BENDA TEGAR

BahanBahan CakupanCakupanGerak Rotasi

V kt M t S d t

pp

Vektor Momentum Sudut

Sistem Partikel

Momen Inersia

Dalil Sumbu Sejajar

Dinamika Benda Tegar

Menggelindinggg g

Hukum Kekekalan Momentum Sudut Benda Tegar

Statika Benda TegarStatika Benda Tegar

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.

Dalam proses rotasi, pergeseran sudut:

θθθΔ 12 θθθ −=Δ

Satuan SI untuk pergeseran sudut adalah radian (rad)

°=°= 3,572

360rad 1π2π

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

θθθ Δ− 12kecepatan sudut rata-rata:tθ

ttθθ

ΔΔ

=−

=12

12ω

kecepatan sudut sesaat:dθθωω =

Δ== limlim

dttttωω

Δ→Δ→Δ 00limlim

Satuan SI untuk kecepatan sudut adalahdi d tik ( d/ )radian per detik (rad/s)

Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Arah kecepatan sudut:Arah kecepatan sudut:Aturan tangan kanan

Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut

Δ− ωωω 12Percepatan sudut rata-rata:

ttt ΔΔ

=−

=ωωωα

12

12

Percepatan sudut sesaat:

dtd

tωωα =

ΔΔ

=Δ 0lim

dttt Δ→Δ 0

Satuan SI untuk percepatan sudut adalahdi d tik ( d/ 2)radian per detik (rad/s2)

Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.

Persamaan Kinematika RotasiPersamaan Kinematika Rotasi

Perumusan Gerak Rotasi

Kecepatan tangensial:

{ {kecepatankecepatan

ωrv = ( )rad/sdalamωtangensialkecepatan

linearkecepatan

{ {percepatanpercepatan

αra = ( )2rad/s dalam α

tangensialpercepatan

linearpercepatan

Perumusan Gerak Rotasi

Percepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam):Percepatan sentripetal (dng arah radial ke dalam):

rrvar

22

ω==r

Torsi – Momen gaya

Torsi didefenisikan sebagai hasil kali b d besarnya gaya dengan panjangnya lengan

Torsi – Momen gaya

Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)

Vektor Momentum Sudut

Momentum sudut L dari sebuah benda yang Momentum sudut L dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan sbb:

)vrm(prLrrrrr)vrm(prL ×=×=

il φsinl mvr

rp rmv

φ

⊥ ⊥

=

= =

r p r mv⊥ ⊥= =

••SatuanSatuan SI SI adalahadalah Kg.mKg.m22/s/s..

Vektor Momentum Sudut

P b h d h d k Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:

d dL ( )ddt

ddt

L r p= ×

d d dr p⎛ ⎞ ⎛ ⎞( )ddt

ddt

ddt

r p r p r p× = ×⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ ×⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( )0=

×= vv m

d dLJadi ddt

ddt

L r p= × l ingat F pEXT

ddt

=

Vektor Momentum Sudut

P b h d h d k Perubahan momentum sudut terhadap waktu diberikan oleh:

dLddt

ddt

L r p= × EXTFdtd

×= rL

Akhirnya kita peroleh: τEXTddt

= L

Analog dengan !! F pEXT

ddt

=g g EXT dt

Hukum Kekekalan Momentum SudutSudut

dL dimana dan

dL

τEXTddt

=L L r p= × τEXT EXT= ×r F

τEXTddt

= =L 0JikaJika torsi torsi resultanresultan = = nolnol, , makamaka

HukumHukum kekekalankekekalan momentum momentum sudutsudut

21 ωω 21 II = 21 21

Hukum Kekekalan Momentum

Linearo Jika ΣF = 0, maka p konstan.

Rotasiotaso Jika Στ = 0, maka L konstan.

Momentum Sudut:Defenisi & Penurunanp = mv Defenisi & Penurunan

U t k k li i t tik l b l k

d

Untuk gerak linear sistem partikel berlaku

Momentum kekal jikaF pEXT

ddt

= FEXT = 0Momentum kekal jika

τ = ×r FUntuk Rotasi Analog gaya F F adalah Torsi

Bagaimana dng Gerak Rotasi?

L r p= ×

τ = ×r FUntuk Rotasi, Analog gaya F F adalah Torsi

Analog momentum pp adalah pmomentum sudut

Sistem Partikel

Untuk sistem partikel benda tegar, setiapk l l k k d partikel memiliki kecepatan sudut yang

sama, maka momentum sudut total:

1 2 3

n

n iL l l l l l= + + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ∑r r r r rr

1i=

,

n ni

net i netdL dldt dt

τ τ= = =∑ ∑rr

r r,

1 1i idt dt= =∑ ∑

PerubahanPerubahan momentum momentum sudutsudut sistemsistem hanyahanyaPerubahanPerubahan momentum momentum sudutsudut sistemsistem hanyahanyadisebabkandisebabkan oleholeh torsi torsi gayagaya luarluar sajasaja..

Sistem PartikelPerhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasipada bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum p g ysudut adalah jumlah masing2 momentum sudutpartikel:

k̂vrmmi

iiii

iiiii

i ∑=∑ ×=×∑= vrprL (krn ri dan vi tegak lurus)

Arah LL sejajar sumbu z

Gunakan vi = ω ri , diperoleh i

j

rr1rr2

m2

m1Gunakan vi ω ri , diperoleh

r

i rr1

rr3

rr2 m1

m3

ω

vv3

ωrrI=L Analog dng p = mv !!

Vektor Momentum Sudut

DEFINISIMomentum sudut dari sebuah benda yang Momentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali darimomen inersia benda dengan kecepatan sudutg pterhadap sumbu rotasi tersebut.

ωrrIL

Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untukgerak rotasi):

ωI=L

gerak rotasi):

ωω rrrr

r IdIIdLd )( ατ Idt

Idtdt

====)(

VektorVektor Momentum Momentum SudutSudut

J k d k d l L k k l A b hL Iω=

• Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwahasil perkalian antara I dan ω kekal

2i iI m r= ∑

L IL Iω= L Iω=

Momen Inersia

M I i b i t i t tik l b d tMomen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegardidefenisikan sebagai

...222

211

2 ++== ∑ rmrmrmIi

ii

I = momen inersia benda tegar, k k l k b

i

menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasiterhadap sumbu putarnya

Momen InersiaUntuk benda yang mempunyai distribusi massakontinu, momen inersianya diberikan dalam, ybentuk integral

∫z

dmrIrmI ii

i ∫∑ =⇒= 22

∫ ∫== dVρrdmrI 22dm

y

z

x

y

Dimana ElemenVolume

dldrdrdV ⋅⋅= θ

Momen Inersia

dldrdrdV ⋅⋅= θ

dimana rdr : perubahan radius, dθ : perubahan sudut, dl : perubahan ketebalan.

Momen Inersia

Untuk lempengan benda dibawah ini, momeninersia dalam bentuk integralinersia dalam bentuk integral

( )dlddI ∫ θρ2 ( )dldrdrrI ⋅⋅= ∫ θρAsumsi rapat massa ρ konstanAsumsi rapat massa ρ konstan

Kita dapat membaginya dalam 3 i t l bbintegral sbb:

( ) ( ) ( )∫∫∫LRdlddI

22 πθρ ( ) ( ) ( )∫∫∫ ⋅⋅= dldrdrrI

000θρ

Momen Inersia

[ ] [ ]rR

⎤⎡ 4Hasilnya adalah [ ] [ ]lrI L⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= θρ π

4 020

0

LRI ⋅⋅= πρ 24

0

Massa dari lempengan tersebut ρ4

LRM ⋅⋅⋅= 2πρ

p g

LRM πρ

21MRI =M I b d 2MRI =Momen Inersia benda

Dalil Sumbu Sejajar

Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadapsumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbusu bu puta se ba a g ya g be ja a a su busejajar yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan denganmenggunakan:

Dalil Sumbu Sejajar2h2MhII cm +=

MomenMomen InersiaInersia::

ℓ ℓ21 mlI =

21mlI =12mlI = 3

mlI

2mRI =

R

2

21 mRI =

R

2

ab)(

121 22 bamI +=

2

52mRI =

Dinamika Benda Tegarg

Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerjaoleh momen gaya didefenisikan sbb:

21

22

112 2 ωωωωθτθ ω

IIdIdW −=== ∫ ∫ 12221 1θ ω∫ ∫

Energi Kinetik Rotasig

Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah

( ) ( ) 222

21

21 ωω ∑∑ == iiii rmrmK

2221 ωIK =

2Dimana I adalah momen inersia,

EnergiEnergi KinetikKinetik RotasiRotasigg

Linear Rotasi

11 2

21 ωIK =2

21MvK =

Massa Momen Massa

Kecepatan Linear

o eInersia

Kecepatan pSudut

Prinsip Kerja-Energi

Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasimenjadi:

21

22

2

1

2

12

1

2

1

ωωωωθτθ

θ

ω

ωIIdIdW −=== ∫ ∫ 221 1

21 ωIKrotasi =KW Δ= dimana 2rotasirotasiKW Δ dimana

Bila ,maka W = 0 sehingga0=τrBila ,maka W 0 sehingga0τ0=Δ rotK Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi

Menggelinding

Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi

GerakGerak MenggelindingMenggelinding: : rotasirotasi dandantranslasitranslasitranslasitranslasi

s Rθ= Ban bergerak dengan laju ds/dts Rθ= Ban bergerak dengan laju ds/dt

dv Rθ ω⇒ = =comv Rdt

ω⇒ = =

GerakGerak MenggelindingMenggelinding: : rotasirotasi dandantranslasitranslasitranslasitranslasi

GerakGerak MenggelindingMenggelinding: : rotasirotasi dandantranslasitranslasitranslasitranslasi

The kinetic energy of rolling

2 212 P P comK I I I MRω= = +

2 2 21 12 2

2 21 1

comK I MR

K I M K K

ω ω= +

2 21 12 2com com r tK I Mv K Kω= + = +

GerakGerak MenggelindingMenggelinding Di Di BidangBidang MiringMiring

GunakanGunakan:: torsi = torsi = II ααNr

sing PR F Iθ α× =

RR xsfrsingF θ coma Rα= −

MakaMaka::

θ θP 2 sin P comMR g I aθ = −

2θ θ

gFr cosgF θ

2P comI I MR= +

singa θ= − 21 /com

com

aI MR

=+

Menggelinding

Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasikinetik rotasi.

22 11 ωImvK + 0022

ωImvK +=

Hukum Kekekalan Energi MekanikTotal Hukum Kekekalan Energi MekanikTotal Dengan Gerak Rotasi

KesetimbanganKesetimbangan Benda Benda TegarTegar

Suatu benda tegar dikatakan setimbang

gg gg

Suatu benda tegar dikatakan setimbang apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama g p pdengan nol.Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan ggaya yang bekerja harus sama dengan nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol:

ΣFx = 0 dan ΣFy = 0yΣτ = 0

HubunganHubungan BesaranBesaranGerakGerak Linear Linear -- RotasiRotasi

Linear Rotasix (m) θ (rad)x (m) θ (rad)

v (m/s) ω (rad/s)

a (m/s2) α (rad/s2)m (kg) I (kg·m2)m (kg) I (kg m )F (N) τ (N·m) (N ) L (N )p (N·s) L (N·m·s)

Hubungan BesaranGerak Linear - Rotasi

linear angular

Gerak Linear - Rotasi

linear angular

perpindahan

kecepatanxΔ θΔdtdxv / dtd /θω =kecepatan

percepatandtdxv /= dtd /θω =dtdva /= dtd /ωα =

m ∑ 2massa

gaya

m ∑= 2iirmI

Fr

IFFrrrr

×=τHk. Newton’s

energi kinetikατ I=maF =

2)2/1( mvK = 2)2/1( ωIK =Kerja ∫= FdxW ∫= θτdW