(kkp) nota tajuk 1 mte 3053 statistik

8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik

1/18

TAJUK 1: KEBARANGKALIAN

1.1 PERISTIWA BERGABUNG (COMPOUND EVENT)

Satu peristiwa bergabung mengandungi dua atau lebih peristiwa ringkas. Melambungkan

satu dadu adalah satu peristiwa ringkas Melambungkan dua dadu ialah peristiwa

bergabung. Kebarangkalian peristiwa bergabung yang boleh dikira jika kesudahannya

adalah sama.

Jika A dan B ialah dua perisitiwa daripada suatu eksperimen dengan keadaan P(A) ≠

dan P(B) ≠ ! maka

P ( A∪B )= P ( A )+ P (B )− P( A ∩ B)

"engan A∪B ialah peristiwa A berlaku atau B berlaku atau kedua#dua A dan B berlaku

manakala A ∩ B ialah peristiwa kedua#dua A dan B berlaku.

Keputusan di atas boleh diterangkan dengan gambar rajah $enn. Andaikan A dan B ialah

dua peristiwa daripada ruang sampel S dan n(A) % a! n(B) %b! n(S) % n dan n ( A∩B) % d.

&ontoh '

P(A ∪ B) %n( A∪B)n(S)

%(a−d )+d+(b−d )

n

%a+b−d

n

%a

n b

n #d

n

% P(A) P(B) P ( A∩B)


2/18

Maka P(A ∪ B) % P(A) P(B) P ( A ∩ B)


3/18

(a) Peristiwa tak Bersandar (Independent events)

- "ua (atau lebih) peristiwa dikatakan tak bersandar jika kejadian satu tidak

menjejaskan kejadian yang lain.- "ua peristiwa A dan B dikatakan tak bersandar antara satu sama lain jika dan

hanya jika kejadian A tidak menjejaskan kejadian B dan sebaliknya.- &ontoh' Sebuah pesawat mempunyai banyak kawalan supaya jika satu kawalan

gagal ber*ungsi! yang lain masih lagi ber*ungsi.

"ua peristiwa A dan B adalah tak bersandar jika dan hanya jika

P(A n B) % P(A) P(B)

"e*inisi di atas boleh juga ditulis dalam bentuk

P ( A |B ) % P(A)

dengan menggunakan de*inisi kebarangkalian bersyarat.

Perhatikan bahawa persamaan di atas adalah menunjukkan peristiwa A tak bensandar

kepada peristiwa lain B jika kebarangkalian berlakunya tidak bergantung kepada sama ada

berlaku atau tidaknya peristiwa B. Juga kita dapat perhatikan dengan menggunakan

hubungan

P(A n B) % P(B) P ( A |B ) % P(A) P(B)

P(B) P ( A|B ) % P(A) P(B)

bererti P(B) % P ( A |B )

bahawa jika A tak bersandar kepada B! maka B juga tak bersandar kepada A.

(b) Peristiwa a!in" Eksk!#si$ (%#t#a!!& e'!#sive Events)

Jika peristiwa A boleh berlaku atau peristiwa B boleh berlaku tetapi peristiwa A dan B tidak

boleh berlaku bersama! maka dua peristiwa itu dikatakan peristiwa saling eksklusi*! maka

jika A berlaku! B tidak boleh berlaku dan jika B berlaku! A tidak mungkin berlaku.


4/18

Peristiwa saling bereksklusi* memberi gambaran bahawa jika A dan B adalah dua set!

silangan set ini ialah set nul+ iaitu A ∩ B=¿ . Atau dengan kata lain set A dan B adalah tak

ber,antum.

Keputusan di atas dikenali sebagai hukum ,ampuran bagi peristiwa#peristiwa saling

eksklusi*.

Contoh :

-ima orang graduan yang sama kebolehannya memohon satu jawatan yang diiklankan.

anya seorang pemohon akan berjaaya. Pemohon#pemohon adalah Ali! Bakri! &handran!

"a/id dan 0ng Kok. &ari kebarangkalian bahawa '

(a) Bakri akan Berjaya(b) Bakri atau "a/id akan Berjaya

Penyelesaian

Setiap pemohon mempunyai peluang yang sama untuk berjaya dan semua pilihan adalah

saling eksklusi* kerana hanya seorang pemohon sahaja akan dipilih.

S % Ali , Bakri , Chandran, David dan Eng Kok } ! n(S) % 1

Jadi! P(Bakri) %

1

5 % .2

P(Bakri atau "a/id) % (Bakri 3 "a/id) % P(Bakri) P("a/id)

%1

5 1

5

%2

5

B a g i p e r i s t i w a s a l i n g e k s k l u s i * A d a n B ! ! d a n d a n

B a g i n p e r i s t i w a e k s k l u s i * d a l a m r u a n g s a m p l e S !


5/18

• Melibatkan Dua Peristiwa

Mana#mana dua peristiwa yang ditakri*kan dari ruang sampel yang sama dikatakan saling

eksklusi* jika kedua#dua mereka tidak boleh berlaku pada masa yang sama. 4ni bermakna

bahawa set algebra mereka tidak bertindih! atau pertindihan mereka adalah set si*ar.

&ontoh'

Katakan S ialah ruang sampel melambungkan sebiji dadu sekali. 5akri*kan peristiwa berikut

daripada ruang sampel ini.

6uang sampel S % 78! 2! 9! :! 1! ;


6/18

3ntuk penjelasan lanjutan! gambar rajah $enn dalam 6ajah 8 di bawah juga

membolehkan kita dapat melihat hubungan antara mereka.

6ajah 8' >ambarajah $enn A! B! ....! bagi peristiwa yang dinyatakan

"alam ,ontoh di atas! A dan B adalah peristiwa saling eksklusi*! begitu juga

peristiwa & dan ".

• Melibatkan Tiga Peristiwa

5iga peristiwa P! ? dan 6 dikatakan saling eksklusi* jika dan hanya jika tiga pasangan P dan

?! P dan 6! ? dan 6 adalah semua saling eksklusi*. Merujuk kepada ruang sampel

melambung sebiji dadu! katakan P % 78! 9

% ? @ 6 % ∅! set kosong. leh itu peristiwa P! ? dan 6 ialah tiga peristiwa saling eksklusi*.

() #b#n"an antara sa!in" eksk!#si$ dan tak bersandar

Jika A dan B adalah saling eksklusi*! P(A) ≠ dan P(B) ≠ ! maka P( A ∩ B ¿ % .

5etapi P ( A|B ) % P ( A|B ) P(B) ! maka

P

( A|B ) % apabila A!B saling eksklusi*

Jadi P ( A |B )≠ P( A ) .


7/18

S

A B

S

A B

4ni bermakna bahawa jika peristiwa A dan B saling eksklusi*! maka A dan B tidak merdeka.

1.2 HUKUM PENAMBAHAN DAN PENDARABAN

(a) #k#* Pena*ba+an , Kebaran"ka!ian peristiwa ber"ab#n"

Jika diberi dua peristiwa A dan B! kita boleh mentakri*kan dua jenis gabungan asas tentang

kedua#dua peristiwa itu! iaitu gabungan ‘dan’ dan gabungan ‘atau’ . >abungan A dan BC

bererti kedua#dua peristiwa A dan B berlaku. >abungan A atau BC bererti peristiwa A

berlaku! atau peistiwa B berlaku! atau kedua#dua peristiwa A dan B berlaku.

Misalnya! jika A ialah peristiwa menjadi johan dalam perbahasan dan B ialah peristiwa

menjadi pembahas terbaik! maka A dan BC bererti peristiwa menjadi johan dan menjadi

pembahas terbaik. Manakala A atau BC bererti peristiwa menjadi johan sahaja! atau

peristiwa menjadi pembahas terbaik sahaja! atau kedua#duanya.

Peristiwa A dan BC dan peristiwa A atau BC masing#masing dikenal sebagai peristiwabergabung. "alam bentuk set! peristiwa A dan BC adalah sama dengan A @ B manakala

peristiwa A atau BC adalah sama dengan A 3 B.

Persilangan dua peristiwa A dan B! Kesatuan dua peristiwa A dan B!

iaitu A @ B. iaitu A 3 B.


8/18

A B

B#kan a!in" Eksk!#si$ (N-n.%#t#a!!& E'!#sive)

P(A) ialah kebarangkalian peristiwa A dan P(B) ialah kebarangkalian peristiwa B.

Memandangkan persilangan mereka bukan si*ar! maka mereka bukan saling

eksklusi*.

5iga peristiwa A! B! C .

P ( A∪B∪C )= P ( A )+ P (B )+ P (C )− P ( A∩B )− P (B∩C )− P ( A ∩C )+ P( A∩B∩C )

/-nt-+ 1:

Satu kad diambil dari daun terup. &ari kebarangkalian bahawa mendapat ja,k atau

diamond.

Pen&e!esaian:

P

(Ja,k atau diamond) % P

(ja,k) P

(diamond)# P

(Ja,k dan diamond)

%

52

4

52

13

#

52

1

%52

16

%26

8

%13

4

/-nt-+ 0:

Jika dua perisitwa A dan B bukan saling eksklusif,

maka A B dan kebarangkalian perisitwa A

atau peristiwa B berlaku ialah

P (A B) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )


9/18

Perstiwa A dan B adalah berkeadaan bahawa P(A) %17

25 ! P(B) %1

5 ! dan P(A 3 B) %

3

5 . &ari

a. P(A @ B)!b. P(A @ BC ).


10/18

SA B

A ∩ B’ A ∩ B

Pen&e!esaian:

a. P(A 3 B) % P(A) P(B) P(A @ B)

3

5=17

25+1

5− P( A∩B)

P(A @ B) %17

25+1

5−3

5

%7

25 .

leh itu! P(A @ B) %7

25 .

b. Peristiwa A @ BC dilorekkan dalam gambar rajah $enn di bawah.

"aripada gambar rajah!

n(A) % n(A @ BC ) n(A @ B)

n( A)n(S)

=n ( A ∩B ' )n(S)

+n( A∩B)n(S )

P(A) % P(A @ BC ) P(A @ B)

P(A @ BC ) % P(A) P(A @ B)

%17

25− 7

25


11/18

A B

%10

25

%2

5

leh itu! P(A @ BC ) %2

5 .

• a!in" Eksk!#si$ (%#t#a!!& E'!#sive)

- P(A) bermaksud kebarangkalian bagi peristiwa A dan P(B) bermaksud

kebarangkalian bagi peristiwa B. 5idak terdapat persilangan dan P(A dan B)

ialah si*ar.- Peristiwa saling eksklusi* ialah peristiwa#peristiwa yang tidak boleh berlaku

se,ara serentak! tetapi hanya satu peristiwa yang boleh berlaku pada suatu

ketika.

&ontoh#,ontoh peristiwa saling eksklusi*'

i. "alam suatu perlawanan ping pong! Johari dan Seng Keong bertanding untukmenjadi johan. Jika A ialah peristiwa Johari menjadi johan dan B ialah

peristiwa Seng Keong menjadi johan! maka A dan B ialah peristiwa#peristiwa

saling eksklusi* kerana kedua#dua peserta itu tidak boleh menjadi johan

se,ara serentak.

ii. Sekeping kad dipilih daripada 1 keping kad yang masing#masing ditulis

dengan huru*#huru* R, A, J, , !" Jika # ialah peristiwa huru* konsonan terpilih

dan $ ialah peristiwa huru* /okal terpilih! maka # dan $ ialah peristiwa#

peristiwa saling eksklusi* kerana kepingan kad yang terpilih itu tidak bolehmengandungi kedua#dua si*at konsonan dan /okal se,ara serentak.

Jika peristiwa A dan B saling eksklusif, maka A B

dan kebarangkalian peristiwa A atau peristiwa B berlaku

ialah

P (A B) = P ( A ) + P ( B )

Hubungan ini juga dikenali sebagai hukum

hasil tamabh bagi dua peristiwa saling

eksklusif


12/18

Se,ara amnya! jika A8! A2! A9! ...! An ialah peristiwa#peristiwa saling eksklusi* dalam ruang

sampel %! maka

P( A8 ∪ A2 ∪ A9 ... ∪ An) % P( A8) P( A2) P( A9) ... P( An)

&ontoh'

Sebuah beg mengandungi 2 bola merah! 9 bola biru! dan : bola putih. Sebiji bola dipilih

daripada begse,ara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa bola yang terpilih itu bola biru

atau bola merahD

Penyelesaian'

Katakan A % peristiwa bola biru terpilih

B % peristiwa bola merah terpilih

Memandangkan peristiwa A dan B tidak mungkin berlaku serentak (saling eksklusi*)! maka

P(A B) % P(A) P(B)

%!

2

!

3+

%!

5

(b) #k#* Pendaraban , Peristiwa Tak Bersandar

• Apabila dua peristiwa A dan B adalah tak bersandar E merdeka E bebas!kebarangkalian bahawa kedua#dua peristiwa berlaku boleh didapati menggunakan

keputusan berikut.


13/18

P(A @ B) % P(A) × P(B) atau P(A @ B) % P(A) P(B)

• "ua peristiwa A dan B adalah merdeka jika kebarangkalian A berlaku tidak

bergantung kepada B berlaku atau tidak berlaku dan sebaliknya.• Se,ara amnya! jika A8! A2! A9! ...! An ialah peristiwa#peristiwa tak bersandaran! maka

P( A8 ∩ A2 ∩ A9 ... ∩ An) % P( A8) × P( A2) × P( A9) × ... × P( An)

&ontoh'

Jika terdapat : manik merah dan ; manik biru di dalam sebuah bekas. Semua manik

bersaiF sama dan dibuat daripada bahan yang sama. Pertama saya memilih 8 manik dari 8manik! dan kemudian memilih 8 manik dari baki sembilan manik. Apakah kebarangkalian

bahawa mendapat manik merah duluD Apakah kebarangkalian bahawa mendapat manik

merah pada pemilihan keduaD

Apabila saya mengeluarkan manik pertama! terdapat 8 manik di dalam bekas iaitu :

berwarna merah! jadi kebarangkalian mendapat satu manik merah. Jadik kebarangkalian

mendapat manik pertama merah ialah1

2 atau

1"

4

Apabila sudah memilih satu manik! maka saiF ruang sampel telah berubah iaitu hanya

mempunyai baki G manik! 9 manik daripadanya ialah merah. Jadi kebarangkalian mendapat

satu manik merah ialah9

8 atau

!

3

.

5etapi jika kita ingin tahu kebarangkalian bahawa saya mendapat 8 manik merah dan anda

juga juga mendapat 8 manik merah. 4ni kelihatan seperti soalan yang sama! tetapi ia tidak

sama kerana ianya adalah lebih daripada satu peristiwa. Berikut merupakan kemungkinan

yang membentuk ruang sampel

A. Saya mendapat manik biru dan anda mendapat manik biru

B. Saya mendapat manik biru dan anda mendapat manik merah


14/18

&. Saya mendapat manik merah dan anda mendapat manik biru

". Saya mendapat manik merah dan anda mendapat manik merah

4ni adalah empat kemungkinan tetapi mereka tidak mungkin sama. Apabila kita mempunyai

peristiwa yang terdiri daripada dua peristiwa berasingan dan kesudahan peristiwa kedua

adalah bergantung kepada peristiwa pertama! maka kita darab dua kebarangkalian ini untuk

mendapatkan jawapan.

Merujuk kepada pengiraan di atas! maka kebarangkalian kedua#dua kita mendapat manik

merah ialah15

2

3

1

5

2=×

&ontoh

Apakah kebarangkalian mendapat satu pasangan ; apabila sebiji dadu dilambungkan dua

kaliD

Penyelesaian'

Katakan A % peristiwa mendapat ; pada lambungan pertama

B % peristiwa mendapat ; pada lambungan kedua

Maka P (A) %6

1

dan P (B) %6

1

P (mendapat pasangan ; dari dua lambungan) % (A B)

% P (A) × P (B)

%6

1

× 6

1


15/18

%36

1


16/18

1.3 GAMBAR RAJAH POKOK

>ambar rajah pokok adalah suatu susunan garis yang mewakili kesudahan yang mungkin.

Setiap ,abang pokok tersebut ditanda untuk menunjukkan kesudahan yang diwakili. Setiap

,abang juga dituliskan kebarangkalian kesudahan itu berlaku. Jadi! semua ,abang yang

bermula daripada suatu titik mestilah (a) peristiwa#peristiwa saling eksklusi* dan (b) peristiwa

habisan iaitu jumlah kebarangkalian semua peristiwa adalah 8. Berikut adalah beberapa

,ontoh kegunaan gambar rajah pokok '

&ontoh 8'

Sekeping duit syiling yang berat sebelah mempunyai kebarangkalian gambar dan angka

seperti berikut '

P(gambar) %1

3 dan P(angka) %2

3 .

"uit syiling ini dilambungkan 9 kali berturut#turut.

(a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin dengan gambar rajah pokok.(b) &ari kebarangkalian mendapat

(i) 9 gambar (ii) 2 gambar dan 8 angka(iii) 5idak ada gambar


17/18

(a) P(> ∩G∩G¿ % P(>>>)

%1

3 H1

3 H1

3

%1

27

(b) P(2 gambar dan 8 angka) % P(>>A) P(>A>) P(A>>)

%1

3 H1

3 H2

3+¿

1

3 H2

3 H1

3+¿

2

3 H

1

3 H1

3

%2

27 2

27 2

27

%2

9

(,) P(5idak ada gambar) % P(AAA)

%2

3 H2

3 H2

3

%2

9

1.4 KEBARANGKALIAN BERSYARAT

• Kebarangkalian kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa kadang#kadang

bergantung kepada berlakunya satu atau lebih peristiwa lain.• Misalnya A! adalah peristiwa diserang penyakit jantung dan B adalah! peristiwa

menghisap rokok. Seperti yang telah diketahui umum! mereka yang menghisap

rokok lebih besar kemungkinannya untuk diserang penyakit jantung berbanding

dengan yang tidak menghisap rokok. Jadi jelaslah di sini bahawa peristiwa A dan B

berkait. 4ni bermakna jika B telah berlaku! ia akan memberi maklumat tambahan

kepada berlakunya peristiwa A.


18/18

• 4ni mengimplikasikan bahawa kebarangkalian berlakunya peristiwa A setelah

diketahui B! akan lebih besar daripada kebarangkalian A itu sendiri. Se,ara

simbolnya ia boleh ditulis! P(AIB) P(A). Perbin,angan inilah yang disebut

kebarangkalian bersyarat'

Katakan A dan B adalah 2 peristiwa dengan P(A) ≠ ! P(B) ≠ ! maka kebarangkalian

berlakunya A setelah diberi dengan syarat B telah berlaku ditandakan dengan

Jika dalam satu per,ubaan! peristiwa#peristiwa A dan B boleh berlaku! maka

P(A ∩ B) % P(A) P(BIA).

Seterusnya! bolehlah dirumuskan bahawa '

P(AIB) %P(B)

B)P(A ∩

P(A∩ B) % P(BIA) P(A) % P(AIB) P(B)

(kkp) nota tajuk 1 mte 3053 statistik

Documents