PENDEKATAN RUANG KEADAAN TERHADAP ANALISIS SISTEM KONTROL

PENDEKATAN STATE SPACE (RUANG KEADAAN) TERHADAP ANALISIS SISTEM KONTROL

KONTROL KONVENSIONAL - SISO, waktu tidak berubah, linier - Pendekatan daerah frekuensi (frequency domain)

KONTROL MODERN - MIMO, waktu berubah maupun tidak berubah, linier maupun tak linier. - Pendekatan daerah waktu (time domain), - Pendekatan yang baru terhadap analisis dan desain sistem kontrol yg rumit, - Didasarkan pada konsep keadaan (state)

State atau keadaansuatu sistem dinamik adalah sekelompok variabel terkecil (disebut variabel keadaan) sehingga pengetahuan dari variabel tersebut pada t = t0, bersama masukan untuk t t0 menentukan kelakuan sistem untuk t t0 Jadi, state dari suatu sistem dinamik pada waktu t ditentukan secara unik oleh state saat t0 dan masukan pada t t0 serta kebebasan state dan masukan sebelum t0. Untuk sistem linear tidak berubah waktu, biasanya dipilih acuan t0 sama dengan 0.Variabel keadaansuatu sistem dinamik adalah variabel yang membentuk variabel terkecil yang menentukan keadaan sistem dinamik. Jika paling sedikit n variabel x1, x2, . . . xn diperlukan untuk menggambarkan secara lengkap dinamika sistemJadi jika diberi masukan untuk t t0 dan keadaan awal t = t0 diketahui, keadaan selanjutnya dari sistem dapat ditentukan secara lengkap. Sekelompok variabel tersebut disebut variabel keadaan.

Vektor keadaanJika n variabel keadaan diperlukan untuk menggambarkan secara lengkap kelakuan suatu sistem, maka n variabel keadaan tersebut dapat dipandang sebagai n komponen vektor x dan disebut vektor keadaan. Vektor keadaan adalah suatu vektor yang menentukan secara unik keadaan sistem x(t) untuk t t0, sekali keadaan pada t = t0 diberikan input u(t) untuk t t0 diketahui.

Ruang keadaan (state-space),Ruang n dimensi yang sumbu koordinatnya sumbu x1, sumbu x2, . . ., sumbu xn disebut ruang keadaan. Suatu keadaan dapat dinyatakan dengan satu titik dalam ruang-keadaan.

State space equations (Persamaan ruang keadaan)Terdapat 3 jenis variabel yang terlibat dalam model sistem dinamika: variabel masukan, variabel keluaran, dan variabel keadaan. Anggap sistem dengan banyak masukan, banyak keluaran melibatkan n integrator. Keluaran dari integrator bekerja sebagai variabel kedudukan.Jumlah variabel keadaan untuk menentukan dinamika sistem secara lengkap adalah sama dengan jumlah integrator yang terlibat dalam sistem.Ekspresi persamaan diferensial dalam ruang keadaanContoh metode variabel keadaanRangkaian RLC seri dengan tegangan paksa Persamaan diferensialnya adalah

Kita definisikan 2 variabel state dan

sehinggadidapat

Dalam bentuk matriks vektor, persamaan tsb dapat ditulis

Dalam bentuk

Persamaan keluaran

Pada persamaan diferensial orde 4, ekspresikan dalam bentuk persamaan keadaan

dimana y(t) merupakan keluaran dan u(t) merupakan masukan Penyelesaian: karena PD orde 4, maka kita harus mendefinisikan 4 variabel keadaan

Dalam bentuk matriks

dimana

Anggap sistem dengan banyak masukan, banyak keluaran melibatkan n integrator.Anggap juga bahwa terdapat r masukan u1(t), u2(t), . . . ur(t) dan m keluaran y1(t), y2(t), . . . ym(t). Tetapkan n keluaran integrator sebagai variabel keadaan : x1(t), x2(t), . . . xn(t). Sehingga sistem dapat dinyatakan dengan

Keluaran y1(t), y2(t), . . . ym(t) diberikan oleh

Jika kita definisikan

maka persamaannya menjadi

Jika persamaannya dilinearkan terhadap keadaan operasi, maka diperoleh persamaan keadaan terlinearkan dan persamaan keluaran:

dengan A(t) disebut matriks keadaan, B(t) matriks masukan, C(t) matriks keluaran, D(t) matriks transmisi langsung. Persamaan tersebut bisa disederhanakan menjadi (pers keadaan linier, tidak berubah terhadap waktu)

Contoh:

diperoleh

atau Persamaan keluaran adalah y = x1, Dalam bentuk matriks vektor, persamaan tsb dapat ditulis

Hubungan antara fungsi alih dan persamaan ruang keadaanDalam mencari fungsi alih, persamaan diferensial dilaplace-kan tiap suku dimana kondisi awal = 0 Persamaan umum fungsi alih :

Persamaan di atas dilaplace-kan

...... (1)

atau

Dengan mengalikan terhadap kedua sisi dari persamaan tersebut, maka di peroleh ....(2)Dengan mensubtitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) di peroleh

Sehingga di peroleh fungsi alih ......(3)

Persamaan melibatkan (sI A)-1, sehingga G(s) dapat ditulis sebagai

,,

(sI A)-1=

Dengan Q(s) adalah polinomial dalam s. oleh karena itu, sama dengan karakteristik polinomial G(s). Dengan kata lain, nilai A eigen adalah identik dengan kutub-kutub G(s)

Contoh :Cara mencari fungsi alih dari persamaan ruang keadaan

Dengan substisusi nilai A, B, C, D pada persamaan (3) maka di dapatkan

karena

Didapatkan

Yang merupakan fungsi alih siatem

MATRIKS ALIHPada sistem MIMO, anggap terdapat r masukan u1, u2, . . . ur dan m keluaran y1, y2, . . . ym. Tentukan

Matriks alih G(s) mengkaitkan keluaran Y(s) dengan masukan U(s) atau

dimana