modul 2 pemecahan masalah (1)

EVALUASI PEMBELAJARAN MATEMATIKA

evaluasimatematika.net Program Pascasarjana Universitas Negeri Padang

PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA

Seorang guru matematika mempunyai banyak peluang yang bermanfaat

dalam mengajar. Jika ia memanfaatkan sebagai besar peluang tersebut untuk men-drill

siswa dengan soal-soal rutin, maka ia akan membunuh ketertarikan siswa, hampers

perkembangan intelektual mereka, dan menyalahgunakan peluang yang ia miliki. Akan

tetapi, jika ia membangkitkan keingintahuan siswa dengan memberikan masalah yang

relevan dengan pengetahuan mereka, kemudian membantu mereka menyelesaikan

masalah dengan pertanyaan-pertanyaan yang menstimulasi, maka ia akan menanamkan

sensitivitas dan potensi untuk berpikir secara independen (Polya, 1945).

A. Apa itu Pemecahan Masalah?

Pemecahan masalah merupakan salah satu aspek terpenting dalam pembelajaran

matematika. Aspek ini terus menerus menjadi topik pembicaraan di kalangan peneliti maupun

pendidik matematika. Berbagai kalangan merekomendasikan agar pemecahan masalah menjadi

fokus utama dalam pembelajaran matematika (Schoenfeld, 1992, 200; NCTM, 2000; Lenchner,

2005). Hal ini beralasan karena pada hakekatnya belajar matematika adalah pemecahan

masalah (Halmos dalam Schoenfeld, 1983).

Untuk memahami apa itu pemecahan masalah, perlu dikemukakan terlebih dahulu

pengertian masalah dalam matematika. Menurut Lenchner (2005), suatu soal matematika

dapat dikategorikan sebagai suatu latihan (exercise) atau masalah (problem). Sebuah soal

matematika disebut latihan jika prosedur untuk menyelesaikan soal tersebut sudah diketahui,

atau soal tersebut dapat diselesaikan hanya dengan menerapkan satu atau beberapa prosedur

perhitungan. Hal yang sama juga dikemukakan oleh Schoenfeld (1983) bahwa suatu soal

matematika yang tidak memiliki suatu “tantangan” dan dapat diselesaikan hanya dengan

prosedur yang sudah biasa atau rutin (meskipun prosedurnya sukar atau kompleks), itu hanya

merupakan sebuah latihan.



Sebuah soal matematika yang dikategorikan sebagai masalah memiliki kompleksitas yang

lebih tinggi, sehingga strategi untuk menyelesaikannya tidak memungkinkan siswa untuk secara

langsung menerapkan prosedur perhitungan yang sudah dikuasai. Artinya, soal tersebut

membutuhkan suatu kreativitas dan orisinalitas dari yang menyelesaikannya. Suatu masalah

biasanya juga memuat situasi yang mendorong siswa untuk menyelesaikannya, akan tetapi

siswa tidak tahu secara langsung apa yang harus dikerjakan untuk menyelesaikannya. Terkait

dengan subyek yang memecahkannya, suatu masalah hendaklah memenuhi kriteria berikut:

- Siswa mengkonfrontasi keinginan dan kebutuhannya untuk menyelesaikan masalah

- Siswa tidak mempunyai prosedur baku atau pengetahuan siap pakai untuk

menemukan solusi masalah

- Siswa perlu melakukan usaha tertentu untuk menemukan solusi masalah.

Istilah latihan yang dikemukanan oleh Lenchner dan Schoendfeld dapat juga disebut

sebagai soal rutin (routine problem), yang biasanya mencakup aplikasi suatu prosedur

matematika yang sama atau mirip dengan hal yang baru dipelajari. Selanjutnya, istilah masalah

berasosiasi dengan soal tidak rutin (non-routine problem) yang mana untuk menyelesaikannya

diperlukan suatu analisis dan proses berpikir yang lebih mendalam.

Untuk melihat perbedaan dari pengertian latihan dan masalah yang diberikan Lenchner,

perhatikan contoh berikut.

Robi memiliki uang dalam bentuk 3 koin ribuan, 5 koin lima ratusan, dan 8 koin ratusan.

a. Berapa jumlah koin yang dimiliki Robi?

b. Berapa jumlah uang yang dimiliki Robi?

c. Jumlah uang dengan koin manakah yang terbanyak?

d. Robi ingin memberikan satu atau lebih koin kepada adiknya Rara, berapa jumlah uang

yang mungkin diterima Rara?

e. Berapa banyak kombinasi koin yang dapat dibentuk dari satu atau lebih koin yang

dimiliki Robi?

f. Berapa banyak kombinasi dari koin-koin yang dapat dibentuk sehingga jumlah uangnya

sama?



Dari contoh dapat dicermati bahwa kualitas dari tiga soal pertama berbeda dengan tiga

soal berikutnya. Untuk menyelesaikan tiga soal pertama dapat dilakukan dengan suatu

prosedur perhitungan yang sederhana, sedangan untuk tiga soal lainnya dibutuhkan strategi

penyelesaian yang tidak rutin untuk sampai ke jawaban yang dibutuhkan. Lenchner

mengkategorikan tiga soal pertama sebagai latihan dan tiga soal berikutnya sebagai masalah.

Istilah lain yang berasosiasi dengan masalah seperti yang dikemukakan sebelumnya

adalah masalah open-ended (open-ended problem). Masalah open-ended adalah masalah

terbuka, yang dapat diselesaikan dengan beberapa strategi berbeda, sehingga memungkinkan

juga untuk mendapatkan solusi yang berbeda. Masalah open-ended diperkenalkan oleh

Shimada di Jepang pada tahun 70-an melalui suatu penelitian yang dikenal dengan The Open-

Ended Approach (lihat Shimada, 1997). Dari penelitian ini ditemukan bahwa proses

penyelesaian masalah open-ended dapat memberikan pengalaman kepada siswa untuk

menemukakan sesuatu yang baru. Berikut ini diberikan model dari pendekatan open-ended

yang digunakan oleh Shimada.

Sejak penelitian yang dilakukan Shimada, masalah-masalah open-ended berkembang

dan digunakan secara pesat mulai dari tingkan sekolah dasar sampai ke sekolah menengah atas.

Hal ini tidak hanya ditemui di Jepang tetapi juga di Amerika Serikat dan beberapa negara lain.

Bahkan, masalah-masalah open-ended juga banyak dipakai sebagai alat asesmen karena dalam

memberi respon terhadap masalah tersebut siswa tidak hanya dituntut untuk menunjukkan

hasil kerja mereka, tetapi juga dikehendaki untuk menjelaskan bagaimana mereka menemukan



jawaban dan mengapa memilih strategi penyelesaian seperti yang mereka lakukan (Schoenfeld,

1997).

Pengertian lain dari masalah open-ended adalah masalah yang tidak mempunyai solusi

yang pasti. Solusi yang benar akan ditentukan oleh bagaimana interpretasi seseorang terhadap

masalah open-ended yang diberikan serta asumsi dan strategi/model penyelesaian yang

digunakan. Ketidakpastian ini kadang-kadang mengakibatkan kebingungan dan

ketidaknyamanan kepada siswa yang telah terbiasa dengan “hanya ada satu jawabab yang

benar”, sewaktu menyelesaikan masalah tersebut. Di lain pihak, banyak pakar pendidikan

matematika (……………………….) yang melihat bahwa masalah open-ended sangat potensial untuk

mengembangkan kemampuan berpikir kritis siswa, sehingga perlu diberikan kepada siswa di

sekolah.

Dari bererapa hal yang dikemukakan sebelumnya, dapat dilihat beberapa karakteristik

dari masalah open-ended sebagai berikut.

• Tidak dapat dideskripsikan secara lengkap.

• Mempunyai beberapa kemungkinan solusi.

• Informasi pada masalah terkadang menimbulkan kontroversi bagi yang memahaminya

• Informasi yang disajikan tidak lengkap, sehingga dapat memunculkan interpretasi dan

strategi penyelesaian yang berbeda.

• Sering memerlukan pengulangan-pengulangan dalam menemukan solusi karena

penggunaan asumsi dan kondisi yang berbeda, atau ditemukan informasi yang

diperlukan dalam proses penyelesaian.

Berikut ini disajikan sebuah contoh masalah open-ended.

Sebuah toko mainan menawarkan pekerjaan kepada siswa selama liburan. Upah yang

ditawarkan ada dua alternatif, yaitu Rp 300.000/minggu atau Rp 7.500/jam. Jika kamu

ingin menerima pekerjaan yang ditawarkan, upah yang mana yang kamu pilih?

Mengapa? Jelaskan jawabanmu secara rinci!



Pada contoh ini, jumlah jam kerja perhari dan jumlah hari toko dibuka dalam seminggu

tidak diketahui. Hal ini memberi kesempatan kepada siswa untuk membuat asumsi yang

berbeda, sehingga hasil akhir yang akan diperoleh juga berbeda. Dapat juga dicermati pada

contoh masalah open-ended yang diberikan bahwa sebagian besar dari karakteristik yang

dikemukakan sebelumnya ditemui pada masalah dan pada proses penyelesaiannya.

Karakteristik seperti yang dimiliki masalah open-ended juga ditemui pada masalah

kontekstual (contextual problem). Istilah masalah kontekstual dikenal seiring dengan

perkembangan Realistic Mathematics Education (RME) (lihat Freudenthal, 1971; Gravemeijer,

1993). Masalah kontekstual menjadi bagian yang tak terpisahkan dalam pembelajaran

matematika dengan pendekatan RME, karena merupakan starting point yang menentukan

suksesnya pembelajaran. Istilah konteks di sini mengacu pada gambaran situasi bagaimana

masalah/soal ditempatkan. Beranjak dari konteks, siswa dapat melakukan kegiatan matematis

(horizontal mathematization dan vertical mathematization) dan juga mengaplikasikan

pengetahuan matematika mereka (Gravemeijer dalam de Figueiredo, 1999).

Konteks dalam RME memegang peranan penting sebagai penghubung antara

matematika dengan lingkungan pengalaman siswa. Perlu diingat bahwa konteks tidak perlu

harus selalu berupa situasi nyata dalam kehidupan sehari-hari, tetapi dapat juga berupa situasi

fantasi. Hal terpenting di sini adalah agar siswa dapat menempatkan dirinya di dalam konteks,

dan konteks itu sendiri dapat diorganisir secara matematis. Secara lebih rinci, de Figueiredo

(1999) mengatakan bahwa konteks dalam RME haruslah:

• dapat dibayangkan dengan mudah, dapat dikenal, dan situasinya menarik;

• berhubungan dengan dunia siswa (familiar);

• menghendaki pengorganisasian secara matematis (progressive mathematization), dimulai

dengan pengetahuan informal siswa;

• tidak terpisah dari proses pemecahan masalah/soal, melainkan harus dapat membantu

sampai ke penyelesaian yang dituju.

Dengan memenuhi kriteria di atas, maka konteks dalam RME akan:

• membantu mempercepat siswa memahami soal;



• memungkinkan siswa memecahkan soal dengan menggunakan pengetahuan informal

mereka;

• memberi kesempatan kepada siswa untuk mendemonstarikan kemampuan mereka;

• memotivasi siswa untuk memecahkan soal.

Menurut Zulkardi (2006), konteks/situasi yang dapat dijadikan masalah kontekstual

dalam RME dapat berupa situasi personal siswa, situasi sekolah/akademik, situasi

masyarakat/publik, maupun situasi saintifik/matematis. Berikut ini disajikan sebuah contoh

masalah kontekstual pada topik Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), yang

konteksnya sering dijumpai di masyarakat.

Ryan dan Ogy berbelanja bersama di sebuah toko pakaian. Ryan membeli dua buah topi

dan dua helai baju kaos dengan harga Rp 60.000, sedangkan Ogy membeli tiga buah topi

dan sehelai baju kaos dengan harga Rp 50.000. Berapakah harga masing-masing sehelai

baju kaos dan sebuah topi?

Dalam pembelajaran matematika di sekolah kita, soal-soal seperti ini sering dijumpai di

bagian akhir topik SPLDV (sebagai aplikasi dari konsep). Sebaliknya, dalam RME soal ini

dijadikan awal untuk memahami metode subsitusi dan eliminasi dalam menyelesaikan SPLDV.

Ketika soal ini diberikan kepada guru-guru matematika dalam suatu pelatihan, secara spontan

semuanya memodelkan soal ke bentuk SPLDV:

2x + 2y = 60.000

3x + y = 50.000,

karena inilah cara yang mereka kenal dan ajarkan kepada siswa. Bandingkan cara yang

digunakan oleh guru di atas dengan jawaban dua orang siswa berikut, di mana mereka belum

mengenal istilah variabel maupun metode eliminasi dan subsitusi.



Rp 60.000

Rp 50.000

Siswa 1:

Harga 1 topi dan 1 kaos adalah ½ x 60.000 = 30.000 (dia melingkari 1 topi dan 1 kaos), sehingga

harga 2 topi = 50.000 – 30.000 = 20.000 (dari gambar pada baris kedua). Diperoleh harga 1 topi

= 10.000, dan harga 1 kaos = 30.000 – 10.000 = 20.000

Siswa 2

2 topi dan 2 kaos 60.000, 3 topi dan 1 kaos 50.000, kemudian saya jadikan 4 topi dan 0 kaos.

Harganya 40.000

Rp 40.000

Jadi harga 1 topi 10.000 dan harga 1 kaos = 50.000 – 30.000 = 20.000 (dari gambar pada baris

kedua).

Dari jawaban siswa, terlihat bahwa meskipun mereka belum diperkenalkan dengan metode

subsitusi dan eliminasi, namun mereka telah menggunakan ide-ide tersebut dalam

menyelesaikan soal. Artinya, soal-soal yang mengandung fenomena didaktik mampu

menstimulasi siswa untuk mengembangkan ide-ide matematis.



Setelah membahas pengertian masalah, sekarang saatnya untuk mengemukakan

pengertian pemecahan masalah (problem solving). Secara sederhana dapat dikatakan bahwa

pemecahan masalah adalah usaha atau proses menemukan solusi dari masalah. Akan tetapi,

karena ada keterlibatan mental dalam prosesnya maka pemecahan masalah oleh Anderson

(1980) disebut sebagai serangkaian operasi kognitif yang dilakukan untuk menemukan suatu

solusi dari masalah. Operasi kognitif yang dimaksud melibatkan dua hal, yaitu memahami

masalah dan konteksnya secara mental dan kemudian secara aktif melakukan manipulasi untuk

mencoba strategi atau model pemecahan masalah.

Ditinjau dari kompleksitas fungsi intelektual manusia, maka pemecahan masalah

dikategorikan sebagai proses kognitif tingat tinggi yang mengehendaki modulasi dan kontrol

dari berbagai keterampilan yang melebihi dari keterampilan rutin atau fundamental.

Untuk selanjutnya, istilah masalah dalam buku ini dipahami sebagai bukan soal rutin

atau soal yang hanya merupakan aplikasi dari serangkaian operasi atau prosedur matematis.

Proses mental untuk memahami masalah, menemukan strategi dan kemudian

mengimplementasikannya, dalam rangka menemukan solusi dari masalah disebut sebagai

pemecahan masalah. Sesuia dengan perkembangan peristilahan di Indonesia, maka istilah

masalah dalam buku ini juga didebut sebagai soal pemecahan masalah, meskipun tidak ada

istilah asing yang berpadanan dengan ungkapan ini.

B. Mengapa Pemecahan Masalah?

Tanggung jawab utama guru matematika adalah mengajarkan siswanya untuk berpikir,

bertanya atau menanggapi pertanyaan, dalam rangka memahami ide-ide matematis, serta

untuk mampu mengimplementasikan ide-ide tersebut dari pada hanya menggunakannya

(regurgitate) (Schoenfeld, 1983)

Pernyaataan dari Schoenfeld di atas secara ringkas telah dapat menjawab mengapa

pemecahan masalah merupakan bagian penting dari pembelajaran matematika di sekolah.

Meskipun demikian, pada bagian ini masih akan dikemukakan beberapa hal yang diharapkan

dapat lebih meyakinkan para pendidik matematika akan pentingnya pemecahan masalah



sebagai bagian yang integral dari pembelajaran matematika. Untuk itu, pada bagian berikut

akan diulas lebih dalam kelemahan dari soal cerita konvensional serta dampak negatifnya

terhadap siswa. Selanjutnya, pada bagian ini juga akan diuraikan beberapa peran penting dari

pemecahan masalah baik dalam kurikulum dan pembelajaran matematika, maupun dalam

membangun kompetensi abad ke 21 (building 21st century skills). Pada bagian akhir akan

dikemukakan beberapa manfaat dari pemecahan masalah.

Pada bagian sebelumnya telah dikemukakan perbedaan antara latihan dan masalah. Akan

tetapi, diyakini akan tetap ada perbedaan pendapat atau penafsiran tentang keduanya. Suatu

soal matematika yang dikategorikan masalah bagi seseorang, mungkin saja hanya menjadi soal

rutin bagi yang lain. Sebaliknya, soal-soal yang sebenarnya hanya menerapkan prosedur rutin

untuk menyelesaikannya sudah merupakan masalah bagi seseorang. Penafsiran yang kedua ini

sering dijumpai pada praktek pembelajaran matematika di sekolah, terutama terkait dengan

pemberian soal cerita (story problem). Pada umumnya guru matematika sudah menganggap

suatu soal cerita sebagai masalah, tanpa mempersoalkan kegiatan kognitif apa yang dituntut

untuk menyelesaikan soal tersebut. Soal-soal seperti ini biasanya diberikan sebagai aplikasi

suatu prosedur matematika yang sama atau mirip dengan hal yang baru dipelajari. Berikut ini

diberikan contoh soal cerita yang diambil dari sebuah buku teks matematika.

• Sebuah gelas berbentuk tabung memiliki diameter 7 cm dan tinggi 9 cm. Hitunglah

volume gelas tersebut

• Volume kaleng susu cair yang berbentuk tabung adalah 365 cm3. Jika jari-jari

kaleng tersebut adalah 3,5 cm, berapa cm tinggi kaleng susu tersebut?

Untuk menyelesaikan kedua soal cerita di atas siswa hanya dituntut untuk mengingat

rumus, kemudian melakukan prosedur perhitungan rutin untuk menjawab apa yang ditanya.

Jika guru matematika hanya terfokus untuk memberikan soal-soal seperti ini, maka

kemampuan pemecahan masalah siswa tidak akan berkembang.

Penafsiran yang kurang tepat dalam mengartikan soal cerita sebagai suatu masalah, akan

mendorong timbulnya dampak negatif terhadap kreativitas guru dalam merancang masalah dan

terhadap perkembangan kemampuan matematis siswa. Kreativitas guru matematika untuk

merancang masalah yang cukup menantang bagi siswa tidak akan berkembang, jika orientasi



utuma mereka adalah pengaplikasian konsep yang baru dipelajari melalui pemberian soal

cerita. Demikian juga halnya dengan siswa, mereka akan kurang mendapat kesempatan untuk

malakukan analisis dan berpikir secara lebih mendalam karena tidak ada tantangan untuk itu.

Menurut Reusser (1984), ada beberapa kelemahan dalam soal cerita yang hanya

menghendaki prosedur rutin dalam menyelesaikannya. Pertama, konteks yang diberikan sering

tidak mampu melibatkan mental siswa sewaktu mereka memecahkan soal. Ke dua, siswa

hampir selalu mengabaikan fakta-fakta atau pengalaman riil, dan hanya terpaku pada angka-

angka yang yang dikemukakan dalam suatu soal cerita. Akibatnya, sering ditemukan siswa

memecahkan suatu soal cerita tanpa pengertian. Bahkan, mereka masih memecahkan soal yang

tidak bisa diselesaikan atau soal yang tidak bermakna (Reusser, 1988; Schoenfeld, 1989),

seperti ditunjukkan oleh contoh di bawah ini.

Di sebuah padang rumput terdapat 125 ekor domba dan 5 ekor anjing yang

membantu pengembala menjaga domba-domba tersebut. Berapakah usia si

pengembala?

Seorang siswa memberikan jawaban sebagai berikut:

125 + 5 = 130......, ini terlalu besar, dan 125 - 5 = 120...., masih terlalu

besar......sekarang 125 : 5 = 25....., ini baru cocok. Saya kira si pengembala berusia

25 tahun.

Jawaban siswa di atas menunjukkan bahwa dia menganggap bahwa soal cerita yang diberikan

bermakna. Kemudian, siswa mencoba mengoperasikan semua bilangan yang ada pada soal,

tanpa mempermasalahkan kebenaran soal.

Kondisi dan pemanfaatan soal cerita seperti yang disebutkan di atas, apalagi jika dialami

siswa dalam waktu yang lama, akan melahirkan suatu kepercayaan, asumsi, dan strategi (yang

salah) dalam diri siswa terhadap soal cerita, yaitu:

• siswa mengasumsikan setiap soal cerita yang diberikan adalah bermakna;

• siswa tidak mempertanyakan kebenaran dan kelengkapan dari soal;

• siswa mengasumsikan bahwa hanya ada satu jawaban yang benar dari setiap soal;

• siswa menggunakan semua bilangan yang ada dalam soal;



• siswa percaya bahwa jika operasi matematika (pembagian) yang mereka gunakan tidak

bersisa, maka mereka berada pada alur yang benar;

• jika siswa tidak memahami soal yang diberikan, mereka dapat melihat ke contoh-contoh

atau soal-soal terdahulu.

Tentu saja kita tidak menginginkan siswa yang belajar matematika memiliki kepercayaan

atau asumsi seperti yang dikemukakan di atas. Oleh sebab itu, sangat perlu untuk membekali

siswa dengan pengalaman yang lebih bermakna melalui pemecahan masalah. Pemecahan

masalah akan memberikan manfaat yang besar kepada siswa dalam melihat relevansi antara

matematika dengan mata pelajaran lain, serta kehidupan dunia nyata. Mengingat kondisi ini,

banyak pakar pendidikan matematika yang berpendapat bahwa pemecahan masalah adalah

bagian yang integral dari semua pembelajaran matematika, dan merupakan aspek “kunci”

untuk dapat mengerjakan semua aspek lain dari matematika.

Schoenfeld (1985) menyatakan bahwa pemecahan masalah merupakan sarana untuk

mengembangkan kemampuan berpikir, sedangkan menurut NCTM (2000):

”Solving problems is not only a goal of learning mathematics but also a major means of doing so. … In everyday life and in the workplace, being a good problem solver can lead to great advantages. … Problem solving is an integral part of all mathematics learning.”

Apa yang dikemukakan NCTM menunjukkan bahwa pemecahan masalah merupakan

“sarana” sekaligus “target” dari pembelajaran matematika di sekolah. Sebagai sarana,

pemecahan massalah memungkinkan siswa untuk mengkonstruksi ide-ide matematis

(Carpenter, Carey, & Kouba dalam Holmes, 1995). Di samping itu, suatu masalah dapat

mengarahkan siswa untuk melakukan investigasi, mengeksplorasi pola-pola, dan berpikir secara

kritis. Untuk memecahkan masalah, siswa perlu melakukan pengamatan yang cermat,

membuat hubungan, bertanya, dan menyimpulkan

Kemampuan memecahkan masalah seyogyanya merupakan hasil utama dari suatu

proses pembelajaran matematika. Dalam kondisi ini pemecahan masalah dikatakan sebagai

target belajar. Siswa harus mampu memecahkan masalah matematika yang terkait dengan

dunia nyata, masalah yang terdapat di dalam buku teks atau yang diberikan oleh guru. Untuk



itu perlu dirancang masalah yang dapat membantu siswa untuk membuat hubungan antara

matematika dengan kehidupan mereka, dan dengan mata pelajaran lainnya. Holmes (1995)

mengemukakan kriteria pemecahan masalah yang memungkinkan siswa untuk mencapai

target belajar yang dinginkan sebagai berikut:

They need to create an environment that encourages students to explore, take risks, share failures and successes, and question one another. In such supportive environments, students develop the confidence they need to explore problems and the ability to make adjustment in their problem-solving strategies.

Artinya, melaui pemecahan masalah siswa didorong untuk melakukan eksplorasi, mengambil

resiko (dengan asumsi dan strategi yang dipilih), berbagi kisah sukses dan kegagalan (dalam

memperoleh penyelesaian), serta saling mempertanyakan strategi dan hasil yang diperoleh

siswa lain. Kondisi belajar yang seperti ini menurut Holmes sangat baik dalam membangun rasa

percaya diri siswa, baik dalam mengeksplorasi masalah maupun dalam mengembangkan

keterampilan mereka untuk memilih strategi pemecahan masalah yang lebih tepat.

Ada beberapa manfaat yang akan diperoleh oleh siswa melalui pemecahan masalah,

diantaranya:

- Siswa akan belajar bahwa ada banyak cara untuk menyelesaikan suatu soal (berpikir

divergen) dan ada lebih dari satu solusi yang mungkin dari suatu soal.

- Siswa terlatih untuk melakukan eksplorasi, berpikir komprehensif, dan bernalar secara

logis.

- Mengembangkan kemampuan berkomunikasi, dan membentuk nilai-nilai sosial melalui

kerja kelompok

Untuk menstimulasi agar siswa mampu menjadi pemecah masalah (problem solver)

yang baik, NCTM (lihat www.nctm.org) menganjurkan agar pembelajaran matematika mulai

dari Taman Kanak-kanak (TK) sampai tingkat SMA memberi kesempatan kepada semua siswa

untuk:

• membangun pengetahuan matematis baru melalui pemecahan masalah

• memecahkan masalah baik yang terdapat dalam matematika, maupun konteks lain

• menerapkan berbagai strategi yang cocok dalam memecahkan masalah

http://www.nctm.org/



• memonitor dan melakukan refleksi terhadap proses-proses yang dilakukan dalam

memecahkan masalah-masalah matematika.

Kemampuan pemecahan masalah matematika berkaitan dengan proses kognitif peserta

didik, yang bertalian dengan kemampuan analisis evaluasi dan kreasi. Kemampuan analisis,

evaluasi dan kreasi menentukan seseorang berpikir ke arah lebih tinggi. Proses berpikir ini

melibatkan kemampuan membedakan, mengorganisasikan, atribusi, pengecekan, pengkritikan,

penyimpulan, perencanaan dan produksi (Anderson, 2003). Perbedaan seseorang terletak pada

kreatifitas dan penggunaan cara yang berbeda untuk pendekatan pemecahan masalah.

Pendekatan yang terbaik sangat tergantung pada kreativitas kecakapan pemecahan masalah

dan jenis masalah. Pemecahan masalah yang kreativ tidak berarti sudah menemukan

penyelesaian yang baik, tetapi juga mempertimbangkan siapa pelakunya, bagaimana

prosedurnya, dan bagaimana penyelelesaian dilaksanakan. Menemukan pemecahan masalah

yang baik belum cukup untuk dikatakan meguasai kemampuan pemecahan masalah.

Manfaat lain dari pemecahan masalah, terutama masalah yang bersifat open-ended

adalah:

1. Siswa akan terlibat lebih aktif dalam pembelajaran dan akan lebih sering

mengemukakan ide-ide

Karena masalah bersifat terbuka serta dapat diselesaikan dengan strategi

berbeda, maka setiap siswa dimungkinkan mempunyai asumsi dan ide sendiri.

Hal ini akan mendorong siswa untuk lebih aktif mengemukakan ide atau

menanggapi ide siswa lain yang berbeda.

2. Siswa memiliki lebih banyak kesempatan untuk menggunakan dan

mendemonstrasikan pengetahuan dan keterampilan matematis yang mereka

miliki

Masalah yang diberikan memungkinkan siswa untuk menyelesaikannya

menggunakan strategi berbeda. Hal ini memberi peluang kepada siswa untuk

mendemonstrasikan pengetahuan dan keterampilan matematis yang mereka

miliki. Apalagi jika strategi-staregi yang berbeda tersebut didiskusikan secara



klasikal, maka semakin banyak kesempatan yang dimiliki oleh siswa untuk

bertukar argumentasi secara matematis

3. Kepercayaan diri siswa dalam belajar matematika akan meningkat

Adanya kesempatan yang diperoleh siswa untuk menggunakan strategi mereka

sendiri (yang mungkin berbeda dengan yang lain) dalam pemecahan masalah,

akan menumbuhkan rasa percaya diri siswa. Pertama, karena strategi yang

digunakan berasal dari diri sendiri, sehingga rasa memiliki terhadap strategi atau

pengetahuan tersebut semakin besar. Kedua, rasa tanggung jawab terhadap

strategi tersebut, untuk nanti mempertahankannya dalam diskusi kelas.

4. Memberi kesempatan untuk mengembangkan penalaran

Sewaktu siswa mempertahankan pendapat atau argumentasi terkait dengan

strategi penyelesaian yang dipilihnya, atau sewaktu siswa mengomentari solusi

dari siswa yang lain, mereka perlu untuk memberikan alasan terhadap apa yang

mereka kemukakan. Hal ini akan mendorong berkembangnya penalaran siswa.

5. Siswa akan memperoleh pengalaman belajar yang kaya, sehingga suasana kelas

lebih menyenangkan

Perbedaan strategi penyelesaian atau solusi yang diperoleh akan membuat siswa

tertarik untuk mengetahui solusi dari temannya yang lain. Hal ini akan

memperkaya pengalaman siswa dalam pemecahan masalah. Di samping itu,

ketertarikan yang muncul pada diri siswa akan mendorong terciptanya

pembelajaran matematika yang lebih menyenangkan.

C. Bagimana Mengajarkan Pemecahan Masalah?

Banyak guru matematika yang berpikiran bahwa kemampuan pemecahan

masalah siswa akan berkembang secara otomatis melalui keterampilan yang diperoleh

melalui pengerjaan soal-soal matematika. Menurut Lenchner (2005), hal ini cenderung

tidak benar, karena keterampilam memecahkan masalah juga merupakan sesuatu yang

perlu diajarkan guru kepada siswa. Hal yang sama juga telah dikemukakan oleh Polya



jauh sebelumnya, seperti tersaji pada awal bab ini, dan diperkuat oleh Halmos (dalam

Schoenfeld, 1983)

The major part of every meaningful life is the solution of problems; a considerable part of the professional life of technicians, engineers, scientists, etc. is the solution of mathematical problems. It is a duty of all teachers, and of teachers of mathematics in particular, to expose their students to problems much more than to facts.

Berikut ini diuraikan langkah-langkah pemecahan masalah yang dianjurkan Polya dalam

buku How to Solve It?

ü Memahami Masalah

Memahami masalah merupakan hal terpenting pertama yang perlu dilakukan dalam

pemecahan masalah. Untuk mencapai tujuan ini, guru matematika perlu mendorong

dan memberi waktu kepada siswa untuk berpikir tentang masalah yang diberikan

(Lenchner, 2005). Selanjutnya, beri kesempatan kepada siswa untuk mengajukan

pertanyaan yang terkait dengan pemahaman masalah, sedangkan pertanyaan siswa

yang berkenaan dengan cara pemecahan masalah tidak perlu didiskusikan. Jika tidak

ada pertanyaan dari siswa, maka giliran guru yang perlu mengajukan pertanyaan

untuk membantu siswa memahami masalah. Menurut Schoenfeld (1985) dan

Lenchner (2005), guru matematika dapat melatih siswa untuk memahami masalah

dengan cara mengajukan beberapa pertanyaan, seperti contoh berikut.

• Apa yang tidak diketahui?

• Apa data/kondisi yang ada?

• Apa yang ditanyakan?

• Apakah data yang ada mencukupi untuk menentukan yang tidak diketahui? Atau

mungkin tidak mencukupi, berlebih, atau kontradiksi satu sama lain?

• Dapatkah kamu mengilustrasikan masalah dalam bentuk gambar, atau

menggunakan notasi yang relevan?

• Dapatkah kamu mengelompokkan/memisahkan data sesuai dengan kondisi yang

ada?

• Kira-kira seperti apa penyelesaian dari masalah ini?



Kendala yang sering ditemui oleh siswa dalam memahami masalah adalah bahasa.

Apalagi jika penyajian masalah melibatkan banyak kalimat yang panjang. Jika hal ini

dijumpai, guru sebaiknya meminta beberapa siswa untuk mengungkapkan masalah

tersebut menggunakan bahasa atau kata-kata mereka sendiri.

ü Merencanakan dan Memilih Strategi Pemecahan Masalah

Dalam merencanakan pemecahan masalah guru perlu menstimulasi siswa untuk

melihat keterkaitan antara data yang ada dengan yang tidak diketahui, sebelum

strategi pemecahan masalah dipilih. Stimulasi kembali dapat diberikan guru dalam

bentuk pengajuan pertanyaan-pertanyaan, misalnya:

• Pernahkah kamu meneyelesaikan masalah yang mirip dengan masalah ini

sebelumnya?

• Apakah kamu mengetahui masalah lain yang berhubungan dengan masalah ini?

• Apakah kamu mengetahui dalil atau definisi yang mungkin membantu dalam

penyelesaian masalah?

• Perhatikan apa yang tidak diketahui, apakah kamu pernah menyelesaikan masalah

lain yang juga memiliki “yang tidak diketahui”yang sama atau mirip dengan

maslah ini?

• Guru mengingatkan contoh masalah yang pernah diselesaikan

sebelumnya, kemudian bertanya kepada siswa: Apakah hasil dari

penyelesaian masalah yang sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan

masalah ini, atau apakah cara yang dulu digunakan dapat juga diterapkan di

sini?

Jika setelah guru mengajukan pertanyaan-pertanyaan seperti di atas siswa masih

belum menemukan cara atau strategi untuk menyelesaikan masalah, maka guru

perlu menempuh beberapa hal lain, seperti:

o Menyajikan masalah lain yang lebih sederhana, yang penyelesaiannya dapat

digunakan untuk membantu menyelesaikan masalah awal

o Menyelesaikan sebagian dari masalah yang diberikan



o Mengganti kondisi yang ada pada masalah, sehingga masalah menjadi lebih

sederhana

ü Melaksanakan rencana

ü Mereviu kembali

D. Memilih masalah

Masalah yang baik dan menantang haruslah:

• Menstimulasi ketertarikan dan keantusiasan siswa untuk menyelesaikannya

• Memperluas intuisi matematis siswa dan mengembangkan pemhaman mereka

• Memperkenalkan siswa pada ide-ide matematis baru dan penting bagi mereka

• Memberi peluang kepada siswa untuk memperoleh pengalaman yang menyenangkan,

memuaskan, dan mendebarkan dalam prose menemukan solusi masalah.

• Dapat diselesaikan menggunkan strategi berbeda

• Dapat diperluas ke masalah lain atau menjadi masalah yang lebih kompleks (dengan

merubah kondisi pada masalah)

• Sesuia dengan kemampuan matematis yang dimiliki siswa. (Guru sebaiknya mencoba

memecahkan sendiri masalah yang akan diberikan kepada siswa, sehingga mengetahui

level kemampuan matematis yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Nanti perlu ada penyesuaian untuk siswa)

E. Cara Menyajikan Masalah

Pemecahan masalah dalam matematika adalah proses menemukan jawaban dari suatu

pertanyaan yang terdapat dalam suatu cerita, teks, tugas-tugas, dan situasi-situasi dalam

kehidupan sehari-hari (Holmes, 1995). Lebih lanjut Holmes menjelaskan bahwa masalah-

masalah yang dipecahkan meliputi semua topik dalam matematika baik dalam bidang geometri

dan pengukuran, aljabar, bilangan (aritmetika), maupun statistika. Di samping itu siswa juga

perlu berlatih memecahkan masalah-masalah yang yang mengkaitkan matematika dengan sains

(natural science, dan social science).



Ada tiga hal yang menjadi tanggungjawab guru saat menumbuhkan kemampuan

pemecahan masalah:

• Membantu peserta didik mengembangkan kumpulan strategi pemecahan masalah.

• Membimbing peserta didik menguasai konsep matematika, tekniknya, keterampilan

berhitung untuk memecahkan masalah.

• Menyediakan kesempatan bagi peserta didik untuk menggunakan strategi tersebut

dalam suatu variasi keadaan yang lebih luas.

Pendapat lain mengatakan pemecahan masalah merupakan suatu aktivitas kognitif yang

komplek yang melibatkan proses dan strategi kegiatan. Pemecahan masalah dapat dilakukan

dengan hal-hal sebagai berikut :

v Membaca masalah dengan tujuan memahami

v Menterjemahkan masalah kedalam kata-kata sendiri

v Memvisualisasikan atau membuat diagram yang merefleksikan hubungan-hubungan

antara sub-sub masalah yang dianggap penting.

v Membuat dugaan (hipotesis) yaitu memikirkan solusi logis dan jenis operasi dan

bilangan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah.

v Mengestimasi (target) dan memprediksi jawabnya

v Menghitung dengan menggunakan aritmatika dan membandingkan hasilnya dengan

prediksi sebelumnya.

Menurut Sumarno pemecahan masalah matematika mempunyai dua makna :

a. Pemecahan masalah sebagai suatu pendekatan pembelajaran yang digunakan untuk

menemukan kembali memahami materi dan prinsip materi.

b. Pemecahan masalah sebagai kegiatan yang meliputi :

1. Mengidentifikasi kecukupan data untuk pemecahan masalah

2. Membuat model matematika atau masalah sehari-hari

3. Memilih dan menerapkan strategi untuk menyelesaikan masalah matematika

4. Menjelaskan atau menginterpretasikan hasil sesuai dengan permasalahan asal



5. Menerapkan matematika secara bermakna.

Pemecahan masalah merupakan suatu upaya yang dilakukan untuk menyelesaikan

permasalahan yang ditemukan. Polya mengatakan pemecahan masalah adalah salah satu aspek

berpikir tingkat tinggi, sebagai proses menerima masalah dan berusaha menyelesaikan masalah

tersebut. Selain itu, pemecahan masalah merupakan suatu aktivitas intelektual untuk mencari

penyelesaian masalah yang dihadapi dengan menggunakan bekal pengetahuan yang sudah

miliki.

Leeuw mengatakan bahwa belajar pemecahan masalah pada hakikatnya belajar berfikir

(learning to think) atau belajar bernalar (learning to reason) yaitu berpikir atau bernalar

mengaplikasikan pengetahuan-pengetahuan yang telah diperoleh sebelumnya untuk

memecahkan masalah-masalah baru yang belum pernah dijumpai. Kemampuan pemecahan

masalah merupakan bagian dari kurikulum matematika yang sangat penting, karena dalam

proses pembelajaran maupun penyelesaian siswa dimungkinkan memperoleh pengalaman

menggunakan pengetahuan serta keterampilan yang sudah dimiliki untuk diterapkan pada

pemecahan masalah yang bersifat tidak rutin. Pemecahan masalah matematika adalah proses

yang menggunakan kekuatan dan manfaat matematika dalam menyelesaikan masalah yang

juga merupakan metode penemuan solusi melalui tahap-tahap pemecahan masalah.

Salah satu tujuan matematika itu diberikan di sekolah adalah agar siswa mampu

menghadapi perubahan keadaan di dunia yang selalu berkembang, melalui latihan bertindak

atas dasar pemikiran secara logis, rasional, kritis, cermat, jujur, dan efektif. Pemecahan masalah

suatu hal yang esensial dalam pembelajaran matematika di sekolah, diungkapkan Hudoyo

disebabkan antara lain:

1. Siswa menjadi trampil menyeleksi informasi yang relevan, kemudian menganalisanya dan

kemudian meneliti hasilnya.

2. Kepuasan intelektual akan timbul dari dalam, yang merupakan masalah instrinsik.

3. Potensi intelektual siswa meningkat

4. Siswa belajar bagaimana melakukan penemuan dengan melalui proses melakukan

penemuan.



Siswa yang terbiasa memecahkan masalah akan meningkatkan potensi intelektualnya, dan

rasa percaya diri siswa akan meningkat. Selain itu, siswa tidak akan takut dan ragu ketika

dihadapkan pada masalah lainnya.

F. Strategi Pemecahan Masalah

Ada berbagai macam strategi yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah. Berikut

ini akan diurakan beberapa di antaranya.

1. Strategi Mensimulasikan Masalah (Acting Out the Problem)

Strategi ini dapat membantu siswa dalam proses visualisasi masalah yang tercakup

dalam soal yang dihadapai dalam pelaksanaannya, strategi ini dilakukan dengan menggunakan

gerakan – gerakan fisik atau dengan menggerakkan benda – benda kongkrit ( dapat diganti

dengan benda yang lebih sederhana misalnya gambar), yang dapat membantu atau

mempermudah siswa dalam menemukan hubungan antar komponen – komponen yang

tercakup dalam suatu masalah.

Di suatu kelas terdapat 40 siswa. Guru meminta siswa secara berurutan untuk

berhitung dari satu sampai 40. Setiap siswa yang menyebutkan nomor ganjil diminta

berdiri. Selanjutnya, siswa yang masih duduk disuruh kembali berhitung secara

berurutan dimulai dari 1 dan siswa yang menyebutkan nomor ganjil juga diminta

berdiri. Berapa siswa yang masih tetap duduk setelah berhitung yang ke dua kali?

Dengan hanya membaca soal, sepertinya siswa akan kesulitan untuk menemukan

jawaban. Melalui strategi mensimulasikan masalah akan terlihat bahwa soal ini tidak sesulit

yang dibayangkan. Dari bilangan 1 sampai 40 setengahnya adalah bilangan ganjil, sehingga

siswa yang tetap duduk setelah berhitung yang pertama ada 20 orang. Setengah dari bilangan 1

sampai 20 juga merupakan bilangan ganjil. Artinya, ada 10 orang siswa yang tetap duduk

setelah berhitung yang ke dua kali.

Penggunaan strategi mensimulasikan masalah tidak hanya membuat pembelajaran

matematika menjadi lebih menyenangkan bagi siswa (karena mereka bersimulasi secara

langsung), tetapi juga akan membuat materi yang dipelajari menjadi lebih bermakna bagi



mereka. Dari contoh yang diberikan misalnya, siswa akan melihat dari simulasi bahwa dalam

sejumlah genap bilangan bulat, setengahnya merupakan bilangan ganjil dan setengahnya lagi

merupakan bilangan genap.

Berikut ini disajikan satu contoh masalah lain yang akan lebih mudah diselesaikan

melalui simulasi. Pembaca dipersilahkan untuk menemukan jawabannya sendiri.

Dalam kondisi mata tertutup, Bobo mentos 8 buah koin ratusan di atas meja,

kemudian meminta temannya Dodo untuk membolak-balik koin di meja sebanyak

yang Dodo mau. Dodo diperkenankan untuk membalikkan sebuah koin lebih

dari satu kali atau koin yang sama berulang-ulang. Hanya saja, setiap kali

membalikkan Gambar menjadi Angka, dia harus menyebutkan OK dengan

keras. Setelah selesai membolak balik koin, Dodo harus menutup sebuah koin

dengan telapak tangannya untuk ditebak oleh Bobo. Ternyata, Bobo selalu dapat

menebak dengan benar permukaan koin yang ditutup oleh Dodo, meskipun

permaian ini diulang beberapa kali. Jelaskan, mengapa Bobo dapat melakukan hal

tersebut?

2. Membuat gambar atau diagram

Mengilustrasikan masalah dalam bentuk gambar atau diagram sering dapat membantu

siswa dalam pemecahan masalah. Apalagi kalau gambar atau diagram tersebut bersumber dari

ide siswa sendiri. Representasi secara visual dari suatu masalah dapat juga membantu siswa

untuk melihat suatu komponen atau keterkaitan antar komponen pada masalah secara lebih

jelas, dibanding jika kondisi tersebut dinyatakan dalam bentuk verbal. Gambar atau diagram

yang dimasud di sini tidak perlu sempurna, terlalu bagus, atau terlalu detail, akan tetapi dapat

membantu siswa untuk melakukan suatu proses matematisasi dalam penyelesaian masalah.

Berikut ini disajikan sebuah contoh soal pemecahan masalah yang mana penggunaan gambar

sangat membantu dalam penyelesaiannya.

Seorang tukang pipa memerlukan waktu 12 menit untuk memotong sebuah pipa menjadi

4 bagian yang sama. Berapa waktu yang dibutuhkan oleh tukang tersebut untuk

memotong pipa menjadi 6 bagian yang sama?



Jika soal ini diselesaikan tanpa menggunakan gambar, mungkin akan sulit bagi siswa

dalam membayangkan bahwa untuk mendapatkan 4 bagian yang sama hanya dilakukan 3 kali

pemotongan. Akibatnya, mungkin saja siswa akan menjawab bahwa waktu yang dibutuhkan

untuk melakukan satu kali pemotongan pipa adalah 12 : 4 = 3 menit.

12 menit ?

Jika masalah diilustrasikan dengan gambar, siswa akan dapat melihat bahwa untuk

mendapatkan 4 bagian pipa hanya diperlukan 3 kali pemotongan, sehingga waktu yang

diperlukan untuk satu kali pemotongan adalah 12 : 3 = 4 menit. Dengan cara yang sama, dapat

dilihat dari gambar bahwa untuk mendapatkan 6 potongan yang sama diperlukan 5 kali

pemotongan, sehingga waktu yang dibutuhkan adalah 5 x 4 = 20 menit.

Strategi pemecahan masalah dengan bantuan diagram dapat diterapkan pada soal

berikut. Pembaca dipersilahkan untuk mencobanya sendiri.

Suatu turnamen volley ball, yang menggunakan sistem setengah kompetisi, diikuti oleh

16 kelurahan.

- Berapa banyak pertandingan yang dilakukan dalam turnamen itu sampai diperoleh

tim juara?

- Berapa kali suatu tim harus bertanding untuk menjadi juara pada turnamen

tersebut?

3. Menemukan pola

Menurut Lenchner (2005), strategi pemecahan masalah yang paling sering digunakan

adalah menemukan suatu pola. Penggunaan strategi ini berkaitan dengan proses mengenal,

menemukan, atau memperluas suatu pola dari sejumlah data yang diberikan. Hal ini dapat

dilakukan melalui sekumpulan gambar atau bilangan, yang kemudian digunakan untuk

mengobservasi sifat- sifat yang dimiliki bersama oleh kumpulan gambar atau bilangan tersebut.



Pada liburan semester depan, seorang pemilik toko menawarkan pekerjaan kepadamu

untuk melayani pembeli. Upah yang ditawarkan cukup aneh, yaitu Rp 100 pada hari

pertama, sedangkan upah untuk hari-hari berikutnya menjadi dua kali dari upah hari

sebelumnya. Jika mendapatkan pekerjaan ini, berapakah upah yang akan kamu terima

pada hari ke 21?

Pertama, ajak siswa untuk berpikir apakah ini pekerjaan yang menarik dari segi upah?

Sebagian besar mereka akan berkata ‘tidak’. Akan tetapi, mereka akan terkejut setelah

menemukan penyelesaian dari masalah. Minta juga beberapa siswa untuk menaksir berapa

kira-kira upah yang akan diterima pada hari ke 21. Hasil-hasil taksiran nanti dibandingkan

dengan solusi yang diperoleh.

Soal di atas dapat saja diselesaikan dengan mendaftar upah yang diterima setiap hari

pada sebuah tabel. Akan tetapi, karena jumlah harinya cukup besar (21 hari), maka

penyelesaian dengan tabel tidak menjadi efektif. Oleh sebab itu, siswa perlu diarahkan untuk

menggunakan atau menemukan pola, yang juga diawali dengan tabel, seperti terlihat pada

penyelesaian berikut.

Hari ke: 1 2 3 4 5

Upah (dalam Rupiah) 100 200 400 800 1.600

Sampai di sini siswa perlu diajak untuk mencermati bahwa upah pada hari ke lima masih sangat

kecil, yaitu Rp. 1.600. Akan tetapi, besarnya sudah menjadi 16 kali upah pada hari pertama.

Kemudian, menggunakan data pada tabel ajak siswa untuk melihat pola pertambahan upah

setiap hari. Karena upah yang diterima setiap hari adalah dua kali upah hari sebelumnya, maka

pertambahan upah ditentukan oleh perpangkatan 2, seperti ditunjukkan pada tabel

selanjutnya.

Hari ke: 1 2 3 4 5

Upah (dalam Rupiah) 100 200 400 800 1.600

100 x 1 100 x 2 100 x 4 100 x 8 100 x 16



100 x 20 100 x 21 100 x 22 100 x 23 100 x 24

Dengan mencermati bahwa upah pada hari ke dua adalah 100 x 21 dan upah pada hari ke lima

adalah 100 x 24 , maka tidak akan terlalu sulit bagi siswa untuk menemukan bahwa upah pada

hari ke 21 adalah 100 x 220 = Rp 104.857.600. Bandingkan hasil ini dengan taksiran-taksiran

yang telah diberikan siswa, diskusikan apa yang terjadi.

Pada umumnya soal seperti ini ditemukan dalam buku-buku teks matematika sebagai

aplikasi dari penggunaan rumus deret geometri Un = arn-1, yang mana Un = suku ke-n, a = suku

pertama, dan r = rasio antara dua suku. Menggunakan rumus ini soal yang diberikan dapat

diselesaikan dengan mensubsitusi a = 100, r = 2, dan n = 21, sehingga diperoleh upah pada hari

ke 21 adalah U21 = 100 x 221 - 1 = 100 x 221 = Rp 104.857.600. Akan tetapi, pemberian-soal-soal

pemecahan masalah yang hanya sebagai aplikasi dari penggunaan rumus cenderung akan

mendorong siswa mengabaikan konteks menarik pada soal dan hanya menghafal rumus serta

cara penggunaannya. Soal-soal pemecahan masalah seperti contoh yang telah didiskusikan

akan lebih baik diberikan pada awal pembelajaran deret geometri untuk menstimulasi siswa

menemukan sendiri rumus suku ke-n. Adanya tantangan yang menarik pada soal serta

keterlibatan mental dalam menyelesaikan masalah, akan membuat pengetahuan yang

diperoleh siswa lebih bermakna.

Sebagai latihan bagi pembaca, coba selesaikan masalah berikut.

n buah garis lurus digambar pada sebuah bidang datar, dengan syarat setiap dua garis

berpotongan di satu titik dan tidak ada tiga garis yangberpotongan di satu titik.

Tentukan berapa banyak daerah yang terbentuk jika n = 20!

4. Membuat tabel

Mengorganisasikan data ke dalam sebuah tabel dapat membantu kita dalam

mengungkapkan suatu pola tertentu serta dalam mengidentifikasi informasi yang tidak

lengkap. Penggunaan tabel merupakan langkah yang sangat efisien unuk melakukan

klasifikasi serta menyusun sejumlah besar data.



Banyak saudara laki-laki Indri sama dengan banyak saudara perempuannya. Saudara

laki-laki Indri yaitu Rano, mempunyai saudara perempuan dua kali lebih banyak dari

saudara laki-lakinya. Jika banyak anak dalam keluarga tersebut kurang dari sepuluh,

tentukanlah masing-masing banyak anak laki-laki dan anak perempuan di keluarga

tersebut.

Masalah di atas dapat saja diselesaikan dengan cara menebak-nebak. Namun, dengan

penggunaan tabel, tebakan yang dilakukan akan lebih terstruktur, seperti terlihat dari contoh

jawaban berikut ini.

Dari pihak Indri

Jumlah saudara

laki-laki

Jumlah saudara

perempuan

Dari pihak Rano Kesimpulan

1 1 jumlah saudara laki-laki 0 dan

saudara perempuan 2

X


saudara perempuan 3

X


saudara perempuan 4

Ok


saudara perempuan 5

X

Strategi serupa juga dapat dilakukan dengan Rano yang menjadi acuan. Silahkan dicoba sendiri!

Contoh masalah lain yang strategi penyelesaiannya menjadi lebih mudah dengan

menggunakan tabel adalah sebagi berikut. Pembaca dipersilahkan untuk mecobanya sendiri.

Tarif penggunaan kartu telepon A adalah Rp 800 untuk satu menit pertama dan Rp 250

untuk tiap menit berikutnya., sedangkan kartu telepon B tarifnya Rp 500 untuk satu

menit pertama dan Rp 300 untuk tiap menit berikutnya.

o Pada menit ke berapa tarif penggunaan kedua kartu telepon sama?



o Jika kita akan menelpon selama 8 menit, tarif telepon manakah yang lebih murah?

Contoh di atas dapat digunakan guru matematika sebagai masalah kontekstual untuk

memfasilitasi proses perpindahan dari horizontal matematisasi ke vertikal matematisasi (lihat

Gravemeijer 1990, Fauzan 2010) pada topik Persamaan Linier Satu Variabel.

5. Memperhatikan/mendaftar semua kemungkinan secara sistematik

Strategi ini biasanya digunakan bersamaan dengan strategi mencari pola dan

menggambar tabel. Dalam strategi ini kita tidak perlu memperhatikan keseluruhan

kemungkinan yang terjadi, tetapi semua kemungkinan itu diperoleh dengan cara yang

sistematik (mengorganisasikan data ke dalam kategori tertentu)

Ada berapa segitiga dalam segitiga berikut?

Untuk memudahkan pencarian, setiap segitiga kecil diberi nama, misalnya: a, b, c, d, e, f.

Dari pemberian nama, dapat langsung diketahui bahwa ada 6 segitiga kecil di dalam

segitiga yang diberikan. Selanjutnya, segitiga-segitiga kecil dapat dijadikan acuan untuk

menemukan segitiga-segitiga yang lain secara sistematis.

Menggunakan dua segitiga: ada 3 buah segitiga yaitu af, bc, dan ed

a b

f c

d e

a b a b a b



Menggunakan tiga segitiga: ada 6 segitiga, yaitu: abc, bcd, cde, def, efa, dan fab

Tidak ada segitiga yang terbentuk dari 4 atau 5 segitiga kecil, tetapi ada satu segitiga yang

terbentuk dari keenam segitiga kecil, sehingga jumlah segitiga yang ada dalam segitiga

tersebut adalah 6 + 3 + 6 + 1 = 16 buah.

Jika pencarian tidak dilakukan secara sistematik, maka besar kemungkinan siswa

tidak akan menemukan semua segitiga yang dimaksud. Untuk kepentingan sistematika

pencarian ini, hasil yang diperoleh juga dapat disajikan dalam tabel, sehingga

memudahkan untuk menentukan jumlah semua segitiga.

Banyak segitiga kecil

yang digunakan

Jumlah segitiga yang

terbentuk

1 6

2 3

3 6

4 0

5 0

6 1

f c

d e

f c

d e

f c

d e

a b

f c

d e

a b

f c

d e

a b

f c

d e

a b

f c

d e

a b

f c

d e

a b

f c

d e



Jumlah: 16

Carilah contoh masalah lain yang dapat diselesaikan menggunakan strategi

memeriksa/mendaftar semua kemungkinan secara sistematik.

6. Tebak dan periksa (Guess and Check)

Pemberian masalah yang dapat diselesaikan dengan strategi coba-coba atau menebak

kemudian memeriksa kebenarannya, juga diperlukan dalam pembelajaran matematika. Hal ini

akan menumbuhkan rasa ingin tahu dan keinginan untuk melakukan eksplorasi pada diri siswa.

Startegi menebak yang dimaksud di sini adalah menebak yang didasarkan pada alasan tertentu

serta kehati-hatian. Untuk dapat malakukan tebakan dengan baik seseorang pelu memiliki

pengalaman cukup yang berkaitan dengan permasalahan yang dihadapi. Berikut ini diberikan

sebuah contoh masalah untuk sekolah dasar yang dapat diselesaikan dengan strategi ini.

Dua bersaudara Rani dan Siska berhasil menjual 12 agar-agar buatan Ibu mereka. Siska

menjual 2 agar-agar lebih banyak dari Rani. Berapa masing-masing agar-agar yang

dijual Rani dan Siska?

7. Strategi kerja mundur

Suatu masalah kadang – kadang disajikan dalam suatu cara sehingga yang diketahui itu

sebenarnya merupakan hasil dari suatu proses tertentu, sedangkan komponen yang

ditanyakan merupakan komponen yang seharusnya muncul lebih awal.

Jack walked from Santa Clara to Palo Alto. It took 1 hour 25 minutes to walk from Santa

Clara to Los Altos. Then it took 25 minutes to walk from Los Altos to Palo Alto. He arrived

in Palo Alto at 2:45 P.M. At what time did he leave Santa Clara?

8. Menggunakan kalimat terbuka

Strategi ini termasuk yang paling sering digunakan, tetapi masih sering mengalami

kesulitan, karena untuk sampai pada kalimat terbuka yang dimaksud haru smenggunakan

strategi yang lain agar hubungan antar unsure yang terkandung di dalam masalah dapat

dilihat dengan jelas.



9. Menyelesaikan masalah yang mirip atau masalah yang lebih mudah

Adakalanya soal matematika itu sangat sulit untuk diselesaikan, karena di dalamnya

terkandung permasalahan yang sangat kompleks. Untuk itu dapat dilakukan dengan

mengunakan analogi melalui penyelesaian masalah yang mirip atau masalah yang lebih

mudah.

10. Mengubah strategi pandang

Strategi ini sering digunakan setelah kita gagal untuk menyelesaikan masalah dengan

menggunakan suatu straegi dan kemudian dicoba dengan strategi lainnya.

G. Mengases Kemampuan Pemecahan Masalah

Contoh 1.

Sari sedang menyelenggarakan sebuah pesta. Pertama kali bel pintu berbunyi, 1 orang

tamu datang. Saat bel kedua berbunyi, 3 orang tamu masuk. Sesudah itu stiap kali bel

berbunyi secara berurutan sekelompok tamu datang dengan banyak orang setiap kali

bertambah 2 orang dari bannyak kelompok sebelumnya. Berapa banyak tamu yang datang

sampai bel yang keduapuluh

Penyelesaian:

Urutan bunyi bel

Banyak tamu yang masuk

Total tamu

1 1 1

2 3 4

3 5 9

4 7 16

5 9 25



Dari tabel terlihat bahwa total tamu pada setiap tahap adalah kuadrat urutan bunyi bel, yakni

setelah bunyi bel keempat total tamu yang datang adalah: 1+3+5+7 = 16 =42

Sesudah bunyi bel kelima total tamu yang masuk adalah : 1 + 3+5 +7 +9 =25 =52

Dengan pola yang sama sesudah bunyi bel kedua puluh total tamu yang datang sebanyak:

1+3+5+7+...+39 = 202 = 400

Jadi total tamu yang datang sampai bel yang kedua puluh adalah 400 orang.

Rubrik Holistik

Tingkatan Deskripsi Umum

4

Sangat memuaskan

• Memperlihatkan pemahaman menyeluruh mengenai konsepnya • Menggunakan strategi yang sesuai • Komputasinya dilakukan dengan benar • Diagram atau tabel yang digunakanakurat • Penjelasan tertulisnya cukup jelas • Langkah-langkah solusi soalnya tepat sesuai kebutuhan soal

3

Memuaskan

• Memperlihatkan pemahaman akan konsepnya • Menggunakan strategi yang tepat • Komputasinya kebanyakan dilakukan dengan benar • Diagram atau tabel sebagian besar akurat • Semua kebutuhan solusi soal disediakan dengan

memuaskan

2

Cukup Memuaskan

• Memperlihatkan sebagian besar pemahaman terhadap konsepnya

• Boleh jadi bukan strategi yang paling tepat • Komputasi yang dilakukannya sebagian besar benar • Penjelasan tertulisnya cukup jelas • Diagram atau tabel yang digunakan sebagian besar akurat • Sebagian besar kebutuhan solusi soal disediakan cukup

1

Tidak Memuaskan

• Memperlihatkan sedikit sekali atau tidak memahami konsep

• Strategi yang digunakan tidak sesuai • Komputasi yang dilakukannya tidak benar • Penjelasan tertulisnya jelas • Diagram dan tabel yang dipergunakan tidak akurat • Kebutuhan solusi soal tidak tersedia secara cukup



Rubrik Analitik

Aspek Skor Uraian Pemecahan soal

0 1 2 3 4

Tidak ada usaha menjawab soal Salah interpretasi soal secara keseluruhan Salah interpretasi soal pada sebagian besar soal Salah interpretasi soal pada sebagian kecil soal Interpretasi soal benar seluruhnya

Penyelesaian soal

0 1 2 3 4

Tidak ada usaha Perencanaan penyelesaian yang tidak sesuai Sebagian prosedur benar, tetapi kebanyakan salah Prosedur substansial benar, tetapi masih ada kesalahan Prosedur penyelesaian tepat, tanpa kesalahan

Menjawab soal

0 1 2

Tanpa menjawab (jawaban salah karena prosedur salah) Salah komputasi, tidak ada pernyataan jawaban, salah label Penyelesaian benar

Pada penyelesaian soal pemecahan masalah di atas berdasarkan rubrik holistik memperoleh

skor 4 (berada pada level sangat memuaskan) karena memenuhi kriteria yang ada yaitu

memperlihatkan pemahaman menyeluruh mengenai konsepnya, menggunakan strategi yang

sesuai, komputasinya/perhitungan dilakukan dengan benar, diagram atau tabel yang

digunakanakurat, penjelasan tertulisnya cukup jelas

Berdasarkan rubrik analitik, jawaban memperoleh skor pemecahan soal 4 karena Interpretasi

soal benar seluruhnya terlihat dari tabel yang dibuat. Penyelesaian soal memperoleh skor 4

karena prosedur penyelesaian tepat/tanpa kesalahan, yang terlihat dari uraian yang diberikan.

Menjawab soal diberi skor 2 karena penyelesaian benar. Hal in terlihat dari hasil akhir yang

diberikan sesuai dengan jawaban yang diinginkan.


evaluasimatematika.net

Contoh 2

Sebidang tanah berbentuk persegi dengan luas 100 m

dibuat sebuah kolam renang berbentuk lingkaran. Kolam renang tersebut akan ditembok

setebal 48 cm. Berapakah luas permukaan kolam renang yang dapat menampung air?

Penyelesaian :

Soal di atas dapat digambarkan sebagai berikut C

A Gambar denah tanah yang di dalamnya terdapat kolam renang

langkah –langkah :

• Karena denah tanah tersebut berbentuk persegi dengan luas 100 m

sisi tanah tersebut adalah AB = BC yaitu

persegi : Luas = AB x BC

100 = s x s

Maka s2 = 100 m

s =


Program Pascasarjana Universitas Negeri Padang

Sebidang tanah berbentuk persegi dengan luas 100 m2. Dalam bidang tanah tersebut akan


Berapakah luas permukaan kolam renang yang dapat menampung air?

pat digambarkan sebagai berikut:

D

Tembok dengan tebal 48 cm

B Gambar denah tanah

terdapat kolam renang

Karena denah tanah tersebut berbentuk persegi dengan luas 100 m2

sisi tanah tersebut adalah AB = BC yaitu dengan mencari hubungan luas dan sisi pada

persegi : Luas = AB x BC

= 100 m2


. Dalam bidang tanah tersebut akan


Berapakah luas permukaan kolam renang yang dapat menampung air?

2, maka panjang

dengan mencari hubungan luas dan sisi pada


evaluasimatematika.net

• Kolam renang yang berbentuk lingkaran yang ada pada denah tersebut mempunyai

diameter AB = BC = 10 m

• Kolam yang ada pada denah tersebut akan ditembok dengan tebal = 48 cm maka

diameter kolam = 10 m

= 1000 cm

= 904 cm

• Diameter kolam renang = 904 cm maka jari

904 cm : 2 = 452 cm sehingga

Luas kolam renang = luas lingkaran

=

= 3,14

= 641.514,56 cm

Luas kolam renang = 64,151456 m

Jawaban soal di atas dapat dinilai dengan menggunakan rubrik pemecahan masalah

yaitu :

Keterangan

Pemahaman Masalah

Perencanaan strategi

Jawaban yang didapat



Kolam renang yang berbentuk lingkaran yang ada pada denah tersebut mempunyai

diameter AB = BC = 10 m

ada pada denah tersebut akan ditembok dengan tebal = 48 cm maka

diameter kolam = 10 m – 48 cm – 48 cm

= 1000 cm – 96 cm

= 904 cm

Diameter kolam renang = 904 cm maka jari-jari lingkaran tersebut adalah =

904 cm : 2 = 452 cm sehingga

Luas kolam renang = luas lingkaran

=

= 3,14

= 641.514,56 cm2

Luas kolam renang = 64,151456 m2


RUBRIK PEMECAHAN MASALAH

Nilai dan Kriteria Umum

Pemahaman Masalah Tidak memahami (0)

Memahami sebagian (3)

Dapat memahami (6)

Perencanaan strategi Strategi salah (0)

Sebagian strategi benar (3)

Semua strategi tepat (6)

didapat Jawaban salah (0)

Sebagian jawaban benar (3)

Jawaban benar (6)


Kolam renang yang berbentuk lingkaran yang ada pada denah tersebut mempunyai

ada pada denah tersebut akan ditembok dengan tebal = 48 cm maka

jari lingkaran tersebut adalah =


Sebagian strategi benar (3)



Berdasarkan rubrik analitik untuk pemahaman masalah di atas maka dapat diberi level

(nilai) jawaban siswa tersebut yaitu:

• Pemahaman masalah, SKOR = 6 karena:

Siswa paham dengan masalah yang ada pada soal

• Perencanaan strategi, SKOR = 6 karena:

Untuk memperoleh jawaban di atas siswa mencoba menggambarkan cerita soal ke

dalam konsep matematika sehingga diperoleh gambar persegi yang didalamnya

terdapat sebuah lingkaran. Berdasarkan gambar ini, sehingga luas kolam renang

yang ditanyakan soal dapat dijawab dengan benar.

• Jawaban yang didapat SKOR = 6 karena :

Jawaban yang diperoleh benar. Siswa sudah bekerja dengan teliti, dapat mengubah

satuan ukuran yang ada dan meghubungkan gambar yang didapat dengan

menggunakan konsep matematika, perhitungan sudah tepat dan teliti sehingga

jawaban akahir benar.

Berdasarkan penilaian dengan menggunakan rubrik analitik untuk soal pemecahan

masalah secara umum dapat dikatakan bahwa nilai dari jawaban siswa tersebut adalah

sangat memuaskan (sempurna).

Contoh 3

Nilai ulangan matematika dari 20 murid terdistribusi sebagai berikut : 2 orang murid

mendapat nilai 5, empat orang murid mendapat 5,5, lima orang murid mendapat 6, enam

orang murid mendapat 6,5 dan tiga orang mendapat nilai 7. Berapa rataan dan variansi dari

nilai ulangan matematika 20 murid tersebut?

Tugas: Tulislah jawaban dari soal di atas, kemudian gunakan rubrik penskoran berikut untuk

mengases jawaban yang diberikan.



Kriteria Skor Kemampuan Pemecahan Masalah

Skala Kriteria/Sub Kriteria

1 2 3 4 Skor

1. Mengidentifikasi masalah a. Merinci masalah yang akan

diselesaikan b. Mengetahui alasan timbulnya

masalah 2. Memparaprase masalah a. Mendeskripsikan masalah dengan

kata-kata sendiri b. Mengungkapkan kejelasan

permasalahan

3. Memecahkan masalah sesuai prosedur

a. Melakukan pemecahan masalah dengan langkah yang benar

b. Melakukan perhitungan yang benar

c. Mengkoreksi hasil pemecahan masalah

4. Menyelesaikan masalah dengan strategi berbeda

a. Mengungkapkan solusi alternatif dalam penyelesaian masalah

b. Mampu menjelaskan secara jelas keefektifan solusi alternatif pemecahan masalah

Jumlah Skor Skor Maksimum

Nilai



Rubrik Skala Penilaian Tingkat Kemampuan Pemecahan Masalah Mahasiswa

Respon Siswa Skala Jawaban benar, mampu memahami masalah, memecahkan masalah sesuai prosedur dan mampu memecahkan masalah dengan strategi yang berbeda

4

Jawaban benar, sesuai dengan kriteria tetapi ada sedikit jawaban yang salah

3

Jawaban benar tetapi tidak sesuai dengan sebagian besar kriteria 2 Jawaban ada tetapi sama sekali tidak sesuai dengan kriteria 1 Jawaban tidak ada 0

Catatan: Diadaptasi dari Pusat Pengembangan Penataran Guru Matematika (P4TK) Yogyakarta,

2004.

modul 2 pemecahan masalah (1)

Documents