nota algebra

1/4

Matriks Bentuk Eselon-Baris dan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (Row-echelon Form Matrices and Types of Solutions of Linear Equations System)

Katakan matrik imbuhan (augmented matrix) bagi satu Sistem Persamaan Linear (SPL) diturunkan (reduced) kepada Matriks Bentuk Eselon-Baris (BEB) dengan menggunakan Operasi Baris Permulaan (OBP). a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 : : : : : : : :

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

a11 a12 ... a1n b1

a21 a22 ... a2n b2 : : : : : : : :

am1 am2 ... amn bm

Sistem Persamaan Linear Matriks Imbuhan Matriks Bentuk Eselon-Baris Dengan memeriksa matriks BEB yang terhasil, kita dapat menentukan jenis penyelesaian bagi SPL berkenaan. Terdapat 3 jenis penyelesaian seperti berikut: 1. Penyelesaian Unik

Contoh 1.1 * sila rujuk Lampiran A untuk proses penurunan yang lengkap menggunakan OBP

x + y + 2z = 8 –x – 2y + 3z = 1 3x – 7y + 4z = 10

Sistem Persamaan Linear Matriks Imbuhan Matriks BEB

Matriks BEB di atas mempunyai

� 3 pembolehubah pelopor (leading variable) iaitu x, y, z � tiada pembolehubah bebas (free variable)

SPL yang sepadan dengan matriks BEB ini ialah: Perhatikan bahawa SPL ini mempunyai 3 persamaan linear, iaitu sama dengan bilangan pembolehubah dalam sistem. Oleh itu sistem ini mempunyai penyelesaian unik.

x + y + 2z = 8 y – 5z = –9 z = 2

Dengan cara penggantian dari belakang (back substitution), sistem ini dapat diselesaikan, iaitu z = 2 y = -9 +5z = 1 x = 8 – y -2z = 3

Contoh 1.2

2x – y – 3z = 0 –x + 2y – 3z = 0 x + y + 4z = 0


Matriks BEB di atas mempunyai � 3 pembolehubah pelopor (leading variable) iaitu x, y, z � tiada pembolehubah bebas (free variable)

XX

XXX

XXXX

XXXXX

000

00

0

−−−

10473

1321

8211OBP*

OBP

−−2100

9510

8211

=

2

1

3

z

y

x

−−−−

0411

0321

0312

OBP

− 01000

0130

0411

2/4

SPL yang sepadan dengan matriks BEB ini ialah: Perhatikan bahawa SPL ini mempunyai 3 persamaan linear, iaitu sama dengan bilangan pembolehubah dalam sistem. Oleh itu sistem ini mempunyai penyelesaian unik.

x + y + 4z = 0 3y + z = 0 -10z = 0

Dengan cara penggantian dari belakang (back substitution), sistem ini dapat diselesaikan, iaitu z = 0 y = 0 x = 0

Perhatikan semua nilai x, y, z dalam penyelesaian ini adalah sifar. Penyelesaian ini dipanggil juga penyelesaian remeh (trivial solution). Kita katakan sistem ini mempunyai hanya penyelesaian remeh. Konsep ini akan disentuh lagi dalam tajuk Ketakbersandaran Linear (Linear Independence) suatu set vektor.

2. Penyelesaian Banyak

Contoh 2.1

x + 2y + 2z = 0 2x + 5z = -1 2x + 8y + 3z = 1


Matriks BEB di atas mempunyai � 2 pembolehubah pelopor (leading variable) iaitu x, y � 1 pembolehubah bebas (free variable) iaitu z

SPL yang sepadan dengan matriks BEB ini ialah: Perhatikan bahawa SPL ini mempunyai 2 persamaan linear iaitu kurang dari bilangan pembolehubah (3) dalam sistem. Oleh itu sistem ini mempunyai banyak penyelesaian.

x + 2y + 2z = 0 4y – z = 1

Dengan memberikan sebarang nilai, t (parameter) kepada pembolehubah bebas z dan menyelesaikannya secara penggantian dari belakang, penyelesaian sistem ini dapat dinyatakan seperti berikut: z = t z = 4t y = (1 + t)/4 atau y = 1+t x = -(1+5t)/2 x = -2-10t

Contoh 2.2 3y – 2z = 0 2w + x – 4y + 3z = 0 2w + x + 2y – z = 0 –4w – 2x + 5y – 4z = 0

Sistem Persamaan Linear Matriks Imbuhan Matriks BEB Matriks BEB di atas mempunyai

� 2 pembolehubah pelopor (leading variable) iaitu w, y � 2 pembolehubah bebas (free variable) iaitu x, z

−1382

1502

0221

OBP

−0000

1140

0221

OBP

−−−−

−−

04524

01212

03412

02300

−−

00000

00000

02300

03412

−+

−=

+−−

=

4

1

10

t

0

1

2

4t

t1

10t2

z

y

x

=

0

0

0

z

y

x

3/4

SPL yang sepadan dengan matriks BEB ini ialah: Perhatikan bahawa SPL ini mempunyai 2 persamaan linear, iaitu kurang dari bilangan pembolehubah (4) dalam sistem. Oleh itu sistem ini mempunyai banyak penyelesaian.

2w + x – 4y + 3z = 0 3y – 2z = 0

Dengan memberikan sebarang nilai, t dan s kepada 2 pembolehubah bebas x, z dan menyelesaikannya secara penggantian dari belakang, penyelesaian sistem ini dapat dinyatakan seperti berikut: z = t z = 6t y = 2t/3 atau y = 4t x = s x = 2s w = –s/2 – t/6 w = - s - t Perhatikan jika kita ambil t=0 dan s=0, kita perolehi penyelesaian remeh (w=0, x=0, y=0, z=0). Jika kita ambil t=1 dan s=1, kita perolehi penyelesaian tak remeh, iaitu w= –2, x=2, y=4, z=6. Kita katakan SPL ini mempunyai penyelesaian lain selain dari penyelesaian remeh.

3. Tiada Penyelesaian

Contoh 3.1

3x + 6y – 3z = -2 – 2y + 3z = 1 6x + 6y + 3z = 5


SPL yang sepadan dengan matriks BEB ini ialah: Perhatikan bahawa persamaan ketiga (0 = 6) dalam SPL ini ialah satu pernyataan palsu. Ini bermakna sistem ini adalah tak konsisten dan tiada penyelesaian.

3x + 6y – 3z = –2 – 2y + 3z = 1 0 = 6

Latihan

Katakan matriks imbuhan suatu sistem persamaan linear telah diturunkan ke bentuk BEB seperti yang diberikan. Tandakan di kotak yang betul berkaitan dengan kekonsistenan sistem, dan jenis penyelesaiannya jika sistem itu konsisten.

(a)

−0000

2310

1021

Sistem ini � konsisten � tak konsisten.

Jika sistem konsisten, � penyelesaian unik � penyelesaian banyak

(b)

−

1000

6410

1241



(c)

−

41000

10210

21241



(d)

0100

0410

0521



−−−

6000

1320

2363

−

+

−

=

−−

=

6

4

0

1

t

0

0

2

1

s

6t

4t

2s

ts

z

y

x

w

−−−

5366

1320

2363

OBP

4/4

Lampiran A

Contoh 1.1

Contoh 1.2

Contoh 2.1

Contoh 2.2 Contoh 3.1

Dr. Ng Kok Fu Jabatan Matematik IPG Kampus Sultan Abdul Halim

nota algebra

Documents