Latihan : Tentukan persamaan garis

a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, –1) dan (4, 0) c.

3. Hubungan dua buah garis

Letak dua buah garis y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 dalam satu bidang ada 3 kemungkinan : a. Sejajar jika m1 = m2 dan c1 ≠ c2 b. Berimpit jika m1 = m2 dan c1 = c2 c. Berpotongan jika m1 ≠ m2 d. Berpotongan tegak lurus (⊥) jika m1 ≠ m2 dengan m1.m2 = –1

Pada gambar di samping, manakah garis-garis yang sejajar, berimpit, berpotongan, dan berpotongan tegak lurus ?

Contoh : 1. Selidiki hubungan dua buah garis dengan persamaan

x + 2y – 5 = 0 dan y = – ½ x + 2

Penyelesaian : Persamaan garis x + 2y – 5 = 0 2y = –x + 5 y = – ½ x + 2½ → m1 = –½ Persamaan garis y = – ½ x + 2 → m2 = –½ Karena m1 = m2 maka kedua garis sejajar

–9

–3 x

y

2. Selidiki hubungan dua buah garis dengan persamaan 3x + 5y – 4 = 0 dan 5x – 3y + 2 = 0

Penyelesaian : Persamaan garis 3x + 5y – 4 = 0 5y = –3x + 4

y = – 35 x + 4

5 → m1 = – 3

5

Persamaan garis 5x – 3y + 2 = 0 3y = 5x + 2

y = 53x + 2

3 → m2 = 5

3

m1 ≠ m2 dan m1 x m2 = – 35 x 5

3 = –1

Jadi kedua garis berpotongan tegak lurus Latihan :

1. Selidiki hubungan pasangan garis-garis dengan persamaan berikut : a) y = 3x + 7 dan y = –x + 4 b) 3x + 6y – 1 = 0 dan x + 2y + 10 = 0 c) 4x – 2y = 8 dan y = 2x – 4 d) 5x – 2y + 3 = 0 dan 2x – 5y + 3 = 0 e) x – 3y = 6 dan 6x + 2y – 5 = 0

2. Tentukan persamaan garis melalui titik (2, –3) dan sejajar dengan garis dengan persamaan 2x – 3y + 1 = 0

3. Tentukan persamaan garis melalui titik (2, –3) dan tegak lurus dengan garis dengan persamaan 2x – 3y + 1 = 0

4. Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier terdiri dari beberapa persamaan linier. Contoh : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Dua buah persamaan linier diatas membentuk sebuah sistem yaitu Sistem Persamaan Linier (SPL). Sistem Persamaan Linier di atas juga dapat dituliskan dengan cara lain yaitu : 2x + 3y = 21

x + 4y = 23 Menyelesaikan suatu SPL berarti menentukan nilai variabel-variabelnya (pada contoh di atas adalah variabel x dan y) sehingga memenuhi kedua persamaan. Atau dengan kata lain mencari nilai variabel-variabelnya sehingga kedua persamaan bernilai benar. Secara grafis, menyelesaikan sistem persamaan linier berarti menentukan titik potong kedua garis.

Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linier, diantaranya : a. Substitusi

Langkah ini dilakukan dengan menyelesaikan salah satu variabel dari satu persamaan kemudian disubstitusikan ke persamaan yang lain. Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara substitusi

2x + 3y = 21 x + 4y = 23

Penyelesaian : Pada persamaan kedua yaitu x + 4y = 23, kita peroleh x = 23 – 4y Nilai x ini kita substitusikan ke persamaan pertama sehingga kita peroleh :

2x + 3y = 21 2(23 – 4y) + 3y = 21 46 – 8y + 3y = 21 – 5y = 21 – 46 – 5y = – 25 y = 5

Nilai y ini kita substitusikan ke salah satu persamaan semula akan diperoleh : 2x + 3y = 21 atau x + 4y = 23 2x + 3(5) = 21 x + 4(5) = 23 2x + 15 = 21 x + 20 = 23 2x = 6 x = 3 x = 3 Jadi penyelesaian dari SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5

b. Eliminasi

Cara ini dilakukan dengan cara menghilangkan(mengeliminasi) sementara salah satu variabel sehingga dapat ditentukan nilai variabel yang lain. Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara eliminasi

2x + 3y = 21 x + 4y = 23

Penyelesaian : Misal kita eliminasi variabel x, maka kita kalikan masing-masing persamaan dengan suatu bilangan (yang berbeda) sehingga koefisien variabel x sama.

2x + 3y = 21 x 1 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 x 2 2x + 8y = 46

–5y = – 25 y = 5 Substitusikan ke salah satu persamaan seperti cara sebelumnya dan diperoleh nilai x = 3. Jadi penyelesaian SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5.

Pilih salah satu persamaan saja

Agar variabel x hilang, kita kurangkan kedua persamaan

(kadang kita lakukan penjumlahan tergantung bentuk persamaan)

c. Determinan

Jika suatu SPL terdiri dari n persamaan dengan n variabel, maka dengan kedua cara di atas, pekerjaan akan menjadi lebih komplek. Untuk itu ada cara menyelesaikan SPL yaitu dengan determinan. Di bawah ini akan dijabarkan cara penyelesaian SPL untuk dua variabel.

Apa Itu Determinan ?

Untuk matriks A = �a bc d� maka determinan dari A yaitu |A| = ad – bc

Untuk matriks A = �a b cd e fg h i

� maka :

�a b cd e fg h i

� a bd eg h

(tambahkan dua kolom pertama)

|A| = (aei + bfg + cdh) – (ceg + afh + bdi)

Cobalah mencari nilai determinan-determinan berikut :

1) |A| = �3 52 4� 3) |C| = �

1 2 34 5 67 8 9

�

2) |B| = � 2 6−3 4� 4) |D| = �

3 2 01 −1 4−2 5 0

�

Bagaimana penyelesaian SPL dengan Determinan ? Suatu SPL dapat diubah menjadi bentuk matriks menjadi :

�a bp q� �

xy� = �cr� disingkat menjadi D.�̅�𝑣 = �̅�𝑠

Jika D = �a bp q� maka cari nilai |D|

Jika Dx = �c br q� maka cari nilai |Dx|

Ganti kolom pertama matriks D dengan �̅�𝑠

Jika Dy = �a cp r� maka tentukan nilai |Dy|

Ganti kolom kedua matriks D dengan �̅�𝑠

Nilai x = |𝐷𝐷𝑥𝑥 ||𝐷𝐷|

dan nilai y = |𝐷𝐷𝑦𝑦 ||𝐷𝐷|

ax + by = c px + qy = r

Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara determinan

2x + 3y = 21 x + 4y = 23

Penyelesaian :

D = �2 31 4� sehingga |D| = 2(4) – 3(1) = 8 – 3 = 5

Dx = �21 323 4� sehingga |Dx| = 21(4) – 3(23) = 84 – 69 = 15

Dy = �2 211 23� sehingga |Dy| = 2(23) – 21(1) = 46 – 21 = 25

nilai x = |𝐷𝐷𝑥𝑥 ||𝐷𝐷|

= 155

= 3

nilai y = |𝐷𝐷𝑦𝑦 ||𝐷𝐷|

= 255

= 5

Jadi penyelesaian SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5 Catatan :

SPL berbentuk �𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝑦𝑦 + 𝑓𝑓𝑐𝑐 = 𝑙𝑙𝑔𝑔𝑥𝑥 + ℎ𝑦𝑦 + 𝑖𝑖𝑐𝑐 = 𝑚𝑚

� diubah menjadi matriks D�̅�𝑣 = �̅�𝑠

yaitu �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑔𝑔 ℎ 𝑖𝑖

� �𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = �

𝑘𝑘𝑙𝑙𝑚𝑚�

Langkah selanjutnya : Tentukan |D| Tentukan |Dx| (ganti kolom pertama matriks D dengan �̅�𝑠 ) Tentukan |Dy| (ganti kolom kedua matriks D dengan �̅�𝑠 ) Tentukan |Dz| (ganti kolom ketiga matriks D dengan �̅�𝑠 )

Nilai x = |𝐷𝐷𝑥𝑥 ||𝐷𝐷|

nilai y = |𝐷𝐷𝑦𝑦 ||𝐷𝐷|

dan nilai z = |𝐷𝐷𝑦𝑦 ||𝐷𝐷|

Latihan :

1. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui pasangan titik-titik berikut : a. (–1, 4) dan (1, 0) c. (0,0) dan (1, 5) b. (–1, –2) dan (–5, –2) d. (1, 4) dan (2, 3)

2. Bentuklah persamaan linier yang garisnya : a. Melalui (–1, 3) dengan lereng sebesar 2 b. Melalui (0, 4) dengan scope sebesar –3 c. Melalui (2, –5) dengan kemiringan sebesar ½ d. Melalui (3, –1) dengan koefisien arah sebesar 0

3. Diketahui f(x) = 8 – 2x. Hitunglah : a. f(–1) c. f(2) e. f(5) b. f(0) d. f(4)

4. Tentukan scope dan penggal garis (pada sumbu y) dari persamaan-persamaan : a. y = –x c. 3x – y – 7 = 0 b. y = –3 –4x d. –2x + 8y – 3 = 0

5. Tentukan titik potong dari pasangan garis-garis berikut : a. y = –2 + 4x dan y = 2x + 2 c. y = 8 dan y = 2x – 10 b. y = 4x – 2 dan y = 6 d. 2x + y – 10 = 0 dan 2x – y + 2 = 0

6. Selesaikan determinan-determinan berikut :

a. �7 3 24 8 56 4 9

� b. �1 12 −3

10 7 6−5 4 3

� c. �1 2 34 5 67 8 9

�

7. Diketahui sistem persamaan 8x = 4 + 4y 2x + 3y – 21 = 0

Selesaikan SPL di atas dengan cara determinan 8. Carilah nilai-nilai a, b, dan c dengan cara determinan jika :

a + b + c = 3 5a – 9b – 2c = 8 3a + 5b – 3c = 45