mekanika-kanonik
DESCRIPTION
pelajaran mekanika kanonik sangatlah bermanfaat dalam meninjau persamaan gerak yang terjadi pada mikroskopik maupun makroskopik.TRANSCRIPT
1
BAB VI
TRANSFORMASI KANONIK DAN TEORI HAMILTON-JACOBI
V1.1 Transformasi Kanonik
Pilihan koordinat umum q sebenarnya tidak ada pembatasan; dan mereka dapat berupa
s besaran yang secara tunggal menentukan kedudukan system dalam ruang..Dalam hal ini
persamaan Lagrange sama sekali tak bergantung pada pilihan koordinat, atau dengan kata lain
persamaan Lagrange bersifat invariant (tak berubah) terhadap transformasi kumpulan
q1,q2,q3,…ke koordinat lain yang bebas Q1,Q2,Q3,….Kumpulan koordinat Q yang baru ini
adalah merupakan fungsi q yang secara eksplisit bergantung pula pada waktu t sehingga:
Qi=Qi (q,t)
yang dikenal sebagai transformasi titik
Karena persamaan Lagrange tak berubah dibawah transformasi titk, maka persamaan
Hamilton juga demikian. Akan tetapi untuk persamaan Hamilton sesungguhnya dimungkinkan
rangkuman yang lebih luas. Ini disebabkan karena dalam persamaan Hamilton, perlakuan
terhadap momentum p juga merupakan perubah yang sama kedudukannya dengan koordinat q.
Oleh karena itu transformasi titik buat persamaan Hamilton, dapat diperluas hingga meliputi
2s perubah bebas p dan q. Jadi kedua-duanya harus ditransformasikan menurut:
),,(
),,(
tpqPPp
tpqQQq
iiiii
iiiii
(V1.1.1)
Mulai sekarang p dan P adalah momentum umum dan variabel Q dan P disebut variabel
kanonik. Perluasan ini adalah merupakan keuntungan menggunakan sajian Hamilton. Akan
tetapi tidak semua transformasi (V1.1.1) dapat mempertahankan bentuk kanonik persamaan
Hamilton.
Untuk keperluan ini, syarat yang harus dipenuhi sehingga persamaan gerak Hamilton
dalam perubah baru Q, P, yakni bila ada fungsi Hamilton yang baru ),,( tPQKK sehingga:
2
dt
dP
P
K
dt
dQ
Q
K
dt
dK
(V1.1.2a)
Q
KP
P
KQ
; (V1.1.2b)
Jika ini dipenuhi maka transformasi (V1.1.1) disebut kanonik dan persamaan (V1.1.2b) bisa
diperoleh dari prinsip aksi..
Untuk merumuskan transformasi kanonik kita meninjau kembali prinsip variasi, yakni:
02
1
dtHqp
t
t i
ii (V1.1.3)
yang pada uraian lalu telah digunakan menurunkan persamaan gerak Hamilton. Menurut
keterangan di atas, variasi ini berlaku untuk sembarang system koordinat dan momentum.
Oleh karena itu, buat perubah baru P dan Q juga harus memenuhi asas variasi pada persamaan
(V1.1.3) agar persamaan Hamilton (V1.1.2b) dapat diturunkan dari:
02
1
dtKQP
t
t i
i (V1.1.4)
Kedua variasi (V1.1.3) dan (V1.1.4) hanya akan setara bila integrannya sama terlepas dari
pada perbedaan dengan diferensial total suatu fungsi F terhadap koordinat, momentum dan
waktu.
Dengan demikian menurut uraian di atas, dari kedua persamaan (V1.1.3) dan (V1.1.4)
haruslah dipenuhi syarat:
t
FKQPHqp iiii
(V1.1.5)
3
dimana :
F adalah fungsi sembarang yang punya turunan kedua yang kontinu
adalah konstanta skala yang selalu dapat dibuat sama dengan satu
dengan melakukan transformasi yang tepat.
Bila hubungan antara P,Q dengan p,q sebagai P=p, Q=q dan K=H, maka:
Ppq
H
Q
K
Qqp
H
P
K
Transformasi skala bersifat kanonik jika:
HqpHqp iii (V1.1.6a)
Karena itu selalu dipilih =1, maka:
dt
dFKQPHqp iiii (V1.1.6b)
Jadi setiap transformasi kanonik ditandai dengan suatu fungsi tertentu F yang disebut fungsi
generator transformasi.
Berdasarkan persamaan (V1.1.6b) di atas dapat pula dituliskan sebagai:
dtHKdQPdqpdF iiii )( (V1.1.7)
Sehingga segera kita melihat bahwa:
t
FHK
Q
FP
q
Fp
i
i
i
i
;; (V1.1.8)
4
Berdasarkan persamaan ini, maka kita dapat melihat bahwa F adalah merupakan fungsi dari
perubah koordinat lama dan baru serta waktu; yakni ),,( tQqFF . Fungsi pembangkit ini
dikenal sebagai fungsi pembangkit jenis pertama . Dengan demikian transformasi ini bersifat
kanonik karena hubungan persamaan (V1.1.8) dan fungsi pembangkit ini memenuhi
persamaan transformasi dari Lagrangian, yakni:
),,(),,(),,( tQqFdt
dtQQLtqqL (V1.1.9)
Contoh 1: Dengan menggunakan fungsi pembangkit tipe pertama, carilah syarat agar
persamaan suatu osilator harmonic 1-dimensi bersifat kanonik
Jawab: Hamiltonian osilator harmonic 1-dimensi adalah:
)(2
1
2
1
2
222222
qmpm
kqm
pH (1)
Bentuk jumlah kuadrat memberi ide:
Q
m
Pfq
Qpfp
sin)(
cos)(
(2)
Dengan mesubstitusi ini ke dalam Hamiltonian di atas, maka diperoleh:
Km
PfH
2
)(2
(3)
f(P) harus dipilih supaya transformasinya bersifat kanonik. Dengan membagi p dengan q,
maka:
5
q
FQqmpQm
q
p
1cotcot (4)
sehingga
QqmF cot2
1 2
1 (5)
Selanjutnya untuk:
Qm
Pq
Q
qm
Q
FP 22
2
2
sin2
sin2
1
(6)
atau
Qm
Pq sin
2
(7)
Jadi transformasi akan bersifat kanonik bila:
PmPf 2)( (8)
Hasil transformasinya adalah:
E
P sehingga2
)(2
EPm
PfK
0QtQP
KQ
Jadi )sin(2
)sin(2
020 Qtm
EQt
m
Pq
(9)
Dapat pula lebih menguntungkan bila fungsi generator itu bukannya dinyatakan dalam
perubah (q,Q,t) melainkan dalam perubah (q,P,t). Kadang-kadang fungsi generator tipe I,
penyelesaian transformasinya tidak dapat diperoleh sehingga perlu dicobakan fungsi generator
F2= F2(q,P,t) dengan menuliskan dalam bentuk sebagai berikut:
6
i
iiPQtPqFF ),,(2 (V1.1.10)
Bila ini disubstitusikan ke dalam syarat transformasi kanonik, maka:
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
ii
i
i
QPt
FP
P
Fq
q
FK
QPQPdt
dFKQP
dt
dFKQPHqp
222
2 (V1.1.11a)
atau
0222
t
FHKP
P
FQq
q
Fp i
i i
ii
i i
i
(V1.1.11b)
karena q,P dianggap bebas, maka:
t
FHK
P
FQ
q
Fp
i
i
i
i
222 ;; (V1.1.12)
Untuk generator tipe III:
F3=F3(p,Q,t)
i
ii pqtQpFF ),,(3 (V1.1.13a)
Dengan cara yang sama, akan diperoleh:
t
FHK
p
Fq
q
FP
i
i
i
i
333 ;; (V1.1.13b)
7
Selanjutnya untuk generator tipe IV, yakni:
F4=F4(p,P,t)
Transformasi generatornya diberikan oleh:
i
ii
i
ii PQpqtPpFF ),,(4 (V1.1.14a)
dan diperoleh:
t
FHK
P
FQ
p
Fq
i
i
i
i
444 ;; (V1.1.14b)
Daftar fungsi pembangkit persamaan kanonik
),,(1 tQqF ),,(2 tPqF ),,(3 tQpF ),,(4 tPpF
q
Fp
1
q
Fp
2
p
Fp
3
p
Fp
4
Q
FP
1
P
FQ
2
Q
FP
3
P
FQ
4
t
FHK
1
t
FHK
2
t
FHK
3
t
FHK
4
VI.2 Beberapa Gambaran Tentang Transformasi Kanonik
Perlu dikemukakan bahwa transformasi kanonik dalam sajian Hamiltonian memiliki
banyak sekali kemungkinan yang tidak mengubah arti perubah lama dan keperubah baru.
Dalam hal ini karena transformasi pada persamaan (V1.1.1) menghubungkan besaran P,Q
terhadap q dan p, maka perubah Q kiranya tidak lagi mesti sebagai perubah yang berhubungan
dengan ruang. Sebagai contoh, akan diberikan beberapa transformasi khusus dan
generatornya yakni:
8
1. Transformasi Qi=pi , Pi=-qi dengan fungsi generator i
i
iQqF sama sekali tak
mengubah persamaan kanonik Hamilton. Hal ini dapat dilihat, karena F tak
bergantung pada waktu secara eksplisit maka:
i
i
i
i
i
i
FP
Fp
1
1
Dalam hal ini, tidak penting yang mana koordinat dan yang mana momentum
karena bersifat kanonik.
2. Fungsi generator i
i
iPqF 2
HK
qP
Pq
P
FQ
PPq
q
q
Fp
i
i
i
i
i
i
i
ii
i i
i
i
i
2
2
Ini adalah transformasi identitas
3. Fungsi generator ini
i
i PtqqfF ),,......(2
),,...,( 212
2
tqqqfP
FQ
Pq
f
q
Fp
nj
j
j
i
i j
i
j
j
Transformasi ini adalah transformasi koordinat.
VI.3 Kurung Poisson
Misalkan f(q,p,t) suatu fungsi terhadap koordinat, momentum dan waktu. Turunan
totalnya terhadap waktu adalah:
9
k
k
k
k
k
pp
fq
q
f
t
f
dt
df (VI.3.1)
Dengan memasukkan harga kk pq dan dari persamaan Hamilton pada persamaan (V.5.7), kita
dapat menyatakan :
fHt
f
dt
df,
(VI.3.2a)
dengan
k kkkk p
f
q
H
q
f
p
HfH , (VI.3.2b)
Pernyataan (VI.3.2b) dikenal sebagai “ kurung Poisson” (Poisson bracket) besaran H dan f.
Kita melihat dari persamaan (VI.3.2a), bila suatu besaran; katakanlah f disini
merupakan integral gerak, maka df/dt=0. Ini berarti 0,
fH
t
f. Kalau integral gerak itu
tak bergantung secara eksplisit terhadap waktu, maka:
0, fH (VI.3.3)
yang menunjukkan bahwa kurung Poisson H dan f haruslah lenyap.
Sesuai denga analogi persamaan (VI.3.2b), maka kurung Poisson bagi besar g dan f
didefinisikan berdasarkan sangkutan:
k kkkk p
f
q
g
q
f
p
gfg, (VI.3.4)
Dapat pula ditunjukkan bahwa kurung Poisson memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
gffg ,, (VI.3.5)
tetapansuatuCCf ,0, (VI.3.6)
10
gfgfgff ,,, 2121 (VI.3.7)
gffgffgff ,,, 122121 (VI.3.8)
Kalau persamaan (VI.3.4) diambil turunan parsialnya terhadap waktu, maka akan:
t
gfg
t
fgf
t,,, (VI.3.9)
Jika salah satu dari f atau g adalah koordinat atau momentum, maka dipenuhi sangkutan:
k
kp
fqf
, (VI.3.10)
k
kq
fpf
, (VI.3.11)
Dengan menggunakan persamaan (VI.3.10) dan (VI.3.11), maka dapat pula ditunjukkan
bahwa:
ikkikiki qpppqq ,,0,, (VI.3.12)
Contoh 2: Tentukan kurung Poisson terhadap komponen Cartesian momentum linear p
dengan momentum sudut L=r x p
Jawab. Dengan menggunakan persamaan (VI.3.11), dan menyatakan momentum sudut
sebagai pxL maka:
zyzyx pzpypy
pL
,
yyzzx pzpyp
zpL
,
zzxxy pxpzpx
pL
,
11
zxzxzy pxpzpz
pL
,
0,,, zzyyxx pLpLpL
Selanjutnya perubahan p dan q dalam sajian Hamiltonian sering disebut perubah yang
berpasangan secara konjugat kanonis. Syarat yang menghubungkan perubah yang
berkonjugasi secara kanonis adalah kurung Poisson. Dalam hubungan ini jika [f,g]pq
merupakan kurung Poisson bagi besaran f dan g terhadap p dan q. Sementara [f,g]P,Q sebagai
kurung Poisson bagi besaran yang sama terhadap sebagai kurung Poisson bagi besaran yang
sama terhadap peubah P,Q, maka akan dipenuhi hubungan, yakni:
QPqp gfgf ,, ,, (V1.3.13)
Hal ini dapat ditunjukkan secara langsung dengan menggunakan transformasi (V1.1.12).
Dalam hal ini:
i
i
i
i
i iiii
i i
i
ii
i
ii
i
ii
i
i
i iiii
QP
P
p
Q
q
p
g
q
f
q
g
p
f
P
p
p
g
Q
q
q
f
Q
q
q
g
P
p
p
f
P
g
Q
f
Q
g
P
fgf ,,
(V1.3.14)
Bahwa persamaan (V1.3.13) dipenuhi, tinggal menunjukkan bahwa
i
i
i
i
P
p
Q
q=1. Ini dapat
diperlihatkan karena menurut persamaan (V1.1.12), iii
i
iii
i
qPq
Qdan
qPP
p
22
sehingga
nyata
i
i
i
i
P
p
Q
q=1. Karena dipenuhinya rumus (VI.3.12) dan (V1.3.13) , maka juga berlaku:
12
ikqpki
qpkiqpki
PQ
PPQQ
,
,,
,
0,,
(V1.3.15)
Inilah syarat yang harus dipenuhi suatu transformasi QPqp ,, bila dinyatakan
dalam kurung Poisson bersifat kanonik
Contoh 3: Perlihatkan bahwa transformasi berikut ini kanonik:
ptqPptqQ sin)exp(2,cos)exp(2
Jawab: Dengan menggunakan kurung Poisson sebagai syarat kanonik, 1, PQ , maka:
1
sincos
sin)exp(2.)2(2
1.sin)exp(2
cos)exp(2cos)exp(2.)2(2
1
,
22
2
1
2
1
pp
ptqptq
ptqptq
q
P
p
Q
p
P
q
QPQ
Contoh 4: Perlihatkan secara langsung bahwa transformasi berikut:
pqPpq
Q cot,)sin1
log(
adalah kanonik.
Jawab: Dengan menggunakan metode simplektif sebagai syarat kanonik, yakni:
P
q
p
Qii
p
P
Q
qi
)
)
13
Tinjau
pQp
ppQpqP
pQqpq
Q
cos)exp(sin
cossin)exp(cot
sin)exp(sin1
log
qpQp
P
qpQQ
q
sin)exp(
sin)exp(
Dengan demikian transformasi di atas adalah kanonik, karena:
qp
P
Q
q
Contoh 5: Persamaan transformasi antara dua koordinat adalah:
pqQpqpqP
pqQpqQ
cos1)exp(sin)cos1(2
cos1)exp()cos1log(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Jawab: Dengan menggunakan metode simplektif sebagai syarat kanonik, yakni
P
q
p
Qii
p
P
Q
qi
)
)
p
pqp
Q
p
Q
p
e
Q
q
p
eq
Q
Q
cos
)exp(2
coscos
)exp(2
cos
)exp(
cos
12
cos
1
2
1
2
1
2
2
14
pQQ
pp
Qp
p
Q
pqpqP
tan1)exp()exp(2
sin.cos
1)exp(cos.
cos
1)exp(12
sincos12 2
1
2
1
p
p
Qpq
p
QQQ
p
P
cos
)exp(2
cos
)exp(.cos2
cos
)exp(1)exp()exp(2
2
1
22
1
2
Jadi transformasi di atas adalah kanonik, karena:
p
p
P
Q
q
cos
)exp(2 2
1
Sedangkan fungsi pembangkitnya (diberikan ),(33 QpFF ) adalah:
ppfpp
f
p
f
pee
p
e
p
f
pee
p
Fq
pfpee
pdQeeF
pQQQ
FP
QQQ
tan)(;cos
1
cos
12
cos
1
cos
12
)(tan2
12
tan2
tan1)exp()exp(2
2
2
2
2
2
23
2
2
3
3
Dengan demikian fungsi pembangkitnya adalah:
15
pQ
pQQF
tan1)exp(
tan1)exp(2)2exp(
2
3
V.4 Persamaan Hamilton-Jacobi
Pada uraian yang lalu besaran aksi telah diketahui sebagai fungsi dari koordinat dan
waktu. Dalam hal ini, menurut persamaan integral aksi, perubahan aksi dari suatu lintasan ke
lintasan lain, adalah:
dttt
Lq
q
Lq
q
LI
t
t
2
1
(VI.4.1a)
Dan jika Lagrangian tidak bergantung waktu secara eksplisit, maka 0
t
Lsehingga:
dtqq
Lq
q
LI
t
t
2
1
(VI.4.1b)
Karena prinsip Hamilton menyatakan bahwa “ perubahan system dari keadaan t1 ke keadaan
t2 yang membuat integral aksi stasioner/ekstremum”, sehingga:
2
1
2
1
0
t
ti
i
t
t i ii
Ldtq
q
L
dt
d
q
LI
(VI.4.2)
Jika pada suku ke 2 (dua) pada ruas kanan, dengan mengambil 0)( 1 tq dan menandai
qtq )( 2 dan mengganti pq
L
, maka diperoleh qpI . Jadi terlihat bahwa turunan
parsial aksi terhadap koordinat adalah merupakan momentum, yaitu:
16
pq
I
(VI.4.3)
Dengan demikian aksi dapat dipandang secara eksplisit merupakan fungsi waktu dan
koordiant dengan meninjau lintasan yang bermula pada saat t1 pada kedudukan q1.
Jadi
qpt
Iq
q
I
t
I
dt
dI
(VI.4.4)
Selanjutnya dari aksi diperoleh Ldt
dI , maka:
qpLt
Iqp
t
IL
atau, (VI.4.5)
Disisi lain );,();,( i tqqLpqtpqH iii
i
ii , maka akan diperoleh persamaan buat aksi I(q,t)
yang ditentukan oleh:
0);,(
tpqH
t
I (VI.4.6)
Sementara pq
I
, maka dengan mengganti dari dalam Hamiltonian diperoleh:
0;,...,,,,,,21
21
t
q
I
q
I
q
IqqqH
t
I
n
n (VI.4.7)
yang menentukan besaran aksi I(q,t). Persamaan diferensial parsial orde satu terhadap waktu
ini dikenal sebagai persaman Hamilton-Jacobi. Seperti halnya persamaan Lagrange dan
17
persamaan kanonik Hamilton, maka juga persamaan Hamilton-Jacobi adalah merupakan
adalah basis dalam menentukan metode umum mengintegralkan persamaan gerak.
Sebelum mengupas metode di atas, perlu dikemukakan kenyataan bahwa setiap
persamaan diferensial parsial orde satu memiliki penyelesaian yang hanya bergantung pada
satu fungsi sembarang. Dalam penerapan mekanisme integral umum persamaan Hamilton-
Jacobi kurang penting dibanding dengan integral lengkap, yang mengandung tetapan bebas
sebanyak perubah bebas.
Untuk perubah bebas dalam persamaan Hamilton-Jacobi terdiri atas perubah waktu
dan koordinat . Untuk system dengan n buah derajat kebebasan, integral lengkapnya hruslah
mengandung n+1 buah tetapan integrasi. Karena fungsi aksi I terpaut dalam persamaan
melalui turunan, maka satu diantara tetapan itu haruslah bersifat menjumlah, sehingga integral
lengkap persamaan Hamilton-Jacobi akan dapat disajikan sebagai:
tqqqfI nn ;,...,,;,...,, 21;21 (VI.4.8)
Untuk menentukan hubungan integral lengkap persamaan Hamilton-Jacobi dengan
penyelesaian persamaan gerak yang dicari, maka dalam transformasi kanonik dari perubah p,q
ke perubah yang baru, kita pilih f(t,q,) sebagai fungsi generator dengan 1, …,nsebagai
perubah momentum baru. Misalkan koordinat baru itu adalah 1,…, n , dan mengingat fungsi
generator adalah merupakan fungsi koordinat lama dengan momentum baru, maka:
1). i
iq
fp
2) i
i
f
3) t
fHH
Akan tetapi karena f juga mengikuti persamaan Hamilton-Jacobi, maka Hamiltonian baru
0
t
IH
t
fHH . Ini berarti 0H , akibatnya 0,0
i
i
i
i
HH
,
sehingga i=tetap, i=tetap.
18
Selanjutnya persamaan Hamilton-Jacobi akan mengambil bentuk yang lebih sederhana
bila H tidak bergantung pada waktu secara eksplisit; yaitu bila system konservatif.
Ketergantungan aksi terhadap waktu ditentukan oleh suku –Et, sehingga aksi akan dapat
dinyatakan sebagai:
EtqItqI )(),( 0 (VI.4.9)
yang dikenal sebagai solusi umum persamaan Hamilton-Jacobi
Contoh 6: Tinjaulah osilator harmonic dimana Hamiltoniannya adalah:
2222222
2
1
2
1
2qmp
mqm
m
pH (1a)
dengan
m
k (1b)
Persamaan Hamilton-Jacobi
0);,(
tpqH
t
I
0)(2
1 2222
qm
q
I
mt
I (2)
dimana telah digunakan pq
I
.
Kalau I diketahui, maka p=p(t) dan q=q(t) dapat dicari. Andaikan solusinya:
EtqItqI )(),( 0
Jika diderensialkan terhadap q maka akan diperoleh:
q
I
q
I
0 (3)
19
sehingga:
02
1 222
2
0
t
Iqm
q
I
m (4)
karena Ht
I
, dimana H tiada lain adalah energi total osilator (H=T+V) karena
dibangkitkan oleh gaya konservatif. Dengan menandai H=E , maka:
mEqmq
I2222
2
0
(5)
atau dqqmmEI 2
1
222
0 2 (6a)
atau dqqm
EmI
2
1
2
20
2
(6b)
sehinga:
Etdqqm
EmtqI
2
1
2
2
2),(
(7)
Transformasi kanonik dari perubah q,p ke perubah baru, yakni:
E
I
P
IQ
E
Ip
maka:
tdqqm
E
Em
E
I
2
1
2
2
2
(8)
atau
20
2
2
2
1
2
22
12
qm
E
dqdqq
m
E
Emt
(9)
Selanjutnya dengan menggunakan sifat integral:
a
xarc
xa
dxsin
22
maka
dengant
m
E
q
atau
m
E
qarct
sin2
,2
sin1
2
2 (10)
Akhirnya diperoleh solusi osilator harmonic, yakni:
tm
Etq sin
2)(
2 (11)
Soal latihan:
1. Transformasi berikut:
cossin
sincos
pqP
pqQ
a. Tunjukkan bahwa transformasi ini adalah kanonik untuk semua harga .
b. Dapatkan generatornya (gunakan tipe II)
2. Carilah syarat agar transformasi berikut:
2, xPx
pQ
dimana dan adalah konstan, merepresentasikan sebuah transformasi kanonik untuk
system satu derajat kebebasan.
3. Persamaan transformasi:
21
122222
21
2211
2
11
2sin,sec
cos2
2cos,
qpPpqQ
pq
qppPqQ
adalah kanonik. Tentukan fungsi generatornya.
4. Jika Lagrangian ),,( tqqL diganti oleh:
dt
tqdFtqqLtqqL
),(),,(),,(
dimana F(q,t) adalah sebuah fungsi tetapan, persamaan gerak Lagrange akan invariant.
Buktikan bahwa transformasi ini kanonik dan carilah fungsi generator yang berkaitan
dengan transformasi ini.