matematika peminatan xii k.13

1 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII

BAB 1 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Kata Kunci :

Grafik Fungsi Trigonometri, Definisi Limit Trigonometri, Metode Substitusi, Pemfaktoran

dan Menyederhanakan

Limit

Fungsi Trigonometri

Grafik

fungsi trigonometri

Pengertian Limit Melalui

Pengamatan Grafik Fungsi

Menyelesaikan Limit Fungsi

Trigonometri

Rumus dasar Limit Fungsi

Trigonometri

Metode

Menyederhanakan

Pemahaman Secara Intuisi

Limit Trigonometri

Metode Substitusi Langsung

Dan Pemfaktoran


BAB 1

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Masih ingatkah anda definisi

yang telah dipelajari dalam

matematika wajib kelas X ?

Limit suatu fungsi aljabar.

Limit fungsi:

Suatu limit f(x) dikatakan

mendekati a {f(x), a} sebagai

suatu limit.

Bila x mendekati a {x → a},

Dinotasikan Lim F(x) = L

Limit fungsi bagian dari

pengantar kalkulus (hitungan

diferensial dan integral),

namun dasar kalkuls yang

disefinisikan Augustin-Louis

Cauchy 1789-1857)

berkebangsaan prancis

Ada dua macam cara untuk memahami pengertian limit fungsi di suatu titik, yaitu :

1) Pengamatan grafik di sekitar titik yang di tinjau. Dapat diseskripsikan menggunakan

alat peraga dua buah potongan kawat dan satu lembar film tipis. Film ini ditempatkan

vertikal/tegak lurus terhadap sumbu x dengan arah permukaaannya menghadap ke

kanan dan ke kiri.

2) Perhitungan nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Dapat dipahami dengan

cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau.

Pada pokok bahasan ini kita akan membicarakan cara Limit fungsi trigonometri terutama menjelaskan, menentukan dan menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Kami menganggap pembaca telah mengenal trigonometri dan akraf dengan definisi fungsi trigonometri yang berdasarkan sudut dan segitiga siku-siku.

Mengingat petingnya memahami limit trigonometri alangkah baiknya kita

dingingatkan kembali dengan sifat-sifat dasar sinus dan cosinus serta grafik fungsi

trigonometri berikut ini:

xx sin)2sin( , xx cos)2cos(

xx sin)sin( , xx cos)cos(

xx cos)2

sin(

, xx sin)2

cos(

Kompetensi Dasar Materi

Pembelajaran Kegiatan Pembelajaran

3.1 Menjelaskan dan menentukan limit fungsi trigonometri

4.1 Menyelesaikan

masalah berkaitan dengan limit fungsi trigonometri

Limit fungsi Trigonometri

Mencermati gambar yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri.

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri.

Menerapkan limit fungsi trigonometri dalam pemecahan masalah.

Mempresentasikan gambar yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri

Mempresentasikan pemecahan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri

Mempresentasikan penerapan limit fungsi trigonometridalam pemecahan masalah.


A. Grafik Fungsi Trigonometri

Sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x). Pasangan-pasangan (x, f(x)) merupakan koordinat

titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi f. Koordinat titik-titik yang diperoleh dihubungkan

sehingga terbentuk kurva mulus.

Berikut ini adalah grafik fungsi di bawah ini untuk syarat 0 ≤ x ≤ 360o!

a. y = sin x b. y = cos x c. y = tan x

Penyelesaian : a. y = sin x

Gambar 1.1

b. y = cos x

Gambar 1.2

c. y = tan x

Gambar 1.3

Bahkan dengan pengamatan sekilas saja kita dapat melihat empat hal tentang grafik-grafik ini:

1) Sin x dan cos x keduanya berkisar antara -1 dan 1

2) Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan sepanjang 2π.

3) Grafik y = sin x simetris terhadap titik asal, y = cos x simetris terhadap sumbu y

4) Grafik y = sin x sama seperti y = cos x, tetapi digeser 2

satuan ke kanan


B. Pengertian Limit Fungsi Melalui Pengamatan Grafik Fungsi

Percobaan sebuah film tipis ditempatkan tegak lurus (vertikal) terhadap sumbu x dengan

arah permukaan menghadap kekanan dan kekiri. Kawat 1 berada disebelah kiri film dan kawat 2

berada disebelah kanan film. Kedua kawat ini digerakan vertikal ke atas dan ke bawah atau

horizontal ke kanan dan ke kiri mendekati film, seperti gambar berikut ini:

a) 1)(lim Lxfax

, 2)(lim Lxfax

dan 21 LL b) 1)(lim Lxfax

, 2)(lim Lxfax

& 21 LL

Gambar 1.4

penjelasan point :

a. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ada dan nilai limit itu sama dengan L

b. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada

1)(lim Lxfax

, tetapi )(lim xfax

tidak ada maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada

Gambar 1.5

)(lim xfax

tidak ada, tetapi 2)(lim Lxfax

maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada

Gambar 1.6


)(lim xf

ax tidak ada, tetapi )(lim xf

ax tidak ada maka limit f(x) untuk x mendekati a tidak ada

Gambar 1.7

Suatu seketika titik ujung kawat menyatukan film, sehingga dapat diperkirakan

berapa tinggi titik ujung kawat terhadap sumbu x. Untuk memperkirakan ketinggian itu,

bentuk kawat dapat dianggap sebagai grafik fungsi y = f (x) dalam daerah asal x < a, x >a

dan posisi film sebagai garis tegak dengan persamaan x = a.

Dalam matematika, perkiraan ketinggian ujung kawat terhadap sumbu x di

ucapkan sebagai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan maupun kiri

(tergantung titik ujung kawat yg digerakan dari arah mana). Misalkan bahwa ketinggian

yang diperkirakan itu adalah 1L dan 2L , maka notasi singkat limit dapat dirangkum dengan

daftar seperti diperlihatkan pada tabel 1.1 berikut ini:

Kegiatan 1.1

Menjelaskan dengan mencermati gambaran berkaitan dengan limit

Tabel 1.1 Hasil Pengamatan grafik diatas dapat dirangkum pada tabel 1.1 berikut :

No Gambar

Limit kiri )(lim xfax

Limit Kanan )(lim xfax

)(lim xfax

1.4 a Ada, nilai 1L Ada, nilai 2L Ada nilai L ,karena LLL 21

1.4 b Ada, nilai 1L Ada, nilai 2L ..............., 21 LL

1.5 a,b Ada, nilai 1L ............... ...............

1.6 a,b ............... Ada, nilai 2L ...............

1.7a,b,c,d ............... ............... ...............

Berdasarkan deskripsi di atas, ada atau tidak adanya nilai limit suatu fungsi di suatu titik

bila peubahnya mendekati titik itu dapat didefinisikan dengan menggunakan konsep limit

kiri )(lim xfax

dan limit kanan )(lim xfax

sebagai berikut.

Definisi :

Suatu fungsi f(x) di definisikan untuk x di sekitar a, maka Lxfax

)(lim jika dan hanya

jika Lxfxfaxax

)(lim)(lim


C. Pemahaman Secara Intuisi Limit Fungsi Trigonometri Melalui Perhitungan

Pengertian limit fungsi trigonometri di suatu titik dapat pula di pahami dengan cara

menhitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Misal suatu fungsi f (x), akan ditentukan

nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a. Perhitungan dapat dilakukan dengan cara membuat

daftar nilai-nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x mendekati a. Perhatikan soal berikut ini:

Kegiatan 1.2

Menentukan dan menjelaskan limit fungsi trigonometri di sekitar titik

Tentukan nilai limit fungsi trigonometri soal dibawah ini:

1) Cari ...sin

lim0

x

x

x

Penyelesaian :

Tidak ada muslihat aljabar yang akan menyederhanakan penyelesaian persamaan ini, tentu saja

kita tidak bisa mencoret x. Kalkulator akan menolong kita memperoleh gagasan tentang limit itu,

Gunakan kalkulator anda (mode radian) untuk memeriksa nilai-nilai pada tabel 1.2berikut ini:

X 1 0,5 0,1 0,01 → 0 ← -0,01 -0,1 -0,5 -1

x

xsin ... ... ... ... ... ? ... 0,99998 0,99833 0,95885 0,84147

Kesimpulan yang diperoleh bahwa : ....sin

lim0

x

x

x

Ternyata keadaan tidak semudah apa yang kelihatan. Kalkulator mungkin mengecoh kita,

demikian juga dengan intuisi kita. Perhatikan contoh berikut :

2) Cari ...000.10

coslim 2

0

xx

x

Penyelesaian :

Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel yang diperlihatkan pada tabel dibawah

ini. Kesimpulan yang disarankan adalah bahwa limit yang diinginkan adalah 0. Tetapi itu salah, Jika

kita ingat kembali grafik y = cos x, kita sadari bahwa cos x mendekati 1 untuk x mendekati 0. Jadi

nilai limit fungsi trigonometri dapat dilihat pada tabel 1.3 berikut ini:

x ±1 ±0,5 ±0,1 ±0,01 → 0

000.10

cos2 xx 0,99995 0,24991 0,009990 0,000000005 ... ?

Kesimpulan yang diperoleh bahwa :

........

....lim....lim

000.10

coslim

0

2

0

2

0

xxx

xx

Perhatikan contoh berikut ini yang mengetengahkan pertanyaan rumit tentang limit. Anda

di minta menentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri dengan menentukan nilai-nilai x yang

mendekati 0 (gunakan kalkulator.

3) Cari ...1

sinlim0

xx

Penyelesaian :


Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel untuk menghitung nilai )1

sin(x

pada

semua nilai x pada tabel 1.4 yang diperlihatkanberikut ini:

X

2

2

2

3

2

4

2

5

2

6

2

7

2

8

2 → 0

x

1sin 1 0 -1 0 ... ... ... ... ... ?

Berdasarkan tabel menunjukan bahwa nilai selalu berulang antara -1 dan 1 banyak sekali secara

tak berhingga. Jelas

x

1sin tidak berada dekat suatu bilangan unik L bilamana x mendekati 0.

Kesimpulannya

xx

1sinlim

0....

D. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri

Perhatikan contoh limit-linit fungsi yang telah dipelajari sebelumnya :

...sin

lim0

x

x

x ...

000.10

coslim 2

0

xx

x ...

1sinlim

0

xx

Limit diatas dapat ditulis sebagai )(lim xfax

dengan f(x) adalah fungsi-fungsi yang memuat

perbandingan trigonometri. Bentuk limit fungsi semacam itu disebut limit fungsi trigonometri.

Dalam beberapa kasus pada prinsipnya sama seperti cara menentukan limit fungsi aljabar.

Pertama anda menyelesaikan soal limit tersebut dengan cara substitusi langsung, jika hasil yang

diperoleh bukan bentuk tak tentu 0

0, hasil tersebut merupakan nilai limit yang dicari. Jika hasilnya

bentuk taktentu 0

0, anda dapat menggunakan rumus-rumus trigonometri yang telah anda kenal,

baik pada pembilang maupun penyebut untuk menyederhanakannya. Dengan demikia, pembilang

dan penyebut tersebut tidak lagi melibatkan Fungsi trigonometri yang menyebabkan bentuk 0

0.

1) Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri

Pada pembahasan limit fungsi trigonometri dapat diselesaikan menggunakan rumus dasar

limit fungsi trigonometri dibawah ini:

1sin

limsin

lim00

x

x

x

x

xx 1

tanlim

tanlim

00

x

x

x

x

xx

Berikut ini pembuktian rumus 1sin

limsin

lim00

x

x

x

x

xx


Pada gambar 1.8 di perlihatkan lingkaran berpusat o dan jari-jari (r) = 1 satuan dengan besar sudut AOP = x radian. Jika besar sudut x mendekati nol, maka titik P (cos x, sin x) akan mendekati A (1,0). Dalam keadaan demikian diperoleh hubungan :

1coslim0

xx

dan 0sinlim0

xx

Perhatikan garis PB tegak lurus sumbu x dan menyinggung busur lingkaran kecil BC di titik B. Jadi jelas bahwa : Luas sektor OBC ≤ Luas Δ OBP ≤ Luas sektor OAP

Berdasarkan rumus luas :

Luas sektor OBC = ½. (OB)2. X = ½. Cos2x. x

Luas Δ OBP = ½. OB.PB = ½. Cosx. sin x

Luas sektor OAP = ½. (OA)2. X = ½. (1)2. X= ½ x

Dengan demikian diperoleh hubungan

½. Cos2x. x ≤ ½. Cosx. sin x ≤ ½ x (masing-masing dikalikan xx cos.

2) diperoleh

xcos ≤ x

xsin ≤

xcos

1 : untuk x mendekati nol, hubungan menjadi:

1sin

lim10

x

x

x atau 1

sinlim1

0

x

x

x

Pertidaksamaan terakhir ini menunjukan bahwa: 1sin

limsin

lim00

x

x

x

x

xx

Kegiatan 1.3

Menemukan rumus umum limit fungsi trigonometri dengan cara mandiri

Untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri diperlukan rumus-rumus sebagai berikut:

1tan

limtan

lim00

x

x

x

x

xx

Bukti:

...)(....)(......

sinlim

........

1lim

cos

sinlim

tanlim

0000

x

x

x

x

x

x

xxxx

b

a

bx

ax

bx

ax

xx

sinlim

sinlim

00 atau

b

a

bx

ax

bx

ax

xx

tanlim

tanlim

00

Bukti :


....

....lim

....

....lim

....

....lim

....

....

....

....

sinlim

sinlim

00000

xxxxxxxxx

bx

ax

bx

ax

...

.........

....sinlim

0

xx

bx

bx

x

Bukti :

....

....lim

....

....lim

....

....lim

....

....

....

....tanlim

tanlim

00000

xxxxxxxxx

bx

ax

bx

ax

...

.........

tanlim

0

xx

bx

ax

x

b

a

bx

ax

bx

ax

xx

sin

tanlim

tan

sinlim

00

Bukti :

....

....lim

....

....lim

....

....lim

....

....

....

....

tan

sinlim

tan

sinlim

00000

xxxxxxxxx

bx

ax

bx

ax

...

.........

tan

sinlim

0

xx

bx

ax

x

2) Metode substitusi langsung dan Pemfaktoran

Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini:

1. 1(....)....cossinlim

xxx

2. .......

....

(....)2

....1

2cos2

cos1

cos2

2cos1lim

2

x

x

x

3. .......

....

........

...

0cos0sin

0sinlim

cossin

sinlim

00

xx xx

x

4. .......

....lim

......

...lim

)1...)((.........

)1sin(...)(.........lim

34

)1sin()32(lim

11121

xxxx x

x

xx

xx

5. ......

...lim

......))(........2(

...lim

44

)2cos(1lim

2222

xxx xxx

x

3) Metode Menyederhanakan

Kegiatan 1.4 Menentukan Limit trigonometri dengan cara Menyederhanakan Secara Mandiri

1)Tentukan Limit : 2

1

cos

sin1lim

2

2

x

x

x

Langkah 1 :

Substitusi 2

x , diperoleh

...

...

...)(cos

...1

...cos

...sin1lim

22

2

x

Karena hasil 0

0 (Bukan penyelesaian)

Langkah 2 :

Anda harus merubah penyebut x2cos


Bentuk ........))(........sin1(cos2 xx dengan demikian :

.......))(........sin1(

...sin1lim

.cos

sin1lim

2

2

2x

x

x

x

xx

Langkah 3 :

Menyederhakan faktor penyebut 0 pada pembilang dan penyebut

...

...lim

.cos

sin1lim

2

2

2

xx x

x

Langkah 4 :

Mensubstitusi x = µ/2 ke fungsi yang tersisa

2

1

...

...

.cos

sin1lim

2

2

x

x

x

2) Tentukan Limit : ...3sin2

cos1lim

0

xx

x

x

Jika kita substitusikan x = 0 diperoleh bentuk 0/0. Maka perlu mengubahnya lewat identitas trigonometri.

...

2

1sin

2

1cos1

lim...

)2

1sin

2

1(cos1

lim3sin2

cos1lim

22

0

22

00

xxxx

xx

x

xxx

=...

...lim

...

2

1sin

2

1sin

lim0

22

0

xx

xx

=...

...lim

)3)(3).(sin2

1).(

2

1.(2

3).2

1).(sin

2

1)(

2

1).(sin

2

1.(2

lim00

xx

xxxxx

xxxxx

=...

...lim

)3)(3).(sin2

1).(

2

1.(2

3).2

1).(sin

2

1)(

2

1).(sin

2

1.(2

lim00

xx

xxxx

xxxx

= 12

1

6

1.1.1.1.

2

1

Untuk lebih memahami konsep menyederhanakan limit trigonometri perhatikan soal dibawah ini :

Contoh Metode Menyederhanakan

3

2

03030 16

)4sin2(2tanlim

16

....).....(.........2tanlim

16

2tan8cos2tanlim

x

xx

x

x

x

xxx

xxx

4)....

....)((...)(....)

8

...)(

2

...)(2(lim

20

xxx


4

1

cos4

1lim

............................

.................lim

)cossin2(

sinlim

...................

...................lim

)2sin21(1

)sin21(1lim

4cos1

2cos1lim

200

2

2

002

2

00

x

xx

x

x

x

x

x

xx

xxxx

1

)]2

([

)]2

(sin[

lim

2

)2

sin(

lim

2

coslim

222

x

x

x

x

x

x

xxx

4

1)1.(

22

1

2

)2sin(

2

1lim

)2sin(lim

222

x

x

xx

x

xx 2

2tan

1 tantan2

a

aa

Uji Kompetensi 1.1

Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:

1) x

x

x 2

6sinlim

0 8)

x

x

x 5

2tanlim

0

2) x

x

x 3

4tanlim

0 9)

x

x

x 5

2tanlim

0...

3) ...tan.

3tan.2tanlim

0

xx

xx

x 10) ...

3tan

2sinlim

2

2

0

x

x

x

4)

)

4(

)4

sin(

lim

4 x

x

x

... 11) ...32

)1sin().13(lim

21

xx

xx

x

5)

)

3(

)3

sin(

lim

3 x

x

x

... 12)

)3

cos(lim

2

xx

...

6)

)2sin(lim

2

xx

... 13)

)4

(sinlim 2

2

xx

7)

23

6sin)1(lim

3

2

0 xx

xx

x... 14)

)

3

3)3sin(lim

3 x

xx

x

Uji Kompetensi 1.2


1. )1...(

2tan2

1sin

lim0

xx

xx

x

2.

20

)12(coslim

x

x

x... sifat identitas [‒ 2 sin2a]

cos 2a = cos2a ‒ sin

2a

cos 2a = 2 cos2a ‒ 1

cos 2a = 1 ‒ 2 sin2a

Sudut rangkap

Kesamaan setengah sudut

2

cos1)

2sin(

xx

2

cos1)

2cos(

xx

Rnxn

nx ),2

(sin21cos 2


3. ..3sin2

cos1lim

0

xx

x

x xxx

2

1sin

2

1coscos 22

4. )8

1.......(

2tan

cos1lim

20

x

x

x 5. )4...(

2tan

14coslim

0

xx

x

x

TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 1.1


1.

20

)1(coslim

x

x

x... -(1/2)

Indentitas trigonometri

2. ...)5cos3(cos

lim20

x

xx

x (8)

Rumus Penjumlahan dan Selisih Sinus dan cosinus

3. 30

sin1tan1lim

x

xx

x

= .... (1/4) kalikan akar sekawan & menyederhanakan

4. )2...(2cos2sin

)cos3(coslim

2

xx

xx

x

5. ...2

2cos3sin3sinlim

30

x

xxx

x

TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 1.1


1. ...3coscos

4lim

2

0

xx

xx

x (1/2) (SBMPTN2013)

a. Selisih Sinus dan cosinus dan menyederhanakan

2.

)1(2

1cot).12(

)1(2sinlim

20

xxx

x

x (1) (SIMAK UI)

Rumus Penjumlahan dan Selisih Sin dan cos


BAB 2 LIMIT KETAKHINGGAAN

FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Kata Kunci :

Limit Fungsi Ketakhinggaan, Limit bentuk ∞/∞ , Limit ∞-∞ dan Aplikasi Limit ∞

Limit Ketakhinggaan Fungsi Aljabar &

Trigonometri

Bentuk

)(

)(lim

xg

xf

x

Bentuk

)()(lim xgxfx

Aplikas

Limit Fungsi

xlim Aljabar

xlim Trigonometri

Pengertian dan

Nilai Limit Ketakhinggaan


BAB 2

LIMIT KETAKHINGGAAN FUNGSI ALJABAR & TRIGONOMETRI

Tak hingga adalah

suatu nilai yang

demikian besar.

Saking besarnya nilai

tak hingga sehingga

bilangan apapun akan

dianggap kecil

dibandingkan dengan

nilai ∞. Untuk

memahami limit tak

hingga ini kita baca

dulu paradok filsuf

Zeno dan Elen tentang

perlombaan kelinci

dan kura-kura.

Seekor kelinci akan berlomba dengan seekor kura-kura dengan syarat pada detik pertama

jarak yang ditempuh 1/10 jarak sebelumnya. kelinci berlari dengan kelajuan 10m/s dan kura-kura

hanya 1 m/s. Oleh kura-kura lebih lambat diputuskan kura-kura start 10 m didepan anjing.

Pertanyaan yang muncul siapakah yang menjadi pemenang lomba tersebut?

Oleh karena kelinci berlari jauh lebih cepat daripada kura-kura, kelinci merasa akan dapat

menangkap kura-kura. Masalahnya, begitu kelinci telah menempuh jarak 10 m pertama dan tiba

ditempat kura-kura mula-mula berada, kura-kura telah maju 1 m, dan masih memimpin didepan

kelinci. Saat kelinci telah menempuh jarak 1 m, kura-kura telah maju lagi 0,1 m sehingga masih

tetap memimpin didepan.Demikian seterusnya, kelinci terus mendekat dan lebih mendekat dan

lebih mendekat ke kura-kura, tetapi tidak pernah berhasil menangkap kura-kura.

Kelinci kura-kura

kec 10 m/s kec 1 m/s

10 meter

Kita dapat menghitung total jarak yang ditempuh kelinci dari sebelah kiri dan kura-kura

dari sebelah kanan, dengan t menyatakan selang waktu (s) ketika kelinci berhasil menangkap kura-

kura sebagai berikut: (10 m/s) t = (1 m/s) t + 10 m

Penyelesaiannya adalah t = 9

11 m/s dimana kelinci telah berlari sejauh (10 m/s) )9

10( s = m

9

100

Teka-teki yang diajukan zeno cerita paradoksnya adalah bisa terjadi bahwa :

9

100...

100

1

10

1110 ................*)

Ruas kiri dari persamaan *) menyatkan penjumlahan bilangan-bilangan dengan karakteristik

tertentu tanpa batas, sedangkan ruas kanannya menyatakan hasil tertentu. Coba perhatikan ruas

kiri persamaan *) yaitu : ...100

1

10

1110 (deret geometri)

Kompetensi Dasar Materi

Pembelajaran Kegiatan Pembelajaran

3.2 Menjelaskan dan menentukan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

4.2 Menyelesaikan

masalah berkaitan dengan eksistensi limit di ketak-hinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

Limit fungsi trigonometri

Mencermati pengertian yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri dan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar.

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit di ketakhinggaan fungsi trigonometri dan fungsi aljabar.

Menggunakan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri dalam pemecahan masalah

Menyajikan penyelesaian masalah berkaitan dengan eksistensi limit di ketak-hinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri


U1 = 10 dan 10

1

1

2

U

Ur (banyak suku n tak hingga)

Sesuai dengan rumus deret geometri tak hingga :

...100

1

10

1110 =

10

11

)10

11(1

lim

n

n

U,

Sekarang bagaimana menghitung

...*)9

111

9

100

10

11

)10

11(1

lim

n

n

U

A. Limit Fungsi Berbentuk )(lim xfx

Kegiatan 2.1

Pengertian dan nilai limit fungsi ketakhinggaan

Pandanglah fungsi )1(

)(2x

xxf

digambarkan grafikya secara agak cermat pada gambar 2.1.

Kita mengajukan pertanyaan ini: apa yang terjadi pada f (x) bila x menjadi semakin lama semakin

besar? Dalam lambang kita menanyakan nilai )(lim xfx

Gambar 2.1

Bilamana kita menuliskan x →∞, kita tidak mengatakan bahwa pada suatu tempat jauh ke

arah kanan pada sumbu x, terdapat suatu bilangan lebih besar dari pada semua bilangan

lain yang didekati oleh x. Melainkan, kita menggunkan x →∞ sebagai cara singkat untuk

mengatakan bahwa x menjadi semakin besar tanpa batas.

Dalam tabel 2.1, kita telah mendaftarkan nilai-nilai )1(

)(2x

xxf

untuk beberapa nilai x.

Kelihatan bahwa f(x) menjadi semakin kecil bilamana x menjadi semakin besar. Kita tuliskan

....1

lim)(lim2

x

xxf

xx

Dari pengalaman dengan bilangan-bilangan negatif besar akan mengantarkan kita bahwa

....1

lim)(lim2

x

xxf

xx

Tabel 2.1

X )1(

)(2x

xxf

10 ...

100 ....

1000 .....

↓ ↓

∞ ....


Definisi Cermat Limit x → ± ∞, Dalam analogi dengan definisi ε, σ kita untuk limit-limit biasa,

kita membuat definisi berikut :

Gambar 2.1

(Limit bila x →∞). Andai f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan

bahwa Lxfx

)(lim jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan

sedemikian sehingga: LxfMx )(

(Limit bila x →-∞). Andai f terdefinisi pada [-∞, c) untuk suatu bilangan c. Kita katakan

bahwa Lxfx

)(lim jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan

sedemikian sehingga: LxfMx )(

Jadi Jelas Jika k bilangan bulat positif, maka

01

lim)(lim kxx x

xf 01

lim)(lim kxx x

xf

B. Menyelesaikan Bentuk

)(

)(lim

xg

xf

x

Buktikan bahwa 01

lim2

x

x

x

Penyelesaian :

Di sini kita menggunakan trik baku yaitu dengan membagi pembilang dan penyebut dengan

pangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yakni x2

010

0

1lim1

lim

1lim

11

1

lim1

lim1

lim

222

2

2

2

xx

x

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Kegiatan 2.2

Memahami dan mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞

Tentukan Limit : ...28

524lim

3

23

xx

xx

x


Langkah 1 :

Tentukan pangkat tertinggi dari x yang terdapat pada fungsi pecahan polinomial tersebut.

Pangkat tertingginya adalah 3x

Langkah 2 :

Kalikan baik pembilang sama penyebut dengan kebalikan pangkat tertinggi yaitu 3

1

x

............

...

...

...

1..

54

lim..................................

..................................lim

...

...

1

...28

524lim

3

3

23

x

x

xx

xx

xxx

Langkah 3 :

Substitusikan nilai x , kemudian perhatikan bahwa setiap bentuk 01

lim nx x

untuk n

positif, sehingga akan diperoleh nilai limit yang dinyatakan :

2

1

...

...

0......

......4lim

x

Berdasarkan soal diatas Cari hubungan (kaitan) antara hasil limit yang diperoleh, yaitu 2

1

dengan suku-suku yang memiliki x dengan pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya.

...

...lim

)(

)(lim

m

m

n

n

xx xp

xa

xg

xf

Uji Kompetensi 2.1

Carilah Nilai limit berikut atau tunjukan bahwa limit tersebut tidak ada bahwa dalam pengertian tak-terhingga sekalipun.

1) ...52

643lim

2

2

xx

xx

x 7) ...

5

sinlim

2

2

2) ...14

2lim

3

2

x

xx

x 8) ...sinlim

x

x

3) ...123

64lim

2

23

xx

xx

x 9) ...

1sinlim

xx

4) ...2

23lim

3

23

xx

xx

x 10) ...

sinlim

x

x

x

5) ...12

lim4

3

x

xx

x 11) ...

1sinlim

xx

x

6) ...1

2lim

23

35

xx

xx

x 12) ...)

1sin(lim

xx

x


Kegiatan 2.3

Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞

Perhatikan Uji kompetensi 2.1 sebelumnya telah diperoleh penyelesaian masing-masing soal.

Daftarkan suku tertinggi pembilang f(x), suku tertinggi penyebutnya g(x), Untuk memahami dan

mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞

Soal untuk

Suku tertinggi

)(

)(

xg

xf

Hasil

limit Pembila

ng f(x)

Penyeb

ut g(x)

1 x →∞ 23x 22x 2

2

2

3

x

x 2

3

2 x →-∞ ... ... ... ...

3 x →∞ ... ... ... ...

4 x →-∞ ... ... ... 0

5 x →∞ ... ... ... ...

6 x →-∞ ... 3x ...

-∞

Perhatikan kolom diatas, perhatikan eksponen tertinggi pembilang f(x) maupun penyebut g(x). Dari pengamatan tersebut bisakah anda menentukan cara singkat untuk menghitung:

...

...lim

)(

)(lim

1

1

rxqxp

cxbxa

xg

xfm

m

m

m

n

n

n

n

xx

Jika pangkat tertinggi n = m maka hasil limit =...

...

Jika pangkat tertinggi n > m maka hasil limit =...

...

Jika pangkat tertinggi n < m maka hasil limit =...

...

Apa yang bisa anda simpulkan dari hubungan ketiganya tersebut:

................................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Uji Kompetensi 2.2

Tentukan nilai limit dibawah ini:

1.

4

3lim

2x

x

x... (1) perhatikan √x2 = x,

Pada pembilang kita kalikan 3

1

xsedangkan penyebut kita kalikan dengan

2

1

x

2. ...4

lim6

3

x

x

x (-1) pangkat tertinggi 6x = - x3 atau

63

11

xx


C. Menyelesaikan Bentuk limit

)()(lim xgxfx

Kegiatan 2.4

Memahami dan mengetahui cara penyelesaian limit taktentu

)()(lim xgxfx

Tentukan Limit : ...7315(lim

xxx

Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya

..................

.................7315(lim

xxx

x

Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar

7315

62lim

.................

.......lim

.................

(.......)(.....)lim

.................

)..........()..........(lim

22

xx

x

xx

xx

Langkah 3 : lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x

dengan pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut

xlim

..........

2

7315

62

x

xx

x

xlim

xx

xxlim

...)(...

2lim

...)(.........

2...

Substitusikan x = ∞, sehingga diperoleh nilai limitnya, yaitu ∞

Uji Kompetensi 2.3

Tentukan nilai limit berikut ini :

1. )4

5...(34)54(lim 2

xxx

x

2. ...12)4(lim

xxx

3. )2

1...(564)12(lim 2

xxx

x

4. ...11

lim2

2

x

x

x


Kegiatan 2.5

Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit tanda akar

Diket: cbxaxxf 2)( , rqxpxxg 2)( :

a. Jika a = p, tunjukan bahwa a

qbxgxf

x 2)()(lim

b. Jika a > p, tunjukan bahwa

)()(lim xgxfx

c. Jika a < p, tunjukan bahwa

)()(lim xgxfx

d. Jika a = p, b = q, tunjukan bahwa 0)()(lim

xgxfx

Langkah Pembuktian tersebut gunakan seperti kegiatan 2. 4:

Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya

Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar

Langkah 3 : lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x dengan

pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut


Tentukan Nilai Limit :

1. ...2lim 2

xxxx

2. )3

5...(1)2(lim 3 3

xx

x

Klu No 2 : ...))(( 3322 babababa

bxax )1(,,)2(3 3


D. Aplikas Limit Fungsi

x

xf lim)(

1. Limit Aljabar

Jumlah penduduk di sebuah desa diperkirakan t tahun dari sekarang akan menjadi :

2)2(

000.10000.20

tN

Berapakah jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat panjang

dimasa depan? (t →∞),Maka:

orangtt

Nttt

000.200000.20)2(

000.10lim000.20

)2(

000.10000.20limlim

22

2. Limit Trigonometri

Perpindahan sebuah partikel pada saat t detik diberikan oleh s = 10 sin 2t dengan s

adalah jarak yg dinyatakan dalam m. Tentukan kecepatan partikel pada saat

det6

t

Kec = v(t) = t

tstts

t

s

tt

)()(limlim

BABABA 2

1sin)(

2

1cos.2sinsin

Jadi :

det/10)2

1(2060cos.20)

6(2cos202cos201).02cos(20

sin.lim

).2cos(20lim

sin).2cos(20limlim

mtt

t

t

t

tt

t

ttt

t

s

tttt

Kegiatan 2.6 Memahami dan mengetahui Aplikasi Limit fungsi

xxf lim)(


1. Hubungan antara inang dan jumlah parasit adalah sebagai berikut. Jumlah parasit

untuk kerapatan inang(jumlah inang persatuan luas) x pada satu periode waktu

tertentu bisa dinyatakan oleh : x

xy

4510

900

Jika kerapatan inang terus meningkat

tanpa batas?

...

...

......

...

...

...lim

...

10lim

...

...lim

...

4510...

.900

lim4510

900limlim

xx

x

xxx x

x

x

xy


2. Jumlah senyawa baru terbentuk mengikuti fungsi ,2)( 2 ttttf f(t)jumlah

senyawa dalam miligram dan t menyatakan waktu dalam detik. Tentukan jumlah

senyawa yang terbentuk jika terus menerus?

Penyelesaian

TUGAS MANDIRI TAK TERSTRUKTUR 2.2

1. Bagaimana juga perpindahan partikel s(t) = 5.cos 2t, tentukan kec partikel pada

saat t =1/6 µ dan t =µ


BAB 3 ASIMTOT FUNGSI ALJABAR

DAN TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Kata Kunci :

Definisi Asimtot, Asimtot datar dan asimtot tegak

Asimtot

Fungsi Aljabar dan Trigonometri

DEFINISI ASIMTOT FUNGSI

MENENTUKAN

ASIMTOT

FUNGSI

ASIMTOT FUNGSI TEGAK

ASIMTOT FUNGSI MENDATAR


BAB 3

ASIMTOT FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI

Bagaimana

menentukan

limit-limit Tak

terhingga dari

fungsi bentuk

2

1lim

2 xx ?

A. DEFINISI ASIMTOT FUNGSI

Kegiatan 3.1

Definisi Asimtot secara geometri

Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus 2

1)(

xxf dan daerah asalnya

adalah RxxD f ,{ dan }0x .

Coba perhatikan tabel yang menyatakan hubungan x dan 2

1

x Tabel 3.1 berikut ini.

...2

1lim)(lim

2

xxf

xcx

X ... ... ... ... ...

2

1

x ... ... ... ... ...

...2

1lim)(lim

2

xxf

xcx

X ... ... ... ... ...

2

1

x ... ... ... ... ...

Berdasarkan Tabel diatas tanpa bahwa adalah tidak masuk akal untuk menanyakan limit

...2

1lim

2

xx, tetapi kita pikirkan adalah beralasan bila kita menulis

2

1lim)(lim

2 xxf

xcx

2

1lim)(lim

2 xxf

xcx

3.3 Menjelaskan asimtot (datar dan tegak) kurva fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

4.3 Menyelesaikan

masalah yang berkaitan dengan asimtot (datar dan tegak) fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

Asimtot (datar dan tegak) kurva fungsi aljabar

Asimtot (datar dan tegak) kurva fungsi trigonometri

Mencermati gambar yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri dan limit fungsi aljabar menuju tak hingga secara geometri.

Mengilustrasikan dengan gambar konsep limit fungsi trigonometri dan limit di ketakhinggaan fungsi aljabar secara geometri

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan asimtot kurva fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan asimtot kurva fungsi aljabar dan fungsi trigonometri


Berikut ini grafik fungsi 2

1lim

2 xx, dapat ditunjukan :

Gambar 3.1

Berikut adalah definisi yang berkaitan dengan situasi ini.

Definisi

(Limit tak terhingga). Kita katakan bahwa )(xf jika untuk tiap bilangan positif M,

berpandangan suatu 0 sedemikian sehingga Mxfcx )(0

Terdapat definisi-definisi yang berpadanan dari

)(lim xfcx

)(lim xfcx

)(lim xfcx

............(*)

Secara umum limit fungsi f(x) untuk x mendekati ∞ dapat didefinisikan dengan menggunakan

bilangan positif dan M sebagai berikut.

Definisi

Misal fungsi f terdefinisi dalam daerah asal fD [ a, ∞)

Fungsi f(x) mempunyai

)(lim xfx

L jika dan hanya jika untuk setiap bilangan positif

didapatbilangan positif M, demikian sehingga jika x > M maka Lxf )(

Jika

)(lim xfx

L atau

)(lim xfx

L, maka garis mendatar dengan persamaan y = L

dinamakan sebagai asimtot datar bagi fungsi y = f(x)


Seperti halnya dalam )(lim xfcx

yang dapat menjadi besar tnpa batas ∞ atau menjadi kecil

tanpa batas -∞

)(lim xfcx

atau

)(lim xfcx

............(**)

Jadi kaitan terhadap asimtot secara ringkas , jika garis y = L atau x = c adalah asimtot

tegak/datar dari grafik y = f(x) jika salah satu pernyataan-pernyataan berikut benar.

)(lim xfcx

)(lim xfcx

)(lim xfcx

)(lim xfcx

B. MENENTUKAN ASIMTOT FUNGSI

Kegiatan 3.2

Memahami dan mengetahui grafik asimtot

1. Tentukan nilai limit berikut ini :

Diketahui fungsi 2

1)(

xxf , dengan daerah asal RxxD f ,{ dan }0x .

Hitunglah :

a. )(lim0

xfx

dan )(lim0

xfx

2

1)(

xxf

... ... ... ... ... ...

a. )(lim0

xfx

... ... ... ... ... ...

2

1)(

xxf

... ... ... ... ... ...

b. )(lim0

xfx

... ... ... ... ... ...

b. Apakah )(lim0

xfx

ada? Jika ada tentukan nilai )(lim0

xfx

2

1)(

xxf

... ... ... ... ... ... ... ... ... 2

1)(

xxf

c. )(lim0

xfx

... ... ... ... ... ... ... ... ... d. )(lim0

xfx

Jadi Grafik fungsi

)(lim0

xfx

= ...

x

y


2. Cari nilai limit menggunakan konsep 2

1 )1(

1lim

xx dan

21 )1(

1lim

xx

Penyelesaian :

Sama konsepnya seperti diatas maka diperoleh

...)1(

1lim

21

xx

dan ...)1(

1lim

21

xx

Karena kedua limit adalah ∞, kita dapat menuliskan : ...)1(

1lim

21

xx

Grafik fungsiya :

Jadi garis x = 1 adalah asimtot tegak, sementara garis y = 0 adalah asimtot datar

3. Carilah asimtot – asimtot tegak dan datar dari grafik )1(

2)(

x

xxf

Penyelesaian :

Kita harapkan sebuah asimtot tegak pada titik yang penyebutnya nol, dan kita benar karena

)1(

2lim

1 x

x

x dan

)1(

2lim

1 x

x

x, sebaliknya

.........

...

...

1

...

...

2

lim)1(

2lim

x

x

x

x

xx dan 2

......

...

...

1

...

...

2

lim)1(

2lim

x

x

x

x

xx

Sehingga :

f(x) = y = .... merupakan asimtot .........

x = 1 merupakan asimtot ........

Grafik fungsinya :

y


Uji Kompetensi 3.1


1. Diketahui fungsi 2

3)(

x

xxf , dengan daerah asal RxxD f ,{ dan }2x .

Hitunglah :

a. )(lim2

xfx

dan )(lim2

xfx

b. Apakah )(lim0

xfx

ada? Jika ada tentukan nilai )(lim0

xfx

2. Dengan menganalisis grafik, tunjukan bahwa:

a.

)12(lim xx

dan

)12(lim xx

c.

)24(lim xx

dan

)14(lim xx

b.

)1(lim 2xx

dan

)1(lim 2xx

d.

)4(lim 2xx

dan

)4(lim 2xx

3. x

x

x sin

cos1lim

0

TUGAS MANDIRI BERSTRUKTUR 3.1

Tentukan nilai limit berikut ini menggunakan alat bantu :

3

)3cos(lim

3

x

x

x

dan

2

coslim

2

x

x

x


BAB 4 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Kata Kunci :

Definisi Turunan Trigonometri, Sifat-sifat, Aturan Rantai, Fungsi Implisit, Persamaan Parameter, Aplikasi turunan

Turunan

Trigonometri

Definisi

Turunan

Sifat -Sifat

Turunan

Menyelesaikan

Turunan

Fungsi

Implisit

Persamaan

Parameter

Aplikasi

Turunan

Fungsi

Trigonometri

Laju

Perubahan

Fungsi

Trigonometri

Kecepatan &

Percepatan

Fungsi

Trigonometri

Aturan

Rantai

Kecepatan

Sudut


BAB 4 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Dalam buku matematika

sebelumnya, kita telah

mempelajari beberapa fungsi

trigonometri, yaitu

fungsi sinus f(x) = sin x,

fungsi cosinus f(x) =cos x,

fungsi tangen f(x) = tan x.

Selanjutnya berdasarkan pengamatan menunjukan bahwa limit fungsi trigonometri memiliki nilai.

Untuk itu pada pokok bahasan ini kita membuktikan apakah turunan fungsi aljabar menghasilkan

fungsi aljabar pula. Begitu pula halnya dengan turunan fungsi trigonometri ternyata hasilnya juga

merupakan fungsi trigonometri seperti pada pembahasan berikut.

Uji Kompetensi Awal

Tentukan turunan dari fungsi berikut : f(x) = 2x2 & x

xf1

)(

A. Definisi Turunan : h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

Kegiatan 4.1

Menemukan konsep rumus turunan fungsi trigonometri

1. Turunan dari f ( x ) = sin x

Menentukan turunan dari f(x) = sin x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut

rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y

0cos1

lim0

x

x

xdan 1

sinlim

0

x

x

x

Langkah 1 :

Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut

untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)

f(x+h) = sin ( x + h) = ...

f(x) = sin x

Langkah 2 :

Hitunglah f’(x) =...

3.4 Menjelaskan turunan fungsi trigonometri

4.4 Menyelesaikan

masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri

Turunan fungsi trigonometri

Mencermati konsep turunan fungsi trigonometri dan sifat-sifatnya.

Menentukan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan sifat-sifatnya

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri

Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri


hh

xfhxfxf

hh

...lim

)()(lim)('

00

h

xxxxf

h

sinhcossincosh.sinlim)('

0

h

xx

h

sinhcoscosh)1(sinlim

0

...

...cos

...

......sinlim

0xx

h

kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.

...

...lim.cos

...

......lim.sin)('

00 hhxxxf

oleh karena, 0cosh1

lim0

hhdan 1

sinhlim

0

hh

Maka f ‘ (x) = cos x,

Jadi turunan dari f(x) = sin x adalah f ‘ (x) = cos x,

2. Turunan dari f ( x ) = cos x

Menentukan turunan dari f(x) = cos x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut

rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : cos (x+y) = cos x cos y + sin x sin y

0cos1

lim0

x

x

xdan 1

sinlim

0

x

x

x

Langkah 1 :



f(x+h) = cos ( x + h) = ...

f(x) = cos x

Langkah 2 :

Hitunglah f’(x)

hh

xfhxfxf

hh

...lim

)()(lim)('

00

hxf

h

............................................................................lim)('

0

hh

......................................................................................lim

0

...

...sin

...

......coslim

0xx

h

kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.


...

...lim.sin

...

......lim.cos)('

00 hhxxxf

oleh karena, 0cosh1

lim0

hhdan 1

sinhlim

0

hh

Maka f ‘ (x) = -sin x,

Jadi turunan dari f(x) = cos x adalah f ‘ (x) = -sin x,

3. Turunan dari f ( x ) = tan x

Menentukan turunan dari f(x) = tan x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut

rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu :

yx

yxx

tantan1

tantantan

dan 1

tanhlim

0

hx

Langkah 1 :



f(x+h) = tan ( x + h) = ...

f(x) = tan x

Langkah 2 :

Hitunglah f’(x)

hh

xfhxfxf

hh

...lim

)()(lim)('

00

...

............................................................................lim)('

0

hxf

tanh).tan1(

)tan1tanh(lim

2

0 xh

x

h

tanh).tan1(

1lim).tan1(lim.

tanhlim

0

2

00 xx

h hhh

Oleh karena

1tanh

lim0

hh

, ↔ )tan1(lim 2

0x

h

= (1 + tan2x) dan

tanh).tan1(

1lim

0 xh =1

Maka f ‘ (x) = 1 + tan2x = sec2 x

Jadi turunan dari f(x) = tan x adalah f ‘ (x) = 1 + tan2x = sec2 x


Buktikan turunan sebagai berikut ini :

y = cot x → y’ = -coses2x dan

y = sec x → y’= sec x. tan x

y = coses x → y’= - cosec x. cot x


B. SIFAT-SIFAT TURUNAN

)().()( xvxuxf → )(').()().(')(' xvxuxvxuxf

)(

)()(

xv

xuxf →

2)(

)(').()().(')('

xv

xvxuxvxuxf

Kegiatan 4.2

Penggunaan Sifat-sifat Turunan dalam menyelesaikan persamaan Trigonometri

Tentukan turunan sebagai berikut ini (menggunakan sifat2):

1. f(x) = x2.sin x → f(x)’ = (x2cos x + 2x sin x)

2. x

xxf

cos1

cos)(

→

xxf

2sin1

1)('

3. x

xxf

cot2)( → xxxxxxxxxf sin.(cossinsinsin.cos)(' 23 )

Penyelesaian

1) f(x) = x2.sin x → )().()( xvxuxf

.......................)( xu → .......................)(' xu

.......................)( xv → .......................)(' xv

)(').()().(')(' xvxuxvxuxf

......).................)(.(................)..................)((.........)(' xf

.....................................................................................)(' xf

...........................................)(' xf

2) xx

xxf

cossin

cos)(

.......................)( xu → .......................)(' xu

.......................)( xv → .......................)(' xv

.........)(.........

........)(.......)(..)..........(.......)(

)(

)(').()().(')('

2

xv

xvxuxvxuxf

....................

...............................................

)(.........

...............................................2

=

............................

........................................................

3) x

xxf

cot2)(

.......................)( xu → .......................)(' xu


.......................)( xv → .......................)(' xv

.........)(.........

........)(.......)(..)..........(.......)(

)(

)(').()().(')('

2

xv

xvxuxvxuxf

....................

...............................................

)(.........

...............................................2

=

............................

........................................................


Buktikan turunan sebagai berikut ini :

x

xxf

tan1

sec)(

→

xx

xxxf

cossin21

cossin)('

C. TURUNAN BALIKAN TRIGONOMETRI

11;1

1)('sin)(

2

1

xx

xfxxf 2

1

1

1)('tan)(

xxfxxf

11;1

1)('cos)(

2

1

x

xxfxxf 1;

1

1)('sec)(

2

1

xxx

xfxxf

Pembuktian : 11;1

1)('sin)(

2

1

xx

xfxxf

Bukti :

Sekarang kita diferensialkan kedua ruas menurut x, dengan menggunakan aturan rantai pada ruas

kanan maka : )(sin)cos(sin.cos1 11 xDxyDy xx

)(sin11 12 xDx x

Pada langkah terahir, kita menggunakan kesamaan pada segitiga :

21 1)sin(cos) xxi 21 1)sec(tan) xxiii

21 1)cos(sin) xxii 1)tan(sec) 21 xxiv

Kita simpulkan bahwa 11;1

1)('sin)(

2

1

xx

xfxxf

Contoh : ...)('),13(sin)( 1 xfxxf (gunakan aturan rantai)

xxxD

xxf x

69

3)13(

)13(1

1)('

22


D. MENYELESAIKAN DAN MENYAJIKAN PERMASALAHAN BERKAITAN DENGAN TURUNAN

FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Teorema Aturan Rantai

Jika fungsi y = (fog)(x) = f (g(x) = f (u) dan u = g(x), maka turunan fungsi (fog)(x)tersebut =

(fog)’(x) = f’(g(x). g’(x) ataudx

du

du

dy

dx

dy.

Kegiatan 4.3

Menggunakan konsep sifat-sifat dan aturan rantai fungsi trigonometri

Carilah turunan dibawah ini menggunakan sifat-sifat aturan rantai:

1) F(x) = cos (x2 – 5x) → f’(x) = - (2x – 5) sin (x2 - 5x)

Dik : y = f(x) = cos(x2-5x)

Langkah 1 :

Pemisalan u = x2 – 5x sehingga y = cos u,

Maka du = 2x dan dy = -sin u

Langkah 2 : Substitusi ke rumus aturan rantai ↔ dx

du

du

dy

dx

dy.

=dx

d

du

ud ....)(..........

)cos(.= )52).(sin( xU ...........................)52).(5sin(( 2 xxx

2) F(X) = sin 4(5x) → f’(x) = - 20 sin3 (5x).cos(5x)

Dik : y = f(x) = cos(x2-5x)

Langkah 1 :

Pemisalan

v = 5x , u = sin v, dan y = u4

Maka dy = 4u3 du, du = cos v dv , dan dv = 5 dx

Langkah 2 :

Substitusi ke rumus aturan rantai : dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy..

= dx

dx

dv

dx

.......

.

.)(.................... = 4u3. Cosv.5 = .....................

3) 22 )sin1()( xxf → xxxf 3cossin4)('

)sin1(.)sin1(2)(' 2122 xdx

dxxf

dx

xdxxxf

)(sin).(sin2(0).sin1(2)(' 2

)).(.......sin2(......).(.........2)(' xxf xx 3cossin4


4) Tentukan nilai t , dinyatakanfungsi trigonometri sebagai berikut: 2

2 3sin)(

t

xxf , Jika

dx

xdfxf

)()(' dan 6

36'

f

Gunakan sifat turunan fungsi )(

)()(

xv

xuxf , bahwa :

2)(

)().(')().(')('

xv

xuxvxvxuxf

,

maka 2

2 3sin)(

t

xxf

U(x) = sin2 (3x) → u’(x) = 2.(sin 3x).(cos 3x).3 = 3. 2 sin3x cos 3x = 3. Sin 6x

V(x) = .... → v’(x) = ...

Jadi diperoleh : ....

)3(....)(sin.(....)6sin3)('

xxxf

=

...

...

Selanjutnya substitusi 36

x , pada f ’(x), maka diperoleh

636

'

f , jadi .........

................

................

.............

.............

36'

f

6 = 2

....

t ↔ 6 t2 = ........

↔ t2 = ,....

1 t = ±

...

... =

↔ ......

......1 t dan

......

......2 t

5) F(x) = Tan 2 9x

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy. = (.......).........).(........9tan(....)

)9(.

)(tan.

)(tan 2

xdx

xd

dv

vd

du

ud

(.......).........).(........9tan(....) xdx

dy = 18 tan 9x sec2 9x

6) x

xxf

cot1

sin)(

2

U(x) = sin2 x → u’(x) = ...

V(x) = .... → v’(x) = csc2x

2)(

)().(')().(')('

xv

xuxvxvxuxf

=

......................

)...............)(...(.................)..............)(....(.........

......................

)...............)(...(.................)..............)(....(.........

Uji Kompetensi 4.1

Tentukan turunan sebagai berikut ini (aturan rantai):

1. 5 3sin)( xxf 3) )2(sin 24 xy 4) )1(tan 1 xy

2. )4

4cos(.2)(

xxf → )4

4sin(.8)('

xxf


2. Turunan Fungsi Implisit Trigonometri

Fungsi yang telah kita turunkaan sebelumnya, variabel terikat y bisa nyatakan dalam

variabel bebas x sebagai fungsi y = f(x), misalnya y = 3.sin2x (bentuk eksplisit)

Sedangkan fungsi seperti x2 + y2 = 4 adalah bentuk implisit, fungsi tersebut bisa diubah menjadi

bentuk eksplisit menjadi:

Y2 = 4 – x2

Bagaimana jika bentuk 2x2+ yx2 + 1 = 0 apakah bisa diubah menjadi bentuk eksplisit y = f(x).

Untuk mendapatkan dx

dydari suatu bentuk implisit kita menggnakan aturan rantai. Teknik untuk

mendapatkandx

dydari bentuk implisit ini disebut sebagai turunan fungsi implisit

Kegiatan 4.4

Menggunakan konsep aturan Implisit

1) Cos y = x + sin x , (Turunkan Kedua ruas terhadap x)

d(Cos y) =d( x) + d(sin x)

)cos()(1)(sindx

dy

dx

dy

dx

dyy

)sin

cos1(

x

x

dx

dy

2) 1sin yxy , (langkahnya sama seperti soal 1)

1sin)( yxy , (x.y) sifat aturan perkalian turunan

0(......).

..

dx

dy

dx

dyxy

dx

dx → 0cos

......

dx

dyy

dx

dyxy

dx

dyy ........)(...... ↔ yyx

dx

dy )cos(

xx

y

dx

dy

cos


Tentukan dx

dydalam x dan y fungsi berikut ini (aturan Implisit):

1. xxy tancot

2. xyxy 22 )cos(


3. Turunan dari Persamaan Parameter

Persamaan parabola y2 =4px bisa dipenuhioleh persamaan x = pt2 dan y =2pt, dengan t

sebagai parameternya. Oleh karena itu persamaan x = pt2 dan y = 2pt disebut persamaan

parameter dari y2=4px.

Jika kita beri dua persamaan parameter x = x(t) dam y = y(t) dan diminta menentukandx

dy, maka

lebih mudah bagi kita menyelesaikan dengan menggunakan aturan rantai, yaitu :

dtdx

dtdy

dx

dyatau

dx

dt

dt

dy

dx

dy .

Kegiatan 4.5

Menentukan Turunan dari Persamaan Parameter

Jika kurva-kurva didefinisiskan dengan persamaan yang diberikan, tentukan dx

dyyang dinyatakan

dalam t.

1) tx 4 dan 53 2 ty

Penyelesaian : 2

1)1(2

1

2)...

....(4.4

tttdt

dx dan ...

dt

dy

Maka :

dtdx

dtdy

dx

dy =

...

... = ....

2) tx sin21 dan ty cos4

Penyelesaian : tdt

dxcos2. dan ...

dt

dy

Maka :

dtdx

dtdy

dx

dy = ttan

2

1

...

...

3) ttx sin22sin dan tty cos22cos

Penyelesaian : .....dt

dx dan ...

dt

dy

Maka :

dtdx

dtdy

dx

dy =

.......................

.......................


4. Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Masalah pertama berkaitan dengan laju perubahan suatu fungsi terhadap variabel bebasnya,

misalnya laju perubahan y = f(x) terhadap x. Laju perubahan fungsi y = f(x) terhadap x

adalahdx

dyyang dinyatakan dalam x,

Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi perpindahan. Untuk perpindahan x = x (t), maka :

Kecepatan : dt

dxxv )(

Percepatan adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan atau turunan kedua dari fungsi

perpindahan. Kecepatan : dt

dvxa )(

Kegiatan 4.6

Aplikasi Turunan dalam kehidupan sehari-hari

4.1 Laju Perubahan Fungsi Trigonometri

Daya nyata 0P (dalam satuan votl amper) suatu rangkaian listrik yang daya aktifnya P (satuan

watt) dan sudut impedansinya θ, diberikan oleh sec.0 PP . Jika P adalah konstan pada 20 W,

tentukan laju perubahan 0P jika θ berubah pada laju 0,050 rad/menit saat θ = 450.

Penyelesaian :

Dik : Laju perubahan sudut θ terhadap waktu adalah

dt

d 0,050 rad/menit saat θ = 450.

Dit : Laju perubahan daya nyata 0P yaitu dt

dPo ...

Jb : Perhatikan )(0 fP , sedangkan ),(tf sehingga

laju perubahan dt

d

d

dP

dt

dPo

.0 ,

sec.0 PP , 20P , jadi sec.200 P

Dengan demikinan tan.sec20dt

dPo

Maka : dt

d

d

dP

dt

dPo

.0 = (............................)(........................)

dt

dPo = 00 45tan.45sec....... = ...).....)(....(.....)(. = 2

jadi laju perubahannya 2dt

dPo Watt/menit


4.2 Kecepatan dan Percepatan Fungsi Trigonometri

Gerakan sebuah partikel diberikan oleh

42cos6

ts . Tentukan nilai prpindahan, kecepatan

dan percepatan. Tentukan juga waktu tersingkat ketika nilai-nilai maksimum itu terjadi.

Penyelesaian :

Dik :

42cos6

ts

Perpindahan s maksimum = 6 ini tercapai ketika 14

2cos

t ,

0cos4

2cos

t ↔

2.04

2 nt

2t ..........

.... ↔ t ..

....

....n (*) dengan n = 0, 1, 2, 3, ...

Waktu tersingkat untuk perpindahan maksimum ditentukan dengan mensubstitusi n € A yang

memberikan t nilai positif terkecil

n = 0 → t

(...).8 ↔ t

....

.... (Tidak memenuhi)

n = 1 → t

(...).8 ↔ t

....

.... (Memenuhi)

Jadi, perpindahan s maks = 6 tercapai waktu tersingkat t 8

7

Kecepatan partikel v adalah

)

42cos(6)(

t

dt

d

dt

dsxv

6)( xv

)

42cos(

t ↔ 6)(' xv (...))

42((........)

t

)(' xv )...

.............(....12

Kec maks adalah .12maksv ini tercapai ketika 14

2sin

t ,

2sin

42sin

t ↔

2.nx atau 2.)1800 nx

2.

242 nt dan

2.

242 nt

2.

....

....

22 nt dan 2.

....

....

...

...2 nt

.

....

....nt dan .

....

....nt


n = 0 → t ...(...).8

... ↔ t

....

....

n = 1 → t ...

...(...).

8

... ↔ t

....

....

Jadi, Kec maks = 12 tercapai waktu tersingkat t 8

5

Percepatan partikel a adalah

)

42sin(12)(

t

dt

d

dt

dvxa

12)( xa

)

42sin(

t ↔ ......)( xa (...))

42((........)

t

)(' xv )...

.............(....24

Perc max adalah .24maksa ini tercapai ketika 14

2cos

t ,

cos4

2cos

t ↔ 2.nx atau 2.) nx

2.4

2 nt

dan

2.

42 nt

2.

....

....2 nt dan 2.

...

...2 nt

.

....

....nt dan .

....

....nt

n = 0 → t ...(...).8

... ↔ t

....

....

n = 1 → t ...

... ↔ t

...

...(...).

8

...

Jadi, perc maks = 24 tercapai waktu tersingkat t 8

3

4.3 Kecepatan Sudut Fungsi Trigonometri

1. Sebuah permainan anak berbentuk kincir raksasa yang memiliki diameter 10 m sedang

dimainkan di sebuah arena bermain. Kincir tersebut berputar dengan kec sudut

12

radian/det tepat diatas permukaan tanah, tentukan laju perubahan posisi kedudukan

terhadap arah vertikal pada kincir tersebut pada ketinggian 7,5 m dari permukaan tanah


Hubungan ketinggian dari permukaan tanah h(t), radius R, dan sudut θ (t) seperti gambar diatas,

dapat dirumuskan sebagai berikut :

)(cos1))(cos()( tRtRRth : R = 5 m dan h = 7,5 m

cos1(......)(.......) ↔...

...)(.........cos →

3

2......... radian

Diketahui kec sudut 12

dt

drad/det, maka laju perubahan ketinggian dapat dirumuskan sebagai

berikut :

dt

d

d

dh

dt

dh

↔ )

...

...)(cos(

RR

d

d

dt

dh

...)(.........(...

d

dR

d

d

dt

dh .........)((.....)

...R

=

sin...

Rdt

dh ↔

3

2sin5

...

dt

dh= 3

...

...

Jadi, laju perubahan posisi kedudukan terhadap arahvertikal pada kincir tersebut pada ketinggian

7,5 m dari permukaan tanah ketika dudukan kincir tersebut bergerak naik adalah 324

5


1. Tentukan turunan sebagai berikut ini (aturan rantai): ,2

4t an3

xy Jika x berkurang

pada laju 0,4 rad/s. Tentkan laju perubahan y terhadap waktu ketika 48

x

2. Sebuah partikel sedang bergerak dengan persamaan perpindahan )3

2cos(5

tx , dengan

x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan :

kecepatan maksimum partikel saat (0 ≤ t ≤ 2µ ) dan

percepatan maksimum partikel saat (0 ≤ t ≤ 2µ )


BAB 5 NILAI MAKSIMUM & MINIMUM, SELANG

KEMONOTONAN DAN KEMIRINGAN GARIS

SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Kata Kunci :

Nilai Maksium dan Minimum, Selang kemonotonan dan Kemiringan garis singgung

Nilai Maksimum & Nilai

Minimum, Kemonotonan,

Garis Singgung Fungsi

Trigonometri Fungsi

Trigonometri Maksimum

dan Minimum

Nilai

Maksimum dan Minimum

Menentukan Titik Stasioner,

Kemonotonann, Kemiringan

Bentuk

A cos x + B sin x =

k cos ( x- ᾱ )

Bentuk

A sin x+ B cos x

Titik Stasioner dan

Kemonotonann, Fungsi

Gradien dan

Garis singgung Kurva

Definisi & Teorema

Kemonotonan


BAB 5

NILAI MAKSIMUM, NILAI MINIMUM, SELANG KEMONOTONAN DAN KEMIRINGAN GARIS


A. MAKSIMUM DAN MINIMUM

Gambar 5.1

Dalam kehidupan ini kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan cara terbaik

untuk melalukan sesuatu. Sebagi contoh, seorang petani ingin memiliki kombinasi tanaman yang

dapat menhasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih dosis terkecil obat yang

akan menyembuhkan penyakit tertentu. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin

biaya penyebaran barangnya. Kadang kala salah satu dari masalah diatas dapat dirumuskan

sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan yang

dirinci

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum relatif/minimum relatif pada suatu

interval pada x = Xo, apabila f(xo) adalah nilai terbesar/terkecil dari nilai pendahulu/penyerta dari

fungsi tersebut. Pada gambar 5.1 diatas titik A(a,f(a)) adalah titik maksimum relatif pada kurva

sebab f(a) > f(x) pada setiap sekitar (neighbourhood) sekecil apapun 0 < Ix – aI < θ. Dan dikatan

bahwa y = f(x) mempunyai maksimum relatif {f(x)=f(a)} jika x = a. Dan dengan jalan yang sama titik

C (c,f(c)) adalah minimum relatif dari kurva, dan dikatakan y = f(x) mempunyai nilai minimum

relatif {f(x)=f(c)} jika x = c.

3.5 Menjelaskan keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva fungsi trigonometri

4.5 Menyelesaikan masalah yang

berkaitan dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva fungsi trigonometri

Nilai maksimum fungsi tigonometri

Nilai minimum fungsi trigonomerti

Selang kemonotonan fungsi trigonometri

Kemiringan garis singgung kurva fungsi trigonometri

Mencermati keterkaitan turunan fungsi trigonometri dengan nilai maksimum dan minimum.

Menentukan titik stationer,selang kemonotonan dan garis singgung kurva fungsi trigonometri.

Mempresentasikan cara mencari turunan fungsi trigonometri

Mempresentasikan pemecahan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri


Definisi

Andai S[a,c], daerah asal f, memuat titik c.Kita katakan bahwa:

1) )(cf adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S

1) )(cf adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S

1) )(cf adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S

1) )(cf adalah nilai ekstrim f pada S jika nilai maksimum atau nilai munimum

Untuk titik A, f’(x) berubah tanda dari positif – nol – negatif, dikatakan f mempunyai nilai balik

maksimum f(a) pada x = a

Untuk titik B, f’(x) berubah tanda dari negatif – nol – negatif, dikatakan f mempunyai nilai belok

horizontal f(b) pada x = b

Untuk titik C, f’(x) berubah tanda dari negatif – nol – positif, dikatakan f mempunyai nilai balik

minimum f(c) pada x = c

B. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI

Kegiatan 5.1

Menemukan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri

1) Bentuk A cos x + B sin x = k cos ( x - ᾱ )

Bagaimana menentukan Nilai maksimum dan minimum dari fungsi: 3 cos x + 4 sin x

↔ (cos x cos a + k sin x sin a) = 3 cos x + 4 sin x

Diperoleh k cos a = 3 (KW I dan IV) dan sin a = 4 (KW I dan II),

01,53,....

....

a

btg (KW I), 2222 (....)(....) bak = ...........

Nilai Maksimum = +5 dan Nilai Minimum = -5 dan Grafiknya :

Gambar 5.2


2) Bentuk A Sin X + B Cos X

Bagaimana menentukan nilai maksimum dari fungsi:

10cos.sin24sin14cos4)( 22 xxxxxf

Kita bisa saja menyelesaikan soal ini dengan menggunakan syarat titik stasioner : 0)( xf ,

kemudian menentukan jenis stasioner mana yang termasuk nilai balik maksimum. Tetapi cara penyelesaian seperti ini memerlukan waktu hitung yang lebih lama dan cukup rumit.

Kita bisa mengerjakan soal seperti ini dengan lebih efisien dan sederhana jika kita bisa

menentukan rumus nilai ekstrim y = A sin x + B cos x yang sangat mudah diingat.

Syarat kurva y = A sin x + B cos x mencapai ekstrim adalah y’=0

0(......)(........)' BAy ↔ (......)(........) BA

.....

....

cos

sin

x

x ↔

.....

.............

Kemungkinan I B

Ax

tan

Hipotesa = 2222 (........)(........)(........)(........)

22sin

BA

Ax

dan

22cos

BA

Bx

Nilai ekstrim fungsi : y = A sin x + B cos x

...................

](.......)[(.......)

..............

.............

..............

..............

22

BAy

22 BAy

Kemungkinan II B

Ax tan

Hipotesa = 2222 (........)(........)(........)(........)

22sin

BA

Ax

dan

22cos

BA

Bx

Nilai ekstrim fungsi : y = A sin x + B cos x

...................

](.......)[(.......)

..............

.............

..............

..............

22

BAy

22 BAy

Karena A2> 0 dan B2> 0, maka pastilah :

Nilai minimum 22

min BAy ,

Nilai maksimum 22 BAymaks


Nilai maksimum dari fungsi: 10cos.sin24sin14cos4)( 22 xxxxxf

Penyelesaian : kita mengubah menjadi bentuk umum

A Sin nx + B Cos nx dengan n > 0

10)cos.sin.(.......12)sin10sin4(cos4)( 222 xxxxxxf

10)2.(sin12]sin10..)...................[(........)( 2 xxxf

...........................sin10..)..................(.........4)( 2 xxf

Gunakan sifat : xx sin212cos dan xx 2cos1sin2 2

...........................)sin2......()1(4)( 2 xxf

................)2cos1.......(14)( xxf

xxxf 2sin122cos519)(

Perhatikan 19 adalah bilangan tetap sehingga f(x) maksimum jika )2sin122cos5( xx juga

maksimum. Bentuk : )2sin122cos5( xx atau )2cos52sin12( xx sudah identik sama

A Sin nx + B Cos nx

Maka Nilai maksimum mumNilaiMaksixf 19)(

2222 .....)((.....)1919)( BAxf

32...........(.....)(.....).....)( xf

Uji Kompetensi 5.1

1. Nilai Maksimum dan minimum : xxxf cos3sin)(

2. Nilai Min dari fungsi :

2

2

sec2

tan1)(

w dan Cos 2θ + cos θ

3. Nilai Maks dari fungsi: 2sin9sin12 dan 64 cossin


Nilai Maksimum dari k dimana k2sin

2cos5

dan 0 < θ < π Kunci k=3

Langkah penyeleaian :

Klu : k2sin

2cos5

(M) berarti

sin

2cos52

k (TM)

Gunakan sifat pembagian turunan


C. MENENTUKAN TITIK STASIONER, SELANG KEMONOTONAN, DAN KEMIRINGAN GARIS


1. Kemonotonan

Pada grafik berikuti

f (x)

Turun Naik

C

Gambar 5.3

Menyatakan bahwa f turun di kiri c dan naik di

kanan c.

Definisi ; Andai f terdefinisi pada selang I

(buka, tutup atau tak satupun) kita katakan:

i) f Naik pada I jika untuk setiap pasang

bil x1 dan x2 dalam I

x1 < x2 → f (x1) < f (x2)

ii) f turun pada I jika untuk setiap pasang

bil x1 dan x2 dalam I

x1 < x2 → f (x1) > f (x2)

iii) f minoton murni pada I jika ia naik

pada I atau turun pada I

Turunan Pertama da Kemonotonan

Ingat bahwa turunan pertama f’(x)

memberi kita kemiringan dari garis

singgung pada grafik f di titik x.

Kemudian,

Jika f’(x) > 0, maka garis singgung naik

kekanan (lihat gambar 5.4). Serupa

Jika f’(x) < 0, maka garis singgung

menurun kekanan (lihat gambar 5.4)

Pada grafik berikuti:

0

f’(x)>0 f’(x)<0

Gambar 5.4

Teorema Kemonotonan : Andai f kontinu pada

selang I terdiferensial pada setiap titik dalam I:

Jika f’>0 untuk semua x titik dalam I, maka f

Naik pada I dan f’<0 untuk semua x titik dalam

I, maka f turun pada I

2. Titik Stasioner dan Kemonotonan Suatu Fungsi

Gambar 5.5

Titik stasioner terjadi jika terpenuhi f’(x) = 0, yaitu titik dimana gradiennya kurva = nol Perhatikan Gambar 5.5 bahwa jika suatu titik bergerak sepanjang kurva dari a ke b, maka

nilai fungsi bertambah apabila absis bertambah. Dan juga jika titik bergerak sepanjang kurva dari


b ke c maka nilai fungsi berkurang apabila absis bertambah. Dikatakan bahwa f naik pada selang

tertutup [a,b] dan f turun pada selang tertutup [b,c]. Bila fungsi f naik atau turun ada suatu selang

maka f dikatakan monoton pada selang tersebut.

Gambar 5.6

Kurva grafik fungsi y = f(x) (gambar 5.6) terlihat bahwa untuk x < a, gradien garis singgung

g1 positif, yang berarti f’(x) > 0, dan f naik pada interval itu. Untuk x > 0, gradien garis singgung

selalu negatif sehingga f’(x) < 0, dan f turun pada interval tersebut.Sedang untuk x = a, gradien

garis singgung di titik tersebut = 0, garis singgung sejajar sumbu x, sehingga f’(x) = 0, dalam hal ini f

tidak naik dan tidak turun dan dikatakan f stasioner di x = a, Sehingga kurva y = f (x) akan: Naik

jika f’(x) > 0, Turun Jika f’(x) < 0, Stasioner Jika f’(x) = 0

Contoh soal :

1) Jika f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 7 tunjukan dimana f naik dan f turun

Penyelesaian :

f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 7 → f’(x) = 6x2 – 6x -12 = 6 (x+1)(x-2), kita perlu menentukan :

Naik jika f’(x) > 0, Turun Jika f’(x) < 0 ↔ (x+1)(x-2) > 0 dan (x+1)(x-2) < 0

Titik pemisah adalah -1 dan 2 ; titik-titik ini membagi sumbu-x menjadi tiga selang

(-∞, 1),(-1,2) dan (2,∞).

Dengan demikian titij uji : X = -2 , x = 0 dan x = 3, kita simpulkan:

f’(x) > 0 pada yang pertama dan terakhir

f’(x) < 0 pada selang tengah.

Menurut Teorema :

f naik pada (-∞, -1) dan *2, ∞)

f turun pada [-1,2]

2) Tentukan titik stasioner, nilai stasioner, serta jenisnya untuk fungsi trigonometri

f(x) = sin 2x, 0 ≤ x ≤ π

(+) 0 ( - ) 0 ( +)

-1 2


Penyelesaian :

f(x) = sin 2x, 0 ≤ x ≤ π → f’(x) = 2 cos 2x

syarat titik stasioner adalah f’(x) = 0 sehingga 2 cos 2x = 0

↔ cos 2x = 0 ↔ cos 2x = cos 0 ↔ 2

1cos2cos x

2.nx atau 2.) nx →

2.

2

12 nx atau

2.

2

12 nx →

.

4

1nx atau

.

4

1nx

Untuk k = 0, diperoleh 4

1x dan

4

3x yang absis stasioner

4

1x → 1

2

1sin

4

12sin

4

1)(

xf

4

3x → 1

2

3sin

4

32sin

4

3)(

xf

Jadi titik stasionernya :

)1,4

1( dengan nilai stasioner 1 (Maksimum) atau )1,

4

3( dengan nilai stasioner -1 (Minimum)

Jenis Stasionernya :

Gambar selangnya dan tetapkan titik uji setiap selang :

Absis titik uji tanda

Untuk setiap absis titik uji, perikas tanda dari f’(x) dengan mensubstitusikan x ke f’(x) = 2 cos 2x

x = 0 diperoleh 2 cos 2(0) = 2 (positif)

2

1x diperoleh )

2

1(2cos2 = 2 (negatif)

x diperoleh )(2cos2 (positif)

Sehingga diperoleh:

4

1x terdapat titik balik maksimum )1,

4

1( dengan nilai balik maksimumnya 1)

4

1( f

4

3x terdapat tik balik maksimum )1,

4

3( , dengan nilai balik maksimumnya 1)

4

3( f


Kegiatan 5.2

Menentukan Titik Stasioner dan Jenisnya

Budi berjalan di sebuah lintasan yang dinyatakan fungsi: 2)2

2sin(2)(

xxf , dimana f(x)

merupakan ketinggian dari permukaan tanah yang dinyatakan dengan satuan m dan x merupakan

waktu yang dinyatakan dalam detik. Jika budi mulai berjalan dari x = 0 det dan berhenti pada x

=1,5 π det, tunjukan manakah interval budi saat menanjak dan menuruni lintasan.

Penyelesaian :

2)2

2sin(2)(

xxf → )2

2cos(4)('

xxf

Syarat stasioner 0)(' xf ↔ 0)2

2cos(4

x

...

...cos)

22cos( x ↔

2.nx atau 2.) nx

2....

...)

22( nx atau

2.

...

...)

22( nx

2....

...

...

...2 nx atau 2.

...

...

...

...2 nx

....

...nx atau .... nx

ambil n = bil bulat n = -1 maka

....(...)...

... nx ...(...).... x

n = 0 maka

....(...)...

... nx ...(...).... x

n = -1 maka

....(...)...

... nx ...(...).... x

Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi interval : 2

30 x

Adalah ..............,......,..., xxxx

Tunjukan Uji tanda absis stasioner (interval budi saat menanjak dan menurun)

... ... ... ... ...

f’(x) ... ... ... ... ...

gradien ... ... ... ... ...


Jadi interval budi yang memenuhi :

Budi Saat menanjak {f’(x)>0} : ....... x atau ....... x

Budi Saat menurun {f’(x)>0} : ....... x

Jadi

Nilai Balik Maksimumnya = ... Nilai Balik Minimumnya = ...

3. GRADIEN DAN GARIS SINGGUNG KURVA

Gambar 5.7

Gradien AB = 12

12 )()(

xx

xfxfmAB

, Ambil

hxx 12 atau hxx 12 ,

sehingga

h

xfhxfmAB

)()( 11

Apabila yang terjadi jika B kita geser sepanjang kurva y = f(x) mendekati A/ dengan kata lain jika

kita ambil h → 0 ? tampak garis AB makin mendekati garis singgung di titik A. Dengan demikian

gradien garis ab mendekati gradien garis singgung kurva/garis g di titik A ))(,( 11 xfx

Definisi Turunan

h

xfhxfmm

hAB

h

)()(limlim 11

00

Menentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) dan titik singgung A (x1, y1), maka

1

1

xx

yymAB

Atau )( 11 xxmyy


Kegiatan 5.3

Garis singgung Kurva Fungsi Trigonometri

Sebuah kurva memiliki persamaan y = sin3 – 3 sin x. Tentukan persamaan garis singgung pada titik

dimana 3

x

Penyelesaian :

y = sin3 – 3 sin x → xxdx

dxy cos3)(sin)(sin3' 13

m ↔ xxxy cos3)(cossin3'...2

↔ .......}..........{.........cos3 xm dengan 3

x , maka m

..}....................{.........3

cos3

m .....}......)(....){(..3

Selanjutnya titik singgung y1 = substirusi 3

1

x

.......................)......

...(3)...

...

...(

3sin)

3(sin 33

1

y

Diperoleh titik ...).,........(.........),( 11 yx Pers grs singgungnya: )( 11 xxmyy →

)................((.....) 11 xy ........................ xy

.........................................

Persm grs singgungnya adalah 03983 yx

Uji Kompetensi 5.2

Tentukn persamaan garis singgung xxxf cos2cos)( 2 , pada titik dengan x = π

Penyelesaian :

xxxf cos2cos)( 2 ↔ .........................)(' xf

Substitusi x1 = π, ke xxxf cos2cos)( 2 untuk memperoleh y1

.......................cos)(cos 2

1 y

Diperoleh titik ...).,........(.........),( 11 yx Pers grs singgungnya: )( 11 xxmyy

Persamaan Garis Singgunya : ...........................


BAB 6

DIFERENSIAL LANJUT FUNGSI TRIGONOMETRI

Peta Konsep

Kata Kunci :

Diferensial Lanjut Triginometri

Diferensial Lanjut

Trigonometri

Teorema

Nilai Balik


BAB 6

DIFERENSIAL LANJUT

Dalam pokok bahasan

sebelumnya kita telah

membahas tentang

menentukan titik stasioner

dan jenisnya dengan

menggunakan uji tanda

turunan pertama/absis

stasioner (metode 1). Untuk

pembahasan berikut ini kita

akan menentukan uji

turunan kedua (metode 2).

Dalam materi matematika wajib telah dinyatakan bahwa ada kaitan antara tanda dari

kedua fungsi pada titik stasioner *f’’(x) dengan x = c adalah absis titik stasioner+ dengan jenis titik

stasionernya. Ini dinyatakan dalam teorema berikut :

Teorema Nilai Balik

Misalkan y = f(x) terdefinisi pada selang a < x < b yang muat c, f’(x) dan f”(x) ada untuk setiap

titik pada selang a < x < b. Misal juga f’(c) = 0, yang berarti x = c adalah absis titik stasioner.

1) Jika f”(c) < 0 atau negatif → f(c) adalah nilai balik maksimum

2) Jika f”(c) > 0 atau positif → f(c) adalah nilai balik minimum

Mari kita terapkan teorema metode 2 ini menentukan mana dari kedua absis stasioner

yang telah dihitung sebelumnya, yang merupakan absis titik maks dan minimum (lihat uraian

dibawah ini). Karena metode2 adalah metode uji tanda turunan kedua, maka kita perlu

menentukan dahulu turunan kedua f” (x) sebelum mengujinya.

Penyelesaian metode 1 :

f(x) = sin 2x, 0 ≤ x ≤ π

f’(x) = 2 cos 2x = 2. Cos 2x

f”(x)= xxx

xd

u

ud2sin4)2)(2sin.(2

)2()(cos2

Dalam menentukan absisnya sebelumnya Metode 1 diperoleh:

Untuk k = 0, diperoleh 4

1x dan

4

3x yang absis stasioner

4

1x → 1

2

1sin

4

12sin

4

1)(

xf

3.6 Menjelaskan keberkaitan turunan kedua suatu fungsi dengan titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri

4.6 Menyelesaikan masalah

yang berkaitan dengan titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri

Diferensial lanjut

Mencermati penerapan turunan kedua fungsi trigonometri dalam pemecahan masalah,

Mencermati konstruksi turunan kedua fungsi trigonometri,

Mempresentasikan pemecahan masalah yang berkaitan dengan turunan kedua fungsi trigonometri.


4

3x → 1

2

3sin

4

32sin

4

3)(

xf

Jadi titik stasionernya : )1,4

1( dengan nilai stasioner 1 (Maksimum) atau )1,

4

3( dengan nilai

stasioner -1 (Minimum)

Metode ke 2:

xxf 2sin4)(" , jadi :

4)1(42

1sin4)]

4

1.(2sin[.4)

4

1(" f

Karena Jika f”(c) < 0 → -4 < 0 (maksimum)

4)1(42

3sin4)]

4

3.(2sin[.4)

4

3(" f

Karena Jika f”(c) > 0 → 4 > 0 (minimum)

Jadi, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, kita harus membandingkan kedua diatas dengan ujung selang yaitu 0 ≤ x ≤ π

Nilai maksimum dan minimum f(x) =sin 2x untuk kedua titik maksimum dan minimum,

Nilai Max, 4

1x → 1

2

1sin

4

12sin)

4

1(

f

Nilai Max, 4

3x → 1

2

3sin

4

32sin)

4

3(

f

Untuk kedua ttik ujung-ujung selang

)0(x =0 → 00sin02sin)0( f

x → 02sin2sin)( f ,

Jika keempat nilai ini kita bandingkan, maka jelas terbukti :

nilai maksimum adalah 1 dan nilai minimum adalah -1 (Terbukti Benar)

Kegiatan 6.1

Menentukan Nilai balik maks dan minimum menggunakan Teorema Nilai Balik

Tentukan Nilai minimum mutlak f(x) = 2 sin x + cos 2x , 0 ≤ x ≤2 π

Penyelesaian :

f(x) = 2 sin x + cos 2x , 0 ≤ x ≤2 π

f’(x) = .............................................

titik stasionernya f’(x) = 0, maka 2 (cos x –sin 2x) = 0

cos x – sin 2x = 0 ↔ cos x = sin 2x ↔

)22

1cos(cos xx → )2

2

1( xx


2.nx atau 2.) nx →

2.)22

1( nxx atau 2.)2

2

1( nxx

2.)2

1(3 nx 2.

2

1nx

2....

)...

1(

nx 2.

...

1nx

Untuk n = 0, diperoleh

0n → ..

1x .... atau

..

1x ....

1n → ...2....

1

...

1 x ...2(...).

...

1 x (TM)

...n → ...2....

1

...

1 x

...n → ...2....

1

...

1 x (TM)

Jadi ada empat absis titik stasioner yang diperoleh {....,....,....,....}

Mari selanjutnya kita terapkan metode 2 ini untuk menentukan mana keempat absis stasioner

yang telah dihitung sebelumnya, yang merupakan abisi titik minimum. Karena metode ke 2

adalah metode uji tanda turunan kedua, mari kita perlu menentukan dahulu turunan kedua f”(x)

sebelum mengujinya.

f(x) = 2 sin x + cos 2x , 0 ≤ x ≤2 π

f’(x) = .............................................

f”(x) = 2(-sinx)-2(2 cos 2x) = ........................

keempat absis disubstitusi ke persaman turunan kedua

3.)...

...(4)

...

...(2)

..

2cos(4)

..

1sin(.2)

...

1("

f

Karena Jika f”(c) < 0 → -3 < 0 (maksimum)

...)...

...(4)

...

...(2)

..

2cos(4)

..

1sin(.2)

...

1("

f

Karena Jika f”(c) > 0 → .... > 0 (minimum)

...)...

...(4)

...

...(2)

..

....cos(4)

..

...sin(.2)

...

...("

f

Karena Jika f”(c) < 0 → ... < 0 (...................)


...)...

...(4)

...

...(2)

..

6cos(4)

..

...sin(.2)

...

...("

f

Karena Jika f”(c) < 0 → ... > 0 (..................)

Jadi, ada dua absis minimum yaitu 2

1x dan

2

3x

Untuk menentukan nilai minimum mutlak, maka kita harus membandingkan kedua nilai minimum

dengan nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung selang (0 ≤ x ≤2 π) yaitu x = 0 dan x = 2π

Nilai minimum f(x) = 2 sin x + cos 2x, untuk kedua titik balik minimum.

2

1x → ...)1((...)2)

2

2cos()

..

...sin(.2)

...

...(

f

2

3x → 3)1((...)2)3cos()

..

...sin(.2)

...

...( f

Untuk kedua titik di ujung-ujung selang

0x → ...)1((...)2)0cos()0sin(.2)0( f

2x → ..)1((...)2)2cos()2sin(.2)2( f

Jadi Keempat nilai ini, nilai paling kecil adalah -3

Nilai minimum mutlak dari f(x) = 2 sin x + cos 2x adalah -3 yang terjadi ketika 2

3x

Uji Kompetensi 6.1

Jika nilai minimum dari fungsi

xxf 2

4cos21)(

dalam selang

20

x adalah 1,

tentukan nilai dari x


Tentukan nilai x dalam selang 0 < x < 2π dimana x

xxf

sin2

cos3)(

adalah stasioner. Tentukan nilai

maksimum mutlak dan minimum mutlak dalam selang yang di berikan


BAB 7

STATISTIK INFERENSIAL

Peta Konsep

Kata Kunci :

Statistik Inferensial, Variabel acak, Fungsi Probabilitas, dan Distribusi Binomial

Statistik

Inferensial

Konsep

Variabel Acak

Fungsi

Probabilitas

Fungsi

Distribusi Binomial


BAB 7

STATISTIK INFERENSIAL

Statistik Inferensial adalah

staistik yang digunakan untuk

menganalisa data sampel dan

hasilnya akan

digeneralisasikan/diinferensial

kan kepada populasi dimana

sampel diambil.

Sering juga dikenal dengan

cakupan metode yang

berhubungan dengan

menganalisi sebuah

data/sampel untuk kemudian

sampai pada

peramalan/pendugaan/penarik

an kesimpulan mengenai

seluruh data induknya.

Statistik inferensial ada 2 macam yaitu : Statistik Parametrik, yaitu ilmu statistik yang mempertimbangnkan jenis sebaran atau

distribusi data, yaitu pakah data menyebar secara normal atau tidak. Dengan kata lain, data yang akan dianalisis menggunakan statistik parametrik harus memenuhi asumsi normalitas. Pada umumnya, jika data tidak menyebar normal, maka data seharusnya dikerjakan dengan metode statistik non-parametrik, atau setidak-tidaknya dilakukan tranformasi terlebih dahulu agar data mengikuti sebaran normal, sehingga bisa dikerjakan dengan statistik parametrik. Contoh metode statistik parametrik : uji-Z (1 atau 2 sampel), Uji-t (1 atau 2 sampel), Korelasi pearson, Perancangan percobaan (one or two way anova parametrik). Ciri statistik parametrik : Data dengan skala interval dan rasio, Data menyebar berrdistribusi normal.

Statistik Non-Parametrik, yaitu statistik bebas sebaran (tidak mensyaratkan bentuk sebaran parametrik populasi, baik normal atau tidak). Selain itu, statistik ini biasanya menggunakan skala sosial, yaitu nominal dan ordinal yang umumnya tidak berdistribusi normal. Contoh metode statistik Non-parametrik : uji tanda (sign test), Rank sum test (wilcoxon), Rank correlation test (spearman), Fisher probability exact test, chi-square test. Ciri-ciri statistik non parametrik : Data tidak berdistribusi normal, umumnya data nominal atau ordinal, penelitian sosial, umumnya jumlah sampel kecil.

Dalam statistik inferensial diadakan pendugaan parameter, mebuat hipotesis serta melakukan pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang berlaku umum. Metode seperti ini disebut juga sattistik induktif, karena kesimpulan yang diambil ditarik berdasarkan pada informasi dari sebagian data saja. Pengambilan kesimpuln dari statistik inferensial yang hanya didasarkan pada sebagian data saja yang menyebabkan sifat data tak pasti, memungkinkan terjadinya kesalahan dalam pengambilan keputusan, sehingga pengetahuan mengenai teori peluang mutlak diperlukan dalam melakukan metode –metode satistik inferensial.

3.7 Menjelaskan dan menentukan distribusi peluang binomial berkaitan dengan fungsi peluang binomial

4.7 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak) dan penarikan kesimpulannya

Statistik inferensial

Mencermati konsep variabel acak.

Mencermati konsep dan sifat fungsi distribusi binomial.

Melakukan penarikan kesimpulan melalui uji hipotesis dari suatu masalah nya yang terkait dengan distribusi peluang binomial

Menyelesaikan masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak) dan penarikan kesimpulannya

Menyajikan penyelesaian masalah berkaitan dengan distribusi peluang binomial suatu percobaan (acak) dan penarikan kesimpulannya


A. KONSEP VARIABEL ACAK

Suatu kejadian disebu acak (random event), kalu kejadian tersebut tak dapat ditentukan dengan

pasti sebelumnya.

Kegiatan 7.1

Mencermati konsep variabel acak dan fungsi probabilitas

Perhatikan kegiatan berikut ini :

Percobaan Perkiraan mucul( sangat sukar

ditentukan terlebih dahulu muncul/keluar

Probabilitas/

Peluang

Mata uang logam Rp. 500 dilempar Gambar burung ...

Suatu dadu dilempar Mata dadu 5 ...

Satu kartu diambil dari satu set karu Bridge

Kartu AS ...

Probabilitas ialah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya kejadian acak. Kalau

A = suatu kejadian acak, maka P(A) = 0,90, berarti probabilitas bahwa A terjadi sebesar 0,90 atau

90%.

Perhatikan kegiatan berikut :

Pelembaran mata uang logam Rp. 500 dilempar 3 kali. Dimana B = muncul gambar burung, dan B’

= muncul Angka. Hasil pelemparan tersebut :

Pelemparan

Mungkin Probabilitas Hasil perlemparan

... ...

Ada .....kemungkinan,

masing-masing dengan probabilitas .....

Misal x = banyaknya B setiap pelemparan, maka nilai x = 0,1,2,3.

X disebut variabel acak diskrit yaitu hasil suatu ekperiment atau

variabel yang nilainya tak dapat ditentukan dengan pasti,

sebelum terjadi.

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

... ...

X = 0, berasal B’B’B ’→ P (X = 0) = 8

1

X = 1, berasal ......,.........,......... → P (X = 1) = ...

X = 2, berasal ......,.........,......... → P (X = ...) = ...

X = 3, berasal BBB → P (X = 3) = ...


B. FUNGSI PROBABILITAS

Fungsi probabilitas ialah fungsi acak yang dapat dipergunakan untuk menghitung probabilitas

suatu kejadian acak atau variabel acak. Dalam sub ini kiata hanya membahas fungsi probabilitas

diskrit.

p (x) = P (X = x), artinya probabilitas bahwa variabel X mengambil nilai x.

Dari pelemparan mata uang diatas fungsi probabilitas dapat :

p (0) = P (X = 0) = .... p (2) = P (X = 2) = ....

p (1) = .... p (3) = ....

Fungsi Probabilitas untuk variabel diskrit (tidak bisa mengambil nilai pecahan) antara lain

Binomial dan Poisson sedangkan yang kontinu (bisa mengambil nilai pecahan) atara lain normal,

fungsi t, F, X (chi kuadrat)

p (x) merupakan fungsi probabilitas diskrit kalau memenuhi dua syarat berikut :

Pertama : 0 ≤ p(x) ≤ 1, paling sedikit nol, tak pernah negatif dan paling besar 1

Kedua: x

xp )( = 1, untuk semua nilai x

Mari kita buktikan pelemparan mata uang Rp.500 diatas memenuhi sebagai fungsi probabilitas,

yang memebuhi syarat :

Pertama : 0 ≤ p(x) ≤ 1, paling sedikit nol, tak pernah negatif dan paling besar 1

Nilai p(x) tersebut adalah ....., ......., ......., dan .......

Jelas syarat pertama telah terpenuhi *)

Kedua: x

xp )( = 1, untuk semua nilai x

Maka

x

xp )( = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)

= .... + .... + .... + .... = 1

Jelas syarat kedua telah terpenuhi **)

Sedangkan kalau X variabel kontinu f(x) disebut fungsi kepadatan/densitas/desity function, f (x) ≥ 0

dan

1)( dxxf , yaitu integral untuk keseluruhan nilai sebesar 1 sampai ∞, sehingga dalam sub

ini hanya membahas fungsi binomial.


C. FUNGSI DISTRIBUSI BINOMIAL

Probabilitas P( X ≤ x ) dengan x adlah bil real (-∞ < x < ∞) Fungsi distribusi dapat diperoleh dari

fungsi probabilitas, yaitu

F(X) = P (X ≤ x) = xXxf )(

Dengan jumlah pada ruas kanan diambil pada semua nilai u dengan u ≤ x

Kegiatan 7.2

Melakukan penarikan Kesimpulan dengan Fungsi Binomial

Jika X diambil hanya pada suatu bilangan tertentu dari nilai-nilai nxxx ,...,, 21 maka fungsi

distribusi diberikan oleh :

0 -∞ < x < 0

)( 1xf = ... 0 ≤ x < 1

)(xF )()( 21 xfxf = ... +.... = ... 1 ≤ x < 2

...

... =

2 ≤ x < 3

)()()( 321 xfxfxf + ...

.... + .... + .... + .... = ...

3 ≤ x < ∞

D. FUNGSI BINOMIAL

xnx ppxnx

nxP

)1.(.

)!(!

!)( x = 0, 1, 2, ..., n

p (x) = (P (x) = x) = probabilitas bahwa variabel X mengambil nilai x

n = banyak elemen sampel atau banyak eksperiment

x = banyaknya sukses atau banyaknya elemen sampel dengan karakteristik yang sedang diamati

atau diperhatikan.

Perhatikan kegiatan berikut :

n = 3 banyak lemparan mata uang loga Rp. 500,

x = banyak gambar burung (=B) yang diperoleh: Nilai x = 0,atau 1, atau 2, atau 3,

p = probabilitas sukses, misalnya probabilitas untuk memperoleh gambar burung.

n = 3 , dan p = 2

1 , x = 0, 1, 2, 3


Maka :

8

1)

8

1.(1.

123

123)

2

1.(

2

1.

!3

!3)

2

11.(

2

1.

)!03(!0

!3)0( 3

0

03

0

xx

xxp

...)2

11.(

2

1.

)!13(!1

!3)1( 13

1

p

..)2( p

=... =8

3

...)3( p

=... =...

..

Kegiatan 7.3

Menyelesaikan dan Menyajikan Masalah Fungsi Binomial

1) 10 % dari semacam benda tergolong ke dalam Kategori A. Sebuah sampel berukuran 30 telah

diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan kategori A:

a. Semuanya d. Paling sedikit sebuah

b. Sebuah e. Paling banyak dua buah

c. Dua buah

Penyelesaian :

Kita artikan X = banyak kategori A, maka P = peluang benda ternasuk kategori A = 10 % = 0,10.

a. Semua tergolong kategori A berarti X = 30, n = 30

xnx ppxnx

nxP

)1.(.

)!(!

!)( x = 0, 1, 2, ..., n

303030 )10,01.(10,0.)!3030(!30

!30)30(

xP

30

...

030 10...

......)90,0.(10,0.

)!0(!30

!30)30(

xP

b. Sebuah kategori A berarti X = 1, n = 30

1301 )10,01.(10,0.)!130(!30

!30)1(

xP

=......................

=......................... 1409,0


c. Dua buah ketori A berarti X = ... , n =30

.......... )10,01.(10,0....)!(.......!

...!(...)

P

=...

=... 2270,0

d. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A,

berarti X =1, 2, 3...........30. jadi perlu dicari:

)30(....)2()1( xPxPxP , sehingga yang kita cari adalah )0(1 xP , sekarang

menjadi :

...)0( xP

= ...

=... = 0,0423

Peluang dalam sampel itu = 1 - 0,0423 = 0,9577

e. Paling banyak dua buah tergolong kategori A,

berarti X =1, 2. jadi perlu di cari: ...)2()1()0( xPxPxP

2) Sebuah dadu digelindingkan empat kali. Jika X ditetapkan sebagai variabel acak untuk

menampilkan banyak muncul sisi berangka 6, tentukanlah X :

Jika variabel acak X untuk menampilkan banyak munculnya mata dadu 6, maka untuk percobaan 4:

X = 0, menyatakan tidak muncul mata dadu 6

X = 1, menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak satu kali

X = ..., menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak ...... kali

X = ..., menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak ..... kali

X = ...., menyatakan muncul mata dadu 6 sebanyak empat kali

Peluang muncul mata dadu 6 = 6

1)6( P ,

Peluang muncul mata dadu bukan 6 = 6

5

6

111)6( pP c ,

Maka : xnx ppxnx

nxP

)1.(.

)!(!

!)(

Probabilitas muncul mata dadu tidak muncul angka 6, P(x=0, n=4)


......(....).........)!(.......!

...!)(

xP = ......(....).....

...!

...!

...)( xP

Probabilitas muncul mata dadu 6 sebanyak satu kali P(x=1, n =4)

......(....).........)!(.......!

...!)(

xP = ......(....).....

...!

...!

...)( xP

Probabilitas muncul mata dadu 6 sebanyak dua kali P(x=2, n =4)

......(....).........)!(.......!

...!)(

xP = ......(....).....

...!

...!

...)( xP

Probabilitas muncul mata dadu 6sebanyak tiga kali P(x=3, n =4)

......(....).........)!(.......!

...!)(

xP = ......(....).....

...!

...!

...)( xP

Probabilitas muncul mata dadu 6 sebanyak empat kali P(x=3, n =4)

......(....).........)!(.......!

...!)(

xP = ......(....).....

...!

...!

...)( xP

Uji Kompetensi 7.1 1) Menghitung fungsi Distribusi Binomial dua dadu digelindingkan 3 kali untuk mendapatkan

jumlah mata dadu 11.

2) Seorang siswa sedang menghadapi kuis matematika sehubungan dengan materi yang baru

diperlajari. Kuis terdiri dari 6 soal. Karena kuis mendadak maka seorang siswa yang tidak

belajar menjawab seluruh 6 soal itu dengan menebak. Berapa peluang siswa itu menjawab:

a. Benar tepat dua soal

b. Benar tepat tiga soal

c. Benar Paling banyak tiga soal

d. Benar dua sampai empat soal


BAB 8

DATA BERDISTRIBUSI NORMAL

Peta Konsep

Kata Kunci :

Fungsi Distribusi Normal, ara Menggunakan Tabel Normal , Menyelesaikan Berkaitan

Distribusi Normal

Data Berdistribusi Normal

Fungsi Distribusi Normal

Cara Menggunakan Tabel Normal

Menyelesaiakan Berkaitan Distribusi Binomial


BAB 8

DATA BERDISTRIBUSI NORMAL

Semua variabel acak bersifat diskrit

sebagaimanatelah kita bicarakan

pada pokok bahasan

sebelumnya(fungsi binomial).

Sekarang kita alihkan perhatian kita

kepada distribusi dengan variabel

acak kontinu. Distribusi dengan

variabel acak kontinu yang pertama

kali kita akan kita bicarakan di sini

hanyalah distribusi normal atau

sering juga disebut distribusi Gauss.

Distribusi ini merupakan salah satu

yang paling penting dan banyak

digunakan.

A. DISTRIBUSI FUNGSI NORMAL

Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan :

2)(2

1

2

1)(

x

exf

Dengan

π = nilai konstan yang bila ditulis hingga 4 desimal, π = 3,1416

e = bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183

µ = parameter, ternyata merupakan rata-rata distribusi

σ = parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi

dan nilai x mempunyai batas -∞ < x < ∞, maka dikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi normal. Sifat-sifat penting distribusi normal :

1) Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x

2) Bentuknya simetrik terhadap x = µ

3) Mempunyai satu modus, jika kurva uniimodal, tercapai pada x = µ sebesar

3989,0

4) Grafiknya mendekati (berasimtotkan) sumbu datar x dimulai dari x = µ + 3 σ ke kanan dan x = µ - 3 σ ke kiri

5) Luas daerah grafik selalu sama dengan satuan persegi.

Untuk tiap pasang µ dan σ, sifat-sifat di atas selalu di penuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang

berlainan. Jika σ makin besar, kurva makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurva

makin tinggi (leptokurtik)

3.8 Menjelaskan karakteristik data berdistribusi normal yang berkaitan dengan data berdistribusi normal

4.8 Menyelesaikan

masalah yang berkaitan dengan distribusi normal dan penarikan kesimpulannya

Data berdistribusi normal

Mencermati pemahaman kurva normal

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan distribusi normal dan penarikan kesimpulannya

Mempresentasikan penarikan kesimpulan melalui uji hipotesis untuk permasalahan yang berkaitan dengan distribusi normal


Jika X sebuah variabel acak kontinu Karena ada hubungan dengan sifat fungsi probabilitas bilitas

1)( dxxf , maka berlaku juga untuk dxedxxf

x

2)(

2

1

2

1)(

, maka menentukan

peluang harga X antara a dan b, yakni P (a < X < b ) digunakan rumus

dxebXaP

b

a

x

2)(

2

1

2

1)(

Penggunaan praktis menggunakan rumus diatas tidak perlu dirisaukan lagi karena telah tersusun

daftar untuk keperluan di maksud. Daftar tersebut dapat dilihat di daftar distribusi normal standar

atau normal baku pada lampiran (Daftar F). Distribusi normal standar ialah distribusi normal

dengan rata-rata µ = 0 dan simpangan baku σ = 1. Fungsi densitasnya berbentuk :

2

2

1

2

1)(

Z

ezf

; z daerah -∞ < z < ∞

Mengubah dstribusi normal umum f(x) diatas menjadi distribusi normal baku f(z) diatas ditempuh

menggunakan transformasi :

XZ

Perubahan grafiknya dilihat gambar berikut:


Fungsi normal, mempunyai bentuk kurva yang simetris terhadap rata-ratanya. Luas kurva

disebelah kiri sama dengan di sebelah kanan rata-ratanya yaitu 0,5 atau 50%. Apabila x mengikuti

fungsi normal , maka menurut teorema normal ada fenomena tersebut :

1) ±68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara

µ - σ dan µ + σ (observasi mempunyai nilai X berjarak 1σ dari rata-ratanya)


µ - 2σ dan µ + 2σ (observasi mempunyai nilai X berjarak 2σ dari rata-ratanya)


µ - 3σ dan µ + 3σ (observasi mempunyai nilai X berjarak 3σ dari rata-ratanya)

B. CARA MENGGUNAKAN TABEL NORMAL

Agar dapat menggunakan tabel normal, variabel X harus diubah terlebih dahulu menjadi

variabel Z. Untuk keperluan ini, lihat tabel F (tabel Normal pada lampiran)

Perhatikan, bahwa setiap nilai dalam tabel menunjukkan luas daerah di bawah kurva yang dibatasi

oleh nilai Z = 0 sampai dengan Z = tertentu (maksudnya jarak terhadap rata-rata) seperti contoh

dibawah ini.

Kalau nilai variabel yang diberikan belum berupa standar normal harus di standarkan

dahulu dengan rumus

XZ , ingat bahwa luas seluruh kurva = 1 artinya probabilitas Z

mengambil antara = -∞ s/d +Z sebesar 1 (luas seluruh kurva) yaitu Pr (-∞ < Z < ∞) = 1 dan

Pr (-∞ < Z < 0) = Pr (0 < Z < ∞) = 0,5 (karena simetris terhadap titik 0, tempat rata-rata Z)

Kegiatan 8.1

Mecermati dan Memahami Kurva Normal

Perhatikan Soal berikut ini :

Pr (0 ≤ X ≤ 1,24) = 0,3925 → Pr Z > 1,24 = 0,5 – 0,3925 = 0,1075

Oleh karena kurva normal simetris, maka

Pr (-1,24 ≤ Z ≤ 0) = 0,3925 dan Pr (Z < -1,24) = 0,50 – 0,3925 = 1,1075

Perhatikan : Nilai 0,3925 terletak merupakan perpotongan antara baris dengan angka 1,2 dengan kolom

dengan angka 0,04. Angka 1,2 setelah digabungkan dengan 0,04 diperoleh angka Z yaitu :

Z = 1,2 + 0,04 = 1,24 (lihat lampiran tabel Normal diperoleh 0,3925)


Pr (-1,5 ≤ Z ≤ 0) = 0,4332 Pr (Z ≤ 2,15) = 0,50 + Pr (0 ≤ Z ≤ 2,15)

Pr Z (-1,5 ≤ Z ≤ 1,5) = 0,4332 + 0,4332 = 0,50 + ...... = 0,9842 = 0,8664

Pr (Z ≥ -1,45) Pr (0,73 ≤ Z ≤ 1,64) = Pr (-1,45 ≤ Z ≤ 0) + 0,50 = Pr (0 ≤ Z ≤ 1,64) - Pr (0 ≤ Z ≤ 0,73) = ...... + 0,5 = 0,9265 = . ........... + ............ = ...

Di dalam persoalan khusus d dalam pengujian hipotesis (testing hypotesis) dan teori

perkiraan interval (interval estimation theory) kita sering harus mencari berapa besarnya nilai Z apabila luas daerah dibawah kurva sudah diketahui.

Misal carilah besaran nilai Z sedemikian rupa sehingga daerah di sebelah kanannya = 10 %

Pr (0 ≤ Z ≤ ? ) = 0,50 - 0,100 = 0,400

Ternyata dari data tabel tidak ada angka 0,4000 tetapi angka yang dekat dengan angka itu yaitu 0,3997 dengan nilai Z sebesar 1,28.

Jadi Z = 1,28 sebesar Pr (0 ≤ Z ≤ 1,28) = 0,3997

Kegiatan 8.2

Meyelesaikan dan Mempresentasikan Berkaitan dengan Distribusi Normal

Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3,750 gr dengan simpangan baku 325 gr. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan :

a) Berapa persen bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gr b) Berapa bayi yang beratnya antara 3.500 gr dan 4.500 gr , jika semuanya ada 10.000 bayi c) Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gr , jika semuanya ada

10.000 bayi d) Berapa bayi yang beratnya 4.250 gr jika semuanya ada 5.000 bayi.

Penyelesaian : X = berat bayi dalam gr, µ = 3.750 gr, σ = 325 gr ,maka :

a) Dengan tranformasi

XZ , untuk x = 4.500 gr

31,2gr 325

gr 3.750gr 4.500

Z (Lihat Daftar F)

Z {(2,3) vertikal, (1) horizontal} = 0, 4896


Berat yang lebih dari 4.500 gr pada grafiknya ada disebelah kanan z = 2,31. Luas daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104.

Jadi ada 1,04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4.500 gr

Grafik Luas daerah

b) Dengan x = 3.500 dan x = 4.500 gr

77,0gr 325

gr 3.750gr ......1

Z dan ...

gr 325

gr ....gr ....2

Z

Daftar F diperoleh 0,2794 dan 0,4896, Luas daerah yang perlu = daerah yang diarsir = 0,2794 + 0,4896 = ...

Banyak bayi yang beratnya antara 3.500 gr dan 4.500 gr diperkirakan ada (0,7690) (10000) = ...

c) Dengan berat kecil atau sama dengan 4.000 g, maka beratnya harus lebih kecil dari

4.000,5

...gr 325

gr 3.750gr .....

Z (Lihat Daftar F)

Daftar F diperoleh 0,2794 Peluang berat bayi lebih kecil atau sama dengan 4.000 gr = 0,5 – ............ = ..............

Jadi banyak bayi = (..............)(.....................)= ........ Sketsa Grafiknya :

..............................................

d) Berat 4.250 gr berat antara 4.249,5 gr dan 4.250,5 gr, jadi : X = ..................... dan x = .........................

...gr 325

gr 3.750gr ......1

Z dan ...

gr 325

gr ....gr ....2

Z

Daftar F diperoleh ......... dan .............., Luas daerah yang perlu = daerah yang diarsir = 0,4382 - 0,4370 = ...

Banyak bayi yang beratnya antara 3.500 gr dan 4.500 gr diperkirakan ada (.............) (............) = ... Sketsa Grafiknya :

...........................................

0,4896


C. MENGUJI HIPOTESIS BERDISTRIBUSI NORMAL

Sebelum mempelajari cara menarik kesimpulan, kita telah mengenal istilah parameter.

Parameter dapat berupa taksiran dari populasi yang akan ditaksir dan diuraikan dalam bentuk rata-rata, simpangan baku dan persen. Taksiran atau penafsiran sebaiknya berupa interval atau selang taksiran yang akan dikenal sebagai arti sempit sebagai derajat kepercayaan/koefisien kepercayaan merupakan pernyataan dalam bentuk peluang. Berdasarkan penaksiran yang dilakukan, lalu kesimpulan dibuat bagaimana atau berapa besar harga parameter itu melalui pengujian hipotesis.

Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. Jika asumsi atau dugaan itu dihususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik. Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar dan karenanya pelu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Untuk pengujian hipotesis, peneitian dilakukan sampel acak diambil, nilai-nilai statistik yang perlu dihitung kemudian dibandingkan menggunakan kriteria tertentu dengan hipotesis.

Jika hasil yang dapat dari penelitian itu, dalam pengertian peluang, jauh berbeda dari hasil yang diharapkan terjadi berdasarkan hipotesis, maka hipotesis ditolak. Jika terjadi sebaliknya, hipotesis diterima. Perlu dijelaskan di sini bahwa meskipun berdasarkan penenlitian kita menerima atau menolak hipotesis, tidak berarti bahwa kita telah membuktikan atau tidak membuktikan kebenaran hipotesis. Yang kita perlihatkan hanyalah menerima atau menolak hipotesis saja.

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama :

Kekeliruan tipe I : ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima

Kekeliruan tipe II : Ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak. Untuk mengingat hubungan antara hipotesis, kesimpulan dan tipe kekeliruan dapat dilihat dalam tabel dibawah ini.

Tabel 8. 1 Tipe Kekeliruan Membuat Kesimpulan Tentang Hipotesis

Kesimpulan Keadaan Sebenarnya

Hipotesis Benar Hipotesis Salah

Terima Hipotesis Benar Keliruan (Tipe II)

Tolak Hipotesis Keliruan (Tipe I) Benar

Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekeliruan itu kita nyatakan dalam

peluang. Menuat peluang tipe I bisa dinyatakan dengan kekeliruan α dan peluang tipe II dnyatakan dengan kekeliruan β. Dalam penggunaanya α disebut taraf signifikan atau taraf nyata/arti. Harga α yang biasa digunakan yaitu α = 0,01 atau α = 0,05. Dengan α = 0,05 arti taraf nyata 5 %, berarti kira-kira 5 dari 100 kesimpulan bahwa kita akan menoloka hipotesis yang seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95 % yakin bahwa kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demkian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf 0,05 yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05. Langkah-langkah Pengujian Hipotesis :

Untuk setiap pengujian dengan α yang ditentukan, besar β dapat dihitung. Harga (1 – β) dinamakan kuasa uji. Ternyata nilai β berbeda untuk harga parameter yang berlainan, Jadi β bergantung pada parameter, katakanlah θ, sehingga didapat β(θ) sebuah fungsi yang bergantung pada θ. Bentuk β(θ) dinamakan fungsi ciri operasi dan 1 – β(θ) disebut fungsi kuasa.


Kalau yang sedang diuji itu parameter θ (dalam penggunaannya nanti θ bisa rata-rata μ, proporsi π, simpangan baku σ dan lain-lain) :

H0 : θ = θ o H1 : θ ≠ θ o Hipotesis yang perumusannya mengandung pengertian

sama atau tidak memiliki perbedaan, disebut hipotesis nol (Ho) melawan hipotesis tandingan (H1) yang mengandung

pengertian tidak sama., lebih besar atau lebih kecil.

H0 : θ = θ o H1 : θ > θ o

H0 : θ = θ o H1 : θ < θ o Langkah selanjutnya kita pilih bentuk statistik mana yang harus digunakan, apakah Uji Z, t,

X, F atau lainnya, Harga statistik yang dipilih dihitung dari data sampel yang dianalisis. Kemudian, berdasarkan pilihan taraf nyata α (ukuran daerah kritis), kriteria pengujian kita tentukan. Peran hipotesis tandingan (H1) dalam menentukan daerah kritis adalah sebagai berikut: 1) Jika tandingan H1 mempunyai perumusan tidak sama, Maka dalam distribusi statistik yang

digunakan normal untuk angka Z, didapat dua daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah ½α. Karena adanya dua darah penolakan ini , maka pengujian hipotesis dinamakan uji dua pihak

Gambar Uji dua pihak

Kriteria Ho diterima jika :

)1()1(2

12

1 ZZZ , dengan )1(2

1 Z didapat dari daftar normal baku.

2) Untuk tandingan H1 mempunyai perumusan lebih besar , maka dalam distribusi statistik yang

digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas daerah kritis penolakan ini sama dengan α.

Gambar Uji pihak kanan

Kriteria Ho ditolak jika :

)5,0( ZZ , dengan )5,0( Z didapat dari daftar normal baku.

Harga d didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang yang ditentukan oleh α, menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan (Ho). Kriteria yang dipakai adalah tolak


Ho jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d. Dalam Hal lain diterima Ho. Pengujian ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan 3) Untuk tandingan H1 mempunyai perumusan lebih kecil, maka dalam distribusi statistik yang

digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kiri. Luas daerah kritis penolakan ini sama dengan α.

Harga d didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang yang ditentukan oleh α, menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan (Ho). Kriteria yang dipakai adalah terima Ho jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel lebih besar dari d. Dalam Hal lain Ho kita tolak. Pengujian ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kiri

Gambar Uji pihak kiri

Kegiatan 8.3

Menguji Hipotesis rata-rata μ, permasalahan berdistribusi Normal dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ

Uji Dua Pihak Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu itu telah berubah. Untuk menentukan hal ini, dilakukan penelitian dengan jalan menuji 50 lampu. Ternyata rata-ratanya 792 jam. Dari pengalaman, diketahui bahwa simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan taraf nyata 0,05 apakah kualitas lampu itu sudah berubah atau belum. Penyelesaian : Dengan memisalkan masa hidup lampu berdistribusi normal, maka kita akan menguji

H0 : μ = 800 jam → Berarti lampu itu masa pakainya sekitar 800 jam H1 : μ ≠ 800 jam → Berarti kualitas lampu telah berubah dan bukan 800 jam lagi

n

XZ

, untuk simpangan baku σ diketahui, ẋ =792, n = 50, σ = 60 jam, μo = 800 jam

94,0....

....

...

....

........

Z

Kriteria dipakai dari daftar normal baku untuk uji dua pihak dengan θ = 0,05 yang memberikan Z (0,475) = 1,96 adalah



Terima Ho jika z hitung terletak antar -1,96 dan 1,96. Dalam hal lain Ho ditolak. Dari penelitin sudah didapat z = -0,94 dan ini jelas terletak dalam daerah penerimaan Ho. Jadi Ho diterima Ini berarti dalam taraf nyata 0,05. Penelitian memperlihatkan bahwa memang masa pakai lampu masih sekitar 800 jam. Jadi belum berubah. Jika dari soal diatas simpangan baku populasi tidak diketahui, dari data sampel didapat s = 55 jam (s = simpangan baku yang dihitung dari sampel) dan n = 50, maka

n

s

Xt

, untuk simpangan baku σ tidak diketahui (Distribusi Student, dengan dk = n – 1)

029,1...

...

...

...

......

t (dengan dk = 49)


Dari daftar distribusi student dengan α = 0,05 dengan dk = 49 untuk uji dua pihak didapat t = 2,01. Kriteria pengujian terima ho jika t hitung terletak antara -2,01 dan 2,01 Sedangkan dalam hal lainnya Ho ditolak. Penelitian menghasilkan t = -1,029 yang jelas terletak dalam daerah penerimaan Uji Satu Pihak Proses pembuatan barang rata-rata meghasilkan 15,7 unit perjam. Hasil produksi mempunyai varians = 2,3. Metode baru diusulkan untuk menganti yang lama jika rata-rata perjam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil resiko 5% untuk mengunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan lebih dari 16 buah. Apakah keputusan si pengusaha. Penyelesaian :


Dengan memisalkan masa hidup lampu berdistribusi normal, maka kita akan menguji

H0 : μ = 16 → Berarti rata-rata hasil metode baru paling tinggi 16. Jika ini terjadi, metode lama masih dipertahankan. H1 : μ > 16 → Berarti rata-rata hasil metode baru lebih dari 16.dan karenanya metode lama dapat diganti.

n

XZ

, ẋ =16,9, n = 20, σ =2,3, μo = 16 buah

65,2....

....

...

....

........

Z

Gambar Uji pihak kanan

Dari daftar normal standar dengan α = 0,05 diperoleh z = 1,64

Keiteria pengujian adalah tolak Ho Jika z hitung lebih kecil dari 1,64 maka Ho diterima.

Dari penelitian didapat z = 2,65 yang jelas jatuh pada daerah kritis. Jadi Ho ditolak. Ini menyimpulkan bahwa metode baru dapat menggantikan metode lama dengan mengambil risiko 5%. Peluang tersebut adalah

P (Z ≥ 2,65 ) = 0,5 – 0,4960 = ...

Ini berarti : Berdasarkan penelitian yang dilakukan. Kesempatan melakukan kekeliruan ketika memutuskan mengambil metode baru adalah 4 dari setiap 1000, Dalam hal ini biasanya dituliskan bahwa peluang P < 0,05 bahkan P < 0,01.

Uji Kompetensi 8.1 1) Dikatakan bahwa dengan menyuntikan semacam hormon tertentu kepada ayam akan

menambah serat telurnya rata-rata dengan 4,5 gram. Sampel acak terdiri atas 31 butir telur

dari ayam yang telah diberi suntikan hormon tersebut memberikan rata-rata 4,9 gram dan

simpangan baku s = 0,8 gram. Cukup beralasan untuk menerima penyataan bahwa

pertambahan rata-rata telur paling sedikit 4,5 gram.

2) Akhir-akhir ini masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih makanan A dalam

kaleng tidak sesuai dengan yang tertulis pada etiketnya sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini,

23 kaleng makanan A telah diteliti secara acak. Dari ke-23 isi kaleng tersebut, berat badan

rata-ratanya 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons. Dengan taraf nyata 0,05, tentukan apa yang

akan kita katakan tentang keluhan masyarakat tersebut.

matematika peminatan xii k.13

Education