MA5031 Analisis Real LanjutSemester I, Tahun 2015/2016

Hendra Gunawan

Matematika & Analisis Real

Matematika berurusan dengan gagasan, yang mungkin merupakan abstraksi atau sari dari sesuatuyang terdapat di alam. Sebagai contoh, lingkaran(yang didefinisikan sebagai himpunan semua titikyang berjarak sama dari sebuah titik di bidang) merupakan gagasan yang terinspirasi oleh benda-benda bundar seperti koin, roda, dan lain-lain.Matematikawan kemudian bercengkerama denganberbagai gagasan tersebut, melakukan pernalarandan menarik kesimpulan via logika.Analisis Real berurusan dengan bilangan real, dengan gagasan ke-tak-terhingga-an-nya.

2(c) Hendra Gunawan (2015)

Materi Kuliah

1. Pendahuluan2. Konstruksi Bilangan Real3. Topologi Bilangan Real4. Fungsi Kontinu5. Turunan6. Integral7. Barisan dan Deret8. Ruang Euclid dan Ruang Metrik

Buku Rujukan:Robert S. Strichartz, “The Way of Analysis”, Jones and Bartlett Publishers, 2000

3(c) Hendra Gunawan (2015)

I

IIEvaluasi:UTS = 40%, UAS = 50%, PR = 10%

1. Pendahuluan

1.1 Logika Kuantor- Pernyataan berkuantor- Tabel Kebenaran: Tidak P, P dan Q, P atau Q,

P h.j. Q, P j.h.j. Q1.2 Himpunan Tak Terhingga

- Himpunan terhitung- Himpunan tak terhitung

1.3 Bukti (dan Pembuktian)1.4 Sistem Bilangan Rasional

4(c) Hendra Gunawan (2015)

1.1 Logika Kuantor

Banyak kalimat dalam matematika mengandungkuantor. Sebagai contoh: “Setiap bilangan genapyang lebih besar daripada 2 dapat dituliskansebagai jumlah dua bilangan prima.”

Terdapat dua jenis kuantor:• Kuantor universal:

“untuk setiap”, “untuk semua”, …

• Kuantor eksistensial: “terdapat”, “ada”, “beberapa”, …

5(c) Hendra Gunawan (2015)

Benar atau Salah?

1. Terdapat bilangan asli n sehingga untuk setiapbilangan rasional positif r berlaku r ≤ n.

2. Terdapat bilangan rasional positif r sehinggauntuk setiap bilangan asli n berlaku n < r.

3. Untuk setiap bilangan rasional positif r terdapatbilangan asli n sehingga berlaku r ≤ n.

Catatan. Salah satu dari pernyataan di atas merupakan variasidari Sifat Archimedes.

6(c) Hendra Gunawan (2015)

Benar atau Salah?

1. Terdapat bilangan rasional r sehingga untuksetiap bilangan asli n berlaku

2. Untuk setiap bilangan asli n terdapatbilangan rasional r sehingga berlaku

1 1 1... .1 2

rn

+ + + ≤

1 1 1... .1 2

rn

+ + + ≤

7(c) Hendra Gunawan (2015)

Benar atau Salah?

1. Terdapat bilangan rasional r sehingga untuksetiap bilangan asli n berlaku

2. Untuk setiap bilangan asli n terdapatbilangan rasional r sehingga berlaku

2 2 2

1 1 1... .1 2

rn

+ + + ≤

2 2 2

1 1 1... .1 2

rn

+ + + ≤

8(c) Hendra Gunawan (2015)

Kuantor Tersembunyi

Ubahlah kalimat berikut menjadi kalimatberkuantor:

1. Ruas garis selalu mempunyai titik tengah.

2. 2 merupakan satu-satunya bilangan prima yang genap.

3. Tidak ada bilangan prima terbesar.

9(c) Hendra Gunawan (2015)

Tabel KebenaranP Q Tidak P P dan Q P atau Q P h.j. Q P j.h.j. Q

B B S B B B B

B S S S B S S

S B B S B B S

S S B S S B B

Catatan: “P h.j. Q” dibaca “P hanya jika Q”, setara dgn “Jika P, maka Q” atau “Q jika P”.

10(c) Hendra Gunawan (2015)

Benar atau Salah?

1. Jika r > 1, maka r2 > 1.

2. Jika r2 > 1, maka r > 1.

3. Terdapat bilangan rasional r < 1 sehingga r2 > 1.

4. Terdapat bilangan rasional r > 1 sehingga r2 < 1.

11(c) Hendra Gunawan (2015)

1.2 Himpunan Tak Terhingga

Himpunan (semua) bilangan asli N = {1, 2, 3, …} merupakan himpunan tak terhingga (dengankardinalitas ℵ0).Himpunan A dikatakan terhitung (atauterbilang) apabila terdapat korespondensi 1-1antara A dan N.Jika terdapat pemetaan dari N pada himpunanB, maka B mesti merupakan himpunan terhitungatau terhingga.

12(c) Hendra Gunawan (2015)

Latihan

Konstruksi suatu korespondensi 1-1 antarahimpunan (semua) bilangan bulat Z danhimpunan (semua) bilangan asli N. (Dengandemikian, kita dapat menyimpulkan bahwaZ terhitung).

13(c) Hendra Gunawan (2015)

Himpunan Terhitung

• Irisan dua himpunan terhitung dapatmerupakan himpunan terhingga, termasukhimpunan kosong.

• Jika A dan B terhitung, maka A U B terhitung. Bahkan, jika A1, A2, A3, … terhitung, maka

terhitung.1

kk

A∞

=

14(c) Hendra Gunawan (2015)

Paradoks Hotel Hilbert

Hilbert mempunyai sebuah hotel yang memilikikamar sebanyak ℵ0. Pada suatu malam, ketikaseluruh kamar telah terisi, datang seorang tamuhendak menginap. Dengan enggan, resepsionismenelepon manajer hotel, menanyakan apayang dapat dilakukan terhadap tamu tersebut. Jawab sang manajer: “terima tamu tersebut; kitadapat menyediakan kamar untuknya.” Tetapi, kata si resepsionis, “bagaimana caranya?”

15(c) Hendra Gunawan (2015)

Himpunan Tak Terhitung

Apakah setiap himpunan tak terhingga merupa-kan himpunan terhitung?

Jawabannya ternyata tidak.

Contohnya adalah himpunan semua himpunanbagian dari N, yakni 2N. (Buktikan!)

Himpunan bilangan real (yang akan kita bahasnanti) juga merupakan himpunan tak terhitung(dengan kardinalitas 𝖈).

16(c) Hendra Gunawan (2015)

1.3 Bukti (dan Pembuktian)

Kebenaran suatu kalimat atau pernyataan mate-matika (selain definisi dan aksioma) diterimaapabila telah dibuktikan.Secara prinsip, yang dimaksud dengan buktiadalah suatu rangkaian argumen logis darihipotesis ke kesimpulan (dari pernyataan yang sedang ingin dibuktikan).

17(c) Hendra Gunawan (2015)

Bukti Langsung dan Bukti Tak Langsung

Kalimat “Jika P, maka Q” dapat dibuktikan secaralangsung dgn memisalkan P benar, lalu berusahasampai pada kesimpulan bahwa Q benar, denganberbagai argumen yang logis dan sahih.Kadang kita membuktikannya secara tidak langsungmelalui kontraposisi-nya (yaitu dengan memisalkanQ salah, lalu berusaha menunjukkan bahwa P jugasalah); atau dengan mengandaikan bahwa P benardan Q salah, lalu berusaha mendapatkan suatukontradiksi (sesuatu yang mustahil).

18(c) Hendra Gunawan (2015)

Contoh Pernyataan dan Buktinya

Untuk setiap bilangan ganjil n, bilangan n2 – 1 senantiasa habis dibagi 8.Bukti. Kalimat ini setara dgn “jika n adalah bilanganganjil, maka n2 – 1 habis dibagi 8.” Untuk mem-buktikannya, misalkan n adalah bilangan ganjil. Maka, n dapat dituliskan sebagai n = 2k + 1 untuksuatu bilangan bulat k. Akibatnya, n2 = 4k2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1, sehingga n2 – 1 = 4k(k+1). Tetapi k(k+1) pasti genap (!), sebutlah k(k+1) = 2m untuk suatubilangan bulat m. Dengan demikian, kita perolehn2 – 1 = 8m, habis dibagi 8. [QED]

19(c) Hendra Gunawan (2015)

Latihan

Buktikan bahwa 2N tak terhitung. (Petunjuk. Andaikan 2N terhitung, lalu perlihatkan suatukontradiksi.)

(c) Hendra Gunawan (2015) 20

1.4 Sistem Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapatdituliskan sebagai rasio dua bilangan bulat, yaknir = p/q, dengan p, q bilangan bulat dan q ≠ 0.Jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi (denganpembagi tak nol) dari dua bilangan rasional jugamerupakan bilangan rasional.Himpunan (semua) bilangan rasional Q mem-bentuk suatu lapangan yang terurut (terhadapurutan “<”), tetapi – sayangnya – tidak lengkap!

21(c) Hendra Gunawan (2015)

Keterhitungan Q = Q+ U {0} U Q-

(c) Hendra Gunawan (2015) 22

Q+

Kekurangan Bilangan RasionalJika r menyatakan panjang sisi miring segitiga siku-sikudengan alas 1 dan tinggi 1, maka menurut Dalil Pytha-goras r harus memenuhi persamaan r2 = 2. Tetapi, tidakada bilangan rasional r yg memenuhi persamaan r2 = 2. Jika r adalah bilangan rasional, maka r2 ≠ 2. (Bukti?)

Setiap ruas garis memiliki panjang yang dapat dihampirioleh bilangan rasional seteliti yang kita kehendaki, tetapiada (banyak) ruas garis yang panjangnya tidak dapatdinyatakan secara persis oleh bilangan rasional.

Bilangan apakah yang dapat menyatakan panjang setiapruas garis?

23(c) Hendra Gunawan (2015)

Latihan

Buktikan tidak ada bilangan rasional r yang memenuhi persamaan r2 = 2.

24(c) Hendra Gunawan (2015)