lingkaran

https://sudiartamath.wordpress.com 1

Lingkaran

Elemen-elemen suatu lingkaran.

Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

Elemen lingkaran

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu sbb:

Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu : 1. Titik pusat (P)

merupakan sebuah titik di dalam lingkaran yang menjadi acuan untuk menentukan jarak terhadap himpunan titik yang membangun lingkaran sehingga sama. Jarak antara titik pusat dengan lingkaran harganya konstan dan disebut jari-jari.

Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :

Dll.

Cakram (C) merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Persamaan

Suatu lingkaran memiliki persamaan

dengan adalah jari-jari lingkaran dan adalah koordinat pusat lingkaran.

Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu


yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus :

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

dalam koordinat polar, yaitu

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam R1 dan jari-jari luar R2.

Penjumlahan elemen juring

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan , yaitu;

dengan batasan nilai adalah antara 0 dan 3. Saat bernilai 2, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.


Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam R1 dan jari-jari luar , R2yaitu

di mana untuk R1 = 0 rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

di mana digunakan

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

Pi atau

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:

Simbol Pi, . adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Huruf adalah aksara Yunani yang dibaca pi dan pi juga bisa dipakai dalam penulisan.

Nilai yang lazim digunakan adalah 3,14 atau 22/7 namun untuk lebih tepatnya, sudah dicari sampai > 1,241,100,000,000 tempat desimal. Nilai sampai 10 tempat desimal adalah 3,14159265358.


Rumus dengan

Bentuk Rumus

Keliling lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d

Luas lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d

Volume bola dengan jari-jari r

Luas permukaan bola dengan jari-jari r

Volume silinder setinggi h dan berjari-jari r

Luas permukaan silinder setinggi h dan berjari-jari r

Volume kerucut setinggi h dan berjari-jari r

Luas permukaan kerucut setinggi h dan berjari-jari r

Asal -usul Rumus keliling Lingkaran

Sudut 1 rad: Satu radian atau 1 rad adalah besarnya sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari lingkaran berjari-jari 1 meter dan membentuk busur sepanjang juga 1 meter. Atau dalam gambar di atas r = b = 1 meter. Dari gambar di atas di dapatkan data sebagai berikut: r = 1 meter, K = 1 meter, = 1 radian Dengan, r = jari- jari lingkaran, K = panjang busur lingkaran / keliling lingkaran = sudut ( satuan = radian / rad ) Jadi, panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan mengalikan besarnya sudut dengan jari-jari lingkaran, apabila besarnya sudut telah dalam satuan radian. Bukti : ( Dengan data yang diambil dari gambar di atas) K= . r = 1 rad . 1 meter K= 1 meter Dengan 1 rad = 57,2957795131 1 lingkaran = 360 Dapat disimpulkan bahwa, 1 lingkaran = 360/57,3 =6,283185308 rad 6,3 rad Sedangkan 6,3 rad= 2 Berarti sudut 1 lingkaran = 2 Jadi, Dengan data yang sudah ada yaitu sudut 1 lingkaran =2 , dan berdasarkan kesimpulan pertama yang didapat, yaitu


panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung langsung dengan mengalikan besarnya sudut dengan jari-jari lingkaran, maka, K= . r K= 2 . r

NENEK MOYANG LINGKARAN

Tahukah Anda, bagaimana bangun datar berupa lingkaran terbentuk pada awalnya? Terdapat dua teori berbeda yang mencoba menjelaskannya. Yang pertama adalah teori evolusi bujur sangkar. Teori ini mengatakan, lingkaran terbentuk akibat perubahan sedikit demi sedikit yang dialami oleh bujur sangkar dalam rentang waktu yang sangat lama. Dengan kata lain, bujur sangkar merupakan bentuk awal dari lingkaran. Suhu dan tekanan udara yang tinggi di masa bumi purba, gas-gas penyusun atmosfernya, serta pengaruh hujan dan petir yang sangat sering terjadi kala itu, menyebabkan keempat sudut bujur sangkar menjadi semakin tumpul dan semakin melingkar. Tingkat ketumpulan ini semakin lama semakin membesar dan melebar seiring dengan perjalanan waktu yang lamanya mencapai puluhan, bahkan ratusan juta tahun. Di akhir proses perubahan sedikit demi sedikit dan bertahap ini, lingkaran yang sempurna pun dihasilkan dari bentuk induk atau nenek moyangnya, yakni bujur sangkar. Singkatnya, lingkaran adalah hasil proses evolusi dari bujur sangkar.

Teori kedua menyatakan bahwa lingkaran adalah bentuk bangun datar yang memang sedari awal sudah ada, dan sudah berbentuk lingkaran sempurna. Dengan kata lain, terdapat suatu kecerdasan tertentu di luar kekuatan alam yang telah dengan sengaja membuat lingkaran dengan ukuran diameter tertentu, sebagaimana beragam bentuk bidang datar lainnya, termasuk bujur sangkar. Kekuatan alam semata tidak mungkin mampu memunculkan atau membuat bujur sangkar dan lingkaran. Keduanya ada karena sengaja dibuat secara terpisah dan sempurna. Bujur sangkar bukanlah nenek moyang dari lingkaran, atau sebaliknya, yang berubah selama puluhan atau ratusan juta tahun akibat peristiwa alamiah belaka. Terdapat kekuatan dan kehendak di luar alam yang secara sengaja memunculkan kedua bentuk bidang datar ini secara terpisah.

Teori evolusi bujur sangkar menjadi lingkaran

Lucu, menggelikan dan sungguh tidak masuk akal. Demikianlah tanggapan yang akan muncul jika Anda mengisahkan secara serius teori pertama tentang asal usul lingkaran kepada orang lain, sebagaimana dipaparkan di atas. Kalau tidak percaya, Anda boleh mencobanya, sembari menggambar proses tersebut dengan ilustrasi sederhana, sebagaimana di bawah ini.

Namun teori evolusi jauh lebih tidak masuk akal dari dongeng di atas, sebab yang menjadi bahasan evolusi bukanlah sekedar bentuk sesederhana lingkaran dan bujur sangkar. Evolusi malah menganggap bahwa makhluk hidup yang merupakan bentuk tiga dimensi dengan struktur dan fungsi yang jauh lebih rumit dan sempurna, mengalami proses serupa sebagaimana dongeng di atas. Yang jauh lebih menarik lagi adalah bagaimana teori ini dapat dipercaya oleh jutaan manusia di seluruh dunia, padahal tidak terdapat bukti yang mendukungnya sebagai fakta ilmiah. Lalu bukti apakah yang menjadikan dongeng ini mudah diterima masyarakat luas?


Yang pasti, jika sesuatu tidak memiliki bukti apa pun karena memang tidak pernah terjadi di alam, maka agar seolah tampak sebagai fakta ilmiah maka bukti itu harus dibuat, direkayasa, atau kalau perlu dipalsukan. Agar tetap dipercaya orang, propaganda evolusi tetap saja disebarluaskan walau bukti ilmiahnya tidak ditemukan, atau tak pernah ditemukan karena memang tidak pernah ada. Kesimpulannya, evolusi lebih tepat disebut sebagai dongeng daripada teori ilmiah.

lingkaran

Documents