orang biologi tidak anti statistika -...

Catatan Kuliah

MA2082 BIOSTATISTIKA

“Orang Biologi Tidak Anti Statistika”

disusun oleh

Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPAInstitut Teknologi Bandung

2011

Tentang MA2082 Biostatistika

A. Bentuk perkuliahan:

1. Tatap muka di kelas

2. Praktikum di Lab. Statistika dan Komputasi

B. Jadwal kuliah:

1. Tatap muka di kelas:

• Senin; 11.45-13.00; R.9021

• Rabu; 9-10.15; R.9301

Catatan: Jadwal khusus untuk Minggu-1, Minggu-2 dan Ujian

2. Praktikum: dimulai Minggu-5

C. Silabus:

• Statistika deskriptif (1 minggu)

• Peluang (1 minggu)

• Peubah acak dan distribusi (diskrit dan kontinu) (2 minggu)

• Penaksiran (2 minggu)

• Uji hipotesis (1 sampel) untuk mean dan proporsi (2 minggu)

• Uji hipotesis 2 sampel (1 minggu)

• Analisis variansi (1 minggu)

• Analisis data kategorikal (1 minggu)

• Analisis regresi (1 minggu)

D. Buku teks:Bernard Rosner, 2006, Fundamentals of Biostatistics, 6th ed.

E. Penilaian:

1. Ujian 1,2,3 (80%) :24 Agustus 2011 (20%),12 Oktober 2011 (30%),30 November 2011 (30%).

2. PR, Kuis (10%)

3. Praktikum (15%)

MA2082 BioStat. i K. Syuhada, PhD.

Matriks kegiatan perkuliahan

Table 1: Materi kuliah MA2082 Biostatistika.

Minggu- Materi Keterangan

1 Statistika deskriptif Penjelasan kuliah2 Peluang3 Ujian 1 24 Agustus 20114 Distribusi Diskrit Tabel statistik5 Distribusi Kontinu6 Penaksiran7 Penaksiran8 Ujian 2 12 Oktober 20119 Uji Hipotesis (1 sampel)10 Uji Hipotesis (1 sampel)11 Uji Hipotesis (2 sampel)12 Analisis Variansi13 Analisis Data Kategorikal14 Analisis Regresi15 Ujian 3 30 November 2011

MA2082 BioStat. ii K. Syuhada, PhD.

Daftar Isi

1 Statistika Deskriptif 11.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Data, Jenis Data, Memahami Data . . . . . . . . . . . . 21.3 Ukuran Pusat/Lokasi dan Penyebaran . . . . . . . . . . 31.4 Mengamati Observasi Luar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Data Kelompok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Memahami Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Peluang 12.1 Ilustrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Konsep Peluang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes . . . . . . . . . . 3

3 Peubah Acak dan Distribusi 13.1 Ilustrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Peubah Acak Diskrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Distribusi Diskrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu . . . . . . . . . . . 5

4 Penaksiran 14.1 Distribusi Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Penaksiran Titik dan Selang . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.3 Penaksiran untuk Distribusi Binomial . . . . . . . . . . 7

iii

BAB 1

Statistika Deskriptif

Silabus: Jenis data, ukuran pusat/lokasi, ukuran penyebaran, koefisien variasi,observasi luar, data kelompok, grafik

Tujuan:

1. Membedakan jenis data dan memahami data

2. Menghitung dan memaknai ukuran lokasi/pusat

3. Membedakan variansi dan koefisien variasi

4. Mengamati observasi luar

5. Memahami data kelompok

6. Membuat dan menafsirkan grafik

1.1 Pendahuluan

• Statistika dan Biostatistika: apa, untuk apa?

• Statistik versus Statistika

• Manfaat BioStatistika

Statistika adalah ilmu yang digunakan untuk mengumpulkan, mengorganisasi,melakukan inferensi dan menafsirkan data. Secara singkat, statistika adalahilmu/pekerjaan untuk meyimpulkan tentang suatu fenomena pada populasimenggunakan sampel.

1

1.2 Data, Jenis Data, Memahami Data

Data adalah hasil observasi tunggal (datum) yang didapat baik secara langsung(observasi/survey, praktikum) ataupun tidak langsung (buku, koran, internet)

Jenis data:

• Nominal (jenis kelamin, golongan darah)

• Ordinal (tingkat kecemasan, tingkat nyeri)

• Rasio/interval (denyut nadi, tekanan darah)

Contoh/ilustrasi dan interpretasi:

1. Berat badan bayi:

Table 1.1: Data sampel berat badan bayi (di AS) baru lahir.

Bayi- BB Bayi- BB Bayi- BB Bayi- BB

1 3265 6 3323 11 2581 16 27592 3260 7 3649 12 2841 17 32483 3245 8 3200 13 3609 18 33144 3484 9 3031 14 2838 19 31015 4146 10 2069 15 3541 20 2834

2. Jumlah darah putih (×1000) pasien-pasien di RS:

0 3578891 0223 5

3. Dapatkah anda mencari dan menafsirkan data berbentuk grafik?

4. Dapatkah anda mencari data yang bersifat kategorikal?

MA2082 BioStat. 2 K. Syuhada, PhD.

1.3 Ukuran Pusat/Lokasi dan Penyebaran

• Ukuran lokasi: Mean (aritmetik), Median, Modus

• Ukuran Penyebaran: Jangkauan, Variansi, Kuartil

• Variansi versus Koefisien Variasi

Misalkan data sampel adalah

x1, x2, . . . , xn,

dimana xi menyatakan titik sampel ke-i. Sampel diatas diperoleh dari popu-lasi dan kita ingin melakukan inferensi untuk populasi dengan memanfaatkansampel. Langkah pertama adalah meringkas data untuk kemudian menghi-tung MEAN, MEDIAN dan MODUS (selanjutnya disebut ukuran lokasi ataupusat).

Mean (aritmetik) didefinisikan sebagai

x =

∑ni=1 xi

n

Sifat-sifat mean

(a) Untuk suatu konstanta k,

n∑i=1

k xi = · · ·

(b) Jika yi = xi + k maka y = x+ k. Buktikan!

(c) Jika yi = k xi maka y = · · · .

Median atau median sampel seringkali dikatakan sebagai nilai tengah. Den-gan demikian, menghitung median haruslah dilakukan pada data yang sudahdiurutkan. Definisi median adalah

(a) Observasi ke-((n+ 1)/2), (n ganjil), atau

(b) Nilai tengah dari observasi ke-(n/2) dan ke-((n/2) + 1), (n genap)


Diskusi: Bagaimana (perbandingan) nilai mean dan median untuk data yang(i) simetrik, (ii) menceng ke kanan, (iii) menceng ke kiri?

Modus atau Mode adalah ukuran pusat yang menyatakan nilai observasi yangpaling sering muncul. Menentukan modus dapat dilakukan pada data tanpadiurutkan (meskipun lebih mudah apabila diurutkan lebih dahulu).

LATIHAN:Tentukan ukuran lokasi/pusat dari contoh data diatas.

Ukuran penyebaran menyatakan seberapa jauh data menyebar dari mean. Mis-alkan kita memiliki dua data sampel. Kedua sampel memiliki mean yang sama,namun memiliki penyebaran data yang berbeda. Beberapa ukuran penyebaranantara lain:

1. Jangkaun (Range):

R = xmaks − xmin

2. Variansi atau variansi sampel:

s2 =

∑ni=1 (xi − x)2

n− 1

Catatan:Deviasi standar atau simpangan baku adalah akar kuadrat dari variansi.

3. Kuantil atau persentil:

Sifat-sifat variansi:Diketahui data sampel x1, . . . , xn memiliki variansi s2x. Jika data sampel

(a) yi = xi + k,

(b) yi = k xi,

untuk suatu konstanta k, maka

s2y = . . .

LATIHAN:Tentukan ukuran penyebaran dari contoh data diatas.


Variansi versus Koefisien VariasiKita dapat menghitung suatu ukuran yang mengaitkan ukuran penyebaran(deviasi standar) dengan ukuran lokasi (mean), yaitu koefisien variasi (coeffi-cient of variation - CV):

CV = 100%× (s/x)

yang tidak dipengaruhi unit ukuran yang dipakai. CV bermanfaat untuk mem-bandingkan variabilitas beberapa sampel yang berbeda relatif terhadap nilaimean-nya. Dapat pula kita membanding CV dari beberapa variabel.

LATIHAN:

Table 1.2: Faktor risiko kardiovaskular pada anak.

n Mean s CV(%)Tinggi (cm) 364 142.6 0.31Berat (kg) 365 39.5 0.77

Tekanan darah (mm Hg) 337 104 4.97Kolesterol (mg/dL) 395 160.4 3.44

1.4 Mengamati Observasi Luar

Observasi luar atau outlier adalah nilai/observasi yang “menyimpang” darinilai-nilai/observasi yang lain. Observasi luar dapat ditentukan/dihitung den-gan melihat apakah ada nilai/observasi yang LEBIH BESAR dari

K3 + 1.5 (K3 −K1)

atau LEBIH KECIL dari

K1 − 1.5 (K3 −K1).

Dalam praktiknya, observasi luar dapat menyatakan sesuatu yang baik/jelek.Misalnya, seseorang dengan tingkat kecerdasan (IQ) yang sangat tinggi (jauhdiatas rata-rata alias observasi luar) adalah baik. Seringkali observasi luardiabaikan dalam analisis data meskipun sesungguhnya cara ini tidaklah tepat.Mendeteksi observasi luar adalah sesuatu yang sangat menantang dalam statis-tika.


LATIHAN:Adakah observasi luar pada contoh data diatas?

1.5 Data Kelompok

Pandang data sampel dengan 275 observasi. Ukuran sampel tersebut terlalubesar sehingga menampilkan data apa adanya menjadi tidak efisien. Dengandemikian, data sampel dapat dikelompokkan. Pengelompokan ini dapat pulaterjadi (harus dilakukan) karena tingkat keakuratan data yang diambil tidakdapat diperoleh dengan baik.

Pengelompokan data memberikan masalah: Berapa banyak kelompok atauinterval kelas (class intervals) yang ingin kita buat? Berapa lebar interval(interval width)? Salah satu formula yang bisa kita pakai adalah FormulaSturges, dimana banyaknya interval kelas adalah

k = 1 + (3.322× log10 n),

dimana n adalah besar sampel. Lebar intervalnya:

w = R/k,

dengan R adalah jangkauan.

Untuk contoh data sampel dengan 275 observasi, kita peroleh:

k ≈ 8, w = (63− 18)/8 = 5.625

Dengan demikian, lebar kelas interval adalah 5 atau 10. Diketahui obervasiterkecil dan terbesar, berturut-turut, adalah 18 dan 63. Jadi, kelas intervalyang bisa dibuat adalah:10-1920-2930-3940-4950-5960-69


1.6 Memahami Grafik

Beberapa tampilan visual (baca: grafik) untuk data adalah diagram bar/batang(bar chart), diagram batang dan daun (stem-and-leaf plot), histogram, box-plot.Contoh, kita pandang data jumlah darah putih pasien-pasien di RS:


Figure 1.1: Box-plot - Jumlah darah putih pasien.


Figure 1.2: Histogram - Jumlah darah putih pasien.


BAB 2

Peluang

Silabus: Ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peluang bersyarat, Teo-rema Bayes.

Tujuan:

1. Mendefinisikan ruang sampel dan kejadian

2. Menghitung peluang suatu kejadian

3. Menghitung peluang bersyarat suatu kejadian

4. Memanfaatkan Teorema Bayes untuk menghitung peluang suatu keja-dian

2.1 Ilustrasi

Ilustrasi-1. Tanti baru saja mengikuti tes mata. Ia masih teringat beberapahuruf yang muncul: A-E-M-R-S. Kini, Tanti mencoba menyusun kata-katayang mungkin dari huruf-huruf tersebut.

Ilustrasi-2. Hanin bermaksud menyumbangkan darahnya di suatu tempatdonor. Hanin terlebih dahulu harus dicek golongan darahnya.

• Golongan darah yang mungkin untuk Hanin adalah...

• Rupanya Hanin tidak sendirian. Ada Hana dan Hanan disana yangmemiliki maksud yang sama dengan Hanin. Jika seorang diantara merekadipilih secara acak menjadi pendonor, berapa peluang orang yang ter-pilih adalah Hana?

1

• Jika, diantara mereka bertiga, Hanan terpilih menjadi pendonor, berapapeluang golongan darah Hanan adalah B?

Ilustrasi-3. Untuk keperluan praktikum di Lab, B dan G haruslah menda-patkan hewan (burung) percobaan. B dan G memutuskan untuk mendap-atkan itu dengan cara menembak. Pada waktu yang disepakati, B dan Gsecara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B menge-nai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakanB) mengenai sasaran adalah 0.4.

• Berapa peluang sebuah tembakan mengenai sasaran?

• Berapa peluang sasaran tertembak?

Ilustrasi-4. “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi.Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tigaorang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tirikukawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan duaorang anak pula dengan ayah tiriku”

2.2 Konsep Peluang

Definisi:Ruang sampel, S, adalah himpunan semua hasil mungkin dari suatu per-cobaan. Kejadian, E, adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluangsuatu kejadian, P (E), adalah rasio dari banyaknya titik kejadian dan ruangsampel, atau

P (E) =n(E)

n(S),

dimana n(E) dan n(S), berturut-turut, adalah banyaknya titik kejadian danruang sampel.

Sifat-sifat peluang:

1. 0 ≤ P (E) ≤ 1

2. P ({}) = 0

3. P (S) = 1


4. Untuk kejadian A dan B,

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

5. Jika kejadian A dan B saling asing maka P (A ∩B) = 0

6. Kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika

P (A ∩B) = P (A)P (B)

LATIHAN:Kerjakan ilustrasi-ilustrasi diatas.

SOLUSI:

1. Ilustrasi-1:

SERAM,MERAS, SEMAR,RAMES, ....

2. Ilustrasi-3:Misalkan B kejadian B menembak sasaranMisalkan G kejadian G menembak sasaranMisalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaranMisalkan S kejadian sasaran tertembak

P (T ) = P (G ∩Bc) + P (B ∩Gc)

= (0.4)(0.3) + (0.7)(0.6)

P (S) = 1− P (Gc ∩Bc)

= 1− (0.6)(0.3)

2.3 Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes

Ilustrasi-1. Pandang Ilustrasi-3 diatas.

• Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tem-bakan G?


• Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan menge-nai sasaran?

• Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenaisasaran?

Ilustrasi-2. Seorang praktikan, Ega, tahu bahwa sebuah lembar kerja prak-tikum akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat lab yang ada.Misalkan pi adalah peluang bahwa Ega akan menemukan lembar kerja prak-tikum setelah mengecek kotak surat lab i dengan cepat jika ternyata surattersebut berada di kotak surat lab i, i = 1, 2, 3.

• Misalkan Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat. Berapapeluang hal itu akan terjadi?

• Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat, be-rapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1?

Definisi:Peluang kejadian A, apabila kejadian B telah terjadi, adalah peluang bersyaratP (A|B) yaitu:

P (A|B) =P (A ∩B

P (B),

asalkan P (B) > 0. Jelas bahwa jika kejadian A dan B saling bebas makaP (A|B) = P (A).

Peluang total:

P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac)P (Ac)

TEOREMA BAYES:Misalkan {B1, B2, . . . , Bn} adalah partisi dari ruang sampel dan misalkan Aadalah kejadian yang terobservasi. Peluang kejadian Bj diberikan A adalah

P (Bj|A) =P (ABj)

P (A)

=P (A|Bj)P (Bj)∑ni=1 P (A|Bi)P (Bi)


LATIHAN:

1. Kerjakan ilustrasi-ilustrasi diatas

2. Tes darah di suatu laboratorium akan 95% efektif dalam mendeteksisuatu penyakit tertentu jika penyakit itu ada. Namun demikian, testersebut juga memberikan ’hasil positif yang salah’ pada 1% orang sehatyang dites. Jika 0.5% dari populasi mengidap penyakit tertentu tersebut,tentukan peluang bahwa seseorang menderita penyakit itu jika hasil tespositif?

SOLUSI:

1. Ilustrasi-1:Misalkan B kejadian B menembak sasaranMisalkan G kejadian G menembak sasaranMisalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaranMisalkan S kejadian sasaran tertembak

P (G|T ) = P (G ∩ T )

P (T )

=P (G ∩Bc)

P (G ∩Bc) + P (B ∩Gc)

=(0.4)(0.3)

(0.4)(0.3) + (0.7)(0.6)

P (G ∩B|S) = P (G ∩ S)P (B ∩ S)

P (S)

=P (G)P (B)

1− P (Gc ∩Bc)

=(0.4)(0.7)

1− (0.6)(0.3)

P (G|S) = P (G ∩ S)

P (S)

=P (G ∩ S)

1− P (Gc ∩Bc)

=0.4

1− (0.6)(0.3)


2. Ilustrasi-2:Misalkan Ki, i = 1, 2, 3 adalah kejadian lembar kerja praktikum beradadi kotak surat lab i. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat lab 1tidak mendapatkan lembar kerja praktikum. Peluang hal itu akan terjadiadalah

P (T ) = P (T |K1)P (K1) + P (T |K2)P (K2) + P (T |K3)P (K3)

= (1− p1)(1/3) + 1/3 + 1/3

Jika diketahui Ega mengecek kotak surat lab 1 dan tidak menemukansurat, maka peluang bahwa lembar kerja praktikum itu ada di kotaksurat lab 1 adalah

P (K1|T ) =P (T |K1)P (K1)

P (T |K1)P (K1) + P (T |K2)P (K2) + P (T |K3)P (K3)

=(1− p1)(1/3)

(1− p1)(1/3) + 1/3 + 1/3


BAB 3

Peubah Acak dan Distribusi

Silabus: Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function),fungsi distribusi (cumulative distribution function), mean dan variansi, dis-tribusi diskrit (binomial, Poisson, geometrik), distribusi kontinu (normal, ser-agam/uniform, eksponensial).

Tujuan:

1. Memahami definisi dan menentukan peubah acak (p.a)

2. Menghitung fungsi peluang (f.p) dan fungsi distribusi (f.d); f.p ke f.d; f.dke f.p

3. Menghitung mean dan variansi

4. Mempelajari distribusi diskrit (binomial, Poisson) dan kontinu (normal,eksponensial)

5. Menghitung peluang suatu p.a dari distribusi diskrit atau kontinu

3.1 Ilustrasi

(Ilustrasi-1) Manajemen suatu klinik kesehatan mengetahui bahwa lima persenpenelepon yang mendaftar untuk periksa dokter tidak akan datang ke klinik.Dengan alasan ini, manajemen tidak ragu untuk menerima pendaftaran se-banyak 52 orang, walaupun kapasitas klinik sebenarnya hanya untuk 50 orang.Berapa peluang setiap penelepon/pendaftar yang datang akan dilayani dokter?

(Ilustrasi-2) Lama waktu (dalam menit) mahasiswa mengikuti praktikum diLab adalah peubah acak dengan fungsi peluang tertentu. Tentukan peluangseorang mahasiswa mengikuti praktikum lebih dari 15 menit? antara 20 dan35 menit?

1

0.050

0.025

10 20 30 40

Figure 3.1: Fungsi peluang lama waktu mahasiswa di Lab.

3.2 Peubah Acak Diskrit

Peubah Acak

• Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”

• Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilanganreal R

P.A. DiskritPeubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan{ai, i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga

P(∪

i

{X = ai})=∑i

P (X = ai) = 1

Catatan:Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.

FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung{ai, i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi, i = 1, 2, . . . } dari bilanganpositif yang bersesuaian sedemikian hingga∑

i

pi = 1

dan

FX(x) =∑ai≤x

pi


Jika diberikan himpunan terhitung {ai, i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif{pi, i = 1, 2, . . . } sdh

∑i pi = 1, fungsi peluang pX(x) adalah

pX(x) = pi = P (X = ai),

dengan x = ai

Fungsi distribusi (kumulatif):

F (x) = P (X ≤ x)

Sifat-sifat:

(a) F fungsi tidak turun(b) limx→∞ F (x) = 1(c) limx→−∞ F (x) = 0(d) F fungsi kontinu kanan Catatan:

• P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a)

• P (X ≤ b) = P (X < b)

•

P (X < b) = P(limn→∞

{X ≤ b− 1

n

})= lim

n→∞P(X ≤ b− 1

n

)= lim

n→∞F(b− 1

n

)

Contoh/Latihan:

1. Diketahui S = {00, 01, 10, 11}. Misalkan X peubah acak yang meny-atakan banyaknya “0”. Nilai yang mungkin dari X adalah..., denganfungsi peluang dan fungsi distribusi...

2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:

F (x) =

0, x < −3.1

3/5, −3.1 ≤ x < 0

7/10, 0 ≤ x < 1

1, 1 ≤ x


3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut:

f(x) =

p, x = −1.9

0.1, x = −0.1

0.3, x = 20p

p, x = 3

4p, x = 4

0, yang lain

Hitung P (−1.9 ≤ |X| ≤ 3), F (2), F (F (3.1))

3.3 Distribusi Diskrit

(Ilustrasi-1) Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengankematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalahseperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah meru-pakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang yang samauntuk dapat bertahan hidup sampai hari esok sebesar α. Jika jumlah pasienIGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2orang saja yang masih hidup?

(Ilustrasi-2) Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusiPoisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan padahari ini?

(Ilustrasi-3) Tiga mahasiswi dokter yang sedang melakukan residensi bertu-gas di kamar mayat. Untuk menentukan siapa yang akan masuk ke “ruan-gan idaman” tersebut pertama kali, mereka sepakat untuk mengundi denganmelantunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda denganyang lain akan menjadi orang pertama. Jika X menyatakan banyaknya lantu-nan koin yang harus dilakukan, tentukan P (X = 3).

Distribusi BinomialMisalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan ’sukses’atau ’gagal’ dari suatu percobaan.Definisikan X(sukses) = 1 dan X(gagal) = 0 dan

pX(1) = P (X = 1) = p

pX(0) = P (X = 0) = 1− p

dimana 0 ≤ p ≤ 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubahacak Bernoulli dengan parameter p. Jika dilakukan n percobaan independen


dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakansebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana

pX(k) = B(k;n, p) = Cnk pk (1− p)n−k

Distribusi PoissonMisalkan X peubah acak dengan fungsi peluang

pX(i) = e−λ λi

i!

untuk i = 0, 1, 2, . . . dan λ > 0. X disebut peubah acak Poisson dengan pa-rameter λ.

Distribusi GeometrikMisalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang per-tama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang suk-ses p. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untukmendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Ge-ometrik dengan parameter p. Fungsi peluangnya adalah

p(n) = P (X = n) = (1− p)n−1 p,

untuk n = 1, 2, . . . dan p > 0.

3.4 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu

(Ilustrasi) Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasilpengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namundemikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelom-pok individu. Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupaangka) adalah bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsen-trasi di sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuranyang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampakkurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut DISTRIBUSI NOR-MAL.

P.A. KontinuMisalkanX peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsipeluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi,

fX(x) =d

dxFX(x)


atau dengan kata lain

FX(x) =

∫ x

−∞fX(t) dt

Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnyaada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acakkontinu. Catatan:

1 = FX(∞) =

∫ ∞

−∞fX(t) dt

P (a ≤ X ≤ b) = FX(b)− FX(a) =

∫ b

a

fX(t) dt

P (X = a) =

∫ a

a

fX(t) dt = 0

Distribusi Normal

Definisi: Peubah acak kontinuX adalah peubah acak Normal atau GAUSSdengan parameter µ dan σ2 jika fungsi peluang fX nya sbb:

fX(x) =1√2π σ

exp(−(x− µ)2 / 2 σ2), −∞ ≤ x ≤ ∞

Contoh/Latihan:Ukuran ideal jumlah mahasiswa di kelas BioStat adalah 60 orang. Namundemikian, PS Biologi ITB mencatat bahwa biasanya hanya 30 persen maha-siswa saja dari total yang terdaftar yang benar-benar hadir dalam perkuliahan.Jika PS Biologi ITB memutuskan menerima 180 mahasiswa untuk kelas Bio-Stat, berapa peluang bahwa lebih dari 60 orang hadir di kelas?

Teorema Limit DeMoivre-LaplaceJika Sn menyatakan ‘banyaknya sukses’ yang terjadi pada n percobaan inde-penden, dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b,

P

(a ≤ Sn − np√

np(1− p)≤ b

)→ Φ(b)− Φ(a),

untuk n → ∞. (pendekatan Normal untuk Binomial akan ‘baik’ jika np(1−p)besar, np(1− p) ≥ 10)


0.050

0.025

10 20 30 40

Figure 3.2: Fungsi peluang lama waktu mahasiswa di Lab.

Distribusi Uniform

Definisi: Peubah acak kontinuX dikatakan berdistrbusi seragam pada selang(a, b) jika fungsi peluang fX nya sbb:

fX(x) =1

b− a, a ≤ x ≤ b

Contoh/Latihan: Lama waktu (dalam menit) mahasiswa mengikuti praktikumdi Lab adalah peubah acak dengan fungsi peluang tertentu. Tentukan peluangseorang mahasiswa mengikuti praktikum lebih dari 15 menit? antara 20 dan35 menit?

Distribusi Gamma

Peubah acak Gamma: Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang se-banyak n kali, maka banyaknya ‘sukses’ yang diperoleh adalah peubah acakberdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, dimana p adalah peluangsukses. Jika kita memandang banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukansampai diperoleh (dan termasuk) sukses ke-r, maka kita dapatkan peubah acakberistribusi Binomial negatif dengan parameter r dan p. Peubah acak Gammaadalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif.Dalam hal ini kita pandang peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktuyang diberikan untuk sukses ke-r.


Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memilikifungsi peluang

f(x) =λα

Γ(α)xα−1 e−λx, x > 0

dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusiGamma dengan parameter α dan λ; x ∼ Gamma(α, λ).

Definisi Fungsi Gamma:

Γ(t) =

∫ ∞

0

xt−1 e−x dx

Catatan: Γ(t+ 1) = tΓ(t), t > 0

Contoh/Latihan:

1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:

F (x) =

0, x < 013+ x

5, 0 ≤ x < 1

35, 1 ≤ x < 2910, 2 ≤ x < 3

1, x ≥ 3

2. Pelajari distribusi eksponensial.


BAB 4

Penaksiran

Silabus: Distribusi normal, penaksiran parameter, penaksiran titik dan pe-naksiran selang, selang kepercayaan untuk mean dan proporsi.

Tujuan:

1. Mempelajari distribusi normal dan menghitung peluang suatu p.a berdis-tribusi normal standar

2. Memahami konsep penaksiran titik dan penaksiran selang

3. Menghitung selang kepercayaan untuk mean dan proporsi

4.1 Distribusi Normal

Perhatikan fungsi peluang dari X, p.a yang menyatakan kandungan serumtrigliserida dalam tubuh. Distribusi peluangnya tidak simetri dan menceng kekanan (skew to the right atau positively skewed) sbb (Gb 4.1):

densitas

0 50 100 150

serum trigliserida (mg/dL)

Figure 4.1: Fungsi peluang serum trigliserida

1

densitas

0 50 80 90 100 110

DBP

0.03

0.02

0.01

A

B

C

Figure 4.2: Fungsi peluang tekanan darah diatolik

densitas

60 88 120

Berat Badan Lahir (BBL)

0.02

0.01

Figure 4.3: Fungsi peluang Berat Badan Lahir

Sedangkan fungsi peluang dari tekanan darah diatolik (DBP - diastolic bloodpresure) pada laki-laki usia 35-44 tahun adalah seperti gambar berikut (Gb4.2). Area A,B,C berturut-turut menyatakan peluang terjadinya hipertensiringan, sedang dan berat. Umumnya DBP terjadi disekitar 80 mm Hg, dimanakemudian kemungkinannya berkurang seiring dengan berubahnya nilai DBPyang jauh dari 80.

Fungsi peluang dari peubah acak yang menyatakan Berat Badan Lahir berikutfungsi distribusinya saat BB-nya 88 atau P (X ≤ 88) (Gb 4.3). Area tersebutmemiliki arti khusus dalam kebidanan atau obstetrics dimana 88 adalah nilaibatas atau cutoff point yang digunakan untuk mengidentifikasi bayi BBLR.


f(x)

40 50 60

( - ) ( + )

x

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

Figure 4.4: Fungsi peluang dari distribusi normal

Definisi Distribusi Normal

Misalkan X peubah acak berdistribusi normal dengan parameter µ dan σ2.Fungsi peluangnya adalah

fX(x) =1√2π σ

exp

(− 1

2σ2(x− µ)2

), −∞ < x < ∞,

Notasi: X ∼ N(µ, σ2), dengan mean µ = E(X) dan variansi σ2 = V ar(X).

Contoh: fungsi peluang untuk distribusi normal dengan mean 50 dan variansi100 (Gb 4.4).

Distribusi N(0, 1) adalah kasus khusus dari distribusi N(µ, σ2) dengan mean0 dan variansi 1. Distribusi ini disebut juga distribusi normal standar/baku(Gb 4.5). Sifatnya adalah simetrik disekitar 0. Sifat empirik yang penting daridistribusi normal baku adalah

P (−1 < X < 1) = 0.6827,

P (−1.96 < X < 1.96) = 0.95,

P (−2.576 < X < 2.576) = 0.99.


f(x)

-2.58 -1.96 -1 0 1 1.96 2.58

( )

x

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

68% area

95% area

99% area

Figure 4.5: Fungsi peluang dari distribusi normal standar

Contoh/Latihan:

1. Diketahui Z ∼ N(0, 1). Tentukan nilai c dari persamaan peluang berikut:(a) P (Z > c) = 0(b) P (|Z| ≤ c) = 0.25(c) P (−c < Z < 2 c) = 0.68(d) P (c ≤ Z < 0) = 0.324

2. Misalkan diameter pohon dari suatu spesies tertentu adalah peubah acakberdistribusi normal dengan mean 8 (inchi) dab deviasi standar 2 (inchi).Hitung peluang bahwa sebuah pohon memiliki diameter yang tak wajaryaitu lebih dari 12.

4.2 Penaksiran Titik dan Selang

Misalkan suatu populasi memiliki mean µ. Misalkan X1, X2, . . . , Xn sam-pel acak dari populasi tersebut. Penaksir untuk µ (disebut penaksir sampel)adalah

X =1

n

n∑i=1

Xi,

dengan sifat

E(X) = µ, V ar(X) = σ2/n,

dimana deviasi standarnya adalah σ/√n yang disebut standard error of mean

atau “sem” atau standard error. Standard error adalah ukuran kuantitatif dari


variablitas mean sampel yang diperoleh dari sampel acak (berulang) berukurann dari populasi yang sama.

Teorema Limit Pusat

Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari populasi dengan mean µ dan vari-ansi σ2. Maka, untuk n besar,

X ∼ N(µ, σ2/n),

meskipun distribusi populasinya tidak normal.

Contoh. Hitung peluang bahwa mean BBL dari sampel berukuran 10 akanberada diantara 98 dan 126 (diketahui data populasi: mean 112 dan deviasistandar 20.6).Solusi:

P (98 < X < 126) = Φ

(126− 112

20.6/√10

)− Φ

(98− 112

20.6/√10

)= · · ·

Perhatikan transformasi peubah acak:

Z =X − µ

σ/√n,

dimana Z berdistribusi normal standar. Akibatnya, 95% nilai Z akan beradadiantara -1.96 dan 1.96. Dengan kata lain, 95% mean sampel berada di selang(

µ− 1.96σ/√n , µ+ 1.96σ/

√n)

Catatan:Dalam praktiknya, nilai σ tidak diketahui dan harus ditaksir oleh deviasi stan-dar sampel s.

Distribusi t

Jika X1, X2, . . . , Xn sampel acak berdistribusi normal dengan mean µ danvariansi σ2, maka

X − µ

S/√n

∼ tn−1,

berdistribusi t dengan derajat kebebasan (degrees of freedom) n− 1, dimana

P (td < td,u) = u.


Selang Kepercayaan untuk Mean

100%(1−α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval (CI) untuk meandari distribusi normal dengan variansi tidak diketahui adalah(

x− tn−1,1−α/2 s/√n , x+ tn−1,1−α/2 s/

√n)

atau dituliskan

x± tn−1,1−α/2 s/√n

Contoh/Latihan

1. Tentukan persentil ke-5 (atas) atau persentil ke-95 dari distribusi t den-gan derajat kebebasan 23.

2. Hitung 95% selang kepercayaan untuk mean BBL berdasarkan sampelberukuran 10. Diketahui: x = 116.9; s = 21.7.

Selang Kepercayaan untuk Mean - Sampel Besar

Nilai pendekatan 100%(1−α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval(CI) untuk mean dari distribusi normal (sampel besar) dengan variansi tidakdiketahui adalah(

x− z1−α/2 s/√n , x+ z1−α/2 s/

√n)

dengan ukuran sampel n > 200.

Catatan:Panjang SK dipengaruhi oleh nilai n, s, dan α. Jika:n membesar, maka panjang SK...s membesar, maka panjang SK...α mengecil, maka panjang SK...

Contoh/Latihan

1. Hitung 95% dan 99% selang kepercayaan untuk mean temperatur berdasarkansampel berukuran 10 dan 100. Diketahui: x = 97.2; s = 0.189.

2. Pandang soal no 1. Hitung 95% SK dengan s = 0.4.


4.3 Penaksiran untuk Distribusi Binomial

Misalkan Xi p.a Bernoulli dengan peluang “sukses” p. Kita dapat menghitung

E(Xi) = p, V ar(Xi) = p(1− p).

Untuk sejumlah n p.a Bernoulli, X =∑n

i=1 Xi, kita dapatkan p.a Binomialdengan E(X) = · · · dan V ar(X) = · · · .

Pandang X p.a Binomial dengan parameter n dan p. Penaksir untuk p adalahp atau proporsi sampel, yaitu

p =1

n

n∑i=1

Xi = X/n,

dengan

E(p) = · · · , V ar(p) = · · ·

Untuk n besar, berdasarkan TLP, maka p berdistribusi normal dengan meanp dan variansi p(1− p)/n. Dengan demikian, 100%(1−α) selang kepercayaanuntuk p adalah(

p− z1−α/2

√p(1− p)/n , p+ z1−α/2

√p(1− p)/n

)Contoh/Latihan:

1. Tentukan 95% SK untuk proporsi penderita kanker pada 10000 wanitaberusia 50-54 tahun, dimana diketahui 400 diantaranya menderita kanker.

2. Lakukan perhitungan diatas untuk α = 0.01 dan sampel berukuran n =1000.


orang biologi tidak anti statistika -...

Documents