PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan NasionaliKhazanahMatematika 3Rosihan Ari Y.Indriyastutiuntuk Kelas XII SMA dan MAProgram BahasaiiPenulis : Rosihan Ari Y.IndriyastutiPerancang kulit : Agung WibawantoPerancang tata letak isi : Agung WibawantoPenata letak isi : BonawanIlustrator : KusdirgoUkuran buku : 17,6 x 25 cmKhazanahMatematikauntuk Kelas XII SMA dan MAProgram Bahasa 3HakCipta Pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undang Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit Wangsa Jatra Lestari, PTDiterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan NasionalTahun2009Diperbanyakoleh ....510.07 ROSROSIHAN Ari Y k Khazanah Matematika 3 : untuk Kelas XII SMA / MA Program Bahasa / penulis, Rosihan Ari Y, Indriyastuti ; ilustrator, Kusdirgo. . --Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2009. vi, 186 hlm, : ilus. ; 25 cm Bibliografi : hlm. 173-174 Indeks ISBN 978-979-068-858-2 (No. Jil Lengkap)ISBN 978-979-068-863-6

1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul II.IndriyastutiIII. Kusdirgo http://belajaronlinegratis.combukubse@belajaronlinegratis.comiiiSambutaniiiPujisyukurkamipanjatkankehadirat AllahSWT,berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2009, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluas-kan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.BukutekspelajaraninitelahdinilaiolehBadanStandar NasionalPendidikandantelahditetapkansebagaibukuteks pelajaranyangmemenuhisyaratkelayakanuntukdigunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidi-kanNasionalNomor81Tahun2008Tanggal11Desember 2008.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hakciptakaryanyakepadaDepartemenPendidikanNasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepadaDepartemenPendidikanNasionalini,dapatdiunduh (download),digandakan,dicetak,dialihmediakan,atau difotokopiolehmasyarakat.Namun,untukpenggandaanyang bersifatkomersialhargapenjualannyaharusmemenuhiketen-tuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan gurudiseluruhIndonesiamaupunsekolahIndonesiayang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.Kamiberharap,semuapihakdapatmendukungkebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan man-faatkanlahbukuinisebaik-baiknya.Kamimenyadaribahwa bukuinimasihperluditingkatkanmutunya.Olehkarenaitu, saran dan kritik sangat kami harapkan.Jakarta, Juni 2009Kepala Pusat PerbukuanPrakataPenulis mengucapkan selamat kepada kalian yang telah naikke kelas XII Program Bahasa. Tentu kalian sangat bangga. Semogakalian terpacu untuk lebih semangat lagi dalam belajar. Teruslahrajin belajar, gigih, pantang menyerah, dan jangan lupa berdoakepada Tuhan agar cita-cita kalian tercapai. Ingat, sebentar lagikalian akan menghadapi ujian nasional. Apalagi bagi kalian yangakan melanjutkan ke jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Kalianakan menghadapi ujian yang diadakan perguruan tinggi tersebut.Kalian harus lebih giat lagi dalam belajar sehingga menjadi orangyang sukses dan membanggakan.Buku Khazanah Matematika ini akan membantu kalian dalammempelajarimatematika.Bukuinidisusundenganurutanpenyajian sedemikian rupa sehingga kalian akan merasa senanguntukmendalaminya.Bukuiniakanmembantukaliandalambelajar. Dalam pembelajarannya, buku ini menuntut kalian untukaktif dan bertindak sebagai subjek pembelajaran. Kalian dituntutuntukmengobservasi,mengonstruksi,mengeksplorasi,danmenemukan sendiri konsep-konsep matematika sehingga kalianakan menjadi orang yang dapat berpikir kritis, kreatif, dan inovatif.Di kelas XII Program Bahasa ini, kalian akan mempelajarimateri-materi berikut: Program Linear Matriks Barisan dan DeretPenulisberharapsemogabukuinidapatmembantukaliandalammempelajarikonsep-konsepmatematika.Akhirnya,semoga kalian sukses.Solo, Februari 2008PenulisDaftar IsiPrakata iiiSambutan iiiDaftar Isi ivBab I Program LinearA. Sistem Pertidaksamaan Linear3B. NilaiOptimumSuatuFungsiObjektif13Rangkuman22Tes Kemampuan BabI23Semester 1Bab II MatriksA. Pengertian,Notasi,danOrdoMatriks31B. Kesamaan Dua Matriks40C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks43D. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks50E. Perkalian Matriks55F. Invers Suatu Matriks62G. Penyelesaian Sistem Persamaan Lineardengan Matriks78Rangkuman88Tes Kemampuan BabII89Latihan Ulangan Umum Semester 195vviBab III Barisan dan DeretA. Barisan dan Deret 103B. Barisan dan Deret Aritmetika 107C. Barisan dan Deret Geometri 117D. Penerapan Konsep Barisan danDeret 132E. Notasi Sigma 136F. Deret dalam Hitung Keuangan(Pengayaan) 145Rangkuman 161Tes Kemampuan Bab III 162Latihan Ujian Nasional 167Semester 2Daftar Pustaka 173Lampiran 175Glosarium183Indeks Subjek 185Kunci Soal-Soal Terpilih 1861 Program LinearProgram LinearI BabTujuan PembelajaranSetelahmempelajaribabini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskansistempertidaksamaanlinearduavariabeldanpe-nyelesaiannya;2. menentukanfungsitujuan (fungsi objektif)besertakendalayangharusdipenuhidalammasalah program linear;3. menggambarkanken-dalasebagaidaerahpada bidang yang me-menuhisistemper-tidaksamaan linear;4. menentukannilaiop-timum dari fungsi tujuansebagaipenyelesaiandari program linear;5. menafsirkan nilai opti-mumyangdiperolehsebagaipenyelesaianmasalah program linear.MotivasiParapedagangataupengusahatentuinginmemperolehkeuntungan maksimum. Sebelum melakukan transaksi ataupunpengambilan keputusan dalam usahanya, mereka pasti membuatperhitunganyangmatangtentanglangkahapayangharusdilakukan. Oleh karena itu, diperlukan metode yang tepat dalampengambilan keputusan pedagang atau pengusaha tersebut untukmemperolehkeuntunganmaksimumdanmeminimumkankerugian yang mungkin terjadi.Sumber: Dokumen Penerbit2 Khaz Matematika SMA 3 BhsmembahasProgram LinearPertidaksamaan Linear bahasa matematika model matematika pertidaksamaan linear garis selidik nilai objektif pertidaksamaan kendala optimasi program linear maksimum optimum sistem pertidaksamaan minimum pembatas uji titik sudutMetodeGaris SelidikUjiTitik SudutSistemPertidaksamaan LinearBahasaSehari-hariModelMatematikaNilaiOptimumditerjemahkandalamditentukanmelaluiKata KunciPeta Konsep3 Program LinearPadapokokbahasankaliini,kitaakanmembahassuatumetodeuntukmengoptimalkan(memaksimumkan/memini-mumkan) keuntungan atau biaya, yaitu program linear. Programlinear banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnyadalam bidang ekonomi, perdagangan, dan pertanian.Untuk mempelajari program linear, mari kita ingat kembalitentang cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaanlinear dua variabel.Sebelum kalian mempelajari lebih jauh tentang materi ini,untukmengingatkankaliantentangpersamaandanpertidaksamaan linear, jawablah pertanyaan berikut.Setelahmempelajaribabini,diharapkankaliandapatmerumuskan masalah nyata ke dalam model matematika sistempertidaksamaanlinear,menyelesaikan,danmenafsirkanhasilyang diperoleh.A. Sistem Pertidaksamaan Linear1. Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPada pembahasan kali ini, kita akan menentukan penyelesaiansistempertidaksamaanlineardenganduavariabelmenggunakanmetode grafik. Metode grafik dimaksudkan untuk melihat secaravisual gambaran tentang daerah penyelesaian dari pertidaksamaanlinearyangberbentukaljabar.Karenasecaraumumgrafikpertidaksamaan linear seperti ax + by ~ c, ax + by > c, ax + by < c,dan ax + by s c berupa daerah yang dibatasi oleh garis ax + by = cmaka langkah-langkah dalam mengambar grafik pertidaksamaanlinear adalah:a. menggambar grafik garis ax + by = c sebagai batas daerah-nya;b. menyelidikidaerahpenyelesaianyangdimaksudapakahberada di sebelah kiri, sebelah kanan, di atas, atau di bawahgaris batas yang telah dilukis.PrasyaratKerjakan di bukutugas1. Apa yang kalian ketahui tentang persamaan linear, sistempersamaanlinear,pertidaksamaanlinear,dansistempertidaksamaan linear?2. Gambarlah grafik fungsi 2x + 3y = 6. Kemudian arsirlahhimpunan penyelesaian dari 2x +3y ~ 6.4 Khaz Matematika SMA 3 Bhsx 0 ...y ... 0(x, y) (0, ...) (..., 0)Suatuhalyangharusdiingatdalammenggambargrafiksebuah garis adalah menentukan dua titik sembarang pada garisitu kemudian menghubungkannya dengan sebuah garis lurus,sedangkanduatitiksembarangyangmudahperhitungannyaadalah titik potong garis ax + by = c dengan sumbu X dan titikpotong garis dengan sumbu Y. Titik potong dengan sumbu Xmempunyai bentuk (..., 0), yakni dicapai saat nilai y = 0, dantitik potong dengan sumbu Y mempunyai bentuk (0, ...), yaknidicapai saat nilai x = 0.Dari alasan-alasan di atas maka untuk menggambar daerahpenyelesaian pertidaksamaan linear adalah sebagai berikut.a. Gambarlah grafik garis lurus pembatasnya dengan mengisiformat berikut.b. Menyelidiki daerah yang merupakan penyelesaian denganmengambil salah satu titik yang mudah, yaitu (0, 0).Perhatikan contoh-contoh berikut.Contoh 1:Gambarlah daerah himpunan penyelesaian linear berikut padabidang Cartesius.a. 3x + 2y~6, dengan x, y Rb. 2x + y > 4, dengan x, y RJawab:a. 3x + 2y~6, dengan x, y RUntuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaanlineardiatas,langkah-langkahpengerjaannyaadalahsebagai berikut.1) Menggambar grafik garis lurus pembatasnyaa) Titik potong dengan sumbu X, berarti y = 0. Kita ubahpertidaksamaanmenjadipersamaan3x+2y=6sehingga 3x + 2(0) = 6= 3x = 6= x = 2.Jadi,titikpotonggrafikdengansumbuXadalah(2, 0).b) Titik potong dengan sumbu Y, berarti x = 0. Kita ubahpersamaan menjadi3x + 2y = 6= 3(0) + 2y = 6= 2y = 6= y = 3.Jadi, koordinat titik potong grafik dengan sumbu Yadalah (0, 3).PerhatianPada buku ini, kita tetapkanbahwadaerahhimpunanpenyelesaian pertidaksama-anadalahdaerahyangdiarsir,sedangkandaerahyangtidakdiarsirbukandaerah penyelesaian pertidak-samaan.5 Program LinearHal tersebut dapat disajikan dengan tabel berikut.Grafik 3x + 2y = 6 dapat diperoleh dengan membuatgarisyangmenghubungkankoordinat(0,3)dan(2, 0) seperti pada Gambar 1.1 (a).2) Menyelidiki daerah penyelesaianGambar1.1(a)merupakangrafikhimpunanpenyelesaianuntukpersamaan3x+2y=6.Tampakbahwa garis 3x + 2y = 6 membagibidangCartesiusmenjadiduadaerah,yaituatas(kanan)garisdanbawah(kiri)garis.Untukmenentukandaerahhimpunan penyelesaian 3x + 2y ~6, ambil sembarangtitik,misalnya(0,0)dansubstitusikankedalampertidaksamaan linear 3x + 2y ~6 sehingga diperoleh3(0) + 2(0)~6= 0~6 (pernyataan salah)Karena titik (0, 0) terletak di bawah (kiri) garis dansetelahkitasubstitusikankepertidaksamaanitu,diperoleh pernyataan yang salah maka titik (0, 0) tidakberadapadadaerahpenyelesaian.Jadi,daerahpenyelesaiannyaadalahdaerahyangdiberiarsiran,seperti pada Gambar 1.1 (b).b. 2x + y > 4, x, y RLangkah-langkah untuk menentukan daerah penyelesaianadalah sebagai berikut.1) Menggambar grafik garis lurus pembatasnyaDengan cara seperti di atas, diperoleh sebagai berikut.Untuk x = 0 maka 2(0) + y = 4= y = 4.Untuk y = 0 maka 2x + 0 = 4= x = 2x 0 2y 3 0(x, y) (0, 3) (2, 0)YX O32YX O32(a)(b)3x + 2y ~ 63x + 2y = 6Gambar 1.1Jadi,titikpotongdengansumbukoordinatadalah(0, 4) dan (2, 0). Gambarnya terlihat pada Gambar1.2 (a).x 0 2y 4 0(x, y) (0, 4) (2, 0)6 Khaz Matematika SMA 3 Bhs2) Menyelidiki daerah penyelesaianUntuk menentukan daerah himpunan penyelesaian per-tidaksamaan, kita ambil titik (0, 0). Dengan menyubsti-tusikan titik (0, 0) pada pertidaksamaan maka diperoleh2(0) + 0 > 4= 0 > 4.Terlihat bahwa pernyataan 0 > 4 benar. Berarti, titik(0, 0) berada pada daerah penyelesaian, sedangkan garis2x + y = 4 tidak memenuhi pertidaksamaan sehinggadigambar putus-putus. Oleh karena titik (0, 0) berada diatas garis 2x + y = 4 maka daerah di atas garis diberiarsiran. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerahyang diarsir, seperti pada Gambar 1.2 (b).Grafiknya dapat ditampilkan sebagai berikut.(a) (b)YX O 242x + y = 4YX O2x + y > 442Gambar 1.2Kuis Kerjakan di buku tugasDaerahyangdiarsirpadagambar berikut adalah him-punan penyelesaian dari....O242 1 3 XYa. x ~ 0; 4x + y ~ 4;x + y s 2b. x ~ 0; 4x + y s 4;x + y ~ 2c. x ~ 0; 4x + y > 4;x + y < 2d. x ~ 0; x + 4y > 4;x + y < 2e. x ~ 0; x + 4y s 4;x + y ~ 2Ebtanas 1997Contoh 2: Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhisistem pertidaksamaan berikut.a. x~0; y~0; 2x + ys4; x, y Rb. x~0; y~0; xs3; x + ys5; x, y RJawab:a. x~0; y~0; 2x + ys41) Kitacarititikpotong2x+y=4dengansumbukoordinat Cartesius.x 0 2y 4 0(x, y) (0, 4) (2, 0)Untuk x = 0- 2(0) + y = 4= y = 4.Untuk y = 0- 2x + 0 = 4= 2x = 4= x = 2.Jadi, diperoleh titik potong (0, 4) dan (2, 0).7 Program LinearYX O42(0, 4)(2, 0)Gambar 1.32) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut tampakpada gambar di samping.Pada grafik di samping,a) penyelesaianx~ 0tersebutberadadisebelahkanansumbuYmakayangkitaarsiradalahdaerah tersebut;b) penyelesaian y ~0 terletak di sebelah atas sumbuX maka kita arsir daerah tersebut;c) untuk menyelidiki daerah himpunan penyelesaiandari pertidaksamaan 2x + ys4 maka ambil titik(0,0),kemudiansubstitusikanke2x+ys 4sehingga diperoleh 2(0) + 0s4= 0s4.Terlihatpernyataandiatasbenar.Jadi,titik(0,0)berada di dalam daerah penyelesaian sehingga daerahdi mana titik (0, 0) berada, yaitu di bawah garis 2x + y= 4 kita arsir.Dari ketiga himpunan penyelesaian yang diperoleh,dapat disimpulkan bahwa daerah penyelesaian dari sistempertidaksamaan linear itu adalah irisan atau interseksi dariketigahimpunanpenyelesaianpertidaksamaantersebut.Jadi, daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian darisistempertidaksamaanlinear,sepertiterlihatpadaGambar 1.3.b. x~0; y~0; xs3; x + ys5; x, y R1) Kitacarititikpotongx+y=5dengansumbukoordinat Cartesius.x 0 5y 5 0(x, y) (0, 5) (5, 0)Untuk x = 0- 0 + y = 5= y = 5Untuk y = 0- x + 0 = 5= x = 5Jadi, diperoleh titik potong (0, 5) dan (5, 0)2) Grafik sistem pertidaksamaan linear tersebut adalahsebagai berikut.Dari Gambar 1.4, tampaka) penyelesaianx~ 0adalahdaerahdisebelahkanan sumbu Y (daerah arsiran);b) penyelesaian y ~0 terletak di sebelah atas sumbuX (daerah arsiran);8 Khaz Matematika SMA 3 Bhsc) penyelesaian xs3 adalah daerah di sebelah kirigaris x = 3;d) penyelesaian pertidaksamaan x + ys5 adalahdaerah di sebelah kiri (bawah garis x + y = 5);e) titikpotonggarisx=3danx+y=5denganmenyubstitusikan x = 3 ke persamaan x + y = 5sehingga diperoleh y = 2. Jadi, titik potongnyaadalah (3, 2).Dengandemikian,himpunanpenyelesaiandarisistem pertidaksamaan x~0, y~0, xs3, dan x + ys5denganx,yRadalahdaerahsegiempatOABCyangdiarsir, seperti terlihat pada Gambar 1.4.2. Model MatematikaProgramlinearadalahsalahsatubagiandarimatematikaterapan yang berisikan pembuatan program untuk memecahkanberbagaipersoalansehari-hari.Persoalan-persoalanitumengandung kendala atau batasan yang dapat diterjemahkan kedalam model matematika. Model matematika adalah suatu hasilpenerjemahan dari bahasa sehari-hari menjadi bentuk matematikaberupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.Jadi,programlineartersusunatassistempertidaksamaanlinear.Penyelesaiandaripertidaksamaanlinearberupadaerahhimpunan penyelesaian. Di antara penyelesaian tersebut, terdapatpenyelesaianterbaikyangdisebutpenyelesaianoptimum.Penyelesaian optimum dapat berupa nilai maksimum atau nilaiminimumdarisuatufungsiyangdinamakanfungsiobjektif,fungsi sasaran atau fungsi tujuan. Untuk memahami lebih lanjuttentangprogramlineardanmodelmatematika,perhatikanAktivitas berikut.YX Ox = 35C(0, 5)A(3, 0)B(3, 2)5x + y = 5Gambar 1.4AktivitasTujuan : Menentukanmodelmatematikadariperistiwakehidupansehari-harisertamenyelesaikannya.Permasalahan : Bagaimanacaramerumuskandalambahasa matematika dan menyelesaikannyajika permasalahan disajikan dalam bentukperistiwa sehari-hari?9 Program LinearKegiatan : Simaklah persoalan berikut.Suatuperusahaanprodusenmebelmemproduksi dua jenis produk, yaitu mejamakandanlemari.MejamakandijualdenganhargaRp650.000,00danlemaridijualdenganhargaRp1.100.000,00.Perusahaan itu memiliki target sebanyak500unitmebelproduknyaharusterjualdalamperiodeitu.Untukmemproduksisatu unit meja makan, diperlukan waktu2hari,sedangkanuntukmemproduksisatu unit lemari, diperlukan waktu 5 hari.Waktu yang disediakan 150 hari. Berapabanyak meja makan dan lemari yang harusdiproduksiolehperusahaanituagarpendapatannya maksimum?1. Misalkanbanyakmejamakandanlemariyangdiproduksidalamsuatuvariabel.Misalnya,banyakmejamakan = x dan banyak lemari = y.2. Susunlah pertidaksamaan-pertidaksama-an yang sesuai dengan kasus di atas.a. Susunpertidaksamaanyangmemuat banyak unit mebel yangdiproduksi perusahaan itu.b. Susunpertidaksamaanyangmemuatwaktudalamprosesproduksinya.c. Susunsyaratbahwabanyakunitadalah bilangan cacah.3. Susunlahsuatufungsiyangakandimaksimumkan nilainya.4. Dari pertidaksamaan-pertidaksamaanyangkalianperoleh,membentuksistempertidaksamaan.Gambarkandalam bentuk grafik. Arsirlah daerahyangmemenuhisistempertidak-samaan.5. Bentukapakahdaerahhimpunanpenyelesaiannya (dalam grafik)?6. Selidiki titik-titik sudutnya, dengan caramenyubstitusikan titik-titik itu ke dalamfungsi yang akan dimaksimumkan.7. Darilangkah6,berapakahjawabandari permasalahan ini?Kesimpulan : Apa yang dapat kalian simpulkan?TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugasMisalkan seorang pedagangsepatumemilikimodalRp8.000.000,00.Diaakanmerencanakan membeli duajenissepatu,yaitusepatujenisIdanjenisII.Hargabeli sepatu jenis I Rp20.000,00per pasang dan sepatu jenisII Rp16.000,00 per pasang.KeuntungandaripenjualansepatujenisIdanjenisIIberturut-turutadalahRp9.000,00 dan Rp8.500,00perpasang.Mengingatkapasitaskiosnya,iaakanmembelimaksimal450pasangsepatusaja.Bagai-manamodelmatematikaprogramlineardarikasusini?10 Khaz Matematika SMA 3 BhsSetelahmelakukanAktivitasdiatas,tentukaliandapatmembayangkanpermasalahansehari-harikedalambahasamatematika.Agarkalianlebihjelas,pelajaricontoh-contohberikut.Contoh 1: Linda membeli 3 kue A dan 2 kue B di supermarket. Oleh karenaitu,LindaharusmembayarRp3.400,00,sedangkanWatimembeli2kueAdan3kueBsehinggaiaharusmembayarRp3.100,00. Jika harga sebuah kue Adan sebuah kue B masing-masing x rupiah dan y rupiah, buatlah model matematika darimasalah tersebut.Jawab:Misalkan harga sebuah kue Aadalah x dan harga sebuah kueB adalah y.Untuk memudahkan pembuatan model matematika, kita buattabel seperti tabel berikut.Nama Kue A Kue B HargaLinda 3 2 3.400Wati 2 3 3.100BerdasarkanjumlahuangyangdibayarkanLindamakadiperoleh3x+2y=3.400,sedangkanberdasarkanjumlahuang yang dibayarkan Wati, diperoleh 2x + 3y = 3.100. Karenax dan y menunjukkan harga barang maka nilai x dan y harusberupa bilangan real non-negatif sehingga x ~0, y ~0; x, y R.Jadi, model matematika dari masalah di atas adalah3x + 2y = 3.4002x + 3y = 3.100x~0, y~0x, y RContoh 2:Luas lahan parkir 360 m2. Luas rata-rata untuk sebuah mobil 6 m2danuntuksebuahbus24m2.Lahanparkiritutidakdapatmemuat lebih dari 25 kendaraan. Buatlah model matematikadari masalah tersebut.Jawab:Misalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y.Masalah tersebut dapat disajikan dalam tabel berikut.11 Program LinearDari tabel tersebut, diperoleh hubungan sebagai berikut.6x + 24y s 360 x + y s25Karena x dan y menunjukkan banyaknya mobil dan bus makax dan y harus berupa bilangan cacah.Jadi, model matematika dari masalah tersebut adalah6 24 360250x yx yx yx y C+ s+ s~||||||,,Jumlah Mobil (x) Bus (y) PersediaanLuas Lahan 6 24 360Daya Tampung 1 1 25Tugas: Observasi Kerjakan di buku tugasBuatlahsuatuhimpunanpenyelesaianyangdibatasioleh 7 buah garis. Tentukansistempertidaksamaanli-near yang membatasi daerahtersebut.Dapatkahkalianmembuatdaerahhimpunanpenyelesaianyangyangdibatasilebihdari7buahgaris?Jikaya,buatlahcontohnya.Soal Kompetensi 1 Kerjakan di buku tugas1. Gambarlahhimpunanpenyelesaianpertidaksamaanberikut.a. xs5 d. 3x 4ys18b. y > 3 e. 4x 7y~42c. x + ys4 f. 8x 5y < 402. Gambarlahhimpunanpenyelesaiansistempertidak-samaan linear berikut pada bidang Cartesius.a. x~0 c. y~0y~0 x y~05x + 3y < 15 x + y~6b. x, y~0 d. x + y 10s0x~2 6x + 3ys18xs5 2 < xs7x y~0 y~03. Gambarlahhimpunanpenyelesaiansistempertidak-samaan linear berikut pada bidang Cartesius.a. x + 2y 10s 10x + y 7s 0x~ 0, y~ 0x, y Rb. 3x + y~ 95x + 4ys 20x~ 0y~ 0x, y Rc. x + ys 6x~ 2y~ 0x, y Rd. 2x + ys2x + 2y~ 2x, y~ 0x, y R12 Khaz Matematika SMA 3 Bhs4. Togar membeli 3 buku tulis dan 8 pensil. Ia diharuskanmembayar Rp8.200,00. Ucok membeli 4 buku tulis dan 5pensildanharusmembayarRp7.800,00.Jikaxdanymasing-masing harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil,buatlah model matematika dari masalah tersebut.5. Seorang petani ingin menanami lahannya dengan pohonjeruk dan pohon mangga. Luas lahan yang tersedia 160m2.Luasrata-ratauntuksebuahpohonjerukdanpohonmangga masing-masing 1 m2 dan 1,5 m2. Lahan itu dapatmemuat sebanyak-banyaknya 70 pohon. Buatlah modelmatematikanya.6. BuNinamembuatduajeniskue,yaitukuejenis Ayangmemerlukan25gtepungdan10ggula,sedangkankuejenisBmemerlukan20gtepungdan15ggula.Jumlahtepung dan gula yang ia miliki masing-masing 1.000 g dan800 g. Bu Nina ingin membuat kue sebanyak-banyaknya.Buatlah model matematikanya.7. Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobakmenjual mangga dan apel. Harga pembelian mangga danapelRp750.000,00.Muatangerobaknyatidakdapatmelebihi 4 kuintal. Jika keuntungan tiap kilogram mangga3kalikeuntungantiap4kgapeldanpenjajaituinginmendapatkeuntungansebanyak-banyaknya,buatlahmodel matematikanya.8. Pak Hendra mempunyai 120 m bahan wol dan 80 m bahankatun.Bahan-bahanituakandibuatduamodelpakaian.Setiap pakaian model I memerlukan 3 m bahan wol dan 1 mbahankatun.SetiappakaianmodelIImemerlukan2mbahanwoldan2mbahankatun.Misalkanbanyaknyapakaian model I x buah dan banyakan pakaian model IIadalah y buah. Buatlah model matematikanya.9. Seorang pengusaha sepeda ingin membeli sepeda balapdan sepeda gunung sebanyak 30 buah untuk persediaan.Harga sebuah sepeda balap Rp1.500.000,00 dan sepedagunungRp1.750.000,00.Tentukanmodelmatematikauntuk permasalahan di atas.10. Sebuahpabrikobatberencanamembuat2jenisobatsuplemen, yaitu obat I dan obat II, yang masing-masingmengandung vitamin A, B, dan C. Persediaan vitamin A,vitaminB,danvitaminCyangdimilikipabriktersebutmasing-masing 10 gram, 5 gram, dan 15 gram. Jika obat Imemerlukan75mgvitaminA,150mgvitaminB,dan200 vitamin C, sedangkan obat II memerlukan vitamin A,B,danCmasing-masing100mg,125mg,dan225mgmakatentukanmodelmatematikadaripermasalahandiatas.TantanganEksplorasi Kerjakan di buku tugasMisalkan P adalah himpun-antitikyangdibatasiolehgaris g : 2x + y = 2; h : y =x + 1; dan sumbu Y positif.Tentukanprogramlinearyang memenuhi P.SPMB 200513 Program LinearB. Nilai Optimum Suatu Fungsi ObjektifSeperti yang telah disebutkan di depan, suatu permasalahandapat dituliskan dalam bahasa matematika. Suatu permasalahantentu mempunyai bentuk penyelesaian yang optimum.Jendela InformasiInformasi lebih lanjutGeorge Bernard DantzigMasalahpengambilankeputusanbiasanyamencakupfaktor-faktorpentingyangtidakberwujuddantidakdapatditerjemahkansecaralangsung ke bentuk model matematis. Dalam halini, kehadiran manusia sangat menentukan hampirdisetiaplingkungankeputusan.Darihasilpenelitiandilaporkanbahwaperilakumanusiabegitumemengaruhimasalahpengambilankeputusansehinggapemecahanyangdiperolehdari model matematis dipandang tidak praktis.Secara umum, tahap-tahap yang harus dilakukandalammodelisasidanoptimasisolusisuatumasalahadalahmeliputi:(1)pendefinisianmasalah, (2) merumuskan model, (3) memecahkanmodel,(4)pengujiankeabsahanmodel,dan(5)implementasi hasil akhir.George BernardDantzigPermasalahandiataserathubungannyadenganpemrogramanlinear.Permasalahanmengenaikasus-kasuspemrogramanlineardapatdiselesaikandenganmenggunakanmetodesimpleks,yangmerupakansalahsatucarauntukmenyelesaikankasus-kasuspemrogramanlinear.Kendalanya adalah penyelesaian dengan cara ini jika dikerjakan secaramanual, memerlukan waktu yang cukup lama. Sekarang metode ini sudahdikembangkandalamsuatuprogram,yaituQSB.Metodesimpleksditemukan oleh George Bernard Dantzig. Carilah informasi tentang pro-gram ini. Apakah metode simpleks dalam program ini cukup efektif untukpenyelesaian program linear?Sumber: www.mate-mati-kaku.comSumber: news-service.stanford.edu1. Fungsi Objektif z = ax + byFungsitujuandalampembuatanmodelmatematikadinyatakan dalam bentuk z = ax + by. Bentuk z = ax + by yangakandioptimumkan(dimaksimumkanataudiminimumkan)tersebut disebut juga fungsi objektif. Jadi, fungsi objektif dariprogramlinearadalahfungsiz=ax+byyangakanditentukan nilai optimumnya. Misalnya sebagai berikut.14 Khaz Matematika SMA 3 Bhsa. Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + yKendala: 5x + 4ys20x + 2ys24x, y~0, dengan x, y Cb. Fungsi objektif: meminimumkan z = 2x + 3yKendala: x + ys5004x + 2ys200x, y~0x, y CDari uraian yang telah diberikan, kita dapat mengetahui tujuanutamadariprogramlinear,yaitumenentukannilaioptimum(maksimum/minimum)darisuatufungsiobjektif.Untukmenyelesaikan masalah program linear yang berhubungan dengannilaioptimum,langkah-langkahpemecahannyaadalahsebagaiberikut.a. Merumuskan permasalahan ke dalam model matematika.b. Membentuk sistem pertidaksamaan linear yang sesuai.c. Menggambarkan kendala sebagai daerah di bidang Cartesiusyang memenuhi sistem pertidaksamaan linear.d. Menentukannilaioptimum(maksimum/minimum)darifungsi objektif.e. Menafsirkan/menjawab permasalahan.Berkaitan dengan hal tersebut, ada dua metode yang dapatdigunakan untuk menentukan nilai optimum dari program linear,yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik.a. Metode Uji Titik SudutMetodeujititiksudutadalahsuatumetodeuntukmenentukannilaioptimumdaribentukobjektifz=ax+bydengan cara menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titiksudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian pertidak-samaan linear dua variabel, kemudian membandingkan nilai-nilaiyang telah diperoleh. Nilai yang paling besar merupakan nilaimaksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang paling kecilmerupakan nilai minimum dari z = ax + by.2. Menentukan Nilai Optimum Fungsi ObjektifContoh 1:Tentukan nilai optimum dari model matematika berikut.Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + yKendala: 3x + 2ys12x, y~0x, y R15 Program LinearYX OA(4, 0)B(0, 6)3x + 2y = 12Gambar 1.5x 0 4y 6 0(x, y) (0, 6) (4, 0)Jawab:Titikpotonggaris3x+2y=12dengansumbukoordinatdisajikan dalam tabel berikut.Jadi, diperoleh titik potong koordinat (0, 6) dan (4, 0).Kemudian,kitalukispadabidangkoordinatdankitahubungkan dengan sebuah garis lurus. Setelah itu, tentukandaerah penyelesaian dari kendala-kendala yang tersedia.Dari Gambar 1.5, terlihat daerah penyelesaian dari kendala-kendala adalah daerah segitiga OAB, sehingga diperoleh titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah O(0, 0), A(4, 0),dan B(0, 6).Selanjutnya,selidikinilaibentukobjektifz=x+yuntukmasing-masing titik sudut tersebut.[Titik O(0, 0) A(4, 0) B(0, 6)x 0 4 0y 0 0 6z = x + y 0 4 6 z maksDari tabel di atas, nilai maksimum bentuk objektif z = x + yadalah 6, yaitu untuk x = 0 dan y = 6.Contoh 2:Diketahui suatu model matematika sebagai berikut.Fungsi objektif: meminimumkan z = 8x + 10yKendala-kendala: 5x + 4y~209x + 8ys72x, y~0x, y CTentukan nilai minimum dari model matematika tersebut.Jawab:Dari kendala-kendala yang ada, yaitu 5x + 4y~20 dan 9x +8y s72, kita tentukan titik potong garis-garis tersebut dengansumbu-sumbu koordinat Cartesius.16 Khaz Matematika SMA 3 Bhsx 0 8y 9 0(x, y) (0, 9) (8, 0)x 0 4y 5 0(x, y) (0, 5) (4, 0)Dari kedua tabel di atas, tentu kalian memperoleh titik potongdengan sumbu-sumbu koordinat.Kemudian,kitalukispadabidangkoordinatdankitahubungkantitik-titikpotongtersebutdengangarislurus.Setelah itu, kita arsir daerah penyelesaiannya, seperti gambardi samping.Darigambardisamping,terlihatdaerahpenyelesaiannyaadalah segi empat ABCD. Dengan demikian, diperoleh titik-titik sudut dari daerah penyelesaian adalah A(4, 0), B(8, 0),C(0,9),danD(0,5).Selanjutnya,akandiselidikinilai8x+10y untuk masing-masing titik sudut tersebut.Titik A(4, 0) B(8, 0) C(0, 9) D(0, 5)x 4 8 0 0y 0 0 9 5z = 8x + 10y 32 64 90 50z min z maks[ [YX O A(4, 0)C(0, 9)D(0, 5)B(8, 0)Gambar 1.6Daritabeldiatas,terlihatbahwanilaiminimumbentukobjektif z = 8x + 10y adalah z = 32, yaitu untuk x = 4 dan y = 0.TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugasUntuk menghasilkan barangjenis A seharga Rp500.000,00memerlukan bahan baku 20 kgdanwaktukerjamesin24jam.BarangBsehargaRp700.000,00memerlukanbahan baku 30 kg dan waktukerjamesin18jam.Bera-pakah nilai maksimum darimasing-masing jenis barangyangdapatdibuatselama720 jam waktu kerja mesindan 750 kg bahan baku?Contoh 3:Diketahui luas lahan parkir 360 m2. Untuk sebuah mobil dansebuah bus, berturut-turut membutuhkan lahan 6 m2 dan 24 m2.Daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan.Tentukan jumlah maksimum yang diterima tukang parkir jikabiaya parkir untuk sebuah mobil Rp1.500,00 dan sebuah busRp3.000,00.Jawab:Terlebihdahulukitaterjemahkanpermasalahantersebutkedalam model matematika dengan cara membuat tabel sepertiberikut.Mobil (x) Bus (y) PersediaanLuas Lahan 6 24 360Daya Tampung 1 1 30Biaya Parkir 1.500 3.00017 Program LinearMisalkan banyak mobil adalah x dan banyak bus adalah y. Daritabel di atas dapat dibuat model matematika berikut.Fungsi objektif: memaksimumkan z = 1.500x + 3.000yKendala: 6x + 24ys360 atau x + 4ys60x + ys30x~0y~0x, y CKita tentukan titik potong garis x + 4y = 60 dan x + y = 30dengan sumbu koordinat Cartesius, seperti terlihat pada keduatabel berikut.x 0 30y 30 0(x, y) (0, 30) (30, 0)x 0 60y 51 0(x, y) (0, 15) (60, 0)Kitabuatdaerahhimpunanpenyelesaiankendala-kendaladalam bidang Cartesius.Kita tentukan titik potong antara dua garis dengan eliminasi.x + 4y = 60x + y = 30 3y= 30= y = 10TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugasMisalkanseseorangpe-dagangsepatumemilikimodal Rp8.000.000,00. Diaakan merencanakan membeliduajenissepatu,yaitusepatujenisIdansepatujenisII.HargabelisepatujenisIRp20.000,00perpasangdansepatujenisIIRp16.000,00perpasang.KeuntungandaripenjualansepatujenisIdansepatujenis II berturut-turut adalahRp9.000,00 dan Rp8.500,00perpasang.Mengingatkapasitaskiosnya,iaakanmembelimaksimal450pasangsepatusaja.Bagai-manamodelmatematikaprogramlineardarikasusini?Gambar 1.7YX OB(20, 10)603015CAx + 4y = 6030x + y = 30Denganmenyubstitusikany=10kesalahsatupersamaan,diperoleh x = 20. Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah(20, 10).Darigambardiatas,terlihatdaerahpenyelesaiannyamem-punyai empat titik sudut, yaitu O(0, 0), A(30, 0), B(20, 10), danC(0, 15). Selanjutnya, kita selidiki nilai objektif z = 1.500x +3.000yuntukmasing-masingtitiksudut.Perhatikantabelberikut.18 Khaz Matematika SMA 3 Bhsb. Metode Garis Selidik ax + by = kCaralainyanglebihsederhanauntukmenentukannilaimaksimum atau minimum dari fungsi objektif z = ax + by adalahdengan menggunakan garis selidik ax + by = k. Langkah-langkahuntukmenggunakanmetodegarisselidikiniadalahsebagaiberikut.1) Gambargarisax+by=abyangmemotongsumbuXdititik (b, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, a).2) Tarik garis yang sejajar dengan ax + by = ab yang melaluititik-titikperpotonganpadabatas-batasdaerahhimpunanpenyelesaian.3) Garis selidik yang berada di paling atas atau yang berada dipaling kanan menunjukkan nilai maksimum, sedangkan garisselidik yang berada di paling bawah atau di paling kiri padadaerah himpunan penyelesaian menunjukkan nilai minimum.Titik O(0, 0) A(30, 0) B(20, 10) C(0, 15)x 0 30 20 0y 0 0 10 15z = 1.500x + 3.000y 0 45.000 60.000 45.000 z maksDari tabel di atas, terlihat nilai maksimumnya adalahz = 60.000, yaitu untuk x = 20 dan y = 10.Jadi,tukangparkirituakanmemperolehpenghasilanmaksimum, yaitu Rp60.000,00 jika ia dapat menerima parkirmobil sebanyak 20 buah dan parkir bus sebanyak 10 buah.Tugas: Inkuiri Kerjakan di buku tugasSelain menggunakan meto-de eliminasi untuk mencarititikpotongantara2garis,dapatkah kita menggunakancaralain?Jikaya,caraapakah itu? Bagaimana caramenyelesaikannya?Contoh 1:TantanganEkplorasi Kerjakan di buku tugasMisalnya seorang pedagangkakilimamenyediakanmodal Rp165.000,00 untukmembeli buku. Harga bukujenis I Rp2.000,00 dan hargabukujenisIIRp5.000,00.Banyak buku jenis I yang iabeli tidak lebih dari tiga kalibanyakbukujenisII.IamengambilkeuntunganRp300,00 untuk setiap bukujenisII.Jikabuku-bukuyangiabelidengancaratersebut terjual habis, berapakeuntungan maksimal yangia peroleh?Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi objektifz = 2x + 3y yang memenuhi x + y s7, x ~0, dan y ~0, x, y R.Jawab:Daerahpenyelesaiansistempertidaksamaantersebutadalahseperti gambar di samping.Untukmenggunakanmetodegarisselidikax+by=k,ikutilah langkah-langkah berikut.a) Gambarlah garis 2x + 3y = 2(3) = 2x + 3y = 6. Anggap sebagaigaris k0.b) Tariklah garis k1 yang sejajar garis k0 melewati titik A(7, 0).Tarikgarisk2yangsejajark1danmelaluititikB(0,7).Kemudian, tarik garis k3 yang sejajar k2 dan melalui titik(0, 0).19 Program LinearYX O2x + 3y = 6B(0, 7)77A(7, 0)k2k1k0k3garis palingbawahgaris palingatasGambar 1.8Terlihat bahwa dari Gambar 1.8, garis k2 letaknya paling atas,berarti nilai maksimum dari z = 2x + 3y dicapai pada titik B(0, 7).Jadi, nilai maksimum dari z = 2z + 3y = 2(0) + 3(7) = 21. Garis k3letaknya paling bawah, berarti nilai minimum dicapai pada titik O(0, 0)sehingga nilai minimum dari z = 2x + 3y = 2(0) + 3(0) = 0.Contoh 2:Seorangpetaniinginmemberikanpupukpadatanamanpadinya.Pupuk yang diberikan harus mengandung sekurang-kurangnya600gfosfordan720gnitrogen.PupukImengandung 30 g fosfor dan 30 g nitrogen per bungkus. PupukIImengandung20gfosfordan40gnitrogenperbungkus.Petaniituinginmencampurkeduapupuktersebut.Satubungkus pupuk I harganya Rp17.500,00 dan pupuk II harganyaRp14.500 per bungkus. Tentukan biaya minimum yang harusdikeluarkan oleh petani tersebut.Jawab:Untukmenjawabpermasalahandiatas,terlebihdahulukitaterjemahkankedalammodelmatematika.Untukmempermudah, kita buat tabel seperti berikut.Kandungan Pupuk I (x) Pupuk II (y) KebutuhanFosfor 30 20 600 gNitrogen 30 40 720 gHarga 17.500 14.500Misalkan banyak pupuk I adalah x dan banyak pupuk II adalah y.Dari tabel di atas, diperoleh model matematika sebagai berikut.Fungsi objektif: meminimumkan z = 17.500x + 14.500y.PerhatianJikavariabelnyabilangancacah, penyelesaian optimumdiperolehdarititiksudutyangabsisdanordinatnyabilangan cacah. Akan tetapi,jikasalahsatuabsisatauordinatnyabukanbilangancacah, penyelesaian optimumdiperoleh dari titik di dekat(persekitaran) titik tersebut.20 Khaz Matematika SMA 3 BhsKendala-kendala: 30x + 20y~600= 3x + 2y~6030x + 40y~720= 3x + 4y~72x, y~0; x, y RJika digambarkan, daerah penyelesaian pertidaksamaan di atasadalah sebagai berikut.YX OC(0, 30)A(24, 0)24 201830BGambar 1.9Tugas: Eksplorasi Kerjakan di buku tugasCoba kalian kerjakan keduacontohdiatasdenganmetodeujititiksudut. Apakesimpulan kalian?Tentukan nilai maksimum dari 4x + y yang memenuhi3x + ys8, x~0, y~0 dan x, y C.Jawab:Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.Dari Gambar 1.10 diperoleh titik sudut O(0, 0), A( 223, 0), danB(0, 8). Karena absis dari titik A bukan merupakan bilangancacah, harus dicari titik pada daerah yang diarsir, dengan absisdan ordinat merupakan bilangan cacah dan letaknya dekat titikA( 223, 0). Titik yang sesuai dengan syarat di atas adalah (2, 0)dan (2 ,1).Titik O(0, 0) A1(2, 0) A2(2, 1) B(0, 8)x 0 2 2 0y 0 0 1 8z = 4x + y 0 8 9 8z maksDari tabel di atas, diperoleh nilai maksimum fungsi z = 4x + yadalah z = 9, untuk x = 2 dan y = 1.YX O82233x + y = 8BAGambar 1.10Darigambardisamping,terlihatbahwatitikBmerupakanperpotongan garis 3x + 2y = 60 dan 3x + 4y = 72. Kita tentukankoordinat titik B sebagai berikut.3x + 2y = 603x + 4y = 722y = 12=y = 6Jadi, diperoleh y = 6. Dengan menyubstitusikan y = 6 ke salahsatu persamaan garis di atas, diperoleh x = 16. Oleh karena itu,koordinat titik B adalah B(16, 6).Terlihat dari Gambar 1.9, titik B terletak paling kiri dari batas-batas daerah penyelesaian sehingga nilai minimum dicapai padatitik B(16, 6), yaitu z = 17.500(16) + 14.500(6) = 367.000.Jadi, biaya minimum yang dibutuhkan oleh petani tersebut adalahRp367.000,00 dengan cara membeli 16 bungkus pupuk I dan 6bungkus pupuk II.ProblemSolving21 Program LinearSoal Kompetensi 2 Kerjakan di buku tugasUntuk nomor 1 5, gunakan metode uji titik sudut dan metodegarisselidikuntukmenghitungnilaiminimumdannilaimaksimum model matematika berikut.1. Fungsi objektif:z = 6x + 5yKendala: 2x + ys10ys6x, y~0x, y R2. Fungsi objektif : z = 100x + 50yKendala: 2x + 3ys162x + 6s10x, y~0x, y C3. Fungsi objektif: z = 7x + 4yKendala: 8x + 11ys88x + ys10x, y~0x, y C4. Fungsi objektif: z = 5x + 7yKendala : x + ys 52z + 5ys 10x~ 0y~ 0x, y R .5. Fungsi objektif : z = 10x + 25yKendala: 3x 2ys 64x + 2ys 8x~ 0y~ 0x, y R6. Untuk menghasilkan barang jenis A seharga Rp500.000,00memerlukan bahan baku 20 kg dan waktu kerja mesin 24 jam.Barang B seharga Rp700.000,00 memerlukan bahan baku30kgdanwaktukerjamesin18jam.Berapakahnilaimaksimum dari masing-masing jenis barang yang dapatdibuatselama720jamwaktukerjamesindan750kgbahan baku?7. Misalkanseorangpedagangkakilimamenyediakanmodal Rp165.000,00 untuk membeli buku dengan bukujenis I dengan harga Rp2.000,00 per buah dan buku jenisII dengan harga Rp5.000,00 per buah. Jumlah buku jenisI yang ia beli tidak lebih dari tiga kali jumlah buku jenisII. Ia mengambil keuntungan Rp300,00 untuk setiap bukuTantanganEksplorasi Kerjakan di buku tugasSeorangpasiendiharuskanmeminumobatyangme-ngandung sekurang-kurang-nya75gkalsiumdan96gzat besi. Obat I mengandungkalsium dan zat besi masing-masing sebesar 15 g dan 10 gper butir, sedangkan obat IImengandung10gkalsiumdan16gzatbesiperbutir.JikahargaperbutirobatIRp1.500,00danobatIIRp800,00perbutir.Tentu-kanbiayaminimumyangharus dikeluarkan pasien ituuntuk memenuhi kebutuhankalsium dan zat besi.22 Khaz Matematika SMA 3 Bhsjenis II. Jika buku-buku yang ia beli dengan cara tersebutterjual habis, berapa keuntungan maksimum yang ia peroleh?8. Seorang pedagang asongan ingin menjual rokok jenis A dan jenisBpadasuatukardus.Kardusituhanyadapatmemuat25bungkusrokok.RokokAyangharganyaRp3.000,00perbungkus dijual dengan laba Rp500,00 per bungkus, sedangkanrokokBharganyaRp4.000,00dandijualdenganlabaRp750,00perbungkus.IahanyamempunyaimodalRp84.000,00. Tentukan berapa banyak rokok masing-masingharus ia beli agar mendapat untung sebesar-besarnya. Tentukanpula besar untungnya.9. PakSihombinginginmerenovasirumahnya.Iainginmerombak kamar tidur dan kamar mandinya. Ia menyewaseorang pemborong untuk merenovasi kamar tidur dan kamarmandi tersebut. Pemborong itu mengajukan kebutuhan bahanbangunan seperti berikut.Bahan Kamar Tidur Kamar Mandi PersediaanSemen 24 sak 12 sak 288 sakBatu Bata 1.800 buah 1.600 buah 28.800 buahBiaya Rp300.000,00 Rp275.000,0010. Pada tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun tidak lebih dari125 unit rumah, tipe RS dan tipe RSS. Tipe RS memerlukantanah 60 m2 dan tipe RSS memerlukan 50 m2. Rumah-rumahtersebut akan dijual dengan harga per unit Rp20.000.000,00untuk RS dan Rp15.000.000,00 untuk RSS.a. Misal dibangun rumah tipe RS sebanyak x unit dan tipeRSS sebanyak y unit, tulislah sistem pertidaksamaannya.b. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian sistem perti-daksamaan yang diperoleh pada satu sistem koordinatCartesius.c. Tentukanbentukobjektifyangmenyatakanhasilpenjualan rumah.d. Berapakah banyaknya masing-masing tipe rumah yangharusdibangunagardiperolehhasilpenjualanmaksimum? Hitunglah hasil penjualan maksimum itu.TantanganPenalaran Kerjakan di buku tugasSuatu perusahaan kerajinantas dan sepatu memerlukanempatunsurAdanenamunsurApermingguuntukmasing-masinghasilpro-duksinya. Setiap tas memer-lukan satu unsur A dan duaunsurB,setiapsepatume-merlukanduaunsurAdandua unsur B. Jika pembuatansetiaptasmemberikankeuntungan Rp3.000,00 dansetiappembatansepatumemberikeuntunganRp2.000,00,tentukanbanyak tas dan sepatu yangdihasilkan per minggu agardiperoleh keuntungan mak-simum.1. Program linear merupakan suatu metodeuntuk memecahkan masalah sehari-hariyang berhubungan dengan optimasi.2. Modelmatematikaadalahsuatuhasilpenerjemahanbentuksehari-harimen-jadi bentuk persamaan, pertidaksamaan,atau fungsi.Rangkuman23 Program LinearRefleksiKalian telah mempelajari program linear.Materi ini sangat dekat dengan kehidupannyata. Hal-hal yang sifatnya nyata sangatdominan,terutamapadakasus-kasusyangsifatnyamemaksimumkandanmeminimumkan. Apakah program linearhanya menekankan pada kasus-kasus itu?Berikan alasan kalian.3. Untukmemecahkanpermasalahanpro-gramlinear,halyangutamaadalahmemisalkanmasalahtersebutkedalammodel matematika.4. Penyelesaian optimum dapat berupa nilaimaksimumataunilaiminimumdarifungsiobjektif/fungsisasaran/fungsitujuan.5. Nilaioptimumfungsiobjektifdapatditentukan, antara lain dengan metode ujititik sudut dan metode garis selidik.Tes Kemampuan Bab I Kerjakan di buku tugasA. Pilihlahjawabanyangtepatdenganmemberitandasilang (x) pada huruf a, b, c, d, atau e.1. Daerah yangdiarsir pada gambar di bawahmemenuhi sistem pertidaksamaan ....d. 7x + 8y~63xs4x, y~0e. 7x + 8ys63xs4x, y~02. Nilai maksimum fungsi z = 5x + 7y yangmemenuhi sistem pertidaksamaan 2x +3y s 12,x+2ys8,x,y~0adalah....a. 28 d. 31b. 29 e. 32c. 303. Nilai minimum dan nilaimaksimumfungsi z = 4x + 3y yang memenuhi sistempertidaksamaan x + y s 6, 2x + y ~ 3, x ~ 1,x s 4, dan y ~ 0 adalah ....a. 7 dan 22 d. 7 dan 24b. 6 dan 22 e. 6 dan 20c. 6 dan 24YXO748a. 8x + 7ys63ys4x, y~0b. 8x + 7y~63xs4x, y~0c. 7x + 8ys63x~4x, y~024 Khaz Matematika SMA 3 BhsYXO1540253050 15IVVIIIIII4. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaanx s 0, y ~ 0, 2x + y ~ 30, 3x + 10y ~ 150,5x + 8y s 200 adalah ....7. Seorangpemborongmelakukanpema-sanganinstalasilistrikpadasuatupe-rumahan. Untuk tipe 21, diperlukan 60 mkabel dan 5 lampu. Untuk tipe 36 diperlukan150 m kabel dan 10 lampu. Jika tersedia 5 kmkabeldan150lampu,modelmatematikauntuk permasalahan di atas adalah ....a. 6x + 15y~500, x + y~30,x, y~0, x, y Cb. 6x +y~500, x + ys30,x, y~0, x, y Cc. 6x + 15y~500, 2x + ys30,x, y~0, x, y Cd. 6x + 15ys500, x + 2y~30,x, y~0, x, y Ce. 6x + 15ys500, x + 2ys30,x, y~0, x, y C8. Daerahyangdiarsirpadagambardibawahinimerupakanpenyelesaiandarisistempertidaksamaanlinear.Nilaimaksimumdarifungsiobjektifz = 15.000x + 10.000y adalah ....a. 115.000b. 125.000c. 135.000d. 145.000e. 155.0009. Jika diketahui bahwa P = x + y dan Q =5x + y maka nilai maksimum dari P danQ pada sistem pertidaksamaan x ~ 0, y ~ 0,x + 2y s 12 dan 2x + y s 12 adalah ....a. 8 dan 30b. 6 dan 6c. 4 dan 6d. 6 dan 24e. 8 dan 2410. UntukmembuatbarangAdiperlukan6jampadamesinIdan4jampadamesin II, sedangkan membuat barang Bmemerlukan 2 jam pada mesin I dan 84YXO4-4 AB66CDa. Ib. IIc. IIId. IVe. V5. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika daerahsegi lima berikut merupakan penyelesaiandari sistem pertidaksamaan linear dari pro-gramlinear,fungsiobjektifz=5x+ymencapai maksimum di titik ....a. Ab. Bc. Cd. De. O6. Suatu pesawat udara mempunyai tempatduduktidaklebihdari50penumpang.Setiappenumpangkelasutamabolehmembawa bagasi 70 kg, sedangkan untukkelas ekonomi 30 kg. Pesawat itu hanyadapatmembawabagasi2.100kg.JikahargauntukkelasutamaRp250.000,00per orang dan kelas ekonomi Rp175.000,00,keuntunganmaksimumyangdapatdiperoleh adalah ....a. Rp7.500.000,00b. Rp8.500.000,00c. Rp8.750.000,00d. Rp9.785.000,00e. Rp9.875.000,00YXO4677 1(1, 6)(3, 7)(5, 4) (7, 4)25 Program LinearjampadamesinII. Keduamesintersebut setiap harinya masing-masingbekerjatidaklebihdari18jam.Jikasetiap hari dibuat x buah barang A dany buah barang B maka model matematikadari uraian di atas adalah ....a. 2x + 3y s 9, 4x + y s 9, x ~ 0, y ~ 0b. 3x + 2y s 9, 2x + 4y s 9, x ~ 0, y ~ 0c. 3x + y s 9, 2x + 4y s 9, x ~ 0, y ~ 0d. 3x + y s 9, 4x + 2y s 9, x ~ 0, y ~ 0e. 4x + 3y s 9, x + 2y s 9, x ~ 0, y ~ 011. Luasareaparkiradalah176m2.Luasrata-ratamobilsedandanbusmasing-masing4m2dan20m2.Areaparkirtersebuthanyamampumenampung20kendaraan,denganbiayaparkiruntukmobildanbusmasing-masingRp1.000,00 per jam dan Rp2.000,00 perjam. Jika dalam waktu 1 jam tidak adakendaraan yang pergi atau datang, hasilmaksimum area parkir tersebut adalah ....a. Rp20.000,00b. Rp34.000,00c. Rp44.000,00d. Rp26.000,00e. Rp30.000,0012. Seorangpemiliktokosepatuinginmengisi tokonya dengan sepatu laki-lakipalingsedikit100pasangdansepatuwanita paling sedikit 150 pasang. Tokotersebutdapatmemuat400pasangsepatu. Keuntungan setiap pasang sepatulaki-lakiadalahRp1.000,00dansetiappasang sepatu wanita adalah Rp500,00.Jika banyak sepatu laki-laki tidak bolehmelebihi 150 pasang, maka keuntunganterbesar yang dapat diperoleh adalah ....a. Rp275.000,00b. Rp300.000,00c. Rp325.000,00d. Rp350.000,00e. Rp375.000,0013. Perhatikan gambar berikut.O97(4, 1)(2, 3)XYDaerah yang diarsir pada gambar di atasmenya-takan daerah penyelesaian suatusistem pertidaksamaan. Nilai minimumdarix+ypadadaerahpenyelesaiantersebut adalah .... (UN SMK 2006)a. 9 d. 3b. 7 e. 1c. 514. Untuk membuat roti jenis A diperlukan400 gram tepung dan 50 gram mentega.Untuk membuat roti jenis B diperlukan200 gram tepung dan 100 gram mentega.Roti akan dibuat sebanyak-banyaknya.Persediaan tepung 9 kg dan mentega 2,4 kg,bahan-bahan lain dianggap cukup. Jikax menyatakan banyak roti jenis A dan ymenyatakanbanyakrotijenisByangakandibuatmakamodelmatematikayangmemenuhipernyataantersebutadalah .... (UN SMK 2007/Paket 14)a. 2x y s 45, x + 2y ~ 48, x ~ 0, y ~ 0b. 2x + y s 45, x + 2y s 48, x ~ 0, y ~ 0c. 2x + y ~ 45, x + 2y ~ 48, x ~ 0, y ~ 0d. 2x + y s 45, x 2y s 48, x ~ 0, y ~ 0e. 2x + y s 45, x + 2y s 48, x s 0, y s 015. Perhatikangambargrafikberikut.Daerahpenyelesaianyangmemenuhisistem pertidaksamaanx + y s 53x + 2y s 12x ~ 2y ~ 026 Khaz Matematika SMA 3 Bhsa. I d. IVb. II e. Vc. III16. Nilai maksimum 4x + 5y dengan syaratx ~ 0; y ~ 0; x + 2y s 10; x + y s 7 adalah.... (UMPTN 1999)a. 34 d. 31b. 33 e. 30c. 3217. Dalamhimpunanpenyelesaianpertidaksamaan x ~ 1; y ~ 2; x + y s 6;2x + 3y s 15. Nilai minimum dari 3x + ysama dengan .... (UMPTN 1998)a. 9 d. 12b. 10 e. 13c. 1118. Nilai minimum dari 2x + 3y untuk x, ydidaerahyangdiarsiradalah....Rp6.000,00/kg.ModalyangtersediaRp1.200.000,00, sedangkan gerobaknyahanya dapat memuat mangga dan pisangsebanyak 180 kg. Jika harga jual manggaRp9.200,00/kg dan pisang Rp7.000,00/kg maka laba maksimum yang diperolehadalah .... (UN 2006)a. Rp150.000,00b. Rp180.000,00c. Rp192.000,00d. Rp240.000,00e. Rp216.000,0020. Mobilpickupdanmobiltrukakandigunakan untuk mengangkut 1.000 m3pasir.Satukalijalan,pickupdapatmengangkut2m3pasirdantruk5m3pasir. Untuk mengangkut pasir tersebutdiperlukanjumlahtrukdanpickuppalingsedikit350buahdenganbiayaangkutpickupsatukalijalanRp15.000,00dantrukRp30.000,00.Biayaminimumuntukmengangkutpasir tersebut adalah .... (UN 2005)a. Rp10.500.000,00b. Rp7.500.000,00c. Rp6.750.000,00d. Rp5.500.000,00e. Rp5.000.000,0021. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 6x+ 8y dari sistem pertidaksamaan4x + 2y s 602x + 4y s 48x ~ 0, y ~ 0adalah .... (UAN 2003)a. 120 d. 114b. 118 e. 112c. 11622. Nilai maksimum bentuk objektif (4x +10y)yangmemenuhihimpunanpenyelesaiansistemper-tidaksamaanlinear x ~ 0, y ~ 0, x + y s 12, dan x +2y s 16 adalah .... (UAN 2003)a. 104 d. 48b. 80 e. 24c. 72(UMPTN 1999)a. 25b. 1505432162 1 3 4 5YIVIIIIIIVXO54 5 XY4c. 12d. 10e. 519. Seorang pedagang menjual mangga danpisangdenganmenggunakangerobak.Pedagangtersebutmembelimanggadengan harga Rp8.000,00/kg dan pisangadalah daerah .... (UN SMK 2007/Paket14)27 Program Linear23. SebuahpabrikmenggunakanbahanA,B,danCuntukmemproduksi2jenisbarang, yaitu barang jenis I dan barangjenisII.SebuahbarangjenisImemerlukan 1 kg bahan A, 3 kg bahan B,dan 2 kg bahan C, sedangkan barang jenisII memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahanB,dan1kgbahanC.Bahanbakuyangtersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahanB,dan360kgbahanC.HargabarangjenisIadalahRp40.000,00danhargabarangjenisIIadalahRp60.000,00.Pendapatan maksimum yang diperolehadalah .... (UN 2007/Paket 14)a. Rp7.200.000,00b. Rp9.600.000,00c. Rp10.080.000,00d. Rp10.560.000,00e. Rp12.000.000,0024. Perusahaantasdansepatumendapatpasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiapmingguuntukproduksinya.Setiaptasmemerlukan 1 unsurP dan 2 unsur K,sedangkan setiap sepatu memerlukan 2unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiaptas adalah Rp18.000,00 dan setiap sepatuadalahRp12.000,00.Keuntunganmaksimumperusahaanyangdiperolehadalah .... (UN 2007/Paket 47)a. Rp120.000,00b. Rp108.000,00c. Rp96.000,00d. Rp84.000,00e. Rp72.000,0025. Seorangpenjahitmembuat2modelpakaian. Model pertama memerlukan 1 mkainpolosdan1,5mkainbercorak.Modelkeduamemerlukan2mkainpolosdan0,5mkainbercorak.Diahanya mempunyai persediaan 20 m kainpolos dan 10 m kain bercorak. Jumlahmaksimumpakaianyangdapatdibuatadalah .... (UN 2004)a. 10 potong d. 14 potongb. 11 potong e. 16 potongc. 12 potong26. Untuk menambah penghasilan keluarga,seorang ibu berjualan 2 jenis roti. Rotijenis I dibeli dengan harga Rp500,00 perbuahdanrotijenisIIdenganhargaRp300,00perbuah.Keranjangibuituhanya dapat memuat 100 buah roti. JikaibuitumengharapkeuntunganRp100,00 dari roti jenis I dan Rp50,00darirotijenisIImakadenganmodalRp45.000,00,keuntunganmaksimalyang diterima adalah .... UN 2004)a. Rp5.000,00b. Rp7.500,00c. Rp8.750,00d. Rp9.000,00e. Rp10.000,0027. Nilai maksimum dari f(x, y) = 500x + 300yyang memenuhi sistem pertidaksamaan2x + y s 1.500x + y s 1.000x ~ 0y ~ 0adalah .... (UAN 2003)a. 300.000 d. 450.000b. 375.000 e. 500.000c. 400.00028. Agar fungsi z = px + 5y dengan syarat2x+y~6,x+y~5,x~0,y~0mencapai minimum di titik (1, 4) makakonstanta p memenuhi .... (SPMB 2007)a. 2 < p < 6b. 2 s p s 6c. 5 < p < 10d. 5 s p s 10e. p < 5 atau p > 1028 Khaz Matematika SMA 3 Bhs29. Jikadaerahyangdiarsirpadadiagramdibawahmerupakandaerahpenye-lesaianuntuksoalprogramlineardenganfungsisasaranf(x,y)=xymaka nilai maksimum f(x, y) adalah ....30. Dalam sistem pertidaksamaan 2y ~ x,ys2x,x+2ys20,x+y~9,nilaimaksimumuntuk3yxdicapaidititik ....O 2 XY1-2-3O91020 9 XYRSPTQB. Jawablahpertanyaan-pertanyaanberikutdenganbenar.1. Tentukan nilai minimum fungsi objektifz=2x+yyangmemenuhisistempertidaksamaan 2x + 3y~6, 2x + y~4,x~0, y~0, x, y C.2. Tentukannilaimaksimumfungsiz=3x+2ydarisistempertidaksamaan2x + y~3, x + ys6, x~1, y~0.3. Seorang tukang listrik membuat 2 jenisbellistrik.Tersedia12mkawatuntukkumparan dan baterai 30 buah. Untuk bellistrikkecilbutuh3mkawatdan5baterai. Bel listrik besar butuh 2 m kawatdan6baterai.Bellistrikdijualdenganharga Rp5.000,00 dan Rp7.500,00 untukmasing-masingbellistrikkecildanbesar. Berapa buah bel listrik kecil danbesar yang harus dibuat agar mendapatuang sebanyak-banyaknya? Berapa uangyang diperoleh?4. Seorang pemborong pengecatan rumahmempunyaipersediaan80kalengcatputihdan60kalengabu-abu.Pemborong tersebut mendapat tawaranmengecat ruang tamu dan ruang tidur.Setelah dihitung ternyata 1 ruang tamumenghabiskan2kalengcatputihdan1 kaleng cat abu-abu, sedangkan 1 ruangtidur menghabiskan cat masing-masingsebanyak 1 kaleng.a. Tulislah model matematikanya.b. Berapabanyakmaksimumruangtamudanruangtiduryangdapatdicat?5. Dari soal nomor 4, jika biaya untuk 1 ruangtamu Rp75.000,00 dan untuk 1 ruang tidurRp50.000,00.Tentukanbanyaknyauangmaksimum yang diterima oleh pemborongitu.a. f(3, 1) d. f(2, 53)b. f(4, 1) e. f(4, 52)c. f(3, 2)a. Pb. Qc. Rd. Se. TKata BijakMemercayai diri sendiri adalah rahasia pertama untuk berhasil.Oleh karena itu, yakinkan diri Anda untuk percaya pada potensiAnda.29 MatriksMatriksII BabTujuan PembelajaranSetelahmempelajaribabini, diharapkan kalian dapat1. menjelaskan ciri suatumatriks;2. menuliskaninformasidalam bentuk matriks;3. melakukanoperasialjabar atas dua matriks;4. menentukandetermi-nanmatrikspersegiordo 2;5. menentukaninversmatriks persegi ordo 2;6. menentukanpenyele-saian sistem persama-anlinearduavariabeldengan invers matriks;7. menentukanpenye-lesaian sistem persama-anlinearduavariabeldengan determinan;8. menentukandeter-minan matriks persegiordo 3;9. menentukanpenyele-saian sistem persamaanlinear tiga variabel.MotivasiApayangkalianamatiketikamelihatdaftarharga,daftarnilai UN, atau daftar gaji? Apakah kalian memerhatikan susunanpenulisannya?Jikasusunantersebutdituliskanuntukperhariatau per bulan atau bahkan per tahun pasti akan menjadi sangatpanjang. Perhatikan juga posisi tempat duduk peserta ujian. Apayangkalianbayangkantentangposisiberderetdaridepankebelakangdandarikirikekanan?Kasus-kasusdiatasdapatdisajikan dengan mudah menggunakan matriks.Sumber: upload.wikimedia.org30 Khaz Matematika SMA 3 BhsmembahasMatriksJenis-JenisMatriks adjoin matriks ordo aturan Sarrus matriks baris perkalian matriks baris matriks diagonal persamaan matriks determinan matriks identitas singular entry matriks kolom skalar kesamaan matriks matriks persegi transformasi baris kofaktor minor elementer kolom nonsingular transpose lawan matriks notasi matriksNotasi dan Ordo Operasi MatriksDeterminan danInversDeterminan InversmembahasPenyelesaianSPLberguna untukTransposePenjumlahanPenguranganPerkalian denganSkalarPerkalian Matriksterdiri atasKata KunciPeta Konsep31 MatriksMateri tentang matriks merupakan materi baru bagi kalian.Pembahasantentangmatriksinisangatdiperlukanuntukmempelajarimaterilaindalammatematika,antaralaindeterminan,vektor,dantransformasigeometri.Matriksmerupakansalahsatucarauntukmempermudahpenyelesaiansistem persamaan linear. Dalam kehidupan sehari-hari, matrikssangatmembantudalammencatathal-halyangberhubungandengan jajaran bilangan.Sebelumlebihjauhmempelajaritentangmatriks,kerjakanlah latihan berikut agar kalian lebih mudah mempelajarimatriks.PrasyaratKerjakan di bukutugasCobalahkalianmencariinformasitentangharga-hargakebutuhan pokok di beberapa pasar di sekitarmu, kemudianisikan dalam kolom berikut.Jelaskan tentang isi tabel tersebut. Apa arti dari elemen atau angkadalam tabel tersebut?Beras (per kg) ...................... ......................Gula Pasir (per kg) ...................... ......................Cabe Merah (per kg) ...................... ......................Nama PasarNama BarangPasar A Pasar BA. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks1. Pengertian MatriksUntukmemahamipengertiantentangmatriks,perhatikancontoh berikut. Seorang siswa mencatat hasil ulangan hariannyauntuk pelajaran Matematika, Sejarah, TIK, dan Bahasa Inggrisdalam tabel berikut.Mata Pelajaran Ulangan I Ulangan II Ulangan III Ulangan IVMatematika 7 8 9 8Sejarah 8 7 8 6TIK 5 7 8 6B. Inggris 7 9 10 832 Khaz Matematika SMA 3 BhsDalammembacatabeldiatas,siswatidakmengalamikesulitankarenadiasudahtahubahwabariske-1adalahnilaiMatematika, baris ke-2 nilai Sejarah, baris ke-3 nilai TIK, danbariske-4nilaiBahasaInggris.Untukkolompertamamenyatakan nilai ulangan I, kolom ke-2 adalah nilai ulangan II,dan seterusnya.Dalam matematika, susunan bilangan yang ditulis menurutbaris dan kolom serta ditandai dengan tanda kurung di sebelahkiri dan sebelah kanannya disebut matriks. Nama baris dan kolomdisesuaikandenganurutannya.Masing-masingbilanganyangada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen matriks. Padamatriksdiatas,elemenmatriks baris ke-2 kolom ke-4 adalah 6dan elemen matriks baris ke-3 kolom ke-1 adalah 5. Hal ini dapatdilihat dengan mudah pada matriks berikut.||||||||||||8 10 9 76 8 7 56 8 7 88 9 8 7kolom ke-4kolom ke-3kolom ke-2kolom ke-1baris ke-4baris ke-3baris ke-2baris ke-1Tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana.jjjjj)|||||\[8 10 9 76 8 7 56 8 7 88 9 8 7 atau ||||||||||||8 10 9 76 8 7 56 8 7 88 9 8 7Tugas: Observasi Kerjakan di buku tugasAmbillahsebuahsuratkabar.Carilahdaftarhargadasarkebutuhanbahanpokok,daftarhasilskorpertandingansepakbola,atau daftar nilai tukar matauang. Buatlah daftar tersebutmenjadibentukmatriks.Bagaimanakahhasilnya,apakahbentuknyalebihringkas?Pada matriks di atas, elemen matriks baris ke-3 kolom ke-4adalah 6. Elemen matriks baris ke-2 kolom ke-3 adalah 8.2. Notasi dan Ordo MatriksUntukmenyatakanmatriks,biasanyadigunakanhurufkapital, seperti A, B, C, ..., sedangkan untuk menyatakan elemenmatriksditulisdenganhurufkecil.Misalnya,aijuntukmenyatakantiapelemenmatriksA,bijuntukmenyatakantiapelemen B, dan seterusnya.33 MatriksContoh 1:Dariuraianyangtelahdisampaikandiatas,kitadapatmendefinisikan pengertian matriks sebagai berikut.Suatu matriks A berukuran m n adalah susunan berbentukpersegi panjang yang terdiri atasm baris dan n kolom.Matriks A biasanya dinotasikan sebagai berikut.A = ||||||||||||||||mn mj m min ij i in jn ja a a aa a a aa a a aa a a a.... ........ ........ ........ ....2 12 12 2 22 211 1 12 11M M M M M Maij menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.Untuk ukuran m n, sering kali disebut ordo suatu matrikssehingga matriks A dapat ditulis n mA.Kadang-kadang, bentuk umum matriks A dapat dituliskansecara singkat ke dalam notasi A = [aij], B = [bij], dan seterusnya.Dariuraiandiatasdapatdiberikandefinisiyangjelastentangordo matriks dan notasi matriks sebagai berikut.Ordo suatu matriks adalah ukuran matriks yang menyatakanbanyakbarisdiikutidenganbanyakkolom.Notasidarimatriks A dinyatakan dengan A = [aij].Hasilpenelitiantentangkeadaanharga-hargapokokselamatahun2004,2005,2006,dan2007disuatudaerahadalahsebagai berikut.TahunHarga Per Kilogram dalam RupiahBeras Gula Minyak Goreng2004 1.900 3.750 4.5002005 2.300 3.900 4.7002006 2.400 3.800 5.0002007 2.600 4.000 5.600a. Susunlahdatadiataskedalambentukmatriksdengannotasi A.b. Berapa banyak baris dan kolom dari matriks A?c. Sebutkan elemen-elemen pada baris kedua.d. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ketiga.34 Khaz Matematika SMA 3 BhsJawab:a. A = ||||||||||||600 . 5 000 . 4 600 . 2000 . 5 800 . 3 400 . 2700 . 4 900 . 3 300 . 2500 . 4 750 . 3 900 . 1b. Banyak baris pada matriks A adalah 4 dan banyak kolompada matriks A adalah 3.c. Elemen-elemenpadabariskeduaadalaha21=2.300,a22 = 3.900, dan a23 = 4.700.d. Elemen-elemen pada kolom ketiga adalah a13 = 4.500,a23 = 4.700, a33 = 5.000, dan a43 = 5.600.Contoh 2:Diketahui matriks B = 760543126897~||||||||||.Tentukana. ordo matriks B;b. elemen-elemen baris pertama;c. elemen pada baris ke-3 dan kolom ke-2;d. elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-4.Jawab:a. MatriksBmempunyai3barisdan4kolomsehinggaordomatriks B adalah 3 4 atau dinotasikanB3 4 .b. Elemen-elemen baris pertama adalah 7, 5, 1, dan 8.c. Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 adalah 3, ditulis b32 = 3.d. Elemen pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9, ditulis b24 = 9.ProblemSolvingDiketahui sistem persamaan linear berikut.3x + 5y x = 45x + 2y 3z = 82x 4y + 2z = 6a. Susunlah sistem persamaan linear di atas ke dalam matriks A.b. Tentukan ordo matriks A.c. Hitunglah a32 + a21 + a13.35 Matriks3. Matriks-Matriks KhususJawab:Koefisien x Koefisien y Koefisien zPersamaan 1 3 5 1Persamaan 2 5 2 3Persamaan 3 2 4 2a. Sistem persamaan linear di atas dapat disusun dalam tabelberikut.Dengan demikian, matriks yang bersesuaian dengan tabeldi atas adalah A = ||||||||||~~~2 4 23 2 51 5 3.b. Ordo matriks A adalah 3 3 atau ditulis 3 3A .c. a32 adalah elemen baris ke-3 kolom ke-2, yaitu 4.a21 adalah elemen baris ke-2 kolom ke-1, yaitu 5.a13 adalah elemen baris ke-1 kolom ke-3, yaitu 1.Jadi, a32 + a21 + a13 = 4 + 5 + (1) = 0.Beberapamacammatrikskhususyangperlukaliankenaladalah sebagai berikut.a. Matriks BarisMatriksbarisadalahmatriksyanghanyaterdiriatassatubaris.Misalnya:P = [32 1]Q = [452 5]b. Matriks KolomMatriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satukolom.Misalnya:R = ||||||32S = ||||||||||~432T = ||||||||||||~~127536 Khaz Matematika SMA 3 Bhsc. Matriks PersegiMatrikspersegiadalahmatriksyangbanyakbarissamadengan banyak kolom. Jika banyak baris matriks persegi A adalah nmaka banyaknya kolom juga n, sehingga ordo matriks A adalahnn. Seringkali matriks A yang berordo n n disebut denganmatrikspersegiordon.Elemen-elemena11,a22,a33,...,annmerupakan elemen-elemen pada diagonal utama.Misalnya:A = ||||||10 28 1merupakan matriks persegi ordo 2.B = ||||||||||||~2 0 1 23 13 7 31 11 6 22 9 5 4 merupakan matriks persegi ordo 4.Elemen-elemendiagonalutamamatriksAadalah1dan10,sedangkan pada matriks B adalah 4, 6, 13, dan 2.d. Matriks DiagonalMatriksdiagonaladalahmatrikspersegidengansetiapelemen yang bukan elemen-elemen diagonal utamanya adalah 0(nol), sedangkan elemen pada diagonal utamanya tidak semuanyanol.Misalnya:C = ||||||1 00 2D = ||||||||||0 0 00 4 00 0 3e. Matriks IdentitasMatriksidentitasadalahmatrikspersegidengansemuaelemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnyasemuanya 0 (nol). Pada umumnya matriks identitas dinotasikandengan I dan disertai dengan ordonya.Misalnya:I2 = ||||||1 00 1 I3= ||||||||||1 0 00 1 00 0 1 I4 = ||||||||||||1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 137 MatriksContoh:f. Matriks NolMatriksnoladalahsuatumatriksyangsemuaelemennyaadalah 0 (nol). Matriks nol biasanya dinotasikan dengan hurufO diikuti ordonya, n mO.Misalnya:1 2O= ||||||00O3 2 = ||||||||||0 00 00 03 2O = ||||||0 0 00 0 04. Transpose Suatu MatriksTranspose dari matriks A berordo m n adalah matriks yangdiperoleh dari matriks A dengan menukar elemen baris menjadielemen kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n m. Notasitranspose matriks n mA adalahAn mT.Jika A = |||||| ~6 5 31 2 4, tentukan AT dan ordonya.Jawab:Terlihat dari matriks A bahwa elemen baris ke-1 adalah 4, 2,dan 1, sedangkan elemen baris ke-2 adalah 3, 5, dan 6. Untukmengubah matriks A menjadi AT, posisikan elemen baris ke-1menjadikolomke-1danelemenbariske-2menjadielemenkolom ke-2 sehingga diperoleh AT = ||||||||||~ 6 15 23 4Ordo matriks A adalah 2 3, sedangkan ordo AT adalah 3 2.Tugas: Inkuiri Kerjakan di buku tugasBuatlah contoh-contoh ma-triksdenganordoyangberbeda-beda. Transposekanmatriks-matrikstersebut.Amatilahhasilnya.Kemu-dian, buatlah bentuk umummatriksberordomndanmatriks transposenya.Soal Kompetensi 1 Kerjakan di buku tugas1. Diketahui matriks A = ||||||||||~~ ~7 3 9 36 12 10 44 8 6 5.a. Sebutkan elemen matriks yang terletak pada1) baris ke-1;2) baris ke-3;3) baris ke-2;4) baris ke-3 dan kolom ke-4;5) baris ke-1 dan kolom ke-3;6) baris ke-2 dan kolom ke-1.38 Khaz Matematika SMA 3 Bhsb. Sebutkannomorbarisdannomorkolomyangmerupakan posisi dari masing-masing elemen berikut.1) 5 3) 3 5) 82) 6 4) 12 6) 10c. Tentukan ordo matriks A.d. Tentukan transpose matriks A dan ordonya.2. Tulislah koefisien-koefisien sistem persamaan linear berikutke dalam bentuk matriks.a. 2x + y = 5 c. 2x + 5y 3z = 66x 4y = 7 3x 7y z = 10 5x 9y + 6z = 12b. 5 = 7x + 8y d. 4x = 86 = 3x 4y 5y 6 = 0y = 03. Diketahui matriks P = [pij] ditentukan oleh P = ||||||~ 5 1 42 3 6.a. Tentukan ordo matriks P.b. Tentukan p22, p13, p23, p11, dan p21.c. Hitunglah p13 + p11, p23 p13, p22 p21, dan p11 : p12.d. Jika n = p13, hitunglah 122~ ~ +nn n.e. Tentukan transpose matriks P.4. Diketahui matriks B = ||||||25pq.a. Tentukan nilai p dan q jika p = 2a11 + a22 4 dan2q = 3a21.b. Hitunglah nilai dari p2 + q2.5. Diketahui matriks A = ||||||8 23 5vu.a. Tentukan AT.b. Dari hasil yang diperoleh pada soal a, tentukan u dan vjika 2u = 3a31 15 dan 4v 312a 8 = 0.6. Tentukan transpose dari masing-masing matriks berikut.a. A = 352617~||||||b. B = ~~~||||||||||3511261439 Matriksc. C =~[ ]5 2 3 4d. D = ~~~ ~||||||||||6450143215175 e. E = 3510~||||||||||||f. F = ~ ~~ ~||||||5 6 3 0 54 1 1 5 147. Diketahui matriks A berordo 2 3. Tentukan matriks A jikaa. aij = 2i + 3j; d. aij = 2i2 j2;b. aij = 8i 5j; e. aij = 6i2 + 2j 3;c. aij = i2 + j2; f. aij = 4j 4.8. DiketahuimatriksQadalahtransposedarimatriks5 4 32 6 08 9 13~~||||||||||.Tentukan nilai daria. q23 + q12 2q31; d. 5q32 + 4q13 2q22;b. 4q13 5q21 + 2; e. q11 q33c.q q2321123 + ~; f. q22 : q12 + 4q32.9. Jika matriks a a bb c a b c da e b e fa b g h g e+ ~+ + + ++ + ++ + ~ +||||||||||||2 3422 adalah matriks nol,tentukan nilai a, b, c, d, e, f, g, dan h.10. DiketahuitransposematrikPadalah 3 4 4 101 0 6 115 2 7 3~~ ~||||||||||.Tentukana. matriks P;b. nilai x dan y jika x = p23 + 3p32 5 dan y = p113 + 2p142.40 Khaz Matematika SMA 3 BhsB. Kesamaan Dua MatriksCoba perhatikan bahwa4 = 4;5 = 3 + 2;9 = 33.Perhatikan juga dengan matriks berikut.1 42 31 42 3|||||| = ||||||Matriks tersebut adalah dua matriks yang sama. Demikian jugadengan matriks berikut.1 3 12 31 22 2 12+|||||| =+||||||Tampakbahwaelemen-elemenseletakdarikeduamatriksmempunyai nilai yang sama. Sekarang, apakah matriks1 32 41 23 4

dan

||||||||||||merupakanduamatriksyangsama?Cobaselidiki,apakahelemen-elemen seletak dari kedua matriks mempunyai nilai yangsama?Jikakaliantelahmemahamikasusdiatas,tentukaliandapatmemahami definisi berikut.DuamatriksAdanBdikatakansama,ditulisA=BjikamatriksAdanBmempunyaiordoyangsamadansemuaelemen yang seletak bernilai sama.Elemen yang seletak adalah elemen yang terletak pada barisdan kolom yang sama.Kuis Kerjakan di buku tugasDiketahuiB = x y xx y+~ ~||||||1 danC = 122 3~~||||||||xy. MatriksA = BT. Jika A = C makax 2xy + y = ....a. 2b. 3c. 4d. 5e. 6UMPTN 1996Contoh 1:Diketahui A = ||||||1 23 4, B = 2 91216 12||||||||,C = ||||||~~1 23 4,dan D = ||||||6 1 25 4 3.Apakah A = B? Apakah A = C? Apakah A = D?41 MatriksJawab:Dari keempat matriks tersebut, tampak bahwa matriks A = Bkarena ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak nilainyasama. Matriks A=C karena meskipun ordonya sama, tetapielemen-elemenseletakadayangnilainyatidaksama,sedangkan A=D karena ordonya tidak sama.Contoh 2:Tentukannilai x, y, dan z jika ||||||~ yx2 112 = ||||||zy13 2.Jawab:Karena kedua matriks di atas sama dan elemen-elemen yangseletak bernilai sama, diperoleh x = 2, 12 = 3y atau y = 4, dan2 y = z atau z = 2.Jadi, x = 2, y = 4, dan z = 2.Soal Kompetensi 2 Kerjakan di buku tugas1. Tulislah pasangan matriks yang sama dari matriks-matriksberikut.A =3 2 1 ~[ ]B = ||||||~1 04 2C = ||||||~1 04 2D = ||||||~ 0 12 4E =3 2 1 ~[ ]F = ||||||||||~122G = ||||||||||~123H =4 2 1 ~[ ]K = ||||||2 13 62. Carilah nilai x dan y yang memenuhi persamaan matriksberikut.a.||||||~=||||||2 30 22 3 y xb.||||||~~=||||||~ 1 210 6210 421 yxTantanganEksplorasi Kerjakan di buku tugasDiketahui matriksA = 4 02 3 22 x yx+~|||||| danB = 8 02 7||||||. Tentukan nilai2x + 2y + 1.42 Khaz Matematika SMA 3 Bhsc.4 1573xy~~||||||= ||| ||| d.5 610 34 xy x+~||||||=~||||||3. Hitunglah nilai a dan b yang memenuhi persamaan matriksberikut.a.||||||=||||||~+1532 b ab ab.||||||~~=||||||+~31134 b ab a4. Tentukan nilai x, y, z, a, b, c, d, e, dan f jika matriks A = B.A = ||||||||||~~10 2 133 8 36 2 6B = x x y y zz a b b xx d y c e f~ +~ + ++ ~ +||||||||||2 5 32 25. Tentukan nilai s dan t jika matriks PT = Q.a. P = |||||| ~8 41 2 dan Q = ||||||+ 825 2t sb. P = ||||||||||~~0 5 410 7 91 2 6 3 s dan Q = ||||||||||+~ +0 10 35 7 64 1 2 3t ss6. Diketahui matriks A = ~ ~+||||||3 22 0x yx y dan B = ~||||||3 43 0.Tentukan nilai x dan y jika diketahui bahwa AT = B.7. Diketahui matriks A = 2 3 24 1 53 8 1~~~ ~||||||||||. Tentukan nilai p danq jika a22 p + a13 q = 1 dan a33 p + a32 q = 6.8. Tentukannilaixyangmungkindarikesamaanmatriksberikut.2 144 52 43 4 62xx+~|||||| =~+||||||( )Kuis Kerjakan di buku tugasDiketahuimatriksA=4 25 5 a b +||||||danmatriksB= 4 27 3+||||||b.JikaA=B,nilaiadanbberturut-turutadalah ....a. 2 dan 1b. 1 dan 2c. 1 dan 2d. 1 dan 2e. 3 dan 5UN 200743 MatriksMariBerdiskusiObservasi9. DiketahuiK= abc3 24 08 3 10~||||||||||danL= 6 3 24 0 28 4 10~||||||||||ab.Tentukan nilai a, b, dan c apabila K = L.10. DiketahuiM= 4 5216a bc c+||||||danN= 7 512 2ca b ~||||||.Tentukan a, b, dan c jika M = N.C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks1. Penjumlahan MatriksJumlah matriks A dan B, ditulis matriks A + B, adalah suatumatriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yangseletak dari matriks A dan B.Misalnya:Matriks a cb d |||||| dapat dijumlahkan dengan matriks e fg h

||||||;Matriks a b cd e f |||||| dapat dijumlahkan dengan matriks g h ij k l ||||||;dan seterusnya.Secara umum, jika matriks A = [aij] dan B = [bij] maka matriksA + B = [aij] + [bij] = [aij + bij].Bagaimanajikakeduamatriksmempunyaiordoyangtidaksama?Misalnya:matriks a cb d

|||||| dengan matriksa b cd e f ||||||. Dapatkahkedua matriks itu dijumlahkan?Coba kalian diskusikan dengan teman-teman kalian.Setelah melakukan diskusi tentang permasalahan di atas, tentukalian dapat menyimpulkan sebagai berikut.Syarat agar dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalahmempunyai ordo yang sama.44 Khaz Matematika SMA 3 BhsContoh:Diketahui A = |||||| ~1 32 5, B = ||||||~ 6 52 4,dan C = ||||||~~3 5 22 1 3.Tentukana. A + B;b. A + C.Jawab:a. A + B =|||||| ~1 32 5 + ||||||~ 6 52 4=||||||~ + ++ ~ +) 6 ( 1 5 32 2 4 5=||||||~ 5 80 9b. A + C = |||||| ~1 32 5 + ||||||~~3 5 22 1 3 tidak dapat dijumlahkankarena ordonya tidak sama.ProblemSolvingCarilah nilai x dan y yang memenuhi |||||| +yx31 2 + ||||||yx 4 = ||||||84.Jawab:

|||||| +yx31 2 + ||||||yx 4 = ||||||84= ||||||++ +y yx x34 1 2 = ||||||84= |||||| +yx41 6 = ||||||83Terlihat dari persamaan matriks ini, diperoleh 6x + 1 = 3= x = 31 dan 4y = 8=y = 2. Jadi, diperoleh nilai x = 31 dany = 2.45 Matriksa. Lawan Suatu MatriksSebelumkitamembahastentangpenguranganmatriks,terlebihdahuluakankitabicarakanmengenailawansuatumatriks.Lawan suatu matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennyamerupakanlawandarielemen-elemenmatriksA.Secara lebih jelas, dari suatu matriks A = [aij] dapat ditentukanlawan matriks yang ditulis dengan A sehingga A = [aij].Misalnya sebagai berikut.Jika A = ||||||1 23 4, lawan matriks A adalah A = ||||||~ ~~ ~1 23 4.Jika B = ||||||||||~~~4 11 20 3, lawan matriks B adalah B = ||||||||||~~4 11 20 3.b. Pengurangan terhadap MatriksPengurangan matriks A dan B, ditulis A B, adalah suatumatriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemenyang bersesuaian letak dari matriks A dan B. Atau, matriks A Badalahmatriksyangdiperolehdengancaramenjumlahkanmatriks A dengan lawan dari matriks B, yaituA B = A + (B)denganBadalahlawanmatriksB.Sepertihalnyadenganpenjumlahan matriks, syarat agar dua matriks atau lebih dapatdikurangkan adalah mempunyai ordo yang sama. Secara umum,jika A = [aij] dan B = [bij] maka A B = [aij] [bij] = [aij bij]2. Pengurangan MatriksContoh 1:Diketahui A = ||||||6 23 5 dan B = ||||||~~3 01 2. Tentukan A B.Jawab:Cara 1:KarenaB = ||||||~=||||||~~3 01 2 3 01 2 maka diperoleh sebagaiberikut.46 Khaz Matematika SMA 3 BhsA B = A + (B) = ||||||6 23 5 + ||||||~3 01 2= ||||||+ ++ ~ +3 6 0 21 3 ) 2 ( 5= ||||||9 24 3Cara 2:A B = ||||||6 23 5 ||||||~~3 01 2 = ||||||~ ~ ~~ ~ ~) 3 ( 6 0 2) 1 ( 3 2 5 = ||||||9 24 3Agarkaliandapatmenemukansendirisifat-sifatpenjum-lahan matriks, lakukan Aktivitas berikut.Contoh 2:Hitunglah X jika diketahui |||||| ~3 45 6 + X = ||||||0 103 2.Jawab:X = 2 310 0|||||| |||||| ~3 45 6 = ||||||~~3 68 43. Sifat-Sifat Penjumlahan MatriksAktivitasTujuan : Menemukansifat-sifatpenjumlahanmatriksPermasalahan : Sifat-sifatapakahyangberlakupadapenjumlahan matriks?Kegiatan : Kerjakan soal-soal berikut di buku tugas.1. Diketahui matriks A = ||||||5 21 3,B = ||||||~ 5 12 4, dan C = |||||| ~8 75 6.Tentukan hasil penjumlahan berikut,kemudiantentukansifatapayangberlaku.47 MatriksBerdasarkan Aktivitasdiatasdapatditemukansifat-sifatpenjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut.Jika A, B, dan C matriks-matriks yang berordo sama maka padapenjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut.a. A + B = B + A (sifat komutatif)b. (A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif)c. Unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehinggaA + O = O + A = A.d. Invers penjumlahan A adalah A sehingga A + (A) = (A) + A = O.a. A + B c. (A + B) + Cb. B + A d. A + (B + C)2. Untuk matriks A = ||||||~~7 2 25 1 3 danO =||||||0 0 00 0 0, ordo A adalah 2 3 danordo O adalah 23, apakah A + O =O + A? Apakah A + O = O + A berlakuuntuksemuamatriksyangdapatdijumlahkan?3. Diketahui matriks A = ||||||~ ~~4 7 58 6 2.Tentukan A + (A) dan (A) + A. Matriksapakah yang kalian peroleh?Kesimpulan : Berdasarkan kegiatan di atas, sifat apa sajayang kalian peroleh?PerhatianUntuk pengurangan matrikstidakberlakusifatkomu-tatif,sifatasosiatif,dantidakmempunyaiunsuridentitas.MariBerdiskusiInkuiriCoba kalian buktikan sifat-sifat penjumlahan matriks di atas,dengan memisalkan matriks A = [aij], B = [bij], C = [cij], dan O = [oij],untuk oij = 0. Ingat matriks A =

a a aa a aa a a11 12 121 22 21 2............nnm m mnM M M M|||||||||||| dapatditulis [aij];i = 1, 2, 3 ... mj = 1, 2, 3 ... n48 Khaz Matematika SMA 3 BhsSoal Kompetensi 3 Kerjakan di buku tugas1. DiketahuimatriksA= ||||||||||~~6 14 25 3danB= ||||||||||~3 70 51 2.Tentukana. A + B; d. AT BT;b. A B; e. B A;c. AT + BT; f. BT AT.2. Diketahui matriks P = |||||| ~8 67 5, Q = |||||| ~0 21 3, danR = ||||||~ ~ 5 34 0.Tentukana. P + Q; e. P (Q + R);b. Q P; f. (P + Q) (P + R);c. P R; g. (P + Q + R)T ;d. (P + Q) R; h. (P + Q)T + RT .3. Tentukan lawan dari matriks-matriks berikut.a. A =3 4 5 ~[ ]d. D = ~ ~~ ~~ ~||||||||||2 5 83 6 94 7 10b. B = 2 01 3 ~||||||e. E = ~||||||||||3 1 72 5 80 6 1c. C = 4 1 0 42 5 3 1~~ ~ ~||||||4. Carilah nilai a, b, c, dan/atau d yang memenuhi persamaanberikut.a. a b c[ ] +~[ ]5 6 7=3 2 1 ~[ ]b.||||||||||cba23 + ||||||||||~4510 = ||||||||||~632c.||||||~ d cb a23 ||||||3 510 16 = ||||||~~3 64 1249 Matriksd.||||||+~5 1 24 3ca |||||| ~d ab3 22 = ||||||~~16 55 75. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut.a. X = |||||| ~0 21 5 +||||||~ 4 12 3 |||||| ~0 12 3b.||||||~10 47 5 + X = ||||||~~4 812 6c.|||||| ~a aa a9 75 4 X = ||||||~ a aa a4 63 2d. XT ||||||~~10 98 7 = ||||||~1 08 46. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut.a.||||||yx + ||||||~yy 2 = ||||||~51b.||||||~+41 2xx ||||||~ yy 3 = ||||||~ 29c.||||||++1 2 105 4xx + ||||||yy3 63 = ||||||~1 168 4d.||||||+~2 1 33 2 6xx ||||||~+ ~4 1 22 4 2yy = ||||||~ ~ 2 75 47. Diketahui 5 5313~~||||||+~~||||||bdb= 2 112 14 3cc a +||||||+~||||||.Tentukan nilaia. a;b. b;c. c;d. d;e. a + b + c;f. 3a + 4b d;g. 5a 4b2;h. a2 + 2b c.8. TabelberikutmenunjukkannilaiujianyangdiperolehNiadanDoniuntukmatapelajaranMatematika,Sejarah, TIK,dan Bahasa Inggris.50 Khaz Matematika SMA 3 BhsMata PelajaranUjian Ke-1 Ujian Ke-2 Ujian Ke-3Nia Doni Nia Doni Nia DoniMatematika 96 75 80 83 95 93Sejarah 67 73 81 87 68 75TIK 76 79 82 81 85 86Bahasa Inggris 84 81 94 97 93 88a. Misalkan matriks A menyatakan ujian ke-1, matriks Bmenyatakan ujian ke-2, dan matriks C menyatakan ujianke-3. Nyatakan nilai-nilai tersebut dalam bentuk matriks.b. Tentukan hasil A + B + C.c. UntukmatapelajaranapakahjumlahnilaiDonilebihtinggi dari nilai Nia?9. Vinadan Adibelanjabarang-barangkeperluansekolahditoko yang sama. Vina membeli 2 buku dan 3 pena denganmembayarRp6.000,00.Adimembeli4bukudan3penadenganmembayarRp9.000,00.Nyatakanjumlahbarang-barangyangdibelikeduaanaktersebutdalammatriks.Nyatakan pula harga-harga barang itu dalam suatu matriks.Dapatkahmatriksjumlahbarangdanmatriksharga-hargabarang di atas dijumlahkan? Mengapa?10. Berikut diberikan daftar harga barang kebutuhan pokok (perkg) dalam 4 hari di 3 toko yang berbeda dalam rupiah.a. Nyatakan daftar harga barang kebutuhan pokok di atasdalam bentuk matriks.b. Tentukan jumlah harga barang selama 4 hari berturut-turut.c. Dari hasil b, harga barang apakah dan di toko manakahyang paling murah dan paling mahal?Gandum 4.100 4.100 4.000 4.200 4.200 4.000 4.100 4.000 4.000 4.300 4.250 4.100Beras 5.200 5.050 5.100 5.400 5.100 5.200 5.300 5.400 5.150 5.000 5.100 5.050Minyak 7.700 7.300 7.400 7.600 7.400 7.100 7.500 7.500 7.300 7.400 7.100 7.200gorengNamaBarangMinggu Senin Selasa RabuToko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko C Toko A Toko B Toko CD. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks1. Pengertian Perkalian Suatu Skalar dengan MatriksMisalkan A suatu matriks berordo m n dan k suatu skalarbilanganreal.MatriksB=kAdapatdiperolehdengancaramengalikan semua elemen A dengan bilangan k, ditulis sebagaiberikut.51 MatriksB = k

a a aa a aa a a11 12 121 22 21 2............nnm m mnM M M M|||||||||||| =

ka ka kaka ka kaka ka ka11 12 121 22 21 2............nnm m mnM M M M||||||||||||Contoh:Diketahui A = ||||||~ 2 31 5 dan B = ||||||~ 8 26 4.Tentukana. 3A; b. 6B; c. 3A + 2B.Jawab:a. 3A = 3||||||~ 2 31 5 = ||||||~ ) 2 ( 3 ) 3 ( 3) 1 ( 3 ) 5 ( 3 = ||||||~ 6 93 15b. 6B = 6||||||~ 8 26 4 = ||||||~ ) 8 ( 6 ) 2 ( 6) 6 ( 6 ) 4 ( 6= ||||||~ 48 1236 24c. 3A + 2B = 3||||||~ 2 31 5 + 2||||||~ 8 26 4= ||||||~ ~ ~~ ~) 2 ( 3 ) 3 ( 3) 1 ( 3 ) 5 ( 3 + ||||||~ ) 8 ( 2 ) 2 ( 2) 6 ( 2 ) 4 ( 2= ||||||~~ ~6 93 15 + ||||||~ 16 412 8 = ||||||~10 59 72. Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Real (Skalar) dengan MatriksPerkalian bilangan real (skalar) dengan suatu matriks dapatdilakukan tanpa syarat tertentu. Artinya, semua matriks denganordo sembarang dapat dikalikan dengan bilangan real (skalar).Misalkan A dan B matriks-matriks berordo mn serta k1dan k2 bilangan real (skalar), berlaku sifat-sifat berikut.a. k1(A + B) = k1A + k1Bb. (k1 + k2)A = k1A + k2Ac. k1(k2A) = (k1k2) A52 Khaz Matematika SMA 3 BhsBuktiDi buku ini, hanya akan dibuktikan sifat a. Misalkan k1 skalar, Adan B matriks berordo m n.

Aa a aa a aa a aBb b bb b bb b bnnm m mnnnm m mn=[\||||)jjjj=[\||||)jjjj11 12 121 22 21 211 12 121 22 21 2KKM M K MKKKM M K MK, dank1 (A + B) = k1

a a aa a aa a ab b bb b bb b bnnm m mnnnm m mn11 12 121 22 21 211 12 121 22 21 2KKM M K MKKKM M K MK[\||||)jjjj+[\||||)jjjj||||||||||||||= k1

a b a b a ba b a b a ba b a b a bn nn nm m m m mn mn11 11 12 12 1 121 21 22 22 2 21 1 2 2+ + ++ + ++ + +[\||||)jjjjLLM M ML=

k a b k a b k a bk a b k a b k a bk a b k a b k a bn nn nm m m m mn mn1 11 11 1 12 12 1 1 11 21 21 1 22 22 1 2 21 1 1 1 2 2 1+( )+( )+( )+( )+( )+( )+( )+( )+( )[\||||)jjjjLLM M ML=

k a k b k a k b k a k bk a k b k a k b k a k bk a k b k a k b k a k bn nn nm m m m mn mn1 11 1 11 1 12 1 12 1 1 1 11 21 1 21 1 22 1 22 1 2 1 21 1 1 1 1 2 1 2 1 1+ + ++ + ++ + +[\||||)jjjjLLM M ML=

k a k a k ak a k a k ak a k a k ak b k b k bk b k b k bk b k b k bnnm m mnnnm m mn1 11 1 12 1 11 22 1 21 1 21 1 1 2 11 11 1 12 1 11 21 1 22 1 21 1 1 2 1KKM M K MKKKM M K MK[\||||)jjjj+[\||||)jjjjj=

ka a aa a aa a akb b bb b bb b bnnm m mnnnm m mn111 12 122 21 21 2111 12 121 22 21 2KKM M K MKKKM M K MK[\||||)jjjj+[\||||)jjjj= k1 A + k1 B ................................................ (terbukti)Kuis Kerjakan di buku tugasDiketahuipersamaanma-triks berikut.x yz2521657212 1 ~||||||||||+~~||||||||||=~~~||||||||||.Nilai z = ....a. 2b. 0c. 3d. 6e. 30UMPTN 199953 MatriksCara membuktikan sifat ini dapat juga dilakukan sebagai berikut.Misalkan matriksA = [aij] dan B = [bij], dengan i = 1, 2, ..., mdan j = 1, 2, ..., n.k1(A + B) = k1([aij] + [bij])= k1([aij + bij])= [k1(aij + bij)]= [k1aij + k1bij]= [k1aij] + [k1bij]= k1[aij] + k1[bij]= k1A + k1B .............................................. (terbukti)Soal Kompetensi 4 Kerjakan di buku tugas1. DiketahuiA= ||||||~ ~~2 7 63 8 5.Tentukanhasiloperasimatriks berikut.a. 3A c. 4ATb. ATd. 5A + 2A2. Diketahui A = ||||||~ ~ 10 28 4 dan B = ||||||~~2 01 1. Tentukanhasil operasi matriks berikut.a. 2A + Bb.21A Bc. 3AT + BTd. 4AT + A Be. AT + Bf. (AT + 2BT)3. Tentukan X jika diketahuia. 2X ||||||~6 51 2 = ||||||~~8 117 6;b. 2XT + ||||||||||~~8 2 87 3 25 1 6 = ||||||||||~~~6 4 25 1 07 3 10;c.31||||||~~0 12 36 9 6 = XT;d.31X = ||||||||||~ ~3 123 915 632.Tugas: Eksplorasi Kerjakan di buku tugasBuktikankebenaransifat-sifat perkalian skalar denganmatriks b dan c di atas.54 Khaz Matematika SMA 3 Bhs4. Tentukan nilai p, q, r, dan s yang memenuhi persamaanberikut.a.522 1p q~|||||| = |||||| ~5 2520 10b.||||||~ 52 321rp q = ||||||~ s 2 41 9c.||||||~ pr p364 = ||||||+~ ~q r 2 38 43d.||||||+ ~~r s rq p 22= ||||||||~ ~ q pq214 45. Tentukannilaip,q,r,dansjikadiketahuipersamaanberikut.361 2543p qr sp p qr s|||||| =~||||||+++||||||6. Diketahuix yz2521657212 1 ~||||||||||+~~||||||||||=~~~||||||||||. Tentukan nilai z.7. Diketahuix xy233112212||| |||+~|||||| =~||||||. Tentukan nilai y.8. Diketahui matriks A = 61||| |||, B = 31||| |||, dan C = 185||||||.Jika Ax + By = C, tentukan titik potong koordinat yangterjadi antara dua buah persamaan garis yang terbentuk.9. Diketahuipersamaanx yz2521657212 1 ~||||||||||~||||||||||=~~~||||||||||.Tentukannilai x, y, dan z.10. Jika x0 dan y0 memenuhi persamaan 4 16 03 4 7 0x yx y~ + =+ ~ =|| danx0 = px y 30 0~ maka tentukanlah nilai-nilai berikut.a. x0, y0, dan p c. 3y0 + pb. 4y0 + x0d. 6x0 2y0 + p55 MatriksE. Perkalian Matriks1. Pengertian Perkalian MatriksUntuk memahami pengertian perkalian matriks, perhatikanilustrasi berikut ini. Rina membeli bolpoin dan buku di dua tempatyangberbeda.DitokoI,iamembeli3bolpoindan2buku,sedangkan di toko II, ia membeli 4 bolpoin dan 3 buku. Hargabolpoin dan buku di kedua toko tersebut sama, yaitu Rp2.500,00dan Rp4.000,00 per buah. Berapa uang yang dikeluarkan Rina?UntukmenghitungjumlahuangyangdibayarolehRinadapat langsung kita hitung dengan cara mengalikan banyaknyabarang dengan harga masing-masing sebagai berikut.Tempat Bolpoin BukuToko I 3 2Toko II 4 3Barang HargaBolpoin Rp2.500,00Buku Rp4.000,00Toko I : (3 Rp2.500,00) + (2 Rp4.000,00) = Rp15.500,00Toko II : (4 Rp2.500,00) + (3 Rp4.000,00) = Rp22.000,00Di samping itu, pernyataan di atas dapat disajikan dalam bentukmatriks sebagai berikut.P = ||||||3 42 3 menyatakan banyak bolpoin dan buku yang dibeliRina. Baris 1 menyatakan toko I dan baris 2 untuk toko II.Q = ||||||000 . 4500 . 2 menyatakan harga masing-masing bolpoin dan buku.Daftar jumlah uang yang dikeluarkan Rina dapat dilihat padatabel berikut.Tempat Harga PembelianToko I 3 Rp2.500,00 + 2 Rp4.000,00 = Rp15.500,00Toko II 4 Rp2.500,00 + 3 Rp4.000,00 = Rp22.000,00Tabelpengeluarandiatasbersesuaiandenganperkalianmatriks P Q, yaituP Q = 3 24 3||||||||||||000 . 4500 . 2 = 3 2 5004 2 500 2 4.000 3 4.000 + + ||||||..= 15 50022 000..||||||.Kuis Kerjakan di buku tugasJika diketahuim n2 31 24 324 2314 13|||||||||||| = ||||||maka nilai m dan n masing-masing adalah ....a. 4 dan 6b. 5 dan 4c. 5 dan 3d. 4 dan 5e. 3 dan 7UMPTN 199856 Khaz Matematika SMA 3 BhsContoh:Dari uraian di atas, matriks P berordo 2 2 dan matriks Qberordo 2 1, sedangkan P Q berordo 2 1 sehingga baganperkalian dan hasil kalinya mempunyai hubungan sebagai berikut.ordo hasil kali(2 2) (2 1) =(2 1) samaSecara umum, perkalian matriks didefinisikan sebagai berikut.Misalkan A matriks berordo m p dan B matriks berordo p nmakaA BadalahsuatumatriksC=[cij]berordom nyang elemen-elemennya pada baris ke-i, yaitukolom ke-j (cij)diperolehdaripenjumlahanhasilkalielemen-elemenyangbersesuaian pada baris ke-i matriks A dan kolom ke-j matriks B.Diketahui matriks A = ||||||~12, B =~[ ]3 2 , C = ||||||~ 4 13 2, danD = |||||| ~ ~1 6 21 5 4.Tentukana. A B; c. C D;b. B C; d. A C.Jawab:a. A B = 213 2~||||||~[ ] = ||||||~ ~ ~~) 2 ( 1 ) 3 ( 1) 2 ( 2 ) 3 ( 2 = ||||||~~2 34 6Bagaimana hasil perkalian dari B A?b. B C =~[ ]3 2||||||~ 4 13 2 = [(3 2) + (2 (1))(3 3) + (2 4)] =~ ~[ ]8 1Bagaimana hasil perkalian dari C B?c. C D= ||||||~ 4 13 2|||||| ~ ~1 6 21 5 4= |||||| + ~ ~ + ~ ~ + ~ + ~ + ~ + ) 1 4 ) 1 ( 1 ( ) 6 4 ) 5 ( 1 ( ) 2 4 ( ) 4 1 () 1 3 ) 1 ( 2 ( 6 3 ) 5 ( 2 ( ) 2 3 ( ) 4 2 (57 MatriksSyarat dua matriks dapat dikalikan adalah jika banyak kolommatrikskirisamadenganbanyakbarismatrikskanan.Jikaperkalian A B ada (dapat dikalikan) maka dikatakan bahwaa. matriks B dikali dari kiri oleh matriks A;b. matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.d. A C= ||||||~12||||||~ 4 13 2tidakdapatdikalikankarenabanyak kolom matriks A tidak sama dengan banyak barismatriks C.2. Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dari KananContoh:Diketahui matriks A = |||||| ~3 12 4 dan B = ||||||~ 2 43 2.Tentukan hasil perkaliana. matriks A dikali dari kiri oleh matriks B;b. matriks A dikali dari kanan oleh matriks B.Jawab:a. Matriks A dikalikan dari kiri oleh matriks B, berartiB A = ||||||~ 2 43 2|||||| ~3 12 4 = ||||||~14 145 11.b. Matriks A dikalikan dari kanan oleh matriks B, berartiA B = |||||| ~3 12 4||||||~ 2 43 2 = ||||||~3 1416 0.Tampak dari hasil di atas bahwa A B=B A, artinyaperkalian matriks tidak bersifat komutatif.3. Sifat-Sifat Perkalian MatriksMisalkanmatriksA,B,danCdapatdikalikanataudijumlahkan.Untukmemahamisifat-sifatperkalianmatriks,lakukan Aktivitas berikut.AktivitasTujuan : Menemukan sifat-sifat perkalian matriks.Permasalahan : Sifat-sifatapakahyangberlakupadaperkalian matriks?58 Khaz Matematika SMA 3 BhsBerdasarkan Aktivitas di atas ditentukan sifat-sifat perkalianmatriks sebagai berikut.Kegiatan : Kerjakan (selidiki) soal berikut di buku tugas.DiketahuimatriksA= ||||||~ 0 22 1,B=||||||~5 43 2,danC= |||||| ~0 13 2.Jikak=2,tentukan hasil perhitungan berikut.a. A B dan B A. Apakah A B = B A?Apa kesimpulanmu?b. (A B) C dan A (B C).Apakahhasilnyasama?Apakesim-pulanmu?c. A (B + C), (C B) + (A C), dan(A C) + (A B).Bagaimanahubunganketigaoperasiperkalian matriks tersebut?d. A IdanI AdenganImatriksidentitas.Hubungan apa yang terbentuk?e. A O dan O A dengan O matriks nolordo 2 2.Apakah A O = O A = O?f. (kA) B dan k(A B). Apakah (kA) B= k(A B)?Kesimpulan : Sifat-sifat apakah yang kalian temukan darikegiatan di atas?Kuis Kerjakan di buku tugasDiketahuimatriksA=xy11 ~||||||; B = 3 21 0||||||;C = 1 01 2 ~ ~||||||.Nilai x + y yang memenuhipersamaanAB2B=Cadalah ....a. 0b. 2c. 6d. 8e. 10UMPTN 1998Kuis Kerjakan di buku tugasJika diketahui4 23 26 811 6x ~||||||+~~ ~||||||=23 12 40 31 1 ~||||||+~||||||makanilai x adalah ....a. 0b. 10c. 13d. 14e. 25UMPTN 1998Jika k bilangan real (skalar); A, B, dan C matriks yang dapatdikalikan; serta B dan C dapat dijumlahkan maka berlakusifat-sifat perkalian matriks sebagai berikut.a. Tidak komutatif, yaitu A B=B A.b. Asosiatif, yaitu (A B) C = A (B C).c. Distributif, yaitu:1) distributif kiri: A (B + C) = (A B) + (A C);2) distributif kanan: (A + B) C = (A C) + (B C).d. Perkalianmatriks-matrikspersegidenganmatriksidentitas I, yaitu A I = I A = A (ordo I sama denganordo matriks A).e. Perkalian dengan matriks O, yaitu A O = O A = O.f. Perkalian dengan skalar, yaitu (k A) B = k(A B).59 MatriksAktivitasTujuan : Menentukanhasilperkalianmatriksdengan bantuan software komputer.Permasalahan : Bagaimanacaramenentukanhasilperkalianmatriksdenganmenggunakansoftware komputer?Kegiatan : KitaakanmenentukanmatriksinversdenganMicrosoftExcel.FungsiyangdigunakanadalahMMULT.Misalnya,akanditentukanhasilperkalianmatriks1 23 41 45 6||||||||||||.Untuk itu lakukan langkah-langkah berikut.1. Masukkanelemen-elemenmatrikspada sel-sel Microsoft Excel.2. Tentukan hasil kali matriks A denganB.Caranyaadalahsebagaiberikut.Bloksel-selyangakanditempatielemen-elemen matriks hasil kali darimatriks A dan B. Ketik = MMULT(,kemudian sorot sel-sel yang mengan-dung matriks A tadi. Kemudian, ketik;.Sorotsel-selyangmengandungelemen-elemenmatriksBdiikutidengan mengetik ). Tekan CTRL +SHIFT + ENTER maka matriks hasilkali dari A dan B akan muncul.Kesimpulan : Jikakalianmelakukanlangkah-langkahyang diinstruksikan dengan benar, kalianakan memperoleh hasil berikut.TantanganEksplorasi Kerjakan di buku tugasMisalkan diberikan matriksA = 1 1 13 2 12 1 0~~ ~~|||||||||| danB = 1 2 32 4 61 2 3||||||||||.Tunjukkanbahwahasilperkalian AB adalah matriksnol.60 Khaz Matematika SMA 3 Bhs4. Perpangkatan Matriks PersegiJika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matrikspersegi, maka An = A A A ... A (sebanyak n faktor) ataudapat juga dituliskan An = A An1 atau An = An1 A.Contoh:Diketahui matriks A = ||||||~~3 12 1. Tentukana. A2; b. A3; c. 2A4.Jawab:a. A2 = A A = ||||||~~3 12 1||||||~~3 12 1 = ||||||~~11 48 3b. A3 = A A2 = ||||||~~3 12 1||||||~~11 48 3 = ||||||~~41 1530 11Dengan cara lain, yaitu A3 = A2 A, diperolehA3 = A2 A = ||||||~~=||||||~~||||||~~41 1530 11 3 12 1 11 48 3Ternyata, A2 A = A A2 = A3.c. 2A4 = 2A A3 = 2||||||~~3 12 1||||||~~41 1530 11= 241 11256 153~~|||||| = ||||||~~306 112224 82TantanganEksplorasi Kerjakan di buku tugasSelidiki, manakah pernyata-anberikutyangbenar.MisalkanAdanBmatrikspersegi.a. AB2 = BABb. A2 B2 = (A + B)(A B)c. (A2)2 = A4Tugas: Observasi Kerjakan di buku tugasDarisoalpadacontohdiatas, coba selidiki, apakah2A3 A = 2A2 A2 = 2A A3?Soal Kompetensi 5 Kerjakan di buku tugas1. Hitunglah perkalian matriks-matriks berikut.a. 1 2 4564~[ ]~~|||||||||| b.||||||~~|||||| ~2 61 2 1 34 561 Matriksc.||||||||||~~||||||~~5 70 41 1 6 3 25 1 10TantanganInkuiri Kerjakan di buku tugasDiberikanA= ii00||||||dengan i = ~1. Tunjukkanbahwaa. A4 = Ib. A5 = Ac. A6 = Id. A7 = Auntuk I = 1 00 1||||||.d.~||||||||||~[ ]3425 4 12. Diketahui matriks A = ||||||~2 13 2 dan I matriks identitas.Tentukana. A2; d. A3 + I;b. 3A2 + I; e. A2 2A + I.c. A AT;3. Diketahui matriks U = ||||||~~1 31 2, V = ||||||~ 0 13 2, danW = |||||| ~2 43 5.Tentukana. (U V) W; d. UT VT W;b. UT (V W); e. UT (V W)T;c. (U V)T W; f. W U VT.4. Tentukannilaidariadanbyangmemenuhipersamaanmatriks berikut.a.||||||~|||||| ~43 32ba = ||||||~514b.|||||||||||| ~a ba 6 42 3 = ||||||~ 816c.||||||~||||||~+32 3 31 2a ba a = ||||||~204d.||||||||||||~~ba 2 41 2 = ||||||~ 916e.||||||||||||~ba 1 34 2 = ||||||~ 916f.||||||||||||bb aaa2 5 01 2 = ||||||~~4 44 1362 Khaz Matematika SMA 3 Bhs5. Misalkan A dan B matriks-matriks yang dapat dikalikan sertaA dan C juga dapat dikalikan. Apakah berlaku jika A B =A C maka B = C? Tunjukkan dengan contoh dan berikanalasanmu.6. Jikadiketahui a b~||||||~|||||| =~||||||3 25 24 32 137 12,tentukannilaia2 + b2.7. Jika titik A merupakan perpotongan dua garis yang disajikanolehpersamaanmatriks 1 11 111~||||||||| ||| =~||||||xy,tentukankoordinat titik A.8. Jika titik B merupakan perpotongan dua garis yang disajikanoleh persamaan matriks 1 23 248~||||||||| ||| = ||| |||xy dan garis k(k dan l) adalah garis yang melalui titik B dan titik asal O,tentukan persamaan garis k yang melalui C(2, 3) dan sejajargaris l.9. Diketahui matriks P = ||||||||||~1 2 50 3 11 4 2 dan Q = ||||||||||~~4 1 02 1 20 3 1.Tentukan hasil perkalian matriks berikut.a. P Qb. P2c. (P + Q) (P Q)d. QT (P + Q)Te. (P Q)T Pf. PT (P Q)T10. Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut.2x + 3y + z = 64x 3y + z = 2x y z = 1Susunlahsistempersamaanitudalambentukpersamaanmatriks. (Ingat aturan perkalian matriks)Kuis Kerjakan di buku tugasNilaipyangmemenuhipersamaan matriks22 11 36 24 1 ~||||||+ ~~||||||p= 2 11 10 12 4~||||||+ ||||||adalah....a. 2b. 1c. 0d. 1e. 2SPMB 2004F. Invers Suatu MatriksDuahalpentingyangdiperlukandalammencariinversmatriksadalahtransposedandeterminansuatumatriks.Padasubbab sebelumnya, kalian telah mempelajari transpose matriks.Sekarang, kita akan me