatu bentuk
integral. ebagai ontoh, jika massa yang terdistribusi ontinue tersebut mempunyai rapat
massa ρ (⃗r0) di dalam volume /, maka potensial di suatu titik + di luar / adalah(
U p ⃗r=−G∫ ρ (⃗r0)d
3
r⃗ 0
|⃗r−⃗r0|
Dengan(
|⃗r−⃗r0|=√ r2+r
0
2−2 r r0
cosφ
+. Jelaskan ersamaan ,ala'e #an $oisson! Dimana ersamaan tersebutberlaku*
Jawab :
Persamaan laplace dan poisson berlaku pada persamaan medan. Persamaan
Laplace dan Poisson secara matematis dituliskan sebagai berikut:
Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO
(15/388400/PPA/0483! Page 2
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
3/12
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
………………..(persamaan Laplace)
...…………..(persamaan Poisson)
Kedua persamaan ini diperoleh dari teorema Gauss, dimana divergensi dari suatu
medan vektor di dalam suatu volume sama dengan integral permukaan medan tersebut
terhadap permukaannya. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut:
Pada ruang volume dimana tidak terdapat suatu massa di dalamnya akan berlaku
persamaan Laplace. engan memasukkan bah!a , maka
Sedangkan untuk ruang volume yang di dalamnya terdapat suatu massa ", akan
berlaku persamaan Poisson.
#ntuk massa yang memiliki volume yang kecil, maka berlaku
Sehingga dapat disimpulkan bah!a persamaan Laplace berlaku pada ruang
volume yang didalamnya tidak terdapat suatu massa. Sedangkan $ika dalam ruang
volume tersebut terdapat massa, maka yang berlaku adalah persamaan Poisson.
-. Jelaskan yang #imaksu# #engan anomali gravitasi!
Jawab :
%nomali medan gravitasi di topogra&i atau posisi '(,y,)* secara matematis dapat
dide&enisikan sebagai selisih dari medan gravitasi observasi di topogra&i terhadap
medan gravitasi teoritis di topogra&i. +ilai medan ini dipengaruhi oleh lintang, ketinggian,
dan massa topogra&i disekitar titik tersebut. Secara matematis dapat dinyatakan:
∆ g ( x , y , z )=gobs ( x , y , z )−gteoritis ( x , y , z)
Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO
(15/388400/PPA/0483! Page 3
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
4/12
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
engan ∆ g ( x , y , z ) merupakan anomali medan gravitasi di topogra&i, dan
gobv ( x , y , z ) adalah medan gravitasi observasi di topogra&i yang sudah dikoreksikan
terhadap koreksi pasang surut, koreksi tinggi alat, dan koreksi dri&t. Sedangkan
gteo( x , y , z) merupakan medan gravitasi teoritis di topogra&i.
"edan gravitasi teoritis yang ditentukan lebih a!al adalah medan gravitasi normal
yang terletak pada bidang s&eroida re&erece 'pada ketinggian )-* sebagai titik re&erensi
geodesik. umus medan gravitasi normal pada bidang s&eroid re&erence ini adalah:
g (φ )=∑n=0
∞
an sin2
nφ
engan
φ
adalah garis lintang. Persamaan tersebut terlihat bah!a semakintinggi letak lintang maka semakin besar percepatan gravitasi. /adi medan
gravitasi bumi cenderung bertambah besar ke arah kutub.
. "a yang #imaksu# #engan e/uivalent stratum* Jelaskan ersamaane/uivalent stratum #i0abarkan! "a yang #imaksu# #engan ke0a#iansingularitas* Bagaimana 'ara menyelesaikannya*
Jawab:
0kivalen stratum adalah kondisi distribusi massa di ba!ah permukaan ')-* yang
di!akili oleh nilai ∆ g di permukaan. "isalkan dianggap bah!a e&ek grvitasi
∆ g( x , y ) pada ) - dihasilkan oleh distribusi massa yang tidak diketahui yang
berada diba!ah bidang ' (,y* ini. Kemudian bentuk massa apapun yang berada di
ba!ah bidang, e&ek gravitasinya pada sembarang titik di z ≤0 seharunya akan
memberi nilai yang sama $ika distribusi massa diletakan pada permukaan ) - dan
dapat dihitung dengan tepat dengan menggunakan persamaan2
∆ g ( x , y , z=0 )=2 πGσ ( x , y , z )
Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO
(15/388400/PPA/0483! Page 4
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
5/12
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
dengan G merupakan tetapan gravitasi pada bidang (,y dengan densitas
σ ( x , y ) g /cm3 . ensitas pada permukaan bidang (,y 'density coating* yang dapat
me!akili perhitungan nilai e&ek gravitasi untuk distribusi massa yang tidak diketahui
pada arah ) - ini disebut dengan ekuivalen stratum.
Ke$adian singularitas adalah kondisi apabila &ungsi #'r* dimana r r- dalam
persamaan berikut. U p⃗ r=−G∫
ρ (⃗r0)d3r⃗ 0
|⃗r−⃗r0|
/ika r r- , yang artinya |⃗r−⃗r0| -, maka hasil dari integral tersebut men$adi tidak
terde&enisi, dan perhitungan men$adi tidak bermakna. #ntuk menghindari kondisi
singularitas ini dibuat lingkaran kecil di pusat massa dengan $ari3$ari 4 dan volume v ,
sehingga potensial # pada persamaan di atas men$adi
U (r )=−G ∫V −v
❑ ρ (⃗r0)d3
r⃗0
|⃗r−⃗r0| −G∫
v
❑ ρ (⃗r0)d3⃗r0
|⃗r−⃗r 0|
5ntegral pada suku pertama tidak singular dan mempunyai nilai nol, maka
U (r )=−G∫v
❑
ρ (⃗r0)d3
⃗r0
|⃗r−⃗r0|
/ika 4 cukup kecil, maka ρ (⃗r0) dapat dianggap konstan, dan dapat dikeluarkan dari
tanda integral. engan demikian diperoleh #'r* sebagai &ungsi Green.
∇
(¿¿2( 1
|⃗r−⃗r0|))
U (r )=−Gρ(⃗r0)¿
"engingat bah!a nilai dari
∇2(
1
|⃗r−⃗r0|)
3678' ⃗ r−⃗r
0¿
"aka,
U (r )=4 πG x ρ (⃗ r0 )
Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO
(15/388400/PPA/0483! Page 5
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
6/12
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
. Jelaskan bagaimana #engan Teorema Gauss kita #aat menentukan massaanomaly total #ibawa) bi#ang engukuran! Tuliskan #an 0elaskan rumusak)irnya!
Jawab: 9eorema Gauss menyediakan cara yang sangat sederhana perhitungan massa
excess untuk memberikan anomali dalam g ketika observasi dilakukan pada sebuah
bidang horisontal. 9eorema ini dapat dinyatakan sebagai berikut: $ika F adalah suatu
&ungsi vektor yang mana analitis pada permukaan tertutup S yang mengandung volume
V , kemudian
dengan n adalah unit vektor normal keluar pada S. "isalkan kita masukkan F 3∇U
dengan U adalah potensial gravitasi dalam kaitan dengan massa3massa yang
terdistribusi dengan sebuah desitas excess ρ 'r 0* dalam V . Kemudian ruas kiri persamaan
di atas men$adi
dengan M menyatakan masssa excess total yang terkandung dalam volume V .
"isalkan kita memilih untuk permukaan S hemisphere 'bola terpancung setengah*
ber$e$ari R pada ) -, tertutup oleh bidang ) -, . Kemudian dalam limit R ∞ bagian
ruas kanan dari '1* men$adi
bentuk pertama pada bagian kanan persamaan adalah , dan
bagian kedua dapat dievaluasi sebagai berikut: $ika r 0 adalah posisi pusat massa dari
bahan beranomali, yang mana kita asusmsikan terdistribusi dalam volume tertentu, maka
men$adi besar, U 'R * GM ; |R – r -| yang mana sama dengan
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
7/12
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
dengan cara mengintegralkan terhadap koordinat3koordinatnya kemudian
membaginya dengan .
. Jelaskan bagaimana kita #aat menentukan osisi titik usat massaanomaly! Tuliskan #an 0elaskan rumus ak)irnya!
Jawab:
Posisi pusat massa " pada bidang ) - dapat ditentukan dengan penerapan
teorema berikut yang berkaitan dengan Kogbetliant) '=*. Penun$ukkan pada gambar >,
0&ek gravity pada P'(, y, -* berkaitan dengan elemen massa dalam volume ? pada
@'ξ ,η ,ζ * adalah
Gambar =. Penempatan pusat massa sebuah benda berdimensi tiga yang terpendam
Sekarang mengingat integral
/ika kita misalkan x 3 ξ r cos , y 3 η r sin , maka
Aang mana lenyap karena simetri. Bleh karena itu bagian real dan ima$iner dN harus
lenyap dengan bebas, memberikan
Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO
(15/388400/PPA/0483! Page 7
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
8/12
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
"isalkan kita menganggap bagian pertama dari persamaan3persamaan dua ini. Cal ini
memberikan kita
Derdasarkan pada '=E*. /ika sekarang kita mengintegrasikan kedua sisi dari
persamaan ini atas volume ?, kita memperoleh
'=>a*
dimana adalah koordinat pusat massa ". engan cara yang sama,
'=>b*
engan dan merupakan pusat koordinat. %rti penting dari persamaan
ini adalah dengan melakukan penintegralan pada suku sebelah kiri, kemudian
membaginya dengan =7G" maka akan didapatkan koordinat pusat massa '(,y* pada
)-.
3. engaa elaksanaan kontinuasi baik keatas mauun kebawa) lebi) mu#a)bila #ilakukan #alam kawasan 4rekuensi sasial*
Jawab:
alam melakukan kontinuasi melibatkan proses pengintegralan berlipat, sehingga
apabila dilakukan dalam koordinat ruang akan diperoleh kesulitan dalam prosesnya.
9erlebih lagi, koordinat ruang memiliki banyak variasi sehingga akan sangat sulit untuk
digunakan dalam proses kontinuasi. Sebagai solusinya, koordinat ruang diubah men$adikoordinat &rekuensi spasial yang hanya mengandung satu variabel. Proses
perubahan;trans&ormasi ini dikenal dengan trans&ormasi Fourier.
Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO
(15/388400/PPA/0483! Page 8
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
9/12
Upwa! "#$%&$'a%$
D#w$wa! "#$%&$'a%$
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
5. Buatla) #iagram alir elaksanaan kontinuasi keatas #an kebawa)! "aman4aatnya* Jawab:
iagram alir kontinuasi ke atas
"an&aat dari Kontinuasi keatas apabila dilakukan dalam ka!asan &rekuensi spasial
maka dapat digunakan sebagai lo! pass &ilter, artinya &ilter ini digunakan untuk
mendapatkan &rekuensi lemah dengan cara mereduksi 'menghilangkan &rekuensi tinggi*
atau untuk mendapatkan anomali regional.
iagram alir kontinuasi ke ba!ah
"an&aat dari kontinuasi keba!ah apabila dilakukan dalam ka!asan &rekuensi
spasial maka ini disebut dengan high pass &ilter, artinya &ilter ini digunakan untuk
mendapatkan &rekuensi yang tinggi dengan cara mereduksi atau menghilangkan
&rekuensi yang lemah atau untuk mendapatkan anomali lokal.
Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO
(15/388400/PPA/0483! Page (
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
10/12
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
16."a yang #imaksu# #engan #erivasi otensial gravitasi* Bagaimana 'aramelaksanakannya* "a man4aatnya*
Jawab:
erivasi potensial gravitasi merupakan salah satu cara yang e&ekti& untuk
memisahkan antara anomali residual dengan anomali regional. erivasi ini menurunkan
potensial # terhadap kedalaman ).
Secara matematis perhitungan derivasi potensial gravitasi diberikan oleh rumusan
sebagai berikut:
( )
( )
#0
# #
"1 , 2
p
r z g g r rd dr
z r z
π
ϑ ϑ π
∞ −∂∆ − = ∆ ÷∂ +∫ ∫
∫ ∞
→
∆+
∆−=
∂∆∂
−ε ε
##
#
212#1
r
g g
z
g Lim
z
r
#ntuk menghitung −(∂ ∆ g/∂ z) dalam ) -, persamaan di atas dilakukan
trans&ormasi Fourier men$adi
#1 , 2 e!p1 2 1 , 2 z F p q p q p q F p q z
∂ = + +∂
"an&aat dari dilakukannya derivasi potensial gravitasi adalah untuk membantu
mengintrepetasikan peta kontur anomali yang tidak $elas akibat anomali regional dan
residu yang tumpang tindih akibat penggunaan metode pemisahan secara tradisional.
erivasi potensial akan menghasilkan peta kontur yang bernilai positi& dan negati&
'dipole*, kemudian kontur batas dari klosur positi& dan negati& dapat di interpretasikan
sebagai garis batas daerah anomali.
11."a yang #imaksu# #engan eksansi multi7ole me#an otensialgravitasi* Jelaskan bagaimana konsenya #an aa man4aatnya* Berikan8onto)nya!
Jawab:
Ekspansi Medan Gravitasi ke Multipole (Multi Kutu!" Pada prinsipnya interpretasi
gravitasi dengan metode ekspansi multipole adalah interpretasi langsung. 5nterpretasi
gravitasi ini digunakan untuk menentukan e(ess mass dari benda sumber anomali
gravitasi. engan pemodelan secara teoritis yang berdasarkan pada tiga buah momen
multipole yaitu 00
, 02
, 22
, ketiga momen multikutub tersebut menentukan bentuk
massa dari benda anomali, dengan ketentuan:
Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO
(15/388400/PPA/0483! Page 1)
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
11/12
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
b!m=4 πG (2!+1 )−1∫
v
ρ (⃗ r0 ) r0! y!−m (ϑ 0 φ0 ) d
3r0
#ntuk b!m
pada persamaan tersebut di atas terdapat =l31 yang memungkinkan
mereduksi momen multipole dari benda. Desarnya b!m
ini hanya bergantung pada
bentuk rasi volume itu yang pada prinsipnya dapat ditentukan secara khusus dari
medan potensial luar, sehingga b!m
dapat digunakan sebagai cara untuk membuat
intepretasi langsung.
−U ( x , y , z )=0
0
r
+2
0 (3 z " 2−r2 )
2 r5 +
3 22 ( x " 2− y " 2 )
r5
apat dianggap merupakan !akilan pasti dari anomali potensial gravitasi benda
bermassa ". Sumbu (, y , ) dalam persamaan ini adalah sumbu simetri benda dengan
volume ? yang dalam kerangka ini momen benda dapat dihitung dengan mudah. #ntuk
keperluan interpretasi , persamaan terakhir di ubah men$adi
9u$uan utama dari interpretasi gravity adalah untuk mencari nilai . nilai
dari konstanta ini mengindikasikan bentuk dari material penyebab anomaly yang bisa
memiliki bentuk berupa:
1. 0llipsoida tiga dimensi dengan sumbu3sumbu a,b,c dan kerapatan sama H.
=. Silinder elliptika
I. Dalok
Gambar I. "odel material penyebab anomaly
"an&aatnya adalah upaya untuk menggambarkan anomali medan magnet maupun
anomali gravitasi dengan suatu rekayasa model hal ini terkait dengan permasalahan
untuk pemilihan dimensi dan kontras densitas dari suatu model sehingga diharapkan
e&ek gravitasi secocok mungkin dengan bentuk residual anomalinya.
Jontohnya :
Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO
(15/388400/PPA/0483! Page 11
-
8/16/2019 Perbaikan UTS (Supriyatno)
12/12
PERBAIKAN JAWABAN UTS TEORI MEDAN POTENSIAL
Salah satu contoh bentuk yang dapat digunakan adalah silinder Dentuk silinder
memiliki kelebihan karena memiliki sudut tak berhingga, sehingga pendekatan lebih
mudah dilakukan. Dentuk bentuk sederhana yang digunakan dapat lebih dari satu
bentuk, sehingga dapat diinterpretasi dengan menampilkan kontur dan pro&ilnya.
Pemodelan volume dan posisi dapur magma gunung merapi dapat dilakukan denganbentuk ellips atau bola.
Perbaikan Jawaban UTS TMP 2016SUPRIYATNO
(15/388400/PPA/0483! Page 12
https://id.wikipedia.org/wiki/Silinderhttps://id.wikipedia.org/wiki/Silinderhttps://id.wikipedia.org/wiki/Suduthttps://id.wikipedia.org/wiki/Suduthttps://id.wikipedia.org/wiki/Silinder