Modul 11.

Regresi & Korelasi Ganda

Regresi Berganda

Masalah disini adalah pendugaan atau peramalan nilai peubah tak bebas Y berdasarkan hasil peng-ukuran beberapa peubah bebas x1, x2, …, xn

Misalnya : menduga kecepatan angin sebagai fungsi dari ketinggian tempat diatas muka bumi, suhu dan tekanan.

Persamaan untuk peramalan dapat diperoleh dengan menggunakan prosedur kuadrat terkecil terhadap data hasil pengukuran ketinggian tempat, suhu dan tekanan untuk menghasilkan koefisien regresinya.

Contoh acak berukuran n dari populasi dapat ditulis-kan sebagai {x1i, x2i, …, xri, yi ; i = 1, 2 …,n)}

Persamaannya :y = 0 + 1 x1 + 2 x2 + + r xr

0, 1, , r adalah parameter yang harus diduga dari data.

Persamaan regresi contohnya adalah :

1

kita membatasi pada kasus dua peubah x1 dan x2

saja.

Pengetahuan mengenai matriks akan sangat mem-bantu dalam melakukan manipulasi matematika.

Dengan hanya dua peubah bebas, persamaan regresi contohnya menjadi :

dan setiap nilai pengamatan memenuhi hubungan

Nilai dugaan kuadrat terkecil b0, b1 dan b2 dapat diperoleh dengan memecahkan persamaan linear simultan.

Sistem persamaan linier ini dapat diselesaikan untuk mendapatkan b1 dan b2 dengan beberapa cara yang tersedia, antara lain kaidah cramer dan kemudian b0

dapat diperoleh dari persamaan pertama :

Untuk masa kini, tersedia pula paked program komputer yang dapat memperoleh nilai dengan dugaan parameter pada regresi linear berganda beserta analisis yang berhubungan dengan model

2

tersebut, seperti MINITAB, SAS, SPSS, SYSTAT dan sebagainya.

Korelasi Ganda dan Partial

Korelasi linear (r) dan koefisien determinasi diperoleh pada peubah X dan Y. Konsep ini dapat diperluas pada kasus peubah ganda. Misalkan hubungan antara nilai-nilai peubah tak bebas Y dengan peubah bebas X1 dan X2.

Koefisien Determinasi Berganda contoh yang di-lambangkan dengan R2

y.1z , menunjukkan proporsi keragaman total nilai-nilai peubah y yang dapat di-terangkan oleh model yang digunakan :

yang diperoleh dengan cara memasukkan (x1i, x2i), untuk i = 1, 2, …, n kedalam persamaan regresi berganda.Rumus lain untuk menghitung JKG :

Untuk contoh acak {(x1i, x2i, yi ; i = 1, 2…,n)}

koefisien determinasi contoh R2y.12 didefinisikan

3

Koefisien Korelasi Partial contoh, dilambangkan dengan ry2.1 yang mengukur korelasi antara y dan x2 sementara x1 tetap diperhatikan tetapi dibuat tetap.

Definisi Koefisien Korelasi Parsial.Ukuran hubungan linear antara peubah-peubah y dari x2, dengan x1 dibuat tetap, diduga dengan koefisien korelasi parsial. Contoh : ry2.1, yang di-definisikan sebagai :

ry2 = koefisien korelasi contoh biasa antara y dan x2

ry1 = koefisien korelasi contoh biasa antara y dan x1

r12 = koefisien korelasi contoh biasa antara x1 dan x2

Regresi Ganda Dengan Peubah Bebas X1 dan X2

Model dugaannya : dan persamaan normalnya :

b0n + b1X1 + b2X2 = Y

b0X1 + b1X12 + b2X1X2 = X1Y

b0X2 + b1X1X2 + b2X2 = X2Y

Peubah X1, X2 dan Y ditransformasikan ke

4

Sehingga persamaan normalnya berubah menjadi :

Dengan metode Cramer persamaan tersebut dapat diselesaikan.

Koefisien determinasi :

5

merupakan statistik uji H0 : 1 = 0 H1 : 1 0

Demikian juga

merupakan statistik uji H0 : 2 = 0 H1 : 2 0

Untuk menguji b1, b2 secara serentak dapat dibuat sidik ragam untuk mencari statistik uji

SK db JK KT Fhit.

Reg.(b1,b2|b0) k - 1 R2y2 KTReg/KTg.

Galat n - k (1 – R2)y2 -

total n - 1 y2 - -

6

Data berikut berasal dari 8 runtunan percobaan yang diukur pada dua peubah bebas dan satu respons Y :

Y X1 X2

2 1 312 7 159 5 74 3 113 4 97 6 125 2 610 8 5

a. Tentukan persamaan regresi ganda = b0 + b1 X1 + b2X2.

b. Hitung koefisien determinasi R2

c. Ujilah pengaruh X1, X2 terhadap Y dengan uji F (sidik ragam)

d. Ujilah hipotesis H0 : 1 = 0 lawan H1 : 1 0 dan H0 : 2 = 0 lawan H1 : 2 0

Jawab :

Lembaran olahan dataY X1 X2 X1X2 X1

2 X22 X1Y X2Y Y2

2 1 3 3 1 9 2 6 412 7 15 105 49 225 84 63 819 5 7 35 25 49 45 63 81

7

4 3 11 33 9 121 12 44 163 4 9 28 16 81 12 27 97 6 12 72 36 144 42 84 495 2 6 12 4 36 10 30 25

10 8 5 40 64 25 80 50 100

52 36 68 328 204 690 287 484 420

Penghitungan elemen matriks X1X dan X1y ter-reduksi pada persamaan normal

Dengan metode Cramer b1 dan b2 dihitung kemudian dilanjutkan menghitung b0.

8

b0 = 6,5 – 1,188 (4,5) – 0,142 (8,5) = 6,5 – 5 , 346 – 1,207 = -0,053

persamaan regresi dugaan : = - 0,053 + 1,188X1 + 0,142X2

Jawaban a). = - 0,053 + 1,188X1 + 0,142X2

b). Koefisien Determinasi R2 =

9

c). Analisis ragam

SK db JK KT Fhit.

Reg.(b1,b2|b0) 2 68,928 34,4640 13,182

Galat 5 13,072 2,6144 -

Total 7 82,000 - -

Fhit. = 13,182 > F0,05(2;5) = 5,79 tolak H0.

d).

Tugas/ Latihan

1. Diberikan data

y 2 5 7 8 5

10

x1 8 8 6 5 3x2 0 1 1 3 4

Taksirlah persamaan regresi linier darab Y x1 . x2

= 0 + 1.x1 + 2.x2

2. Kesepuluh pasangan data berikut berasal dari suatu percobaan dengan dua peubah bebas x1 dan x2 dikendalikan sedangkan respon y diamati.

y x1 X2

61.5 2400 54.561.2 2450 56.432.0 2500 43.252.5 2700 65.231.5 2750 45.522.5 2800 47.553.0 2900 65.056.8 3000 66.534.8 3100 57.352.7 3200 68.0

Taksirlah persamaan regresi linier darab Y x1 . x2

= 0 + 1.x1 + 2.x2

3. Serentetan data percobaan diambil untuk menen-tukan cara memprediksikan waktu pembuatan kokas (sejenis arang) y pada beberapa taraf lebar tungku xi dan suhu corong x2. Data yang disandi tercatat seperti berikut :

11

y x1 X2

6.40 1.32 1.1515.05 2.69 3.4018.75 3.56 4.1030.25 4.41 8.7544.85 5.35 14.8248.94 6.20 15.1551.55 7.12 15.3261.50 8.87 18.18

100.44 9.80 35.19111.42 10.65 40.40

Taksirlah persamaan degresi darab Y x1 . x2 = 0 + 1.x1 + 2.x2

4. Diberikan data berikut :

X 0 1 2 3 4 5 6 7

Y 4.6 4.2 6.5 8.7 9.0 7.3 5.5 3.2

a). Cocokanlah kurva regresi berbentuk Y x1 . x2

= 0 + 1.x + 2.x2

b). Taksirlah Y bila x = 5

5. Suatu percobaan diadakan untuk menentukan apakah darah yang beredar diotak manusia dapat diprediksikan dari tekanan oksigen pada arteri (dalam milimeter air raksa). Limabelas penderita digunakan dalam penelitian tersebut dan data berikut diamati.

12

Darah yang beredar

Tekanan oksigen pada

arteri

Darah yang beredar

Tekanan oksigen pada

arteriY x Y x

84.33 603.140 75.22 404.0087.80 582.50 76.58 484.0052.20 556.20 77.90 452.4078.21 594.60 78.80 448.4078.44 558.90 80.67 334.8083.53 580.10 86.60 320.3079.46 451.20 78.20 350.30

Taksirlah persamaan bentuk kuadrat Y x = 0 + 1.x + 2.x2

6. Data percobaan yang disandi berikut ini mengenai kempa sejenis logam campuran pada berbagai konsentrasi sejenis zat tambahan.

Konsentrasi Tekanan kempax y

10.0 25.2 27.3 28.715.0 29.8 31.1 27.820.0 31.2 32.6 29.725.0 31.7 30.1 32.330.0 29.4 30.8 32.8

a). Taksirlah persamaan regresi bentuk kuadrat Y x = 0 + 1.x + 2.x2

13

b). Ujilah kekurangcocokan model tersebut.

7. Diberikan data

X 0 1 2 3 4 5 6

Y 1 4 5 3 2 3 4

a). Cocokanlah model pangkat tiga Y x = 0 + 1.x + 2.x2 + 3.x3

b). Prediksikan Y bila x = 2

14