PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Pengujian Hipotesis

Ayundyah Kesumawati

Prodi Statistika FMIPA-UII

April 20, 2015

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Pendahuluan

I Hipotesis Statistik :pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebihpopulasiPengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaanatau penolakan suatu hipotesis

I Kebenaran (benar atau salahnya) suatu hipotesis tidakakan pernah diketahui dengan pasti, kecuali kitamemeriksa seluruh populasi. (Memeriksa seluruhpopulasi? Apa mungkin?)

I Lalu apa yang kita lakukan, jika kita tidak mungkinmemeriksa seluruh populasi untuk memastikankebenaran suatu hipotesis?Kita dapat mengambil sampel acak, dan menggunakaninformasi (atau bukti) dari sampel itu untuk menerimaatau menolak suatu hipotesis

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Landasan penerimaan dan penolakan hipotesis seperti ini,yang menyebabkan para statistikawan atau penelitimengawali pekerjaan dengan terlebih dahulu membuathipotesis yang diharapkan ditolak, tetapi dapat membuktikanbahwa pendapatnya dapat diterima

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Perhatikan contoh-contoh berikut:Contoh 1Pengalaman menunjukkan bahwa tingkat penyembuhanpenyakit tertentu dengan pengobatan standar adalah 40 %.Tingkat penyembuhan obat baru diharapkan akan lebih baikdari pengobatan standar. Andaikan obat baru akandicobakan pada sampel dengan 20 orang pasien dan banyakdisembuhkan X diantara 20 pasien itu dicatat. Bagaimanadata eksperimen itu harus digunakan untuk menjawabpertanyaan: ”Apakah ada fakta yang nyata bahwa obat barumempunyai tingkat penyembuhan yang lebih tinggi daripengobatan standar?”

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Tingkat penyembuhan obat baru adalah proporsi p yangnilainya hanya dapat dipastikan dengan benar apabila obatitu digunakan bagi sejumlah besar pasien. Dalamhubungannya dengan pertanyaan yang dikemukakan dalampernyataan masalah di atas, dapat dibentuk :Hipotesis Awal:Obat baru tidak lebih baik dari pengobatan standardari hasil penelitian diharapkan hipotesis awal ini ditolak,sehingga sesuai dengan harapan semula.

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Contoh 2Manajemen PERUMKA mulai tahun 1992, melakukanpemeriksaan karcis KRL lebih intensif dibanding tahun-tahunsebelumnya, pemeriksaan karcis yang intensif berpengaruhpositif terhadap penerimaan PERUMKA. Untukmembuktikan pendapat ini, hipotesis awal yang diajukanadalah :Hipotesis Awal:TIDAK ADA PERBEDAAN penerimaan SESUDAH maupunSEBELUM dilakukan perubahan sistem pemeriksaan karcisManajemen berharap hipotesis ini ditolak, sehinggamembuktikan bahwa pendapat mereka benar!

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Contoh 3

I Amirruddin S.E., seorang akuntan memperbaiki sistempembebanan biaya di perusahaan tempatnya bekerja. Iaberpendapat setelah perbaikan sistem pembebananbiaya pada produk maka rata-rata harga produk turun.

I Bagaimana ia menyusun hipotesis awal penelitiannya?Hipotesis Awal : .........?

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Hipotesis Nol dan Alternatif

I Hipotesis awal yang diharap akan ditolak disebut :Hipotesis Nol H0

I Hipotesis Nol juga sering menyatakan kondisi yangmenjadi dasar pembandingan

I Penolakan H0 membawa kita pada penerimaanHipotesis Alternatif H1

I Nilai Hipotesis Nol H0 harus menyatakan dengan pastinilai parameterH0 → ditulis dalam bentuk persamaan

I Sedangkan nilai Hipotesis Alternatif H1 dapat memilikibeberapa kemungkinanH1 → ditulis dalam bentuk pertidaksamaan (<,>, 6=)

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Contoh 4 (Lihat contoh 1)Tingkat penyembuhan standart adalah 0,4. Obat baru diujimakaHipotesis awal dan alternatif yang dapat dibuat:

I H0 : p = 0,4 (Tingkat penyembuhan obat baru danobat lama tidak berbeda)

I H1 : p 6= 0,4 (Tingkat penyembuhan obat baru tidaksama dengan obat lama)

atau

I H0 : p = 0,4 (Tingkat penyembuhan obat baru danobat lama tidak berbeda)

I H1 : p > 0,4 (Tingkat penyembuhan obat baru lebihbesar dibanding obat lama)

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Contoh 5 Penerimaan PERUMKA per tahun sebelumintensifikasi pemeriksaan karcis dilakukan = Rp. 3 juta.Maka Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif dapat disusunsebagai berikut:

I H0 : µ = 3 juta (sistem baru dan sistem lama tidakberbeda)

I H1 : µ 6= 3 juta (sistem baru tidak sama dengan sistemlama)

atau

I H0 : µ = 3 juta (sistem baru dan sistem lama tidakberbeda)

I H1 : µ > 3 juta (sistem baru menyebabkan penerimaanper tahun lebih besar dibanding sistem lama)

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Jenis Kesalahan

I Penolakan atau Penerimaan Hipotesis dapat membawakita pada 2 jenis kesalahan (kesalahan = error = galat),yaitu

α juga disebut → taraf nyata uji

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Prinsip Pengujian Hipotesis

I Prinsip pengujian hipotesis yang baik adalahmeminimalkan nilai α dan β

I Dalam perhitungan, nilai α dapat dihitung sedangkannilai β hanya bisa dihitung jika nilai hipotesis alternatifsangat spesifik

I Pada pengujian hipotesis, kita lebih sering berhubungandengan nilai α. Dengan asumsi, nilai α yang kecil jugamencerminkan nilai β yang juga kecil.

I Prinsip pengujian hipotesa adalah perbandingan nilaistatistik uji (z hitung ata t hitung) dengan nilai titikkritis (Nilai z tabel atau t Tabel)

I Titik Kritis adalah nilai yang menjadi batas daerahpenerimaan dan penolakan hipotesis

I Nilai α pada z atau t tergantung dari arah pengujianyang dilakukan

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Ilustrasi

Kita lihat kembali contoh studi klinis tentang obat barudengan daerah penolakan: X(banyak yang sembuh dari 20orang pasien) ≥ 12 akan digunakan untuk menguji H0 : p≤ 0, 4 versus H1 : p > 0, 4. Tentukan tipe kesalahan yangdapat terjadi dan hitunglah peluang kesalahan itu jika (a.) p=0,3 dan (b.) p = 0,7.Penyelesaian

a. Jika p = 0, 3, maka hipotesis nol H0 : p ≤ 0, 4 benar.Kesalahan yang mungkin dalam hal ini hanyalahmenolak H0 (Jadi, kesalahan tipe I)P(Kesalahan tipe I jika p =0,3) = P(X ≥ 12 jika p =0,3).

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Karena reaksi pasien-pasien yang berbeda independen satudengan yang lain, maka model distribusi binomial sesuaiuntuk X. Untuk n = 20 dan p = 0,3, tabel binomialmemberikan

P(X ≥ 12) = 1− P(X ≤ 11)

= 1− 0, 995

= 0, 005

Kita simpulkanP(kesalahan tipe I jika p = 0,3) = 0,005

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

b. Jika p = 0,7, maka hipotesis alternatif H1 : p > 0, 4benar. Kesalahan yang mungkin dalam hal ini hanyalahterima (gagal tolak) H0 (Jadi, kesalahan tipe II).Perhatikan bahwa H0 tidak ditolak hanya jika X ≤ 11.dari tabel binomial dengan n = 20 dan p = 0,7didapatkanP(kesalahan tipe II jika p = 0,7)=P(X ≤ 11 jika p = 0,7)= 0, 113

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

P-Value

Pada kesalahan tipe I, dalam contoh di atas kita perolehbahwa uji dengan daerah penolakan X ≥ 12 mempunyaipeluang kesalahan tipe I 0,005 jika p = 0,3. Denganmenggunakan perhitungan untuk nilai-nilai p yang laindalam H0 kita peroleh peluang kesalahan sebagai berikut:

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Ini melukiskan keadaan umum bahwa nilai-nilai X yang besarlebih mungkin terjadi jika p bertambah besar. Kita lihatbahwa untuk semua nilai p H0 : p ≤ 0, 4, peluang kesalahantipe I terbesar pada p = 0,4, yakni titik batas antara H0 danH1. Karena itu, jika memilih suatu uji, hanya perlumemperhatikan besar peluang kesalahan pada titik batas ini.Peluang kesalahan tipe I yang terbesar suatu uji dinamakantingkat signifikansi dan ditulis dengan lambang α

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Arah Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis dapat dilakukan secara

1. Uji Satu Arah

2. Uji Dua Arah

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Uji Satu Arah

Pengajuan H0 dan H1 dalam uji satu arah adalah sebagaiberikut:

I H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakantanda =)

I H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (> atau lebihkecil <)

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Urutan yang perlu diperhatikan dalam pengujian hipotesisadalah sebagai berikut:

1. Rumuskan hipotesis

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

2. Tentukan nilai α = tingkat signifikan = probabilitasuntuk melakukan kesalahan jeni I dan cari nilai Zα daritabel Normal.

3. Hitung nilai Z0 (Z hitung) sebagai kriteria pengujiannormal

Zhit =X − µ0σX

=X − µ0σ/√n

4. Pengujian hipotesis dan kesimpulan

I H0 : µ ≤ µ0 apabila Z0 ≥ Zα Tolak H0

H1 : µ > µ0 apabila Z0 < Zα Terima H0

II H0 : µ ≥ µ0 apabila Z0 ≤ −Zα Tolak H0

H1 : µ < µ0 apabila Z0 > −Zα Terima H0

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Contoh

Menurut pendapat seorang pejabat dari departemen Sosial,rata-rata penerimaan perhari anak-anak penjual koran disuatu ibukota provinsi sebesar Rp. 7.000,- dengan alternatiflebih besar dari itu. Diketahui simpangan baku daripenerimaan sebesar Rp. 1.600,-. Untuk mengujipendapatnya, dilakukan penyelidikan terhadap 256 oranganak yang dipilih secara acak, ternyata diketahui rata-ratapenerimaan mereka sebesar Rp. 7.100,-. Denganmenggunakan α = 5%. Ujilah pendapat tersebut.

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

PenyelesaianH0 : µ ≤ 7.000H1 : µ > 7.000α = 5%, Zα = 1, 64

Zhit =X − µ0σX

=7.100− 7000

1000/√

256= 1

Karena Z0 < Zα Terima H0 yang berarti bahwa rata-ratapenerimaan anak-anak penjual koran adalah sebesar Rp.7.000 per bulan.

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Uji Dua Arah

Pengajuan H0 dan H1 dalam uji dua arah adalah sebagaiberikut:

I H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakantanda =)

I H1 : ditulis dengan menggunakan tanda 6=

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Pengujian Hipotesis dan kesimpulan

III. H0 : µ = µ0 apabila Z0 ≥ Zα/2 atau Z0 ≤ −Zα/2,Tolak H0

H0 : µ 6= µ0 apabila −Zα/2 < Z0 < Zα/2 Terima H0

Misalkan sekarang

H0 : µ = µ0

H1 : µ 6= µ0

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Pengujian Hipotesis untuk sampel kecil

Untuk sampel kecil (n ≤ 30), Z0,Zα dan Zα/2 digantidengan t0, tα dan tα/2 dimana t0

t0 =X − µ0s/√n

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

ContohDirektur keuangan suatu perusahaan berpendapat, bahwarata-rata pengeluaran untuk biaya hidup per hari bagikaryawan perusahaan itu adalah sebesar Rp. 1.760 denganalternatif tidak sama dengan itu. Untuk mengujipendapatnya, dilakukan wawancara terhadap 25 orangkaryawan yang dilpilih secara acak sebagai sampel, danternyata rata-rata pengeluaran per hari adalah sebesar Rp.1.700 dengan simpangan baku sebesar Rp. 100. Denganmenggunaka α = 5 % ujilah pendapat tersebut.

PengujianHipotesis

Ayundyah

Pendahuluan

Hipotesis Nol danAlternatif

Jenis Kesalahan

P-Value

Arah PengujianHipotesis

Uji Satu Arah

Uji Dua Arah

Penyelesaiann = 25, X = 1.700, s = 1000, µ0 = 1760H0 : µ = 1760H1 : µ 6= 1760

t0 =X − µ0s/√n

=1700− 1760

100/√

25= −3, 00

α = 0, 05 dan derajat bebas 24.t0,025;24 = 2, 0639−tα/2 = −2, 0639Karena t0 < −tα/2 maka tolak H0